Teorem o prostim brojevima
|
|
- Κλυμένη Κρεστενίτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22.
2
3 Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Metor: doc. dr. sc. Neve Grbac Kolegiji: Kompleksa aaliza, Uvod u teoriju brojeva, Matematička aaliza Završi rad Rijeka, 22.
4 Sadržaj Uvod 2 Riemaova zeta fukcija 2 3 Aalitički teorem 4 4 Teorem o prostim brojevima 23 5 Zaključak 25
5 SAŽETAK Cilj rada je dokazati teorem o prostim brojevima korištejem komplekse aalize. Najprije ćemo, u prvom poglavlju, defiirati Riemmaovu zeta fukciju ζs), skraćeo zeta fukciju, i fukcije Φs) i ϑ). Pokazat ćemo podskupove od C a kojima su ζs) i Φs) holomorfe, u lemi i 2. U lemi 3 ćemo pokazati da se zeta fukcija može zapisati u obliku Eulerovog produkta, što će am poslije biti vrlo koriso, aročito u dokazu leme 6. Takoder ćemo pokazati da se zeta fukcija može aalitički produljiti a veći podskup komplekse ravie u lemi 4, što ćemo korisiti takoder u lemi 6. U lemi 5 ćemo pokazati jedo od svojstava fukcije ϑ), što će am biti bito u završoj fazi dokaza teorema o prostim brojevima. U lemi 6 ćemo vidjeti da zeta fukcija e poprima vrijedost ula i da je fukcija Φs) s holomorfa a pravcu Rs), što ćemo koristiti poslije u lemi 7. Prije toga, u aredom poglavlju, proći ćemo kroz dokaz aalitičkog teorema, koji am je osova za dokaz leme 7. Lema 8 avodi još jedo svojstvo fukcije ϑ), čiji dokaz provodimo svodejem a kotradikciju sa lemom 7. I koačo, u poglavlju 4, avodimo dokaz teorema o prostim brojevima korištejem prethodo dokazaih rezultata. Ključe riječi: teorem o prostim brojevima kompleksa aaliza Riemmaova zeta fukcija aalitičko produljeje aalitički teorem
6 Uvod Jedom je veliki matematičar Leopold Kroecker ) rekao: Bog je stvorio prirode brojeve, sve ostalo je djelo čovjeka. Naime, pojam prirodog broja jeda je od osovih pojmova u matematici i jeda od pojmova koji je usko poveza sa svakodevim praktičim životom. Bita podskup prirodih brojeva čie prosti brojevi, brojevi čiji jedii djelitelji su jeda i o sam. Kako prema osovom teoremu aritmetike zamo da je svaki broj prost ili se može a jedistve ači prikazati kao umožak prostih faktora, bez uzimaja u obzir poretke faktora, vidimo da prosti brojevi a eki ači izgraduju prirode brojeve, sličo kao što atomi u fizičkom svijetu, izgraduju raze predmete u ašoj okolii. Iako aočigled veoma jedostava pojam, prosti brojevi bili su uzrokom razvoja mogih matematičkih disciplia i pojavljivaja ekih od ajtežih problema u matematici, od kojih se eki još i daas, ako više desetljeća ili čak stoljeća, opiru razumijevaju ajboljih itelektualih umova modere zaosti. Uatoč svim aporima, još i daas ije u potpuosti ajprecizije pozato pravilo raspodjele prostih brojeva medu prirodim brojevima. Jeda od možda ajraijih pokušaja razumijevaja u tom smjeru bio je i teorem o prostim brojevima. Teorem je prije dokaza bio hipoteza koju su postavili Legedre i Gauss 796. godie. Prvi su ga dokazali, ezaviso jeda o drugome, Hadamard i de la Valle Poussi 896. godie. Metodu kojom ćemo provesti dokaz je razvio D.J.Newma oko 98. godie.
