Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται µε τη θέση της... «φούσκας» ( ) d d D h = = Q dh D = Q= k ( l h) ( D ) dh h l k + = ( RC) Εξίσωση κυκλώµατος Εφαρµόζουµε τον νόµο τάσεων του Kirchoff υi = R i+ υ0 dυ0 0 + υ0 = A 2 A i = C dυ υ i

Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων συνεχ. Όπως προηγουµένως, ένας σηµαντικός αριθµός φυσικών συστηµάτων περιγράφεται µε ανάλογες διαφορικές εξισώσεις που, στη γενική τους µορφή, γραφονται ως a n d n y( t) + a n n 1 d n 1 y( t) +!+ a n 1 2 d 2 y( t) + a 2 1 dy ( t ) + a 0 y( t) = f ( t) dυ0 ( RC) + υ0 = A υi όπου y(t) η απόκριση του δυναµικού συστήµατος υπό την επίδραση της επιδρώσας, στο σύστηµα, εισόδου f(t). Αναζητούµε κατάλληλη µεθοδολογία ανάλυσης και προσοµοίωσης της απόκρισης του δυναµικού συστήµατος. Ένα τέτοιο εργαλείο είναι ο Μετασχηµατισµός Laplace. 3

Ο Μετασχηµατισµός Laplace Control Systems Laboratory Γιά µια συνάρτηση f(t) µετασχηµατισµός της Laplace F(s) ορίζεται ως = L f ( t) F s! e st Είναι δυνατόν, µέσω του αντίστροφου τελεστή, να ευρεθεί η συνάρτηση του χρόνου που αντιστοιχεί µε συγκεκριµένη συνάρτηση Laplace f t 0 = L F s 1 f ( t) 4

Control Systems Laboratory Ο Μετασχηµατισµός Laplace συνεχ. Ο αναλυτικός (µέσω του ορισµού) προσδιορισµός του µετασχη- µατισµού Laplace είναι επίπονος. Όµως υπάρχουν πίνακες µετασχηµατισµών Laplace για µεγάλο αριθµό συναρτήσεων π.χ. st e n n! ω L ut ( T) = L t 1 [ sin t n ] 2 2 s = L ω = + s s + ω Πιο πολυσύνθετες συναρτήσεις ευρίσκονται µε χρήση ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace όπως π.χ. m m L ci fi( t) = ci L fi( t) ci = const. i= 1 i= 1 at L e f ( t) = F( s a) όπου F( s) = L f ( t) L d n f t n Παράδειγµα: = s n F ( s) s n 1 f ( 0) s n 2 f! ( ( 0) s f n 2 ) ( ( 0) f n 1 ) L 2 + e 2t t 3 + 5 cos 4t = 2 L u ( t ) + L e 2t t 3 + 5 1 d sin 4t L 4 = 2 6 5 s + s + 2 + s + 16 4 2 5 ( 0) =

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace Με βάση τα προηγούµενα, στο σύστηµα που περιγράφεται από την Δ.Ε., a n d n y( t) n + a n 1 d n 1 y( t) n 1 +!+ a 2 d 2 y( t) 2 + a 1 dy ( t ) µπορούµε να εφαρµόσουµε τον Laplace d n y( t) dy( t) L a n +!+ a n 1 + a 0 y( t) = L f ( t)! F s d n y( t) dy( t) L a n +!+ L a n 1 + L a 0 y( t) = F ( s ) + a 0 y( t) = f ( t) 6

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace συνεχ. Από προηγουµένως d n y( t) dy( t) L a n +!+ L a n 1 + L a 0 y( t) = F s a n L d n y( t) +!+ a n 1 L dy ( t ) + a 0 L y( t) = F s και επειδή, µε βάση τις ιδιότητες, υπενθυµίζουµε: L d n y( t) = s n Y ( s) s n 1 y( 0) s n 2!y 0 n αν θεωρήσουµε ότι Τότε L n d y t n s n = οπότε ο Laplace της Δ.Ε. γίνεται 7 0 0 0 0 0 0 ( y( 0) =!y ( 0) = = y n 2 ) Y s s y n 2 ( ( 0) = y n 1 ) +!+ a 1 s Y ( s) + a 0 Y ( s) = F ( s) = F ( s) a n s n Y s a n s n +!+ a 1 s + a 0 Y s y n 1 ( 0) = 0

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace συνεχ. Από προηγουµένως a n s n +!+ a 1 s + a 0 = F ( s) Y ( s ) F ( s) = G ( s ) = Y ( s) = G( s) F ( s) Y s 1 a n s n +!+ a 1 s + a 0 F( s) : η συνάρτηση Laplace της εισόδου, Y( s) : η συνάρτηση Laplace της εξόδου, και G( s) : η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήµατος. 8

