ΜΕΡΟΣ 1 Με κόκκινο σας δίνω τις σωστές απαντήσεις και τη συλλογιστική πίσω από την επιλογή της συγκεκριμένης απάντησης. Με μπλε χρώμα εξηγώ γιατί η συγκεκριμένη απάντηση είναι λάθος. 1. Από το θεώρημα του Arrow προκύπτει ότι: (βʹ) Τα (γ ) και (δ ). (γʹ) Ολες οι συναρτήσεις κοινωνικής επιλογής είναι μη δικτατορικές. Αυτό δεν είναι κάτι που έπεται από το θεώρημα μη δυνατότητας. Είναι μία από τις 4 ιδιότητες που θεωρούμε ότι πρέπει να έχει μια συνάρτηση Κ. ευημερίας και οι οποίες κατά το θεώρημα του Arrow δε μπορεί να ικανοποιούνται όλες μαζί. (δʹ) Ολα τα άτομα μιας κοινωνίας επιλέγουν με τρελλό τρόπο.άσχετη απάντηση. (εʹ) Μια κοινωνία πολλών ατόμων που θέλει να έχει ελευθερία στις προτιμήσεις της, να επιλέγει αυτό που προτιμούν ομόφωνα όλοι και να μη μπλέκει άσχετες επιλογές στην επιλογή της θα πρέπει να είναι δικτατορική.. Αυτό ακριβώς μας λέει το Θεώρημα της (μη) δυνατότητας. Αν ισχύει το univeral domain, αν δηλαδή δεχόμαστε οποιεσδήποτε ατομικές προτιμήσεις, αν η συνάρτηση κοινωνικής επιλογής είναι Paretian, δηλαδή επιλέγει αυτό που προτιμούν ομόφωνα οι καταναλωτές και αν ισχύει και το Independence of irrelevant alternatives, τότε θα πρέπει κατ ανάγκην να είναι δικτατορική (αφού τα τρία προηγούμενα και το non-dictatorship δε μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) (ϛʹ) Μια κοινωνία που δεν είναι δικτατορική θα πρέπει να ικανοποιεί το Universal domain Δεν προκύπτει από πουθενά κάτι τέτοιο. 2. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει; (βʹ) Για έναν ωφελιμιστή είναι σκόπιμο να μειώσουμε την ευτυχία ενός δυστυχισμένου κατά 1 μονάδα εάν αυτό μας επιτρέπει να αυξήσουμε την ευτυχία ενός ευτυχισμένου ατόμου κατά 2 μονάδες. (γʹ) Ενας ωφελιμιστής έχει συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας W (U 1,... U n ) = max{u 1,... U n }. Ο οφελιμιστής έχει συνάρτηση κ. ε. W = U i (δʹ) Κατά το Rawls, είναι προτιμότερο να θυσιάσουμε λίγη ευημερία όλοι αν αυτό αυξήσει την ανισοκατανομή.άλλα αντί άλλων (εʹ) Για έναν ωφελιμιστή, πρώτη ιεράρχηση δίνεται στην κοινωνική δικαιοσύνη.επίσης λάθος προφανώς. 3. Ποια από τα παρακάτω θα χαρακτηρίζατε δημόσια αγαθά/δημόσια κακά; (βʹ) Ολα τα παρακάτω. (γʹ) Ενα δημόσιο σχολείο. Ενα δημόσιο σχολείο μπορεί να παρουσιάσει συμπτώματα συνωστισμού. Τότε η φοίτηση ενός μαθητή προφανώς επηρεάζει (αποκλείει) την (ομαλή) φοίτηση των άλλων και άρα δεν είναι δημόσιο αγαθό με βάση τον ορισμό που δώσαμε. (δʹ) Τις φυλακές.όπως παραπάνω (εʹ) Μία δημόσια τουαλέτα.πολύ περισσότερο (ϛʹ) Τη ραδιενέργεια για τους κατοίκους της Φουκουσίμα: με τη ραδιενέργεια δεν υπάρχει αποκλεισμός. Η απορρόφηση ραδιενέργειας από ένα άτομο δεν εμποδίζει απορρόφηση και από τους υπόλοιπους και επομένως η ραδιενέργεια είναι δημόσιο κακό