7 2 Riemaova zeta fukcija U ovom odlomku ćemo defiirati Riemmaovu zeta i još ekoliko dodatih fukcija i dokazati eka jihova potreba svojstva. Defiicija Za iz kompleksih brojeva c ) N, red azivamo Dirichletov red. c, gdje je s C, s Rs) + iis), Rs), Is) R, s Defiicija 2 Ako je c,, tada red ζs) azivamo Riemaova zeta fukcija. Defiicija 3 Defiiramo fukcije, gdje je s C, s Rs) + iis), Rs), Is) R, s Φs) p s, ϑ) p, gdje je s C, R, a P je ozaka za skup prostih brojeva. Sada ćemo dokazati ekoliko dodatih, potrebih svojstava, prethodo defiiraih fukcija. Lema Fukcija ζs) je holomorfa za Rs) >. Dokaz: Očito vrijedi s e s l e Rs) l cosis) l ) + i siis) l )) Sada imamo e cos Rs) l 2 Is) l ) + si 2 Is) l ) Rs). }{{} s, Rs) 2
8 a taj red kovergira za Rs) >, pa kovergira apsoluto za Rs) >. s Takoder vrijedi s, za Rs) >, < σ < Rs), N. Rs) σ Iz kovergecije reda s pozitivim člaovima, slijedi uiforma koverge- σ cija reda za Rs) >. s I još imamo da red d ds s kovergira uiformo za Rs) >, pa vrijedi d ds d s ds l s s ζ s). Slijedi da derivacija ζ s) postoji i eprekida je za Res) >. Dakle red s defiira a Rs) > holomorfu fukciju, a to je upravo ζs). Q.E.D. Lema 2 Fukcija Φs) je holomorfa za Rs) >. Dokaz: Imamo Stavimo σ Rs) >. Fukcija f) l itegral 2 Naime, vrijedi σ p s p Rs). je eprekida i padajuća a [2,. Pokažimo da epravi l d kovergira za σ >. σ l σ+ d σ σ + l σ+ σ + d σ σ l σ d σ pa iz toga slijedi σ σ l σ σ), 2 3
9 l A l d lim 2 σ A 2 d σ ) A σ A σ lim l A A σ σ) 2 σ 2 σ l σ σ) 2 2 σ 2 σ l 2 +, jer je σ σ) 2 l A lim A A σ l A [ ] lim A [ ] A σ lim A [ primjeom L Hospitalovog pravila ] A lim σ )Aσ 2 A i takoder je Dakle, iz kovergecije 2 σ >. Takoder vrijedi, σ )Aσ lim A A σ, jer je σ >. l d slijedi da red σ p s kovergira apsoluto za p s prs) p, za Rs) >, < σ σ < Rs), N. slijedi uiforma koverge- Iz kovergecije reda s pozitivim člaovima cija reda za Rs) >. p s I još imamo da red d ds p s kovergira uiformo za Rs) >, pa vrijedi p σ l 2 p p s d ds p s d ds p s Φ s). Slijedi da derivacija Φ s) postoji i eprekida je za Res) >. Φs). Dakle red p s defiira a Rs) > holomorfu fukciju, a to je upravo Q.E.D. Slijedeća lema govori da Riemmaova zeta fukcija ima Eulerov produkt. 4
10 Lema 3 Vrijedi ζs) p s ), za Rs) >. Dokaz: Neka je m N proizvolja. Tada vrijedi Ako iskoristimo ζs) p s ) s N p<m p<m ) p<m p s oda imamo p ) s jer je s p) ) ) p s p<m s p<m N, pαp), αp) N, p m, takav da je αp) N p ) s. p s < za Rs) >, p za Rs) r,r 2,... N N,, s p αp), αp) N p<m p ) s s p,p 2,... P p i <m p r i i )s N, s p αp), αp) N p<m s s s m m m, za m, Rs) jer je m ostatak reda Rs), koji kovergira za Rs) >, prema lemi. Rs) Dakle, pokazali smo da vrijedi lim m Lema 4 ζs) s p<m p s ) p s ) ζs), za Rs) >. se može proširiti do holomorfe fukcije a Rs) >. 5 Q.E.D.
