1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g

Η συνάρτηση h με h έχει παράγωγο h Όμως, άρα Τελικά h

Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Απάντηση: ημ, g ημ ημ ημ συν h, ημ Θυμίζουμε ότι ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης F G F G G F G F G F G Η με ημ Αλλά οπότε έχει παράγωγο συν, συν 5 συν Για τη g με g ημ ημ ημ, έχουμε: g ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ Όμως ημ συν συν, ημ ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ Αντικαθιστώντας, παίρνουμε την g συν ημ συν Για την h ημ Όμως συν συν, έχουμε: συν συν συν συν συν h συν ημ ημ συν συνεπώς συν ημ συν h συν

4 Βρείτε τη μέγιστη την ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα που κάθε φορά υποδεικνύεται: α) 8 στο, 5 β) στο, γ) στο, Απάντηση: α) Παρατηρούμε ότι 8 4 6 5 Ακόμη, είναι δηλ Έχουμε: 8 4 6 8 4 96 0, 6 = ή 4 4 4 4 64 6 64 6 9 7 0 4 8 7 9 7 7 0 0 Επειδή είναι 5, η μέγιστη τιμή της είναι η ελάχιστη τιμή της είναι - 7 7 Βασιστήκαμε στο ότι εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο α,β παραγωγίσιμη στο α,β, τότε παίρνει τις ακρότατες τιμές της σε κάποιο εκ των σημείων α, β ή σε κάποια εκ των ριζών της εξίσωσης 0 α,β β) Είναι, 4 5 0 για, για κάθε R Η έχει μέγιστη τιμή το ελάχιστη τιμή το - για, Προσέξτε ότι εδώ είναι 0 γ) Έχουμε, 8 6 Έτσι, Είναι είναι -, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα 0, οπότε τελικά η μέγιστη τιμή της είναι η ελάχιστη τιμή

5 4 Αποδείξτε ότι α) η εξίσωση 4 α b έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο 0,, β) η εξίσωση c α b c 6 7 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες γ) η εξίσωση 9 8 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα Για το ερώτημα (β), κοιτάξτε την άσκηση 5 που είναι γενικότερη α)πρέπει να παρατηρήσουμε ότι 4 4 α b c α b c, οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση 4 h α b c α b c, η οποία είναι συνεχής, παραγωγίσιμη με h0 0 h ξ, με h ξ 0 ή Από το θεώρημα Rolle, έχουμε ότι υπάρχει 0, 4 4 α ξ bξ cξ α b c γ) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση 9, 8 για την οποία παρατηρούμε ότι 0 8 0 4 8 0 Από το θεώρημα Bolzano, προκύπτει ότι υπάρχει 0, ξ, με ξ 0 εξίσωση που μας ενδιαφέρει έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Επιπλέον, είναι 8 Το τριώνυμο 8 έχει διακρίνουσα 8 4 49 4 4 9, 0 Δηλ η άρα 8 0, για κάθε R Έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς η εξίσωση 0 έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα Τελικά η εξίσωση αυτή, έχει τουλάχιστον μία το πολύ μία ρίζα στο R, άρα έχει ακριβώς μία ρίζα στο R

6 5 Αποδείξτε ότι η εξίσωση n α b 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες εάν ο n είναι άρτιος το πολύ τρεις εάν ο n είναι περιττός Θεωρούμε τη συνάρτηση n α b, R διακρίνουμε περιπτώσεις: Ι) Έστω ότι ο n είναι άρτιος, δηλαδή n k, kn*, οπότε k k α Παρατηρούμε ότι η εξίσωση 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, την α k όταν α<0 την k όταν α>0 k k Θα δείξουμε ότι η ()=0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες Πράγματι, εάν η εξίσωση 0 είχε περισσότερες από δύο ρίζες, θα υπήρχαν ρ ρ ρ με ρ ρ ρ 0 Η ως πολυωνυμική, είναι συνεχής κι παραγωγίσιμη Εφαρμόζοντας το θεώρημα Rolle στα διαστήματα ρ, ρ ρ, ρ παίρνουμε πως υπάρχουν ξ, ξ με ρ ξ ρ ξ ρ ξ ξ 0 Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι είδαμε πως η εξίσωση 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα ΙΙ) Έστω ότι ο n είναι περιττός, δηλ n k, kn* Τότε k k α η εξίσωση 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες Συγκεκριμένα: Εάν είναι α = 0, τότε η εξίσωση 0 Εάν είναι α > 0, η εξίσωση 0 έχει μία μόνο ρίζα, την = 0 δεν έχει ρίζες στο R α Εάν είναι α < 0, τότε η εξίσωση 0 έχει δύο ρίζες, τις k k Εάν επομένως υποθέσουμε ότι η εξίσωση 0 έχει περισσότερες από τρεις ρίζες, θα υπάρχουν ρ ρ ρ ρ4 με ρ ρ ρ ρ 4 0 Λόγω του θεωρήματος Rolle υπάρχουν ξ,ξ, ξ με ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ4 ξ ξ ξ 0 που είναι άτοπο Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι εάν η συνάρτηση :RR είναι παραγωγίσιμη η εξίσωση 0 έχει το πολύ k ρίζες, τότε η εξίσωση 0 έχει το πολύ k + ρίζες Επίσης, εάν η εξίσωση 0 έχει n διακεκριμένες ρίζες, τότε η εξίσωση 0 έχει τουλάχιστον n διακεκριμένες ρίζες

