ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Εξίσωση ου θµού Εξίσωση µε πολυώνυµο P( x) ου θµού που περιέχει τον άνωστο x κι έχει την µορφή P( x) Μορφή : x + x+, όπου,, στθεροί πρµτικοί ριθµοί, µε Π.χ : x + 3x+ ( 1, 3, ) x + x+ (,, ) 1 1 x 3x+ 1, 3, 3x x ( 3,, ) x 1 1,, 1 9 9,, : Συντελεστές της εξίσωσης : συντελεστής δευτεροάθµιου όρου : συντελεστής πρωτοάθµιου όρου : στθερός όρος Η εξίσωση x + x, µε i Είνι εξίσωση δευτερου θµού µε τη διφορά ότι της λείπει ο στθερός όρος π.χ: x + 3x, 5x + 6x, 7 x, x 3 + 6 x 3 i Γι ν ρούµε τις λύσεις σε µι τέτοι εξίσωση χρησιµοποιούµε την εξής σική ιδιότητ : Α Β Α ή Β ν κι µ όνο ν Πράδειµ 1 Πράδειµ 3 3 Πράδειµ x ή x 3 x ( x ) ( x ) Πράδειµ x + x 3 + 6 3 5 ( x ) x ( x+ 3) 5 6 x x 3 ( x 3 + 6) 5 ( x ) ( x ) + x x 3 x 6 ( x ) ή ( x ) x ή x 3 x 3 ή x 6 x ή x ( ιπλή ρίζ) x ή x 3 / x 3 ή x 6 / Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165 1
ιπλή ρίζ δευτεροάθµις εξίσωσης Με φορµή το Πράδειµ ότν οι λύσεις της δευτεροάθµις εξίσωσης είνι ίδιες, τότε λέµε ότι η εξίσωση έχει µι διπλή ρίζ. Η εξίσωση x +, µε iείνι κι υτή εξίσωση δευτέρου θµού µε τη διφορά ότι της λείπει ο πρωτοάθµιος όρος του x. π.χ : 6x + 3, 8x +, 18 x i Τέτοιες εξισώσεις λύνοντι µε τρόπους : 1ος Προντοποιούµε το πρώτο µέλος χρησιµοποιώντς την σική µς ( ) ( ) τυτότητ : + π.χ : 9 16 3 3 3 x x x x+ 3x ή 3x+ x ή x 3 3 ς Τον τρόπο υτό µπορούµε ν τον χρησιµοποιούµε πάντ σε τέτοιου είδους εξισωσεις.ερζόµστε ως εξής : Χωρίζουµε νωστούς πό νώστους κι σν νωστο θεωρούµε το x.έπειτ διιρούµε µε τον συντελεστή του δεττεροάθµιου όρου x κι φθάνουµε στην λύση της µορφής : x ( i) H λύση x εξρτάτι µόνο πό τ πρόσηµ του κι του ικρίνουµε περιπτώσεις : Γενικά ότν, είνι οµόσηµοι. >, > ή <, < x x x τότε < το οποίο είνι δύντο, διότι το πάντ είνι. Άρ η εξίσωση είνι δύντη 1 x + x x 5 1 x x x 8 π.χ : 5 1 5 1 Αδύντη π.χ : 8 8 Aδύντη Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165
( ii) Γενικά ότν, είνι ετερόσηµοι >, < ή <, > τότε η εξίσωση έχει λύσεις τις εξής : x ή x π.χ : 6x 5 6x 5 x 9 x± 9 x 3 ή x 3 5 6 + + Λύση εξίσωσης x x Μέθοδος Συµπλήρωσης Τετρώνου 1 6 x x 1 µε 16 16 1 16 6 κι τ της 6 16 96 εξίσωσης Πολλπλσιάζουµε δύο µέλη x x Mετφέρουµε το 6x 16x 96 στθερό όρο στο µέλος λλάζοντς µέλος, λλάζει κι πρόσηµο 3 T µέλος το ράφουµε σε µορφή : Α + ΑΒ ή Α - ΑΒ Προσθέτουµ ε κι στ µέλη το Β ( x) x x 8 8x 1 96 ( x) ( x ) 5 Προντοποιούµε 8 1 196 το µέλος: ± + + Β 1 Άρ : 8 8x 1+ 1 96+ 1 6 Aν το µέλος είνι 8x 1 196 ή 8x 1 196 ριθµός ρνητικός τότε 8x 1 1 ή 8x 1 1 η εξίσωση είνι Α ΥΝΑΤΗ 8x 1+ 1 ή 8x 1 1 ενώ ν είνι θετικός η εξίσωση έχει λύσεις : x ή x 8 8 x x ή x - Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165 3
Επίλυση Εξισώσεων ου θµού µε την οήθει τύπου Έστω η εξίσωση : µε. : Συντελεστής ευτεροάθµιου Ό ρου x, y, z,... : Συντελεστής Π ρωτοάθµιου Ό ρου x, y, z,... : Στθερός Συντελεστής x + x+ ( x x) (,...) Ότν µπροστά πό την µετλητή δεν υπάρχει ριθµός ( x x) σ συντελεστή λµάνουµε το 1 ι π.χ:, το -1 ι π.χ:, Ότν σε µι εξίσωση τότε σν συντελεστή λµάνουµε το ( x + 5 ή x + x+ 5) Πράδειµ : λείπει ένς όρος ( άθµιος,1 άθµιος, στθερός ) 3 6 5 5 5 6 8 x + x+ x + x x + + x : 3 : 1 : : : + 6 : + 5 : :8 : + 5 : 5 : + 6 : + x x 5 3 7!!!!T - 7 του λλάζουµε µέλος, άρ κι δηλδή πρόσηµο + 7 ώστε ν έχουµε την µορφή x + x + : 3 : + 5 : + 7 Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165
ικρίνουσ Έστω η εξίσωση τον ριθµό : + + ορίζουµε σν ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ x x Ανάλο µε το πρόσηµο της ικρίνουσς συµπερίνουµε τ πρκάτω : Πρόσηµο ικρίνουσς ( - ) ( π χ ) Πλήθος Ριζών Λύσεις + δύο πρµτικές x1 > ( π. χ : 9) x1, λύσεις ( άνισες) x κµί λύση <. : ( εξίσωσηείνι δύντη) µί λύση( διπλή) x ετερόσηµων ρνη τικός πρόσηµο ( ) οµόσηµων θετικός Γινόµενο +,,εκτός του µηδενός ριθµός Γινόµενο +, + ή,,εκτός του µηδενός ριθµός πρόσηµο + ετερόσηµοι + + Αν οι συντελεστές, είνι τότε η εξίσωση x x έχει δύο άνισες λύσεις, δηλδή έχει ικρίνουσ: >. Λ > όω ότι : κι Αν κι, οµόσηµοι, τότε δεν έχουµε λύσεις, ιτί η εξίσωση x x Λόω ότι : κι + + είνι δύντη, πό το οποίο κτλίνουµε ότι <. < ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Την ικρίνουσ την χρησιµοποιούµε µόνο ότν Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165 5
Προντοποίηση Τριωνύµου x + x + µε Πρόσηµο Πλήθος Ριζών Μορφή Προντοποίησης ( x ) ( x ) > ρίζες άνισες : ρ, ρ ρ ρ 1 1 < κµί ρίζ 1 ρίζ διπλή : ρ ρ ρ χ ρ ( x ) ( x ) ( ) Πράδειµ x + x Ν λυθεί η εξίσωση : 1 16 1 ήµ : Φέρνουµε την εξίσωση στην µορφή : + + x + x + ( µέλος πρόσηµο) 1 16 λλάζουµε,λλάζουµε κι x + x 1 1 ήµ : Ορίζουµε όπου :, + 1, 1 x x 3 ήµ : Βρίσκουµε την ικρίνουσ : + 1 1 1 11 3 > Άρ θ έχει άνισες λύσεις. ήµ : x 1, + 1+ 3 1+ 16 1+ x1 ± ( ) 1 3 1 16 1 x ( ) 5 ήµ : Ν προντοποιηθέι η εξίσωση. Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165 6
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΥΠΟΙ VIETA 'Εστω η εξίσωση x + x +, µε κι έστω x, x οι ρίζες της. Αν S x + x κι P x x τότε : 1 1 1 + + S x1 + x + ( ) ( + ) + P x1 x ( ) ( + ) ( ) ( ) Άρ S κι P Τύποι Vieta Επίσης ισχύει ότι : x x 1 Λόω των τύπων του Vieta η εξίσωση x + x + ράφετι ισοδύνµ : x x + + x + x + x Sx + P Ισχύουν οι εξής σχέσεις : κι 3 3 x + x x + x xx x + x x + x xx x + x 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ 1651576-7 /165 7