4. Σε μια τέλεια ανταγωνιστική αγορά: (βʹ) Ολα τα παρακάτω. (γʹ) Μια μετακίνηση μακρυά από την ανταγωνιστική ισορροπία θα καλυτερέψει αναγκαστικά τη θέση όλων. Αδύνατον αφού η βαλρασιανή ισορροπία είναι Pareto άριστη (δʹ) Μια μετακίνηση μακρυά από την ανταγωνιστική ισορροπία μπορεί να βελτιώσει τη θέση κάποιων αλλά βλάπτοντας αναγκαστικά κάποιους άλλους. Προκύπτει από το ότι κάθε Βαλρασιανή ισορροπία είναι αποτελεσματική: αυτό σημαίνει ότι για να βελτιώσουμε τη θέση του ενός θα πρέπει αναγκαστικά να βλαφθεί κάποιος άλλος. (εʹ) Μια ίση κατανομή μπορεί να επιτευχθεί από τις αγορές χωρίς την παρέμβαση της κυβέρνησης. Τί σημαίνει ίση κατανομή; Μια ίση κατανομή μπορεί κάλλιστα να μην ανήκει στο συνολο Pareto. Προφανώς αυτή η πρόταση είναι λάθος. (ϛʹ) Μια μετακίνηση μακρυά από την ανταγωνιστική ισορροπία θα χειροτερέψει αναγκαστικά τη θέση ό- λων.ξεκινήστε από μια ανταγωνιστική ισορροπία και κινηθείτε ας πούμε μέσα στο upper contour set του Α. Στη νέα κατανομή, η θέση του Α βελτιώθηκε, άρα δεν είναι αναγκαστικό ότι όλοι θα χειροτερέψουν. 5. Οταν κάνει κανείς ηλιοθεραπεία, μπορεί να μαυρίζει χωρίς να μειώσει την έκθεση των άλλων λουομένων. Αν θεωρήσουμε ότι το μαύρισμα είναι καλό (δεν βλάπτει την υγεία αλλά μόνο αυξάνει την ευχαρίστηση αυτού που κάνει ηλιοθεραπεία), τότε οι ηλιαχτίδες είναι ένα παράδειγμα: (αʹ) Κατώτερου αγαθού. άσχετο. Δεν είπαμε τίποτα για μαρσαλιανή ζήτηση όταν αυξάνεται το εισόδημα του καταναλωτή (βʹ) Κανονικού αγαθού. το ίδιο με το πάνω (γʹ) Ιδιωτικού αγαθού.αφού δεν υπάρχει αποκλεισμός ούτε εξαντλείται η «κατανάλωση» ακτίνων, δε μπορεί να είναι ιδιωτικό αγαθό. (δʹ) Αγαθού με εξωτερικότητες.εφόσον η χρησιμότητα ενός λουομένου δεν εξαρτάται από το πόση ηλιοθεραπεία κάνει κάποιος άλλος, δεν έχουμε εξωτερικότητα. (εʹ) Δημοσίου αγαθού. 6. Η επιχείρηση 1 ενοικιάζει jet ski στη θάλασσα. Αν x είναι η ποσότητα jet ski που ενοικιάζει, τα κέρδη της δίδονται από τη συνάρτηση κερδών: π 1 = 8 1 2 x2 + αx. Η επιχείρηση δύο ενοικιάζει δωμάτια (y) εκεί κοντά. Τα κέρδη της, όταν ενοικιάζει y δωμάτια, δίδονται από τη συνάρτηση κερδών π 2 = 20+y λy 2 +βx. Η επίπτωση της δραστηριότητας της επιχείρησης 1 πάνω στα κέρδη της επιχείρησης 2 μπορεί εν γένει να είναι είτε θετική (οι ενοικιαστές θέλουν θαλάσσια σπορ και κλείνουν περισσότερα δωμάτια) είτε αρνητική (δεν τους αρέσει ο θόρυβος). Αν λ > 0 και β > 0, Προσέξτε ότι το κέρδος της εταιρίας 1 εξαρτάται μόνο από τη δράση της εταιρίας 1, ενώ το κέρδος της εταιρίας 2 εξαρτάται και από τη δράση της 2 (y), αλλά και από τη δράση της εταιρίας 1 (x). Επομένως έχουμε εξωτερικότητα της 1 πάνω στη 2. Το είδος της εξωτερικότητας εξαρτάται από το αν η δράση της 1 (x) αυξάνει (θετική εξωτ.) ή μειώνει (αρνητική εξ.) τα κέρδη της 2. (αʹ) Δε θα υπάρχει εξωτερικότητα. αφού τα κέρδη της 2 εξαρτώνται από τη δράση της 1, υπάρχει εξωτερικότητα. (βʹ) Θα έχουμε θετική εξωτερικότητα της επιχείρησης 2 στην επιχείρηση 1. Η εξωτερικότητα είναι από την 1 στη δύο και όχι το αντίστροφο. (γʹ) Θα έχουμε αρνητική εξωτερικότητα της επιχείρησης 1 στην επιχείρηση 2. αφού β > 0, η δράση της 1 αυξάνει τα κέρδη της δύο και άρα θα έχουμε θετική εξωτερικότητα. (δʹ) Ισχύουν τα (β ) και (γ ).Προφανώς λάθος αφού τα παραπάνω είναι λάθος. (εʹ) Ολα τα παραπάνω. Προφανώς λάθος 7. Για το παραπάνω παράδειγμα, θεωρήστε ότι α = 1, λ = 1, β = 1. Τότε αν αφήσουμε τις επιχειρήσεις ελεύθερες να δράσουν όπως υπαγορεύει η αγορά θα, αφού β = 1 < 0 θα έχουμε αρνητική εξωτερικότητα της 1 στη 2. 2