11 Dokaz: Najprije pokažimo da vrijedi Naime, imamo d, za Rs) >. s s A ) s+ d lim d lim s A s A s + A s+ lim A s + ) A s+ lim s + A s + + s s. Sada za Rs) > imamo + ζs) s s + s d + d s s ) d s s d + s + A ) d s ) d. s s Sada N, s C, Rs) >, primjeom teorema o sredjoj vrijedosti imamo + fa) fb) + ) s s b a f t) dt ma a t b f t) b a, + d d d ) d s s s s d ma + ) s+ + s+ ma + Red s pozitivim člaovima apsolutu kovergeciju reda s Rs)+ s Rs)+ + s Rs)+. Sada primjeom Leibizovog itegralog pravila imamo d ds + kovergira za Rs) >, što povlači ) s d za Rs) >. s ) d s s 6
12 + d ds ) d s s + l + l ) d. s s I sada opet, kao raije, N, s C, Rs) >, primjeom teorema o sredjoj vrijedosti imamo + l + l ) + d s s d d + s l s+ d ma + s l ma + Rs)+ l + l ) d s s s l s+ + ) + s l + ) Rs)+. Red s pozitivim člaovima + s l+) Rs)+ + s l+) Rs)+, Rs)+ kovergira za Rs) >, jer oba reda sa dese strae jedakosti, kako je prethodo pokazao, kovergiraju za Rs) >, što povlači uiformu kovergeciju reda d + ) ds s d, a to zači da d s ds ζs) s ) postoji za Rs) > i eprekida je. Dakle, fukcija ζs) s je holomorfa za Rs) >. Q.E.D. Neka su f i g fukcije reale varijable. postoje kostate C, B R takve da vrijedi Kažemo da je f) Og)), ako f) Cg), B. Lema 5 Vrijedi ϑ) O). Dokaz: Neka je N proizvolja. Tada za svaki p P, < p 2 vrijedi p 22 ) ) + )), a kako možemo pisati 22 ) ) + ) 2)!! ) 2! i kako zamo da p!, slijedi p 2 ), iz čega možemo zaključiti <p 2 p ) 2 ) 2 + ) ) 2 + )
13 Sada primjeom strogo rastuće fukcije l a obje strae ejedakosti slijedi 2 l 2. <p 2 Ako uzmemo da je 2 k, za eki k N, tada imamo 2 k l 2. 2 k <p 2 k Sada za k,..., m dobijemo m ejedakosti 2 l 2, <p 2 4 l 2, 2<p 4 4<p 8 8 l 2, 2 m l 2. 2 m <p 2 m Sumirajem ejedakosti imamo m m ) l 2 2 <p 2 p 2 m 2 m+ 2) l 2 2 m+ l 2, odoso p 2 m 2 m+ l 2. Kako za svaki možemo izabrati m N tako da vrijedi 2 m < 2 m, slijedi ϑ) 2 m+ l 2 4 l 2)2 m 4 l 2), p p 2 m odoso ϑ) C,, 8
14 ϑ) O). Lema 6 ζs) i Φs) s Dokaz: je holomorfa za Rs). Q.E.D. Zbog apsolute kovergecije reda, apsoluto kovergira i Eulerov produkt toga reda, za Rs) >, u koača broj različit od ule. Dakle, ζs) s za Rs) >. Preostaje am pokazati da je ζs) za Rs). Prema raije pokazaome, Φs) je holomorfa za Rs) >, a takoder i, pa s zaključujemo da je Φs) holomorfa za Rs) >. Preostaje am pokazati da s je holomorfa i za Rs). Sada za Rs) > imamo l ζs) l pa derivirajem po s dobijemo ) p s l p s), ζ s) ζs) p s ) p s ) 2 p s ) ) Primjeom formule za sumu geometrijskog reda slijedi p s. p s ζ s) ζs) p s p s 2 p s p s p 2s p s p s p s p s ), odoso ζ s) ζs) Φs) + p s p s ). Oduzimajem s od obje strae jedakosti i promjeom rasporeda imamo Φs) s ζ s) ζs) + s + ). ) p s p s ) U astavku ćemo proučiti pojedie člaove sa dese strae jedakosti ). Najprije, a zatim ζ s) +. Ako je svaki pojedii čla holomorfa za p s p s ) ζs) s Rs), tada je i fukcija Φs), sa lijeve strae jedakosti ), holomorfa s za Rs), a upravo to želimo pokazati. 9