7 6 Έστω α α αn η συνάρτηση με α α αn Αποδείξτε ότι η εξίσωση 0 έχει ακριβώς n ρίζες Η είναι πολυωνυμική, άρα συνεχής παραγωγίσιμη σε όλο το R επιπλέον α α α n 0 Εφαρμόζοντας το θεώρημα Rolle σε καθένα από τα διαστήματα α, α, α, α,, α n, αn εξασφαλίζουμε την ύπαρξη ξ,ξ,, ξ n με α ξ α ξ α αn ξn αn τέτοιων, ώστε ξ ξ ξ n 0 Άρα η εξίσωση 0 έχει τουλάχιστον n - ρίζες Επειδή η συνάρτηση είναι πολυωνυμική βαθμού n με μεγιστοβάθμιο όρο τον n, η είναι πολυωνυμική βαθμού n Επειδή κάθε πολυώνυμο βαθμού k έχει το πολύ k πραγματικές ρίζες, η εξίσωση 0 θα έχει το πολύ n ρίζες Αφού η εν λόγω εξίσωση έχει τουλάχιστον n το πολύ n ρίζες, έχει τελικά ακριβώς n ρίζες

8 7 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,α,, αn με α α αn Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης με Απάντηση: Επειδή έχουμε ότι α α αn α α α, i n α α α α α α n όπου α α α α b, n α αn αn b α Έτσι, n α α α α α 0 n n α α αn Έστω 0, οπότε n n 0 Έχουμε λοιπόν ότι 0 για 0 0 για 0 Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, Συμπεραίνουμε ότι η τιμή είναι η ελάχιστη τιμή της 0 i i 0 γνησίως φθίνουσα στο n n, 0

9 8 Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, b ισχύουν οι ισότητες α gα, b gb ένας 0 στο, b g στα σημεία,,g συμπίπτουν α ότι Ν αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον α για τον οποίο οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των, 0 0 αντίστοιχα να είναι παράλληλες ή να 0 0 Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο 0, 0 είναι 0 Ανάλογα για την g είναι g 0 Για να είναι λοιπόν οι εφαπτόμενες παράλληλες ή να συμπίπτουν θα πρέπει να g ισχύει η 0 = 0 Συνεπώς, με α gα b gb 0 α, b τέτοιος, ώστε = g Θεωρούμε τη συνάρτηση 0 Οι, g δίνονται παραγωγίσιμες στο Άρα η h είναι συνεχής στο Επιπλέον, h, έχουμε ν αποδείξουμε ότι υπάρχει 0 h : α,b R, με h g α, b, άρα το ίδιο ισχύει για την h α, b παραγωγίσιμη στο α, b με h g α α gα 0 hb b gb 0 Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει 0 α, b τέτοιος, ώστε h 0 0, δηλαδή = 0 0 g που είναι το ζητούμενο

0 9 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g :, g g 0, για κάθε a, b της εξίσωσης 0 βρίσκεται μια ρίζα της εξίσωσης 0 a b R, για τις οποίες ισχύει Αποδείξτε ότι ανάμεσα σε δύο ρίζες g αντίστροφα Η βασική παρατήρηση που κάνουμε πριν προχωρήσουμε στη λύση της άσκησης, g g g είναι ότι Έστω τώρα ρ, ρ δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης g 0 Τότε ρ gρ 0 g ρ g ρ ρ g ρ Επειδή 0, είναι ρ 0 όμοια ρ 0 Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ρ, ρ τέτοιος, ώστε ξ 0 Εάν αντιθέτως υποθέσουμε ότι 0 για κάθε ρ, ρ, τότε έχουμε ότι 0 για κάθε ρ, ρ Θεωρούμε έτσι τη συνάρτηση που με 0 παραγωγίσιμη Επιπλέον h : ρ, R, με ρ για κάθε ρ, ρ g h,, αυτή ορίζεται είναι συνεχής gρ gρ hρ 0 hρ 0 ρ ρ Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την h παίρνουμε ότι υπάρχει ξ ρ, ρ τέτοιος, ώστε h ξ 0 ξgξξgξ Τότε όμως έχουμε 0, που είναι άτοπο, αφού λόγω της ξ υπόθεσης έχουμε ξ gξ ξ gξ 0 Συμπεραίνουμε πως υπάρχει ξ ρ,, με ξ 0 ρ Θεωρώντας τη συνάρτηση g αποδεικνύουμε ότι εάν ρ ρ 0, τότε υπάρχει ξ ρ,, με ξ 0 q εργαζόμενοι εντελώς ανάλογα, ρ g