(αʹ) Η επιχείρηση 2 θα προχωρήσει σε λιγότερες ενοικιάσεις δωματίων απ ό,τι είναι κοινωνικά άριστο. Δεν έχουμε εξωτερικότητα της 2 στην 1 και άρα κάτι τέτοιο δεν ισχύει. (βʹ) Η επιχείρηση 1 θα προχωρήσει σε πιο πολλές ενοικιάσεις jet ski απ ό,τι είναι κοινωνικά άριστο: Εχουμε αρνητική εξωτερικότητα της 1 στη δύο και άρα η 1 δε λαμβάνει υπόψιν το κόστος του x στα κέρδη της 2 με αποτέλεσμα να ενοικιάζει πιο πολλά jet ski απ ό,τι είναι κοινωνικά άριστο. (γʹ) Η επιχείρηση 1 θα προχωρήσει σε λιγότερες ενοικιάσεις jet ski απ ό,τι είναι κοινωνικά άριστο.όχι γιατί έχουμε αρνητική εξωτερικότητα. (δʹ) Η επιχείρηση 2 θα προχωρήσει σε πιο πολλές ενοικιάσεις δωματίων απ ό,τι είναι κοινωνικά άριστο.δεν έχουμε εξωτ. της 2 στην 1. (εʹ) Τα (α ) και (γ ) 8. Υπό καθεστώς ελεύθερου ανταγωνισμού πόσα jet ski θα ενοικιάζει η επιχείρηση; π Η 1 λύνει: 1 x = 0 x = α = 1. (α ) 0 (β )1 (γ ) 2 (δ ) 3 (ε ) κανένα από τα προηγούμενα. 9. Η κοινωνικά άριστη ποσότητα ενοικιάσεως jet ski είναι: Για την κοινωνικά άριστη ποσότητα μεγιστοποιούμε τα συνολικά κέρδη της κοινωνίας με F.O.C.: (π1+π2) x = 0 x = α + β = 0 (α ) 0 (β )1 (γ ) 2 (δ ) 3 (ε ) κανένα από τα προηγούμενα. 10. Για να διορθωθεί η εξωτερικότητα θα πρέπει το κράτος να επιβάλει: με φόρο t ανά μονάδα x που χρησιμοποιεί η 1, τα κέρδη της είναι: π 1 = 8 1 2 x2 +αx tx. Μεγιστοποιώντας π ως προς x, έχουμε: 1 x = 0 x = α + t. Για να είναι το x κοινωνικά άριστο θα πρέπει x = 0 α + t = 0 t = α = 1. (αʹ) Πιγκουβιανό φόρο στα jet ski ίσο με t = 2 (βʹ) Πιγκουβιανή επιδότηση στα jet ski, ίση με s = 2. (γʹ) Απαγόρευση της ενοικιάσεως jet ski. (δʹ) Πιγκουβιανό φόρο στα jet ski ίσο με t = 1. (εʹ) Πιγκουβιανή επιδότηση στα jet ski, ίση με s = 1. 11. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει; (αʹ) Η κυριαρχία και η ύπαρξη ισορροπίας Nash δε συνδέονται.λάθος: όταν ένα παίγνιο λύνεται με κυριαρχία, τότε η λύση του είναι και ισορροπία Nash (βʹ) Οταν ένα παίγνιο έχει κυριαρχούμενες στρατηγικές, έχει και κυρίαρχες.λάθος. Σε ένα παίγνιο με ας πούμε 4 στρατηγικές για τον παίκτη 1, μπορεί η 2η στρατηγική να κυριαρχείται από την 3η. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κυριαρχούμενη στρατηγική (η 2η), αλλά δε σημαίνει ότι η 3η είναι κυρίαρχη. Τίποτα δε μας εξασφαλίζει ότι η 3η είναι καλύτερη και από την 1η και από την 4η, ανεξαρτήτως του τί παίζουν οι υπόλοιποι παίκτες. (γʹ) Οταν ένα παίγνιο έχει ισορροπία Nash, λύνεται με διαδοχική απαλοιφή κυριαρχούμενων στρατηγικών.τελείως λάθος, έχουμε δει άπειρα παραδείγματα που δεν ισχύει. Σκεφτείτε ένα παίγνιο συντονισμού π.