15 KORAK : Pokažimo da red kovergira apsoluto i uiformo za Res) >. p s p s ) 2 Neka je σ Res) >. Korištejem 2 ps p σ i z z 2 z z 2, z, z 2 C, vrijedi p σ p s p s, pa imamo p s p s ) p σ p s p σ p σ p σ ) 2. Provjerimo kovergeciju reda, za σ >. Naime, red s pozitivim p σ ) 2 2 člaovima Φ2σ) kovergira, prema lemi 2, za 2σ >, odoso za σ > p 2σ 2 i takoder vrijedi lim p p σ ) 2 p 2σ lim p p 2σ p σ ) 2 lim p 2 p σ + p 2σ <, pa prema teoremu o usporedivaju redova sa pozitivim člaovima, zaključujemo da i red kovergira za σ >. Na temelju toga slijedi uiforma i p σ ) 2 2 apsoluta kovergecija reda. p s p s ) Red ) takoder kovergira uiformo, što zači da polazi red d ds p s p s ) p s p s ) defiira holomorfu fukciju za Rs) > 2. KORAK 2: Pokažimo sada da je ζ s) ζs) + s holomorfa za Rs) >, osim gdje ije defiiraa. Naime, raije smo pokazali da je fukcija ζs) s holomorfa za σ Rs) >. Kako vrijedi ζs) s s )ζs), slijedi da je s )ζs) holomorfa za σ >, pa je i s Dakle, d s )ζs)) holomorfa za σ >. ds d s )ζs)) ds s )ζs) ζ s) ζs) + s je meromorfa za σ >, kao kvocijet dvije holomorfe fukcije. ultočkama azivika. Njei polovi se mogu pojaviti jedio u KORAK 3:
16 U astavku ćemo pokazati da je s )ζs), za σ. Na taj ači ćemo pokazati da je fukcija ζ s) ζs) + s holomorfa za σ, a kako i red p s p s ) defiira holomorfu fukciju u σ, time ćemo dokazati da je Φs) s holomorfa za σ. Prvo pokažimo da je s )ζs), za s. Naime, jer je ζs) holomorfa za σ >, oda je holomorfa i u s, gdje s poprima koaču vrijedost koja izosi lim ζs) ) lim s s s s )ζs) s Zato jer je lim s s ), mora vrijediti i lim s s )ζs) ), odoso ). lims )ζs)), pa je s )ζs), za s. s Sada ćemo pokazati da vrijedi s )ζs), za σ, t Is), t R, što je ekvivaleto sa ζ + it), za t, t R. Pretpostavimo suproto, odoso da ζs) ima ultočku reda µ u točki s +it, za eki t, t R. Kako je ζs) s holomorfa u s to je i ζs) holomorfa u s, pa je µ. Cilj am je pokazati da je µ, iz čega bi slijedilo da ζs) ema ultočaka a pravcu Rs). Kako je s ultočka reda µ, fukciju ζs) možemo prikazati u obliku ζs) s s ) µ ζ s), ζ s ), pa takoder vrijedi iz čega slijedi jedakost ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s), ζ s) ζs) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s) Sada za proizvolja ɛ > imamo ζ s + ɛ) ζs + ɛ) µ + ζ s + ɛ) s + ɛ s ζ s + ɛ). µ + ζ s) s s ζ s)
17 Ako pomožimo obje strae jedakosti sa ɛ i uzmemo da ɛ +, slijedi ζ s + ɛ) lim ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ + lim ζ s + ɛ) ɛ + ζ s + ɛ) ɛ. Kako je ζs) diferecijabila za σ >, pa ima derivaciju svakog reda a istom području, to je i ζ s) diferecijabila za σ >, i jedaka je ekom koačom broju. Takoder je ζ s ), jer bi u protivom red ultočke bio strogo veći od µ, što je kotradikcija, pa vidimo da limes sa dese strae jedakosti teži ka uli, iz čega slijedi Prema prethodome, iz Φs + ɛ) ζ s + ɛ) lim ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ. s + ɛ ζ s + ɛ) ζs + ɛ) + s + ɛ + ), ) p s +ɛ p s +ɛ ) možejem obje strae jedakosti sa ɛ i ako uzmemo da ɛ +, imamo sljedeće lim Φs ζ s + ɛ) + ɛ) ɛ lim ɛ + ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ. Ovdje posljedji red iz zagrade sa dese strae jedakosti ) kovergira, pa možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Pretpostavimo da je s + 2ti ultočka reda ν, pa aalogo kao za s, imamo da vrijedi Takoder iz Φ + ɛ) lim Φs + ɛ) ɛ ν. ɛ + + ɛ ζ + ɛ) ζ + ɛ) + + ɛ + ), 2) p +ɛ p +ɛ ) možejem obje strae jedakosti sa ɛ i ako uzmemo da ɛ +, slijedi lim Φ + ɛ) ɛ. 3) ɛ + Ovdje posljedji red iz zagrade sa dese strae jedakosti 2) kovergira, pa možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Takoder je ζ s) + holomorfa za s, kako ζs) s smo pokazali a početku koraka 3, pa taj izraz možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Na lijevoj strai ostae lim ɛ + Φ + ɛ) ɛ, pa sada slijedi jedakost 3). 2
