ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η κατανόηση από τους φοιτητές του ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE. Ο Μετασχηματισμός Laplace είναι ένα μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη και σχεδίαση των γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων. Το μαθηματικό μοντέλο των παραπάνω συστημάτων αποτελείται από Γ.Δ.Ε με σταθερούς συντελεστές. 4

Περιεχόμενα ενότητας Μετασχηματισμός Laplace Ιδιότητες Του Μετασχηματισμού Laplace Πίνακες Μετασχηματισμών Laplace Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Laplace 5

Μετασχηματισμός LAPLACE (1) Μεγάλη απλούστευση στη μελέτη των συστημάτων προσέφερε η χρησιμοποίηση του Μετασχηματισμού LAPLACE (Laplace Transform 1785) στη λύση των διαφορικών και ολόκληρο-διαφορικών εξισώσεων μετατρέποντας την κλασσική διαδικασία λύσης σε αλγεβρική, με τεράστια διευκόλυνση στη χρησιμοποίηση ηλεκτρονικών υπολογιστών για τη μελέτη των συστημάτων ελέγχου. 6

Μετασχηματισμός LAPLACE (2) Στην ουσία ο μετασχηματισμός Laplace ανάγει την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης. 7

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Από τη Γ.Δ.Ε στη λύση (1) 8

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Από τη Γ.Δ.Ε στη λύση (2) 9

Πλεονεκτήματα Μετασχηματισμού LAPLACE H δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου, στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα, το οποίο βοηθά στη μελέτη μιας συνάρτησης και στα δύο πεδία και τη συλλογή περισσότερων πληροφοριών για τη συμπεριφορά της συνάρτησης. Η χρήση του στην επίλυση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές, αφού την ανάγει σε μία αλγεβρική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί ευκολότερα. H xρήση γραφικών μεθόδων (διαγράμματα απόκρισης συχνότητας- Bode, πολικά διαγράμματα κ.α) στην πρόβλεψη συμπεριφοράς του συστήματος χωρίς τη λύση των Δ.Ε. που περιγράφουν το σύστημα. 10

Ορισμός Καλούμε ευθύ μετασχηματισμό LAPLACE δοθείσης συνάρτησης f(t) το γενικευμένο ολοκλήρωμα: 11

Σχεδίαση του e -st 12

Laplace Transform 13

Παράδειγμα: Να βρεθεί ο L{ u(t) } 14

Παράδειγμα: Να βρεθεί ο L{e -bt u(t)} 15

Παράδειγμα: Να βρεθεί ο L{sin(at)} 16

Laplace Transform (1) Θεωρήματα Ορισμός του Laplace Transform Γραμμικότητα Παράγωγοι Ολοκληρώματα Πολλαπλασιασμός επί e at Χρονική μετατόπιση L{ f ( t)} s st e f ( t) dt F( ) 0 L{ af ( t) bg( t)} af( s) bg( s) L{ f n n1 ( t)} s F( s) s f (0) f 1 L{ f ( ) d} F( s) 0 s ( n) ( n1) L{ e at f ( t)} F( s a) as L{ f ( t a) u( t a)} e F( s) (0) 17

Laplace Transform (2) Θεωρήματα Αλλαγή κλίμακας Πολλαπλασιασμός επί t n Διαίρεση με t Μοναδιαία κρουστική ακολουθία Περιοδική ακολουθία Θεώρημα της συνέλιξης L{ t L{ f n L{ L{ f ( t)} f ( t)} f ( at)} ( t) } t L{ ( t a)} e 1 1 e ( 1) s ps 1 a 0 F( p F e as st ( n) ( s) f ( t) dt L{ f ( t) g( t)} F( s) G( s) n s a ) F( u) du 18

Γραμμικότητα του Μετασχηματισμού Laplace 19

Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας (Πολλαπλασιασμός με e at ) Εάν η f(t) έχει το μετασχηματισμό F(s) (όπου s > k), τότε η eatf(t) έχει το μετασχηματισμό F(s-a), (όπου s-a > k) 20