Control Systems Laboratory dh Παραδείγµατα Ανάλυσης Συστηµάτων Μεταβολή Στάθµης Δοχείου Αν το δοχείο είναι αρχικά άδειο h(t=0)=0, οπότε L h! ( D ) + h= l k ( D ) s H( s) H( s) L( s) + = k H( s) = GH ( s) L( s) 1 D όπου GH( s) =, τ H = τ s+ 1 k Αν H H s 0 0 l l l = = s s+ s s + 0 0 0 1 ( τ 1) H = s H s h( 0 0) lt = l Ls= l s οπότε Και µε τον αντίστροφο Laplace t 1 1 1 1 l 0 τ H ht = L H( s) l = 0 L + = l0 1 e s L s 1 + τ H τ H Απόκριση Κυκλώµατος RC Αν ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος υ t = =, οπότε 0 ( 0) 0 dυ0 ( RC) + υ0 = A υi ( RC) s 0( s) 0( s) A i ( s) ( s) = G ( s) ( s) όπου Αν i t = a sin t i s = a s + οπότε συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο ή... Παρατηρείστε ότι όσο το k µεγαλώνει το τ Η µικραινει και το 1/ τ Η µεγαλώνει οπότε το h(t) τείνει πιο γρήγορα στη επιθυµητή στάθµη l 0 9 0 + = i A G ( s) =, τ = RC τ s + 1 2 2 υ ω ω ω

Προσοµοίωση Συστηµάτων Control Systems Laboratory...προσοµοιώνουµε το σύστηµα µε MATLAB-SIMULINK (π.χ. Για Α=10, τ v =4): 10 A 10 2.5 G 4 s = = = = τ 1 4 1 1 s+ s+ s + s+ 0.25 4 και παίρνουµε Έξοδος Είσοδος Δηλαδή τόσο σε αυτό όσο και στο προηγούµενο παράδειγµα η έξοδος παρουσιάζει διαφορά στη φάση και στο εύρος σε σχέση µε την είσοδο 10

Control Systems Laboratory Απόκριση Συχνότητας xt = x ( ωt+ φ ) Γενικά, µία ηµιτονοειδής συνάρτηση o παρίσταται από ένα διάνυσµα X στο µιγαδικό πεδίο, το φάσορά o της, του οποίου ενδεικτικές o παράµετροι είναι το µέτρο X = x 0 και η φάση του X = φ Για ένα σύστηµα µε σχέση εισόδου-εξόδου Y s = G s F s o F( ω) ω 0 sin όταν η είσοδος είναι ηµιτονοειδής, το ίδιο είναι (στη µόνιµη κατάσταση) και η έξοδος και η σχέση µεταξύ των φασόρων o o εισόδου εξόδου είναι Y X o = G( s = jω) = G( ω) F X Κατά συνέπεια για τον µιγαδικό : G ω G ω G ω το µέτρο δίνει την αυξοµείωση (κέρδος), και η γωνία δίνει την διαφορά φάσης o µεταξύ των φασόρων εισόδου και εξόδου Y ω που αντιστοιχούν στην συχνότητα. X 11

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Δηλαδή, για το παράδειγµα ηλεκτρικού κυκλώµατος RC A A G( s) = G( ω) = τ s+ 1 1+ j ( ωτ) έχουµε A A A A G ( ω) = = = = 1+ j ( ωτ ) 1+ j ( ωτ ) 2 1 + ( ωτ ) 2 1+ ωτ 2 2 ( ω) ( ωτ ) ( ωτ ) ( ωτ ) 1 G = A 1+ j = 0 atan2 1, = tan Μπορούµε να παραστήσουµε σε γραφικές παραστάσεις τις G( ω), G( ω) ως προς τη συχνότητα ω για να δούµε το πως «περνάνε» µέσα από το σύστηµα G τα s σήµατα εισόδου (διαφόρων συχνοτήτων) προς την έξοδο. 12

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Παρατηρούµε ότι το κέρδος µικραίνει για τις υψηλές συχνότητες, δηλαδή το σύστηµα τις αποκόπτει. Η φάση παίρνει γρήγορα τη τιµή -90 ο Βλέπουµε ότι οι καµπύλες γρήγορα φτάνουν σε οριακή τιµή και είναι δυσδιάκριτες εκεί. G A ( ω) = 2 2 1+ ωτ 1 tan G ω = ωτ 13

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Κατά συνέπεια, για καλύτερη «οπτικοποίηση», κάνουµε δύο τροποποιήσεις : Το µέγεθος (κέρδος) να παρίσταται µε. 20 log G ω, και 10 ω Η συχνότητα να παρίσταται λογαριθµικά, δηλαδή ο οριζόντιος άξονας είναι log 10 ω 10 ( ) 20 log G ω 1 tan G ω = ωτ log10 Αυτο είναι το «Διάγραµµα Bode» ( ω) 14

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory 3dB 10 ( ) 20 log G ω G ω = tan ωτ 1 BW log10 ω 15

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory G G ( ωc) Το εύρος ζώνης (BandWih-BW) ορίζεται ως η συχνότητα ω c για την οποία ισχύει 70.7% G( ωc) 20 log10 20 log10 G ( ω ) ( ω ) 2 2 = = 0 2 0 2 20 log G 20 log G 0 = 3.0103 db log G = 20 log G 0 3.0103 db 10 C 10 10 C 10 Για το παράδειγµα του ηλεκτρικού κυκλώµατος RC µπορούµε άµεσα να βρούµε A G ( ω) G( ω) 2 2 G 2 2 ( 0) 2 1 2 1 = = = ωc = 1+ ωτ 1+ ωτ τ 16 C