18 Ako je s ultočka od ζs), tada je i s ultočka od ζs). Za astavak am je bito da je s istoga reda kao i s, pa ćemo to sada pokazati. Uočimo da vrijedi ζs) s ζs), s s e s l e ξ iψ) l e ξ+iψ) l s, jer je pa sada imamo ζs) s s ) µ ζ s) ζs) s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s), iz čega slijedi ζ s) ζ s), a posebo ζ s ) ζ s ), dakle s je takoder reda µ. Takoder zbog ζ s) l s l s ζ s), imamo ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s), pa zbog ζ s) ζ s) imamo da je ζ s) ζ s), odoso ζ s ) ζ s ). Dakle, s je takoder reda µ i cijeli postupak koji smo prošli za s vrijedi i za s. Takoder, prisjetimo se da je Φs) Sada uočimo sljedeće p s. )) 4 2R p it p +ɛ 2 p it p +ɛ 2 ) it 4 + p 2 p +ɛ p 2it + 4p it p it + p 2it) p +ɛ 2it + 4 p +ɛ it + 6 p +ɛ + 4 p +ɛ+it + p +ɛ+2it Φ 2it + ɛ) + 4Φ it + ɛ) + 6Φ + ɛ) + 4Φ + it + ɛ) + Φ + 2it + ɛ) Φs + ɛ) + 4Φs + ɛ) + 6Φ + ɛ) + 4Φs + ɛ) + Φs + ɛ). 3
19 Ako sada pomožimo obje strae ejedakosti sa ɛ > i uzmemo da ɛ +, korištejem prethodo dobiveih jedadžbi dobijemo ejedakost lim Φs + ɛ) ɛ lim Φs + ɛ) ɛ µ, ɛ + ɛ + lim Φs + ɛ) ɛ lim Φs + ɛ) ɛ ν i ɛ + ɛ + lim Φ + ɛ) ɛ, ɛ + ν 4µ + 6 4µ ν 2ν 8µ + 6. Zato jer je ν, imamo 6 2ν 8µ 6 8µ, iz čega slijedi 8µ 6, odoso µ 6 <, pa slijedi da je µ. Time smo pokazali da je ζs), za Rs), 8 pa prema koracima, 2, 3 i iz jedakosti ), slijedi da je Φs) holomorfa za s Rs). Q.E.D. 3 Aalitički teorem Teorem Aalitički teorem) Pretpostavimo da je ft), t, ograičea i lokalo itegrabila kompleksa fukcija. Neka se fukcija gs) ft)e st dt, koja je holomorfa a području Rs) >, aalitički produlji do holomorfe fukcije a otvoreom skupu koji sadrži zatvorei skup Rs). Tada itegral ft)dt kovergira i jedak je g). Dokaz: Za fiksi T > stavimo da je g T s) T ft)e st dt. g T s) je holomorfa a čitavom C. Naime, primjeom Leibizovog itegralog pravila imamo da je d ds g T s) d T T ft)e st dt ds d ) T ft)e st dt ft) t)e st dt. ds Kako je ft) lokalo itegrabila, a t i e st takoder, tada postoji d ds g T s), za svaki s C, odoso g T s) je holomorfa a C. 4
20 Trebamo pokazati da vrijedi lim g T ) g). T Neka su R > i δ > takvi da je gs) holomorfa a podskupu od C koji sadrži kompakta skup D {s C : s R, Rs) δ} i eka je Γ rub od D. Tada, prema Cauchyjevoj itegraloj formuli, vrijedi g) g T ) g)e T g T )e T gs)e st ds g T s)e st ds 2πi Γ s 2πi Γ s gs) g T s)) est 2πi Γ s ds + gs) g T s)) est s 2 2πi Γ sr ds. }{{ 2 } Poditegrala fukcija, posljedjeg itegrala iz prethode jedakosti, je aalitička a području koje sadrži Γ, pa prema Cauchyjevom teoremu taj itegral poprima vrijedost ula, kako smo azačili. Zato smo ga mogli dodati. Sada možemo pisati g) g T ) gs) g T s)) e st ) + s2 ds. 2πi Γ s R 2 Kako je ft) ograičea, postoji kostata M >, takva da je ft) M, za svaki t. Sada za Rs) >, imamo gs) g T s) T T ft) e t dt M ft)e st dt ft) e st dt T T e t dt M lim A A T e t dt M lim ) A A e t M lim A e A + ) e T Me T T ) dok je za s R, fukcija e st + s2 holomorfa i vrijedi s R 2 ) est + s2 e T s + s R 2 R s 2 [ ] s s, args ) args), pa je s R e i args), s R 2 ei args) R 5,