χ. για να δείτε ότι παρόλο που έχει ισορρροπίες Nash, σε αμιγείς στρατηγικές, δεν έχει κυριαρχούμενες στρατηγικές. (δʹ) Οταν ένα παίγνιο έχει ισορροπία Nash σε μεικτές στρατηγικές, θα έχει και σε αμιγείς.λάθος, π.χ. το παιχνίδι των πέναλτυ ανάμεσα σε επιθετικό και τερματοφύλακα. (εʹ) Κάθε τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου είναι ισορροπία Nash. Αφού είναι ισορροπία Nash σε κάθε υποπαίγνιο, θα είναι ισορροπία Nash του όλου παιγνίου! 3
12. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει; (αʹ) Κάθε στατικό παίγνιο είναι παίγνιο ελλιπούς πληροφόρησης.. Λάθος. Το Cournot με πλήρη πληροφόρηση είναι στατικό και έχει πλήρη πληροφόρηση. (βʹ) Κάθε δυναμικό παίγνιο είναι παίγνιο ατελούς πληροφόρησης. Λάθος. Το Stackelberg είναι δυναμικό παίγνιο με τέλεια πληροφόρηση. (γʹ) Τα δυναμικά παίγνια δε μπορεί να λυθούν με χρήση της ισορροπίας Nash. Εχουμε δει πολλές ισορροπίες Nash σε δυναμικά παίγνια, ακόμα και στην παρούσα εξέταση. (δʹ) Κάθε στατικό παίγνιο είναι παίγνιο ατελούς πληροφόρησης. Θυμηθείτε πώς αναπαριστούμε ένα παίγνιο, πχ το matching pennies σε εκτατική μορφή: ο 2ος δεν γνωρίζει πού κινήθηκε ο 1ος παίκτης. (εʹ) Κανένα από τα παραπάνω. 13. Εστω το παίγνιο: Α Δ Π 0,0 1,2 Κ 4,3 2,3 (αʹ) Ολα τα παρακάτω. (βʹ) Η μοναδική ισορροπία Nash είναι ΑΠ. (γʹ) Η μοναδική ισορροπία Nash είναι ΑΚ. (δʹ) Το ΚΑ και το ΚΔ είναι ισορροπίες Nash. (εʹ) Το ΚΑ και το ΠΔ είναι ισορροπίες Nash. (ϛʹ) Η μοναδική ισορροπία Nash είναι ΚΔ. 14. Για το παρακάτω παίγνιο βρείτε τις ισορροπίες Nash σε αμιγείς στρατηγικές: Α Μ Δ Π 2,0 5,3 9,10 Κ 4,4 7,2 6,0 Προφανώς δύο ισορροπίες σε αμιγείς στρατηγικές, η (ΚΑ) και η (ΠΔ) 15. Στο πιο πάνω παίγνιο που απεικονίστηκε σε στρατηγική μορφή με τρεις στρατηγικές για τον στήλη (Α,Μ,Δ) και δύο για τον γραμμή (Π,Κ), έχει κάποιος από τους παίκτες κυριαρχούμενη στρατηγική Αν ναι δείξτε ποια είναι κυριαρχούμενη και από ποια κυριαρχείται. Δεν υπάρχει κυριαρχούμενη στρατηγική αν εξετάζουμε μόνο αμιγείς στρατηγικές. Αλλά η στρατηγική του στήλη Μ, κυριαρχείται από κατάλληλη μίξη των στρατηγικών Α και Δ. Για να το δείτε αυτό, προσέξτε ότι αν ο στήλη παίξει Α με πιθανότητα q και Δ με πιθανότητα 1 q, τότε η προσδοκώμενη απόδοσή του από τη μεικτή αυτή στρατηγική όταν ο γραμμή παίζει Π θα είναι: q0+(1 q)10 = 10 10q, ενώ η προσδοκώμενη απόδοσή του όταν γραμμή παίζει Κ θα είναι 4q+(1 q)0 = 4q. Για να κυριαρχείται η στρατηγική Μ από αυτήν τη στρατηγική θα πρέπει: (αʹ) 3 < 10 10q q < 7 10 ΚΑΙ (βʹ) 2 < 4q q > 1 2 Άρα για q ( 1 2, 7 10 ) η Μ κυριαρχείται από τη μεικτή στρατηγική που παίζει Α με πιθανότητα q και Δ με πιθανότητα 1 q. 16. Στο σχήμα 1, ποια είναι η μοναδική Nash ισορροπία υποπαιγνίου (Subgame Perfect N. E.); (αʹ) Κανένα από τα παρακάτω, το παίγνιο έχει άλλο SPNE (βʹ) Κανένα από τα παρακάτω, το παίγνιο δεν έχει SPNE. (γʹ) Δ και {δ αν Α και α αν Δ}Το α δεν είναι άριστο για τον Π2 όταν ο Π1 παίζει Δ γιατί του δίνει 4 ενώ το δ του δίνει 5 (δʹ) Α και {α αν Α και α αν Δ}Το α δεν είναι άριστο για τον Π2 όταν ο Π1 παίζει Α γιατί του δίνει 0 ενώ το δ του δίνει 1 (εʹ) Α και {δ αν Α και δ αν Δ} 4
Π 1 Α Δ α δ α δ Π 2 2 4 1 3 ( 0 ) ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) Σχήμα 1: (ϛʹ) Δ και {δ αν Α και δ αν Δ}το Δ δεν είναι άριστο για τον Π1 όταν ο Π2 παίζει αυτήν τη στρατηγική διότι με Δ, ο Π1, δεδομένης της στρατηγικής του Π2 λαμβάνει 3, ενώ παίζοντας Α λαμβάνει 4. 17. Στο σχήμα 1, υπάρχει ισορροπία Nash που να ΜΗΝ είναι Subgame Perfect; Ποια; Περιγράψτε σύντομα. ΝΑΙ ΟΧΙ Ο καλύτερος τρόπος να βρούμε τις ισορροπίες Nash του παιγνίου είναι, όπως το κάναμε στην τάξη, φτιάχνοντας το παίγνιο στρατηγικής μορφής που αντιστοιχεί στο δυναμικό παίγνιο του τμήματος. Αναπαριστούμε τον παίκτη που κινείται πρώτος (Π1) ως γραμμή και τον Π2 ως στήλη. Ο παίκτης 1 έχει δύο στρατηγικές (Α και Δ), ενώ ο παίκτης 2 έχει 4 στρατηγικές: Ας πούμε η στρατηγική του Π2: { Παίξε α αν ο Π1 παίξει Α και α αν ο Π1 παίξει Δ }, μπορεί να συμβολιστεί ως αα. Στο παίγνιο κανονικής ή στρατηγικής μορφής που προκύπτει μπορούμε να βρούμε εύκολα τις ισορροπίες Nash. αα αδ δα δδ Α 2,0 2,0 4,1 4,1 Δ 1,4 3,5 1,4 3,5 Εύκολα βλέπουμε ότι το παίγνιο έχει τρεις ισορροπίες Nash, τις εξής: [Α, δα], [Α,δδ] και [Δ,αδ]. Από αυτές, η [Α,δδ] είναι η μοναδική S.P.N.E. του παιγνίου που βρήκαμε πριν. Οι άλλες δύο είναι ισορροπίες Nash που όμως δεν είναι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίου. 18. Εστω δύο δυοπωλητές Cournot με συνάρτηση παραγωγής με σταθερές αποδόσεις κλίμακας και οριακά κόστη c 1 = 2, c 2 = 3. Αν η συνάρτηση ζήτησης στην αγορά είναι: Q = 18 3P, τότε οι ποσότητες ισορροπίας των δύο ολιγοπωλητών θα είναι αντίστοιχα: Δείτε τις σημειώσεις για Cournot με ασύμμετρα κόστη (α ) 3 και 3 (β ) 1 και 4 (γ ) 5 και 2 (δ ) 1 2 και 1 3 (ε ) κανένα από τα παραπάνω. Αντικαταστήστε τη συνολική ποσότητα Q = q 1 + q 2 = 5 + 2 = 7 στη συνάρτηση ζήτησης για να βρείτε την τιμή. 19. Η τιμή ισορροπίας στην δυοπωλιακή αγορά θα είναι: (α ) 4 3 (β ) 11 3 (γ ) 18 3 (δ ) 3 (ε ) κανένα από τα παραπάνω. 20. Εστω δύο καταναλωτές, ο A και ο B που καταναλώνουν δύο αγαθά, x, y με συναρτήσεις χρησιμότητας U A = x 1/3 A y2/3 A και U B = x 1/2 B y1/2 B αντίστοιχα. Αν η συνολική ποσότητα του αγαθού x στην οικονομία είναι 3 μονάδες και η συνολική ποσότητα του αγαθού y είναι 3 μονάδες, τότε το σύνολο Pareto της οικονομίας δίνεται από την εξίσωση: Στο σύνολο Pareto, οι κλίσεις των καμπυλών αδιαφορίας των δύο καταναλωτών θα είναι ίσες (αφού οι καμπύλες αδιαφορίας τους θα εφάπτονται. Θυμηθείτε ότι για μια συνάρτηση Cobb-Douglas, για να υπολογίσουμε την κλίση της καμπύλης αδιαφορίας, θέτουμε το ολικό διαφορικό της συνάτησης χρησιμότητας ίσο με 0 και λύνουμε ως προς dy dx (U(x, y) = xa y 1 a ): du = 0 ax a 1 y 1 a dx + (1 a)x a y a dy = 0 (1 a)x a y a dy = ax a 1 y 1 a dx dy dx = a y 1 a x 5 (1)
dy Άρα η κλίση των καμπ. αδιαφορίας του Α είναι dx = 1/3 y A 2/3 x A A = 1 y A 2 x A, ενώ η κλίση των καμπυλών dy αδιαφορίας του Β είναι: = 1/2 y B = y B xb. Εξισώνοντας τα δύο λαμβάνουμε: B y A dx (α ) y A = 3x A 4 x A (β ) y A = 6x A (στ ) κανένα από τα παραπάνω 1/2 x B y A 1 = y B 1 = 3 y A 3y A y A x A = 2(3x A y A x A ) 2 x A x B 2 x A 3 x A 3y A y A x A + 2y A x A = 6x A y A = 6x A 3 + x A x A +2 (γ ) y A = 6x A x A +3 (δ ) y A = 2x A x A +3 (ε ) y A = x A 6 A x 21. Η κατανομή (x A, y A )=(1, 2) μπορεί να επιτευχθεί ως Βαλρασιανή ισορροπία με μεταβιβάσεις; ΟΧΙ. Αν θέσουμε στη σχέση (γ ) πιο πάνω, όπου x A = 1, θα λάβουμε y a = 6 4 και άρα η κατανομή (1, 2) δεν ανήκει στο σύνολο Pareto (αφού δεν ικανοποιεί την εξίσωσή του, επομένως δε μπορεί να επιτευχθεί ως Βαλρασιανή ισορροπία με μεταβιβάσεις. Σε κάποιες ομάδες ικανοποιείτο η σχέση και επομένως η απάντηση θα έπρεπε να είναι θετική. 22. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει για μια οικονομία 2 ατόμων και 2 αγαθών; (βʹ) Ολα τα παρακάτω. (γʹ) Αν η αγορά του αγαθού 2 ισορροπεί, θα ισορροπεί και η αγορά του αγαθού 1: Από το νόμο του Walras. (δʹ) Αν ο καταναλωτής 1 έχει υπερβάλλουσα ζήτηση για αγαθό 1 θα έχει υπερβάλλουσα ζήτηση και για αγαθό 2. αν συμβαίνει κάτι τέτοιο θα παραβιάζεται ο νόμος του Walras αφού η συνολική αξία της ζήτησης του καταναλωτή 1 θα είναι μεγαλύτερη από την αξία της αρχικής του κατανομής. (εʹ) Στην ισορροπία, αν υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση για το ένα αγαθό θα υπάρχει πλεονάζουσα προσφορά για το άλλο. Στην ισορροπία εξ ορισμού (της Βαλρασιανής ισορροπίας) δεν υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση/πλεονάζουσα προσφορά! (ϛʹ) Ο καταναλωτής 1 θα καταναλώνει όλη την ποσότητα αγαθού 1 στην οικονομία και θα μοιράζεται το αγαθό 2 με τον καταναλωτή 2. Άλλα αντί άλλων. 23. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει; (βʹ) Πρέπει να μοιράσουμε 10 μπύρες και 8 σάντουιτς σε δύο άτομα. Για να πετύχουμε αποτελεσματική κατά Pareto κατανομή θα πρέπει ο καθένας να λάβει 5 μπύρες και 4 σάντουιτς. Τίποτε δε μας εξασφαλίζει ότι μια ίσα μοιρασμένη ποσότητα είναι αποτελεσματική. Για να το δείτε σκεφτείτε τη μέση ενός κουτιού Edgeworth. Οι δύο καταναλωτές καταναλώνουν ίσες ποσότητες και από τα δύο αγαθά, αλλά ανάλογα με τις προτιμήσεις τους οι καμπύλες αδιαφορίας τους που διέρχονται από τη μέση του κουτιού μπορεί να τέμνονται και όχι να εφάπτονται. Αλλιώς σκεφτείτε το ως εξής: η καμπύλη του συνόλου Pareto μόνο σε ειδικές περιπτώσεις διέρχεται από το μέσο του κουτιού. Άρα η ίση κατανομή, δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto εν γένει. (γʹ) Αν ο ένας καταναλώσει όλες τις μπύρες και όλα τα σάντουιτς και ο άλλος τίποτα, η κατανομή θα είναι άριστη κατά Pareto. Προφανώς, αν και τελείως άδικη αυτή η κατανομή είναι αποτελεσματική: δε γίνεται να βελτιώσουμε τη θέση του καταναλωτή που τα καταναλώνει όλα. Οσο για τον άλλον, για να βελτιώσουμε τη θέση αυτού που δεν καταναλώνει τίποτα θα πρέπει να αυξήσουμε την κατανάλωσή του. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε μόνο εάν μειώσουμε την κατανάλωση του καταναλωτή που έχει όλη την ποσότητα και των δύο προϊόντων. Άρα για να βελτιώσουμε τη θέση του αδικημένου, θα βλάψουμε τον άλλο καταναλωτή. Επομένως αυτή η άδικη κατανομή είναι αποτελεσματική κατά Pareto. (δʹ) Ξεκινώντας από μία Pareto κατανομή, είναι αδύνατον να βελτιώσουμε τη θέση του καταναλωτή Α. Δεν είναι αδύνατον. Μπορούμε να βελτιώσουμε τη θέση του Α αρκεί να βλάψουμε τον Β! (εʹ) Αν γνωρίζουμε το σύνολο Pareto, τότε γνωρίζουμε τη μοναδική Βαλρασιανή ισορροπία μιας οικονομίας. Αν γνωρίζουμε το σύνολο Pareto γνωρίζουμε ότι οποιαδήποτε Βαλρασιανή ισορροπία θα ανήκει σε αυτό. Αλλά δε μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο σημείο του θα είναι Βαλρασιανή ισορροπία. Οπως έχουμε δει η Βαλρασιανή ισορροπία εξαρτάται από την αρχική κατανομή. Για διαφορετικές αρχικές κατανομές θα καταλήξουμε σε διαφορετικές κατανομές του συνόλου Pareto. Για την ακρίβεια, δεν έχουμε τρόπο να γνωρίζουμε καν αν η Βαλρασιανή ισορροπία θα είναι μοναδική. Η πρόταση είναι λάθος. 6
(ϛʹ) Σε μια οικονομία που όλα τα άτομα έχουν την ίδια ακριβώς αρχική κατανομή (τις ίδιες ποσότητες από όλα τα αγαθά), δε θα γίνει ανταλλαγή. έχει σχέση με την απάντηση (β ). Αφού η ίση κατανομή μπορεί να μην είναι αποτελεσματική, κάλλιστα μπορεί να γίνει ανταλλαγή. Σκεφτείτε ότι στη μέση του κουτιού οι καμπύλες αδιαφορίας των δύο καταναλωτών κατά πάσα πιθανότητα θα τέμνονται. Άρα θα δημιουργείται ο γνωστός μας φακός. Μέσα εκεί υπάρχει περιθώριο για ανταλλαγή που συμφέρει και τα δύο μέρη. 24. Εστω μια οικονομία δύο καταναλωτών με τις συνήθεις (ανάμεσα στα άλλα και κυρτές σχέσεις προτίμησης). Ο καταναλωτής A έχει συνάρτηση χρησιμότητας U A = x 1/4 A y3/4 A. Και έστω η κατανομή (x A, y A ) = (1, 6) που ανήκει στο σύνολο Pareto. Η κατανομή αυτή, μπορεί να επιτευχθεί ως Βαλρασιανή ισορροπία με μεταβιβάσεις αρκεί: Αφού σας δίνω ότι η κατανομή (1,6) ανήκει στο σύνολο Pareto, τότε από το 2ο Θεμελιώδες Θεώρημα των Οικονομικών της Ευημερίας ξέρουμε ότι θα επιτυγχάνεται ως ισορροπία τιμών με μεταβιβάσεις. Τώρα στην ισορροπία (με μεταβιβάσεις) θα πρέπει ο λόγος τιμών να ισούται με τον οριακό λόγο υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών και για τους δύο καταναλωτές. Θα πρέπει δηλαδή: p x p y = MUA x MU A y. (1,6) Τώρα από πριν ξέρουμε ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης για συναρτήσεις Cobb-Douglas είναι η κλίση της συνάρτησης χρησιμότητας και για τον Α θα είναι: = 1 y 3 x (1,6) (1,6) = 1 6 3 1 = 2. MU A x MU A y (αʹ) Ο λόγος τιμών των δύο αγαθών να είναι ίσος με τη μονάδα. (βʹ) Ο Α να κάνει χρηματικές μεταβιβάσεις στον Β. (γʹ) Τα δύο αγαθά να είναι καλά. (δʹ) Ο λόγος τιμών των δύο αγαθών να είναι 2. (εʹ) Δεν μπορούμε να απαντήσουμε, χρειαζόμαστε στοιχεία για τον καταναλωτή Β. 25. Εστω ο καταναλωτής A με συνάρτηση χρησιμότητας U A = x 1/2 A y1/2 A και αρχική κατανομή ea = ( 5 2, 0). Και έστω ο B με συνάρτηση χρησιμότητας U B = ln x B + ln y B και αρχική κατανομή e B = (0, 1) (για αγαθά (x, y) αντίστοιχα. Στη Βαλρασιανή ισορροπία ο λόγος τιμών py p x θα είναι: Εχουμε λύσει πάρα πολλές τέτοιες ασκήσεις στην τάξη. Εδώ θα μπορούσατε να την λύσετε σε 1 εάν προσέχατε ότι οι δύο συναρτήσεις χρησιμότητας είναι Cobb-Douglas με εκθέτη a = 1 2. Επομένως η μαρσαλιανή ζήτηση και των δύο καταναλωτών για αγαθό i, i = 1, 2 θα είναι x i = aw p i. Αθροίζοντας τις μαρσαλιανές ζητήσεις των δύο καταναλωτών για αγαθό, ας πούμε x και εξισώνοντας τη συνολική ζήτηση με τη συνολική προσφορά βρίσκουμε τις τιμές ισορροπίας και εν συνεχεία και τη ζήτηση στην ισορροπία. Δεν θα έπαιρνε πάνω από 2 λεπτά αν ξέρατε τί έπρεπε να κάνετε (που θα έπρεπε να ξέρετε διότι λύσαμε πάμπολλα παραδείγματα!) (α ) 1 2 (β ) 5 2 (γ ) 1 4 (δ ) 1 5 (ε ) 5 (στ ) κανένα από τα παραπάνω. 26. Στη Βαλρασιανή ισορροπία η κατανάλωση του A σε (x, y) θα είναι: (α ) (1, 1 2 ) (β ) ( 1 2, 1 2 ) (γ ) ( 5 4, 1 2 ) (δ ) ( 5 2, 1 2 ) (ε ) κανένα από τα παραπάνω. ΜΕΡΟΣ 2: Απαντήστε σε ένα από τα δύο θέματα. ΘΕΜΑ 1ο: «Η ισορροπία Nash είναι άχρηστη έννοια τις περισσότερες φορές διότι είτε δεν υπάρχει, είτε αποτυγχάνει να καταλήξει σε μοναδική πρόβλεψη του πώς παίζεται ένα παίγνιο, είτε περιλαμβάνει παράλογες απειλές. Άρα θα έπρεπε να πάψουμε να ασχολούμαστε με αυτήν ως λύση σε παίγνια». Αναλύστε, δώστε παραδείγματα και σχολιάστε. Τα παρακάτω δεν είναι καθόλου περιοριστικά. Δείτε τα ενδεικτικά ως συζήτηση της πιο πάνω πρότασης. Οποιοδήποτε εναλλακτικό παίγνιο/παίγνια δείχνει το σε τί αναφέρεται η παραπάνω κριτική, πότε είναι ακριβής και πότε όχι απαντάει στο ερώτημα. Προτεινόμενα σημεία που μπορεί να θίξει κανείς: Κάποια παίγνια δεν έχουν ισορροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές (δώστε ένα παράδειγμα). Εχουν όμως σε μεικτές (Ο Nash το έδειξε το 1950). 7
Πολλά παίγνια αποτυγχάνουν να προβλέψουν μοναδικά την λύση. Π.χ. πώς οδηγούμε στο δρόμο. Δώστε ένα παράδειγμα σε στρατηγική μορφή και δείξτε ότι έχει 2 ισορροπίες. Σημαίνει αυτό ότι επειδή η λύση δεν είναι μοναδική, η πρόβλεψη αποτυγχάνει; Το Ν.Ε. προβλέπει ότι είτε και οι δύο θα οδηγούν δεξιά (ηπειρωτική Ευρώπη, ΗΠΑ κλπ), είτε και οι δύο αριστερά (Ην. Βασίλειο, Ιαπωνία, Κύπρος κ.α.). Σε μερικά παίγνια υπάρχουν πολλοί τρόποι να παίζονται και παρατηρούνται και πολλές ισορροπίες, γιατί αυτό είναι αποτυχία της έννοιας της ισορροπίας; Σε δυναμικά παίγνια επιτρέπει παράλογες (μη πιστευτές απειλές). Δείξτε π.χ. με ένα παίγνιο εισόδου ενός ανταγωνιστή σε μονοπωλιακή αγορά. Ο μονοπωλητής μπορεί να προβεί σε απειλή πολέμου τιμών. Δείξτε τις ισορροπίες και συζητήστε πώς μερικές απειλές είναι μη πιστευτές. Συζητήστε λύσεις του προβλήματος μέσα από εκλέπτυνση της ισορροπίας Nash. Η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου δεν είναι επίσης ισορροπία Nash; 8