0 Έστω ότι η συνάρτηση : α, b R, είναι συνεχής στο, b στο α, b α b Αποδείξτε ότι υπάρχουν, α, b ώστε 0 α παραγωγίσιμη,, τέτοιοι α b Παίρνουμε το μέσο c του α, b παρατηρούμε ότι η ικανοποιεί το ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα α, c c, b Συμπεραίνουμε ότι ισχύουν οι c α, για κάποιον α, c c a b c, για κάποιον c, b b c b α Αλλά c α b c, οπότε προσθέτοντας τις προηγούμενες παίρνουμε c α b c 0 b a Είναι δε προφανές ότι c, οπότε

Έστω οι συναρτήσεις, g συνεχείς στο [0,α] παραγωγίσιμες στο (0,α) Επιπλέον, υποθέτουμε ότι 0 g0 0 ότι 0, g 0 στο (0,α) α) Εάν η είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α), αποδείξτε ότι η αύξουσα στο (0,α) β) Εάν η είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α), αποδείξτε ότι η g g αύξουσα στο (0,α) είναι γνησίως είναι γνησίως Θέτουμε h, (0,α) έχουμε: h Από το ΘΜΤ προκύπτει ότι ξ, για κάποιον ξ(0,) Άρα ξ ξ h Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α) 0 < ξ <, έπεται ότι, για (0,α) Άρα 0 0 h, για κάθε (0,α) που δείχνει ότι η h είναι γνησίως αύξουσα β) Θέτουμε T, (0,α) g Επειδή g0 0 g 0 στο (0,α), έχουμε ότι 0 Συνεπώς η T ορίζεται στο (0,α) επιπλέον g g T g g στο (0,α) Όπως στο ερώτημα (α), αρκεί ν αποδείξουμε ότι g g, για (0,α) ή ότι 0 g g, για (0,α) Θεωρούμε το σταθερό θέτουμε Q t g t g t, οπότε Q0 0 Q 0 Από το θεώρημα Rolle, έπεται ότι υπάρχει ξ 0, με Q ξ 0 Όμως Q t gt g t

κι επομένως ή Η αποδεικτέα λοιπόν γίνεται που ισχύει διότι ξ < η g gξ g ξ 0 g ξ ξ g g g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α),

4 ln Μελετήστε τη συνάρτηση στο, των π e Απάντηση: e π ; 0 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος εκ Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με ln ln ln ln 4 4 Εύκολα βλέπουμε ότι 0, για 0 e 0, για e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,e γνησίως φθίνουσα στο e,, παρουσιάζει δε μέγιστο στο e, με μέγιστη τιμή e e Ακόμη, ln 0 0 0 ln ln e όμοια 0 e Έπεται πως η είναι κυρτή στο e, 0,e παρουσιάζει καμπή στη θέση e Εξάλλου, διότι lim ln Επίσης 0 lim lim 0 lim 0, κοίλη στο lim 0 ln lim lim ln ln, lim 0 Προκύπτει λοιπόν ότι η έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την y = 0 κατακόρυφη ασύμπτωτη την = 0 Επειδή π > e, είναι π ή ή ή e δηλ ln π ln e π e e ln π π ln e e ln π ln e e π π e π

5 Έστω ότι η συνάρτηση : α, b R, είναι συνεχής στο, b στο α, b α b 0 λ έχει ρίζα στο α, b g λ α παραγωγίσιμη Αποδείξτε ότι για λr η συνάρτηση : α, b R, με Παρατηρώντας την έκφραση λ πολλαπλασιάσουμε επί λ e Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο λ e, λαμβάνοντας g λ, οδηγούμαστε στο να την λ λ λ λ λ e e e e λ h λ : α, br, με h λ e, α, b, παραγωγίσιμη στο α, b hα hb 0 Από το θεώρημα Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ξ α, b, με h λ ξ 0 λξ λξ e ξ λ e ξ 0 ή ή ξ λ ξ 0 g λ ξ 0, δηλ

6 4 Έστω α, br, με α < b : α, b lim Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ α,b, με ξ ξ b (Υπόδειξη: θεωρήστε την e ) R παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε Θέτουμε h e, α,b έχουμε: h e e e Εάν δεν υπάρχει ξ α,b, με ξ ξ, τότε έχουμε:, για κάθε α,b, άρα Θέτουμε h α b γ για γ b ξ γ,, με 0, για κάθε α,b λαμβάνοντας ότι υπάρχει h hγ γ hξ Με h ξ 0 Συμπεραίνουμε ότι, προκύπτει ότι Άρα, για γ b, έχουμε Με M e b e γ γ, εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την h στο γ, e γ h h e γ γ γ b γ e e γ e e γ, έχουμε αποδείξει ότι M, για κάθε γ b, που αντίκειται στην υπόθεση lim b Η αντίφαση αυτή μας οδηγεί στο ότι υπάρχει ξ α,b, με ξ ξ

7 5 α) Έστω :RR δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση Υποθέτουμε ότι 0 0 0 ότι 0, για κάθε R Αποδείξτε ότι 0, για κάθε R g ) (Υπόδειξη: Θεωρήστε τη συνάρτηση g με β) Έστω :RR δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση Υποθέτουμε ότι 0 0 0 ότι 0, για κάθε R Αποδείξτε ότι συν R,, για κάθε α) Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g, για την οποία είναι 0 0 Ακόμη, 0 g, άρα η g είναι σταθερή συνάρτηση Αφού g0 0, είναι g 0, για κάθε R, δηλ 0 Από την τελευταία προκύπτει ότι 0, για κάθε R, για κάθε R β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με h συν, R, για την οποία είναι h ημ, R h συν, R Έχουμε λοιπόν ότι h0 0, h 0 0 0 0 h h 0, για κάθε R Συμπεραίνουμε έτσι ότι η h ικανοποιεί τις υποθέσεις του ερωτήματος (α), οπότε h 0, για κάθε R ή συν, για κάθε R g

8 6 Να βρεθούν όλοι οι α >, για τους οποίους η ανισότητα > α α, ισχύει για κάθε Απάντηση: Για >, έχουμε: α α ln ln α α ln ln α α ln ln α α Συνεπώς για τη συνάρτηση ln θέλουμε να είναι α, για κάθε > δηλαδή, η μέγιστη τιμή της στο, να λαμβάνεται στο α Εξάλλου, είναι ln 0 ln e Επίσης 0 για e 0 για e Προκύπτει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της στο e Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι α = e e, γνησίως αύξουσα στο,e

9 7 Έστω : [0,]R συνεχής συνάρτηση με (0) = 0 Υποθέτουμε ότι η είναι 0 0, παραγωγίσιμη στο (0,) ότι Ν αποδειχθεί ότι () = 0, για κάθε 0, Για, 0,, για κάθε με βάσει του ΘΜΤ, έχουμε: ξ 0, διότι ξ 0 0 Συμπεραίνουμε ότι () (0) για 0 0, ξ 0, με Έστω Από το ΘΜΤ έπεται ότι υπάρχει 0 ξ Αλλά είναι ξ ξ, οπότε παίρνουμε ότι ξ Επειδή ξ <, έχουμε ξ, άρα Επειδή είναι > 0, είναι 0 0 Εάν είναι 0, τότε η [] δίνει ή Με λοιπόν, είναι () = 0 Αποδείξαμε επομένως ότι () = 0 για 0, έχουμε 0 Έστω τώρα ότι, Από το ΘΜΤ στο, ζ Άρα Εάν ήταν 0 κι επειδή η είναι συνεχής στο θα, έχουμε ότι ζ ζ ή, τότε θα είχαμε, για, Επομένως είναι 0 Λόγω της συνέχειας της, είναι () = 0, άρα 0, 0, για, άτοπο []

0 8 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :RR Υποθέτουμε ότι R ότι (0) = 0 Αποδείξτε ότι () > 0, για κάθε > 0 Επειδή e 0, για κάθε R, έχουμε διαδοχικά τις e e, e e 0, e 0 Έπεται ότι για τη συνάρτηση h με h e, είναι h 0 συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Άρα, για > 0 είναι h() > h(0) e Αλλά h(0) = (0) > 0, άρα > 0, για > 0 Η τελευταία δείχνει ότι () > 0, για > 0, για κάθε για > 0