21 e T R e i args) + R ei args) et R 2R cos args)) et 2 2 R 2 Iz eprekidosti gs) g T s), možemo zaključiti gs) g T s)) e st ) + s2 Me T s R 2 et R e i args) + R e i args) R 2 2eT R 2. 2eT R 2 2M R 2, za svaki s Γ + Γ {s C : Rs) }, iz čega slijedi gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ + s R 2 2M 2π Γ + R ds 2 2π 2M R 2 Rπ M R. Sada promotrimo itegral a Γ Γ {s C : Rs) < }, posebo za gs) i g T s). Pogledajmo prvo za g T s). Kako je g T s) holomorfa a čitavom C, prema Cauchyevom teoremu možemo, umjesto koture Γ, uzeti polukružicu Γ {s C : s R, Rs) < }. Sada, za Rs) <, imamo g T s) T T ft)e st dt M e t dt M T e t dt T M lim e t dt lim ) T A A A e t A M lim A e T + ) ea M e T Me T. Imamo da otprije vrijedi ) est + s2 2eT, pa iz svega slijedi s R 2 R 2 2πi Γ g T s)e st ) + s2 ds s R 2 2π Me T 2eT R 2 Γ ds M R. }{{} Rπ Sada pogledajmo za gs). Kako je gs) holomorfa a kompaktom skupu Γ, tada je i ograičea a tom 6
22 skupu, pa tada postoji kostata K KR, δ) >, tako da vrijedi Sada vrijedi ) gs) + s2 K, za svaki s Γ s R 2. gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 2π K e st ds, Γ a ako uzmemo da T, tada zbog lim T e st lim T e T, dobijemo lim T Sada imamo da vrijedi g) g T ) 2πi gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2. Γ gs) g T s)) e st ) + s2 ds s R 2 gs) g T s)) e st ) + s2 ds + gs) g 2πi Γ + s R 2 T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ + s R 2 + gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 M R + gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 + g T s)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 M R + M R + 2π K est ds, Γ iz čega slijedi a kako vrijedi lim R 2M R lim sup g) g T ) 2M T R,, to je oda lim g T ) g). T Q.E.D. Lema 7 Nepravi itegral ϑ) d kovergira. 2 Dokaz: Primjeit ćemo aalitički teorem kako bismo pokazali da dai itegral, ozačimo ga sa I, kovergira. 7
23 Kako je >, možemo staviti e t, pa imamo I ϑ) 2 d ) ϑ) d [ e t t l, [, ] t [, ], dt d ] ϑe t )e t ) dt Ako defiiramo ft) ϑe t )e t, imamo I ft)dt. Sada, zbog ϑ) O), lema 5, postoje kostate C R i t [,, takve da vrijedi ft) ϑe t )e t ϑe t ) e t + Ce t )e t + C +, za svaki t t. Kako ft) ima jedio prekide prve vrste i to za t P, očito je ograičea a [, t, pa slijedi da je ograičea a [,. Takoder, a svakom kompaktom skupu K [,, fukcija ft) ima samo koačo mogo prekida prve vrste, pa je itegral po K od ft) koača, a temelju čega zaključujemo da je ft) lokalo itegrabila fukcija. Defiirajmo sada gs) ft)e st dt, za Rs) >. Ako pokažemo da je gs) holomorfa za Rs), tada bi sve pretpostavke aalitičkog teorema bile ispujee, pa bi slijedilo da ft)dt kovergira i jedak je g). Pokazat ćemo da vrijedi jedakost ϑe t )e s+)t dt Φs + ), za Rs) >, s + jer pomoću je slijedi gs) e st dt lim A ϑe t )e t ) e st dt ϑe t )e s+)t dt A e st dt e st dt lim s ) A A e st lim A s e + ) sa s s 8