Μετασχηματισμός Laplace της πρώτης παραγώγου της f(t) 21

Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου n τάξης της f(t) (0)... (0) ' (0) ) ( ) (... (0) ' ' (0) ' (0) ) ( ) ( (0) ' (0) ) ( ) ( 1) ( 2 1 2 3 3 3 2 2 2 n n n n n n f f s f s s F s dt t df L f sf f s s F s dt t df L f sf s F s dt t df L 22

Εφαρμογή του Laplace transform για την μετατροπή των Δ.Ε σε αλγεβρικές 23

Μετ/σμός Laplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης 24

Θεώρημα της χρονικής μετατόπισης (1) Εάν η f(t) έχει το μετασχηματισμό F(s), τότε η μετατοπισμένη χρονικά συνάρτηση έχει το μετασχηματισμό: a t a t f a t a t u a t f t f ), ( 0, ) ( ) ( ) ( ~ ) ( )} ( ) ( { s F e a t u a t f as L 25

Θεώρημα της χρονικής μετατόπισης (2) 26

Μετασχηματισμός Laplace Συνέλιξης 27

Θεώρημα αρχικής τιμής (Θ.Α.Τ) 28

Θεώρημα τελικής τιμής (Θ.Τ.Τ) 29

Παράδειγμα χρήσης των Θ.Α.Τ και Θ.Τ.Τ Y ( s) s ( s 2 2)( s 4) Μετ/σμός Laplace της συνάρτησης. lim t f ( t) 2(0) (0)(0 2)(0 4) 1 4 Υπολογισμός του lim t f ( t) 2( ) lim t 0 ( )( 2)( 4) f ( t) 0 Υπολογισμός του f ( t) limt 0 30

ΠΙΝΑΚΑΣ: Ζεύγη Μετασχηματισμών (1) 31

Με χρήση του Πίνακα ζευγών μετασχηματισμών βρίσκουμε τους L.T 34

Παράδειγμα χρήσης του πίνακα (1) Έστω f (t) = 5e -2t - 3sin(4t) για t 0. Ο Laplace transform F(s) της f είναι: 0, 16 12 2 5 ) 4 sin( 3 5 ) 4 3sin( 5 )} ( { ) ( 2 2 2 s s s t L e L t e L t f L s F t t 35

Παράδειγμα χρήσης του πίνακα (2) 36

Παράδειγμα χρήσης του πίνακα (5) S 2 + 6s + 13 = S 2 + 6s + (3) 2 + 13 - (3) 2 = S 2 + 6s + 9 + 4 = (s+3) 2 + (2) 2 39

Laplace transform με χρήση MATLAB (1) 41

Laplace transform με χρήση MATLAB Με χρήση του Πίνακα ζευγών μετασχηματισμών βρίσκουμε τους L.T (2) 42

Επαλήθευση με MATLAB» syms x1 x2 x3 t X» x1=sym('dirac(t)');» x2=-(4/3)*exp(-t);» x3=(1/3)*exp(2*t);» X=laplace(x1+x2+x3) X = 1-4/3/(1+s)+1/3/(s-2) 43

Αντίστροφος μετ/σμός Laplace Ορισμός: Καλούμε αντίστροφο μετασχηματισμό LAPLACE (ILT) δοθείσης συνάρτησης F(s) το ολοκλήρωμα: όπου η τιμή σύγκλισης α είναι μία πραγματική σταθερά, που είναι μεγαλύτερη από τα πραγματικά μέρη όλων των πόλων της F(s). 44

Αντίστροφος Μετασχηματισμός LAPLACE (Ι.L.T.) Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό LAPLACE υπάρχουν οι ακόλουθες μέθοδοι: α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό. β) Χρησιμοποιούμε τα ζεύγη απ' τους πίνακες μετασχηματισμών. γ) Αναπτύσσουμε την F(s) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων και εφαρμόζουμε το θεώρημα του HEAVISIDE. 45

Θεώρημα HEAVISIDE (1) Θεώρημα HEAVISIDE: Πολλές φορές στη πράξη παρουσιάζεται το πρόβλημα της εύρεσης του αντιστρόφου μετασχηματισμού LAPLACE μιας συνάρτησης F(s) που έχει δοθείσα μορφή. Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση F(s) είναι μια ρητή συνάρτηση του s δηλαδή: F(s) P(s) Q(s) K m i1 n j1 (s z ) i (s p ) όπου zi είναι τα μηδενικά της F(s) (δηλαδή ρίζες του αριθμητού Ρ(s) και pj είναι οι πόλοι της F(s) (ρίζες του παρονομαστή Q(s) j 46

Θεώρημα HEAVISIDE (2) 47

1 ο Παράδειγμα (1) Δίνεται η συνάρτηση: F(s) 2 P(s) s 2s 2 Q(s) s 1 Ζητείται o I.L.T[F(s)]=f(t) ΛΥΣΗ F(s) s 2 2s 2 s 1 1 s 1 s 1 L -1 [F(s)] δ(t) δ (1) (t) e -t 48

1 ο Παράδειγμα (2) B) Θεωρούμε από εδώ και πέρα m<n χωρίς περιορισμό της γενικότητας. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Π1. Η F(s) έχει απλούς πόλους Δηλαδή οι ρίζες της Q(s) να είναι διακεκριμένες. Τότε η F(s) αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: όπου Heaviside formula Oct. 1931 K i (s p i)f(s) όπου s pi F(s) n i1 K i s p i 49

Ανάπτυξη σε άθροισμα μερικών Περίπτωση διακεκριμένων πόλων κλασμάτων 50

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Δίνεται η συνάρτηση : 1 ο Παράδειγμα (1) Να βρεθεί η Λύση Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα: Υπολογίζουμε τους συντελεστές K i 51

1o Παράδειγμα (2) Άρα 52

2 ο Παράδειγμα (1) 53

3 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δίνεται η συνάρτηση F(s) και ζητείται η f(t) 55

Άλλος τρόπος υπολογισμού των αριθμητών των κλασμάτων (1) s 1 ( s 2)( s 3) s 1 ( s 2)( s 3) A B s 2 s 3 A( s 3) B s 2 ( s 2)( s 3) Ανάπτυξη σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. A B 1 3A2B1 s 1 1 2 ( s 2)( s 3) s 2 s 3 Εξίσωση των όρων του αριθμητή και επίλυση 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους για την εύρεση των Α και Β. 56

2 ο Παράδειγμα (3) Π2. H F(s) έχει πολλαπλούς πόλους Δηλαδή οι ρίζες της Q(s) είναι πολλαπλές : Q(s)=(s-p1)^n.(s-p2) (s-pr) Η F(s) αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: 57

Πραγματικοί πόλοι δεύτερης τάξης Έστω ότι η F(s) έχει στον παρονομαστή ένα παράγοντα της μορφής (s+) 2. Η ανάπτυξη σε άθροισμα μερικών κλασμάτων θα γίνει όπως παρακάτω. 59

3 ο Παράδειγμα (1) Δίνεται η συνάρτηση : 2 s 3s 5 F(s) 2 (s 1) (s 2) Να βρεθεί η f ( t) L 1 [ F( s)] Λύση Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα : 2 s 3s 5 K11 K12 K2 F(s) 2 2 (s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2) 60

3 ο Παράδειγμα (2) Όπου 2 s 3s 5 s2 K K 2 2 (s 1) 2 3 1 3 2 d s 3s 5 s1 K K11 ds (s 2) - 2 1 11 2 2 s 3s 5 s1 K K12 (s 2) 3 1 12 3 2 1 s 3s 5 1 3-2 3 f(t) L L 2 2 (s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2) t t 2t (3te 2e 3e ) ut ( ) 61

3 ο Παράδειγμα (3) H F(s) έχει μιγαδικούς πόλους δηλαδή οι ρίζες της Q(s) είναι μιγαδικές συζυγείς. Οι περιπτώσεις που ήδη εξετάσαμε ισχύουν για πόλους πραγματικούς ή μιγαδικούς. Η περίπτωση όμως μιγαδικών πόλων εξετάζεται χωριστά επειδή πραγματοποιούνται ορισμένες απλοποιήσεις. Υποθέτουμε ότι η F(s) έχει απλό πόλο p1 = α + jβ οπότε θα έχει και άλλον πόλο p2 = α jβ. 62

3 ο Παράδειγμα (4) Η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα της F(s) θα είναι της μορφής: 63

Παράδειγμα 4 ο (1) Δίνεται η συνάρτηση : Να βρεθεί η Λύση Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα : 64

Παράδειγμα 4 ο (2) 65

Παράδειγμα 5 ο (1) Δίνεται η συνάρτηση F(s) και ζητείται η: F(t) = L -1 [F(s)] 66

Παράδειγμα 5 ο (2) 67

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων μέσω μετασχηματισμών Laplace y ( t) a y ( t)... a y( t) b x ( t) b x... b x( t) ( n) ( n1) ( m) ( m1) n1 0 m m1 0 Όπου. ( n 1) ( n1) 0 0, 0 0 0 0 y( t ) y y( t ) y,..., y ( t ) y Μετασχηματισμός Laplace και στα δύο μέλη και έχουμε: B( s) C( s) C( s) Y ( s) X ( s) G( s) X ( s) A( s) A( s) A( s) Όπου Gs ( ) G(s):Συνάρτηση Μεταφοράς και B( s) b s... b s b n A( s) s a s... a s a m m 1 0 n1 n1 1 0 x(t)=0 τότε απόκριση μηδενικής εισόδου 1 B( s) 1C( s) y( t) L X ( s) L A( s) A( s) Α.Σ=0 τότε απόκριση μηδενικής κατάστασης. 68

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα μετασχηματισμού LAPLACE (1) Γραμμικότητα f (t) F st ( s) f ( t) e dt 0 f t) f ( ) F1 ( s) F2 ( s) 1( 2 t Μετασχηματισμός Laplace Παραγώγου μιας Συνάρτησης df ( t) dt f ( t) f ( t) sf( s) f (0 ) Μετασχηματισμός Ολοκληρώματος μιας Συνάρτησης t 0 f ( t) dt (1) F ( s) f (0) s s Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου Μετατόπιση στο Πεδίο της Μιγαδικής Συχνότητας Μετατόπιση στο Πεδίο του Χρόνου f ( t) e t f (t) F(s / ) F( s ) f ( t r) u( t r) e rs F(s) 70

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα μετασχηματισμού LAPLACE (2) f (t) F st ( s) f ( t) e dt 0 Θεώρημα Αρχικής Τιμής lim f ( t) lim sf( s) t 0 s Θεώρημα Τελικής Τιμής lim t f ( t) lim sf( s) s0 Πολ/σμός συνάρτησης επί t t d f (t) ( 1) F( s) ds Διαίρεση συνάρτησης διά t f ( t) F( ) d t s 71

Ζεύγη μετασχηματισμών LAPLACE (1) 72

Μετασχηματισμός LAPLACE Παθητικών γραμμικών στοιχείων ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ u R ( t) Ri( t) ( s) RI ( s) V R ΠΗΝΙΟ 1 i( t) L t 0 u L di( t) u L ( t) L dt ( t) dt VL ( s) i(0) I( s) sl s V L ( s) sli ( s) Li(0) ΠΥΚΝΩΤΗΣ u C duc ( t) i( t) C I( s) scvc ( s) CuC (0) dt t 1 I( s) uc (0) ( t) i( t) dt VC ( s) C sc s 0 76

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ασκήσεις εξάσκησης από την τέταρτη διάλεξη

Άσκηση 1 78

Άσκηση 2 (1) Να βρεθεί ο ILT των 79

Άσκηση 2 (2) 80

Άσκηση 3 (1) Να λυθεί η παρακάτω Δ.Ε 85

Άσκηση 4 (1) Να λυθεί η παρακάτω Δ.Ε και να δειχτεί βήμα προς βήμα η διαδικασία. Διαφορική εξίσωση: D 2 y + 2D y + 2y = cost y(0) = 1 D y(0) = 0 87

Άσκηση 4 (2) Βήμα 1: Μετασχηματίζουμε κατά Laplace και τα 2 μέλη της Δ.Ε. Χρησιμοποιούμε τους πίνακες ζευγών μετασχηματισμών για να εκφράσουμε τις σχέσεις στο πεδίο s. L{D2y} + L{2Dy} + L{2y} = L{cost} L{D2y} = s2y(s) - sy(0) - Dy(0) L{2Dy} = 2[ sy(s) - y(0)] L{2y} = 2Y(s) L{cost} = s/(s2 + 1) s2y(s) - s + 2sY(s) - 2 + 2Y(s) = s/(s2 + 1) 88

Άσκηση 4 (3) Βήμα 2: Λύνουμε ως προς Y(s) s2y(s) - s + 2sY(s) - 2 + 2Y(s) = s/(s2 + 1) (s2 + 2s + 2) Y(s) = s/(s2 + 1) + s + 2 Y(s) = [s/(s2 + 1) + s + 2]/ (s2 + 2s + 2) = (s3 + 2 s2 + 2s + 2)/[(s2 + 1) (s2 + 2s + 2)] 89

Άσκηση 4 (4) Βήμα 3: Εκφράζουμε την Y(s) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων και υπολογίζουμε τους συντελεστές του αριθμητή των κλασμάτων. Y(s) = (s3 + 2 s2 + 2s + 2)/[(s2 + 1) (s2 + 2s + 2)] = (As + B)/ (s2 + 1) + (Cs + E)/ (s2 + 2s + 2) (A+C)s3 + (2A + B + E) s2 + (2A + 2B + C)s + (2B +E) 1 = A + C 2 = 2A + B + E 2 = 2A + 2B + C 2 = 2B + E A = 0.2, B = 0.4, C = 0.8, E = 1.2 90

Άσκηση 4 (5) Βήμα 4: Φέρνουμε τα κλάσματα στις παρακάτω μορφές ώστε να είναι εύκολη η χρήση πινάκων ζευγών μετασχηματισμών. (0.2s + 0.4)/ (s2 + 1) = 0.2 s/ (s2 + 1) + 0.4 / (s2 + 1) (0.8s + 1.2)/ (s2 + 2s + 2) = 0.8 (s+1)/[(s+1)2 + 1] + 0.4/ [(s+1)2 + 1] 91

Άσκηση 4 (6) Βήμα 5: Χρησιμοποιούμε τους πίνακες εύρεσης των αντιστρόφων μετ/σμών Laplace. 0.2 s/ (s2 + 1) γίνεται 0.2 cos t 0.4 / (s2 + 1) γίνεται 0.4 sin t 0.8 (s+1)/[(s+1)2 + 1] γίνεται 0.8 e-t cos t 0.4/ [(s+1)2 + 1] γίνεται 0.4 e-t sin t y(t) = 0.2 cos t + 0.4 sin t + 0.8 e-t cos t + 0.4 e-t sin t 92

Άσκηση 5 (1) Να βρεθεί ο ILT της συνάρτησης 2 2s s 3 F(s) 2 s 4s 4 93

Άσκηση 6 (1) Ας θεωρήσουμε κύκλωμα RL με R=4, L=1/2. Να βρεθεί το i(t) εάν v(t)=12u(t). ΛΥΣΗ: Η Δ.Ε του κυκλώματος είναι Μετασχηματίζουμε και τα 2 μέλη της Δ.Ε κατά Laplace 95

Πραγματικό πείραμα Στον παλμογράφο απεικονίζονται οι τάσεις εισόδου και εξόδου: 97

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Άλυτες ασκήσεις από την τέταρτη διάλεξη

Άσκηση 1η Να λυθούν οι Δ.Ε: 99

Άσκηση 2η Να βρεθούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των συναρτήσεων: 100

Τέλος Ενότητας