24 [ Φs + ) s + s s s s + s + ] s + + Φs + ) s ) ss + ) s +, odoso vrijedi gs) Φs + ) s ) s +. Ako dobivea jedakost vrijedi za Rs) >, tada je Rs + ) >, pa prema prethodo dokazaome rezultatu da je Φs) holomorfa za Rs), slijedi s da je Φs + ) holomorfa za Rs), iz čega slijedi da je gs) holomorfa za s Rs), pa prema aalitičkom teoremu itegral I ft)dt kovergira i jedak je g). Kako je gs) holomorfa za Rs), pa dakle i u s, to zači da g) poprima koaču vrijedost u s, pa je dakle itegral Pokažimo sada raije avedeu jedakost ϑ) d kovergeta. 2 ϑe t )e s+)t dt Φs + ), za Rs) >. s + Ozačimo itegral sa lijeve strae jedakosti sa J. Sada imamo sljedeće J ϑe t )e s+)t dt Napravimo zamjeu varijabli e t. Vrijedi ϑe t )e s+2)t e t dt. e t t l, Pa imamo J t [, [,, dt d d dt et dt. Gdje je p, a p i P, i N. ϑ) d s+2 k pk+ p k ϑ) d. s+2 Razlog ovakvog rastava itegrala je zbog toga što za proizvolja p k, p k+ vrijedi ϑ) p p p k ϑp k ), pa možemo pisati J k pk+ ϑp k ) d. p k s+2 Izračuajmo itegral koji se alazi pod sumom sa dese strae jedakosti, za 9
25 proizvolja k, pk+ d p k s+2 Iz avedeog slijedi ) p s k+ s s + p k J s + k s+ ϑp k ) p s+ k p k s + p k+ ) p s+. k+ p s+ k ) p s+. k+ Uočimo da vrijedi ϑp k ) ϑp k+ ) k+ i zamo otprije da ϑp)p s+) i Φs + ) kovergiraju apsoluto za Rs) >, pa slijedi s + J s + s + k ϑ) }{{} + k ϑp k ) p s+ k ϑp l+ ) l p s+ l+ Dakle, dobili smo da vrijedi ϑpk ) p s+ k k ϑp ) k+) k+ p s+ k+ ) ϑp k+ ) p s+ k+ + k k+ p s+ k+ ϑp k+ ) +Φs + ) Φs + ). s + k p s+ k+ } {{ } J Φs + ), za Rs) >. s + Q.E.D. Za dvije fukcije, f i g, kažemo da su asimptotički jedake i pišemo f) g), ako vrijedi lim f) g). Lema 8 Vrijedi ϑ). Dokaz: Trebamo pokazati da vrijedi: a) ɛ >, > tako da > ϑ) < ɛ, i b) ɛ >, > tako da > ϑ) < ɛ. 2
26 Dokažimo te dvije tvrdje svodejem a kotradikciju. a) Pretpostavimo suproto, odoso ɛ > tako da >, > tako da je ϑ) ɛ, što je ekvivaleto sa ϑ) λ, gdje je λ + ɛ >. Kako je ϑ) rastuća fukcija, odoso vrijedi < 2 ϑ ) p p 2 ϑ 2 ), tada slijedi t λ λ ϑ) ϑt) ϑλ), pa imamo sljedeće λ λ ϑt) t λ dt t 2 λ λ ) λ t 2 dt λ ϑ) t λ λ t dt dt t 2 t 2 t dt λ t ) λ + l l λ λ + l λ + l t λ λ l λ. Za λ > vrijedi Cλ) λ l λ >, jer je C) i C λ) λ >, pa je Cλ) strogo rastuća fukcija. Sada astavimo postupak iduktivo. Ozačimo sa i λ sa λ. Uzmimo da je λ >. Za taj ovi postoji 2 > takav da vrijedi ϑ 2 ) λ 2. Uzmimo sada da je λ 2 >. Za taj ovi postoji 3 > takav da vrijedi ϑ 3 ) λ 3. Dalje, a ovaj ači, iduktivo defiiramo iz ) N za koji vrijedi > λ i ϑ ) λ, za svaki N, pa slijedi λ ϑt) t t 2 dt Cλ), za svaki N. Sada imamo ϑt) t dt t 2 λ ϑt) t dt t 2 Cλ), 2
27 a kako vrijedi da red Cλ) divergira jer je Cλ) >, dobili smo kotradikciju sa kovergecijom ϑt) t t 2 dt. b) Pretpostavimo suproto, odoso ɛ > tako da >, > tako da je ϑ) ɛ, što je ekvivaleto sa ϑ) λ, gdje je λ ɛ <. Kako je ϑ) rastuća fukcija, imamo sljedeće λ t ϑλ) ϑt) ϑ) λ, pa oda vrijedi λ λ ϑt) t dt t 2 λ λ t 2 dt λ λ λ ) Sada vidimo da za λ < vrijedi ϑ) t λ t dt dt t 2 λ t 2 t dt λ t ) λ + l t + l λ l λ + l λ. λ Cλ) λ + l λ <, jer je C) i C λ) + λ > za < λ <. Odoso, Cλ) strogo raste i C), pa je Cλ) egativa za λ <. Sada, aalogo kao pod a), astavimo postupak iduktivo. Ozačimo sa i λ sa λ. Uzmimo da je λ >. Za taj ovi postoji 2 > takav da vrijedi ϑ 2 ) λ 2. Uzmimo sada da je λ 2 >. Za taj ovi postoji 3 > takav da vrijedi ϑ 3 ) λ 3. Dalje, a ovaj ači, iduktivo defiiramo iz ) N za koji vrijedi > λ i ϑ ) λ, za svaki N, pa slijedi λ ϑt) t t 2 dt Cλ), za svaki N. Sada imamo ϑt) t dt t 2 λ ϑt) t dt t 2 Cλ), 22
28 a kako vrijedi da red Cλ) divergira jer je Cλ) <, dobili smo kotra- ϑt) t dt ϑt) t dt. t 2 t 2 dikciju sa kovergecijom Q.E.D. 4 Teorem o prostim brojevima Teorem 2 Vrijedi što se može pisati i kao lim π) / l, π) gdje je π) broj prostih brojeva, R. l, Dokaz: Imamo da vrijedi ϑ) p, za svaki ɛ >. ɛ <p Uočimo da, zbog strogog rasta fukcije l, vrijedi ɛ p l ɛ l. Primjeom prethodog, imamo da vrijedi ϑ) ɛ) l π) π ɛ ) ) ɛ) l. ɛ <p Kako očito vrijedi π ɛ ) ɛ,, imamo ϑ) π) ɛ) ɛ) l. Takoder vrijedi ϑ) p l π) l, pa iz svega skupa imamo da vrijedi π) ɛ ) ɛ) l ϑ) π) l, 23
29 odoso, dijeljejem obje strae sa >, dobije se π) l ɛ) l ) ϑ) ɛ Sada uzmimo da u obje ejedakosti. Kako je i kako je slijedi l lim ɛ ϑ) lim π) l., što smo raije pokazali, [primjeom L Hospitalovog pravila] lim ɛ, ɛ l lim ɛ)π) pa imamo da vrijedi, iz prve ejedakosti π) l lim, za svaki ɛ >, lim sup π) l, i iz druge ejedakosti lim if π) l. Na temelju posljedje dvije ejedakosti, koačo možemo zaključiti π) l lim. Q.E.D. Time je teorem o prostim brojevima dokaza. 24
30 5 Zaključak Teorem o prostim brojevima tvrdi da je omjer π) i l se povećava. Uatoč tome, pokazao je da razlika π) veća. Sličo vrijedi i za π) i aproksimacija fukcije π) je 2 l dt. l t sve bliže jediici kako l postaje sve veća i, iako je razlika maja. Takodjer, vrlo dobra Teorem se smatra jedim od ajvećih poduhvata u teoriji brojeva. Ako pratimo povijeso, ije jedom da se ovako bita rezultat riješio s amjerom da se riješi jeda drugi, puo teži problem. Naime, teorem o prostim brojevima je rješe s amjerom razrješavaja, sada već čuvee, Riemaove hipoteze. Temeljije proučavaje komplekse aalize i jezie primjee a rješavaje gorućih problema matematike devetaestog stoljeća, e samo da je omogućilo bolje razumijevaje raspodijele prostih brojeva ego i mogih problema primjejee matematike i fizike, čija je oa daas eizostava dio. 25
31 Literatura. Edwards, H. M.: Riema s Zeta Fuctio, Dover Publicatios, Ic., Mieola, New York, Rockmore Da: Stalkig the Riema Hypothesis, Vitage books, A Divisio of Radom House, Ic., New York, Garrett, P.: Simple proof of the prime umber theorem, etc., 25., URL: garrett/m/v/pt.pdf ). 4. Zagier: Newma s Short Proof of the Prime Number Theorem, The America Mathematical Mothly, Vol. 4, No.8 Oct. 997), pp , URL: l ibrary/22/chauveet/zagier.pdf ). 5. Kurepa, S.-Kraljević, H.: Matematička aaliza, četvrti dio; Fukcije komplekse varijable, prvi svezak, Tehička kjiga, Zagreb, Elezović, N.- Petrizio, D.: Fukcije komplekse varijable, Zbirka zadataka, Elemet, Zagreb, Kurepa, Svetozar: Matematička aaliza, Difereciraje i itegriraje, Tehička kjiga, Zagreb, Kurepa, Svetozar: Matematička aaliza 2, Fukcije jede varijable, Tehička kjiga, Zagreb,
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότερα1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan
MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA
Διαβάστε περισσότεραPRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDruštvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότερα( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio
Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότερα1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun funkcija više varijabli
Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni teoremi diferencijalnog računa
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα