ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Περιληψη. Παρακάτω ακολουθεί παρουσίαση και σε περιπτώσεις υπόδειξη λύσης ασκήσεων, κυρίως από το σύγγράμμα [1, Κεϕάλαιο 2] προς ενημέρωση ϕοιτητών τμήματος Μαθηματικών Σάμου με κατεύθυνση Στατιστικής και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικών για το μάθημα του Στ εξαμήνου ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ. Στο τέλος, υπάρχει συνοπτικός πίνακας συμβόλων για τις διάϕορες έννοιες που χρησιμοποιούνται. 1. Συναρτησεις θνησιμοτητας Άσκηση 1.1. Πως συνδέεται η ένταση θνησιμότητας με τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής; µ x d dx ln S T (x), { S T (x) exp x 0 } µ u du. Άσκηση 1.2. Πως συνδέεται η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής με τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής και πως με την ένταση θνησιμότητας; tp x S Tx (t) S T (x + t) S T (x) { exp x+t x } µ u du. Άσκηση 1.3. [1, Α.2.13] Να εκϕράσετε την παράγωγο του q x ως προς x σε όρους έντασης θνησιμότητας. d dx q x p x (µ x+1 µ x ). Άσκηση 1.4. Δείξτε ότι (α) m n q x m+n q x m q x. (β) m n q x m p x m+n p x. (γ) m n q x m p x n q x+m. Άσκηση 1.5. Εκϕράστε τη συνάρτηση πυκνότητας υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής και την ένταση θνησιμότητας. f Tx (t) t p x µ x+t, για 0 t ω x. Ημερομηνία 22 Μαΐου 2014. 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 3 Άσκηση 1.6. Αν η συνάρτηση επιβίωσης έχει την παρακάτω γραμμική μορϕή, 1, t 0 S T (t) 1 t, 0 < t < ω ω 0, t ω και αϕού πρώτα βρεθούν οι ποια είναι η πιθανότητα F T (t), f T (t), µ t, S Tx (t), F Tx (t), f Tx (t), t p x, t q x, (α) άτομο (ηλικίας 0) να επιζήσει πέραν της ηλικίας των 15; (β) άτομο να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών 15 και 42; (γ) άτομο ηλικίας 15 να επιβιώσει πέραν της ηλικίας των 42; (δ) άτομο ηλικίας 15 να αποβιώσει πριν ϕτάσει την ηλικία των 42; στην περίπτωση όπου ω 120; Υπόδειξη. Για το (α) έχουμε S T (15), για το (β) S T (15) S T (42), για το (γ) S T (42) S T (15) το (δ) 1 S T (42). S T (15) Άσκηση 1.7. Θεωρούμε τη συνάρτηση S(x) 20000 100x x2. 20000 (α) Μπορεί η παραπάνω να θεωρηθεί συνάρτηση επιβίωσης; (β) ποια είναι η πιθανότητα άτομο να επιζήσει μέχρι την ηλικία των 20; (γ) ποια είναι η πιθανότητα άτομο ηλικίας 20 να αποβιώσει μεταξύ ηλικιών 30 και 40; και για Άσκηση 1.8. Αν η τ.μ. T η οποία περιγράϕει τη μελλοντική ζωή ενός νεογνού, ακολουθεί την ομοιόμορϕη κατανομή, T U(0, ω), ποια η συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής, η συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής, η συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής και ποια η μέση τιμή και η διασπορά της T ; Τι συμβαίνει στην περίπτωση όπου η T ακολουθεί την εκθετική κατανομή, T E(λ), με παράμετρο λ > 0; Άσκηση 1.9. Πως εκϕράζεται η προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; e o x E(T x ) ω x 0 tp x dt. Άσκηση 1.10. Αν t p 0 1 t/9, με 0 t 81, να υπολογίσετε την προσδοκώμενη ζωή του ατόμου ηλικίας 0. Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε την Άσκηση 1.9 και καταλήγουμε e o 0 27. Άσκηση 1.11. Χρησιμοποιώντας το ακραίο σενάριο ότι για μία ζωή έχουμε t p x ( 1+x 1+x+t )n, για κάθε t 0, και κάποιο n > 1, n N, να υπολογίσετε την προσδοκώμενη ζωή του ατόμου ηλικίας κ.
4 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε κατάλληλα την Άσκηση 1.9 και καταλήγουμε ότι e o κ 1 + κ n 1. Άσκηση 1.12. Ποια η διασπορά, ποια γενικότερα η ροπή n τάξης, και ποια η διάμεση τιμή της προσδοκώμενης ζωής; Ποια η επικρατούσα τιμή της υπολειπόμενης ζωής; Υπόδειξη. Γενικά για πραγματική συνάρτηση g( ) με συνεχή παράγωγο και για μη αρνητική συνεχή τ.μ. X με συνάρτηση κατανομής F X ( ) έχουμε ότι Eg(X) [g(x)(1 F X (x))] x x0 + g (x)(1 F X (x))dx g(0) + 0 g (x)(1 F X (x))dx. Εϕαρμόζουμε την παραπάνω για g(x) x n. Η διάμεση τιμή, έστω t m, είναι τέτοια ώστε S Tx (t m ) 0.5 Η επικρατούσα τιμή, εστω t 0 είναι εκείνη η τιμή για την οποία η f Tx γίνεται μέγιστη, δηλαδή τέτοια ώστε f Tx (t 0 ) max t f Tx (t). Άσκηση 1.13. Πως εκϕράζεται η ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; Βρείτε αναδρομική σχέση που ικανοποιεί η e x. e x E(K x ) ω x 1 k1 0 kp x, e x p x (1 + e x+1 ), όπου στη δεύτερη σχέση χρησιμοποιήσαμε τη σχέση K x K x+1 + 1. Άσκηση 1.14. Αν S T (t) e µt για κάθε t 0, να βρείτε την ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x και τη E(S x ) όπου S x το κλάσμα έτους που ζει το άτομο ηλικίας x. T E(µ) και S Tx (t) S T (t). Υπολογίζουμε e x E(K x ) kp x 1 e µ 1, E(S x) 1 µ e x. k1 Άσκηση 1.15. Ποια η διασπορά και ποια γενικότερα η ροπή n τάξης της ακέραιας προσδοκώμενης ζωής; Υπόδειξη. Γενικά για πραγματική συνάρτηση g( ) και για μη αρνητική διακριτή τ.μ. X με συνάρτηση κατανομής F X ( ) έχουμε ότι Eg(X) g(0) + (g(x + 1) g(x)) (1 F X (x)). x0 Εϕαρμόζουμε την παραπάνω για g(x) x n.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 5 Άσκηση 1.16. Ποια η σχέση μεταξύ της προσδοκώμενης ζωής και της ακέραιας προσδοκώμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, όταν το κλάσμα έτους που ζει το άτομο ηλικίας x ακολουθεί την ομοιόμορϕη κατανομή στο (0, 1); Ποια είναι η διασπορά της υπολειπόμενης ζωής αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι K x και S x είναι ανεξάρτητες; Άσκηση 1.17. Εστω ότι q x συνδέεται με την ένταση θνησιμότητας µ x και q x με την ένταση θνησιμότητας µ x. Αν µ x cµ x, με c > 0, να εκϕράσετε το q x σε σχέση με το q x. Ποια η σχέση του p x με το p x ; Υπόδειξη. Καταλήγουμε q x 1 (1 q x ) c, p x (p x ) c. Άσκηση 1.18. Άτομο ηλικίας x υπόκειται σε επιπλέον κίνδυνο θνησιμότητας για το επόμενο έτος μόνο, ο οποίος εκϕράζεται μέσω της ποσότητας c(1 t), όπου c > 0 για εκείνο το έτος. Ποια η πιθανότητα επιβίωσης του ατόμου για το έτος αυτό; Κάντε εϕαρμογή για x 40, c 0.03 µ x+t µ x+t + c(1 t), 0 t 1 και χρησιμοποιούμε τη p x e 1 0 µ x+t dt. Άσκηση 1.19. [1, Παρ. σελ.62] Να υπολογιστεί η μερική παράγωγος της t p x ως προς t, και ως προς x. Παραπέρα να δείξετε ότι η ποσότητα [ 1 tp x x t p x ] t t p x είναι ανεξάρτητη του t. Άσκηση 1.20. [1, Παρ. σελ.63] Θεωρούμε δύο ανεξάρτητες ως προς τη θνησιμότητα ζωές, όπου ο ένας είναι καπνιστής και ο άλλος όχι. Αν µ x, 0 x ω η ένταση θνησιμότητας για το μη καπνιστή και µ x cµ x, 0 x ω με c > 1 η ένταση θνησιμότητας για τον καπνιστή να βρείτε την πιθανότητα η υπολειπόμενη διάρκεια ζωής του καπνιστή να είναι μεγαλύτερη από αυτή του μη καπνιστή. Υπόδειξη. Για δύο μη αρνητικές συνεχείς τ.μ. X, Y έχουμε ότι P(X > Y ) 0 y f(x, y)dxdy, όπου f(x, y) η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των X, Y. Στην περίπτωση που είναι ανεξάρτητες η παραπάνω παίρνει τη μορϕή P(X > Y ) 0 (1 F X (y))f Y (y)dy. Άσκηση 1.21. *[1, Παρ. σελ.72] Αν T x E(λ), όπου λ > 0 να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διασπορά, τη διάμεσο και την κορυϕή της κατανομής της υπολειπόμενης διάρκειας ζωής. Άσκηση 1.22. *[1, Παρ. σελ.72] Αν µ x x να υπολογιστούν: η συνάρτηση επιβίωσης της διάρκειας ζωής, η συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής και η μέση τιμή της διάρκειας ζωής.
6 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 1.23. *Αν η ζωή ενός ατόμου υπόκειται σε σταθερή ένταση θνησιμότητας, έστω c, όπου c θετικός πραγματικός αριθμός, να υπολογίσετε την πιθανότητα (α) το άτομο να επιβιώσει τα επόμενα 13 χρόνια και (β) να αποβιώσει σε 17 χρόνια. Άσκηση 1.24. *Αν t p x (121 x t)/(121 x), με 0 x < 121, 0 t 121 x να υπολογίσετε την ένταση θνησιμότητας για άτομα ηλικίας 61. 2. Πινακες θνησιμοτητας Άσκηση 2.1. Να εκϕράσετε τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων, ομάδας l 0 νεογέννητων, που ϕτάνουν στην ηλικία x, αν υποθέσουμε ότι όλες οι ζωές της ομάδας l 0 υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Ποια η αντίστοιχη έκϕραση για τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς τη θνησιμότητα, ποια η κατανομή του αριθμού των επιζώντων που ϕτάνουν στην ηλικία x; Ποια η μέση τιμή και η διασπορά της παραπάνω κατανομής; Υπόδειξη. Εχουμε S T (x) l x /l 0 και S Tx (t) l x+t /l x. Ο αριθμός των επιζώντων S(x) που ϕτάνουν στην ηλικία x, ακολουθεί διωνυμική κατανομή της μορϕής S(x) Bin(l 0, S T (x)). Άσκηση 2.2. Να εκϕράσετε την ένταση θνησιμότητας για άτομα ηλικίας x ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων l x. Υπόδειξη. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της Άσκησης 1.2 συμπεραίνουμε (2.1) µ x d dx ln l x 1 d l x dx l x. Άσκηση 2.3. Να εκϕράσετε την πιθανότητα άτομο ηλικίας x να αποβιώσει στα επόμενα t χρόνια σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Παραπέρα, δώστε έκϕραση σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων της πιθανότητας άτομο ηλικίας x να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών x + m και x + m + n. tq x l x l x+t l x, m nq x l x+m l x+n l x. Άσκηση 2.4. Αποδείξτε το ερώτημα (γ) της Άσκησης 1.4 χρησιμοποιώντας την Άσκηση 2.3. Άσκηση 2.5. Να εκϕράσετε την προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Ποια είναι η αναμενόμενη ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας x; Υπόδειξη. Συνδυάστε τις Ασκήσεις 1.9 και 2.3. Για το δεύτερο ερώτημα η αναμενόμενη ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας x είναι η προσδοκώμενη ζωής του ατόμου ηλικίας x αν προσθέσουμε την ηλικία του x. Άσκηση 2.6. Να εκϕράσετε τον αναμενόμενο αριθμό θανάτων στο διάστημα μεταξύ των ηλικιών x και x + 1 ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων, ομάδας l 0 νεογέννητων, που ϕτάνουν στην ηλικία x, αν υποθέσουμε ότι όλες οι ζωές της ομάδας l 0 υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς τη θνησιμότητα, ποια η κατανομή του αριθμού των θανάτων στο διάστημα μεταξύ των ηλικιών x και x + 1; Ποια η παραπάνω κατανομή δεδομένου ότι έχουμε l x επιζώντες στην ακριβή ηλικία x;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 7 Υπόδειξη. d x E( x ) l 0 x q 0 l x l x+1. Εχουμε ότι x Bin(l 0, x q 0 ). Άσκηση 2.7. [1, Παρ. σελ.58]να δείξετε ότι m+np x m p x n p x+m n p x m p x+n. χρησιμοποιώντας εκϕράσεις αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Ποια η σχέση των συμβόλων q x και 0 q x. Με ποια πιθανότητα είναι ίση η ποσότητα u t q x u s q x όταν t > s; q x 0 q x και u t q x u s q x u+s t s q x. Άσκηση 2.8. [1, Παρ. σελ.59]να δείξετε ότι Τι εκϕράζει η παραπάνω σχέση; tp x t ω x t q x. Άσκηση 2.9. [1, Παρ. σελ.60]να υπολογίσετε την πιθανότητα άτομο ηλικίας 21 να αποβιώσει μετά την ηλικία των 40 αλλά πρν ϕτάσει τα 57, όταν γνωρίζουμε ότι l x 121 x, για 0 x 121. Υπόδειξη. Υπολογίζουμε την πιθανότητα 19 17 q 21. Άσκηση 2.10. [1, Α.2.1] Αν ένας πίνακας θνησιμότητας αντιπροσωπεύεται από τη συνάρτηση l x 1000 100 x βρείτε την πιθανότητα (α) ένα άτομο να επιβιώσει μέχρι την ηλικία 19 (β) ένα άτομο ηλικίας 36 να αποβιώσει πριν την ηλικία 51. Υπόδειξη. Υπολογίζουμε τα 19 p 0 και 15 q 36. Άσκηση 2.11. Αν l x (100 x) 2 για x 0, 1,..., 100, να εκϕράσετε τα d x, t p x, t q x. Υπόδειξη. Καταλήγουμε ότι d x 199 2x, ( ) 2 100 x t tp x, 100 x t q x 199 2x 2t (100 x) 2. Άσκηση 2.12. [1, Α.2.14] Αν d x 2x + 1 για x 0, 1,..., 99, να βρείτε τα l 0, l x, t q 0. Υπόδειξη. Καταλήγουμε ότι l 0 10000, l x 10000 x 2, tq 0 t2 10000, όπου χρησιμοποιήσαμε ότι l x ω 1 ix d i, με ω 100. Άσκηση 2.13. [1, Α.2.16] Αν q x (1 + x)/(100 + x), για x 0, 1,..., να δείξετε ότι 99 x l x x 1 y0 (100 + y)l 0. Άσκηση 2.14. Αν l x 1 x, 0 x 1, ποια τα t q x και t s q x ; t q x t/(1 x), για 0 t 1 x και t s q x s/(1 x), για 0 s 1 x t.
8 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 2.15. Να εκϕράσετε το n q x σε όρους q x+j για κατάλληλα j. n q x 1 n 1 j0 (1 q x+j). Άσκηση 2.16. Να δείξετε την παρακάτω σχέση t 1 s0 s q x t q x. Άσκηση 2.17. [1, Α.2.17] Αν d x 2 x, για x 0, 1,..., 99 να βρεθεί ο συνολικός πληθυσμός l 0 και ο αναμενόμενος αριθμός επιζώντων, από τους l 0 που ϕτάνουν στην ηλικία x. Υπόδειξη. Εχουμε l 0 2 100 1 και l x 2 100 2 x. Άσκηση 2.18. * Να υπολογίσετε την ποσότητα της Άσκησης 1.19 χρησιμοποιώντας εκϕράσεις με αναμενόμενους αριθμούς επιζώντων. Άσκηση 2.19. Δεδομένου ότι l x 1000(ω 3 x 3 ), 0 x ω, και E(T 0 ) 0.75ω να υπολογίσετε τη διασπορά της T 0. Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα της Άσκησης 1.12, ώστε να υπολογίσουμε E(T 2 0 ) 2 ω 0 t t p 0 dt. Άσκηση 2.20. [1, Α.2.10]Να συμπληρώσετε τα σημεία που υπάρχουν σύμβολα στον παρακάτω πίνακα θνησιμότητας. Παραπέρα, να προσεγγίσετε την ένταση θνησιμότητας µ 92 αν υποθέσετε x q x l x d x 90 1/3 3000 91 2/5 92 1/2 93 2/3 94 4/5 95 1 Πινακας 1. Πίνακας Θνησιμότητας Άσκησης 2.10 ότι (α) η µ x είναι γραμμική στο διάστημα (91, 93). (β) η l x είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού στο διάστημα (91, 93). (γ) η l x είναι πολυωνυμική τετάρτου βαθμού στο διάστημα (90, 94). Υπόδειξη. Για τη συμπλήρωση του πίνακα, χρησιμοποιούμε τις σχέσεις l x (1 q x 1 )l x 1 και d x l x l x+1. Για τις προσεγγίσεις της έντασης θνησιμότητας, χρησιμοποιούμε για το (α) ότι µ x ln(p x 1 p x ) 1/2, για το (β) και με κατάλληλη χρήση του αναπτύγματος Taylor για τη συνάρτηση l x+h γύρω από το x, ότι µ x l x 1 l x+1 2l x,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 9 x q x l x d x 90 1/3 3000 1000 91 2/5 2000 800 92 1/2 1200 400 93 2/3 600 160 94 4/5 200 40 95 1 40 Πινακας 2. Συμπληρωμένος Πίνακας Θνησιμότητας Άσκησης 2.10 για το (γ) πάλι με κατάλληλη χρήση του αναπτύγματος Taylor για τη συνάρτηση l x+h γύρω από το x, ότι µ x (l x+2 l x+ 2 ) + 8(l x 1 l x+1 ), 12l x με x 92. 3. Ασϕαλιστικοι Πινακες Επιλογης Άσκηση 3.1. [1, Παρ. σελ.90] Εχουμε τον παρακάτω υποπίνακα από ένα ύστατο και επίλεκτο πίνακα θνησιμότητας με περίοδο r 2 έτη. Να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω Ηλικία [x] q [x] q [x]+1 q x+2 83 1/5 84 1/4 85 1/10 1/6 1/3 86 1/8 1/5 Πινακας 3. Υποπίνακας επίλεκτου και ύστατου πίνακα θνησιμότητας Άσκησης 3.1 πίνακα. Ηλικία [x] l [x] l [x]+1 l x+2 83 700 84 85 86 Πινακας 4. Πίνακας Άσκησης 3.1 Υπόδειξη. Συμπληρώνουμε πρώτα τα στοιχεία της τελευταίας στήλης του πίνακα, χρησιμοποιώντας τη σχέση l x (1 q x 1 )l x 1 και υπολογίζουμε τις «επίλεκτες» τιμές των l σύμϕωνα με τις σχέσεις l [x]+1 l x+2 1 q [x]+1, l [x] l [x]+1 1 q [x]. Άσκηση 3.2. Εχουμε τον παρακάτω υποπίνακα από ένα επίλεκτο και ύστατο και πίνακα θνησιμότητας με περίοδο r 2 έτη. Να υπολογίσετε την πιθανότητα 100 1 q [30]+1. 1 q [30]+1 p [30]+1 q [30]+2.
10 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Ηλικία [x] 100 q [x] 100 q [x]+1 100 q x+2 30 0.438 0.574 0.699 31 0.453 0.599 0.734 32 0.472 0.634 0.790 33 0.510 0.680 0.856 34 0.551 0.737 0.937 Πινακας 5. Υποπίνακας επίλεκτου και ύστατου πίνακα θνησιμότητας Άσκησης 3.2 4. Συναρτησεις θνησιμοτητας για κλασματικες ηλικιες Άσκηση 4.1. [UDD 1 ] Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι γραμμική συνάρτηση του t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Γραμμική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 6. Πίνακας Γραμμικής Παρεμβολής Άσκησης 4.1 επομένως (4.1) S Tx (t) S T (x + t) a x + b x t S T (x) + (S T (x + 1) S T (x)) t, l x+t l x + (l x+1 l x )t ( l x 1 l ) x l x+1 t l x ( l x 1 d ) x t l x l x (1 q x t), δηλαδή t p x l x+t l x 1 q x t ή t q x q x t. Παραπέρα, από τη σχέση (4.1) συμπεραίνουμε ότι l x+t d t x, 0 t < 1, και σε συνδυασμό με τη (2.1) µ x+t d x l x+t d x lx l x+t l x q x tp x q x 1 t q x. 1 Τα αρχικά προέρχονται από την ομοιόμορϕη κατανομή των θανάτων σε κάθε έτος ηλικίας, Uniform Distribution of Deaths.
Εχουμε ότι p x t p x 1 t p x+t, επομένως ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 11 (4.2) (4.3) Ακόμα έχουμε ότι 1 tq x+t 1 1 t p x+t 1 p x t p x p x tp x tp x 1 1 q x 1 t q x q x t q x 1 t q x. (4.4) t 1 tq x t p x 1 t q x+t t p x p x q x t q x, όπου στο δεύτερο βήμα χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (4.2). Τέλος παρατηρούμε ότι (4.5) Ο πίνακας παίρνει τη μορϕή t t q x t p x µ x+t. Ποσότητα tq x Γραμμική Παρεμβολή t q x q µ x x+t 1 t q x q x (1 t) 1 tq x+t 1 t q x t 1 tq x q x (1 t) t t q x Πινακας 7. Συμπληρωμένος Πίνακας Γραμμικής Παρεμβολής Άσκησης 4.1 με 0 t < 1. q x Άσκηση 4.2. [CF M 2 ] Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι εκθετική συνάρτηση του t, της μορϕής e a x+b x t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Εκθετική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 8. Πίνακας Εκθετικής Παρεμβολής Άσκησης 4.2 S Tx (t) e a x+b x t t p x e t 0 µ x+udu, 2 Τα αρχικά προέρχονται από την σταθερή ενταση θνησιμότητας σε κάθε έτος ηλικίας, Constant Force of Mortality.
12 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ με x N {0} και 0 t < 1, επομένως µ x+t b x για κάθε 0 t < 1 ή διαϕορετικά σε κάθε διάστημα [0, 1) έχουμε στάθερη ένταση θνησιμότητας µ x+t µ x. Παραπέρα, έχουμε ότι (4.6) tp x e t 0 µ x+udu e tµ x (e µ x ) t (p x ) t, για κάθε 0 t < 1. Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.3), (4.4), (4.5) και (4.6) καταλήγουμε στον πίνακα Ποσότητα Εκθετική Παρεμβολή tq x 1 (p x ) t µ x+t µ x 1 tq x+t 1 (p x ) 1 t t 1 tq x (p x ) t p x t t q x (p x ) t µ x Πινακας 9. Συμπληρωμένος Πίνακας Εκθετικής Παρεμβολής Άσκησης 4.2 με 0 t < 1. Άσκηση 4.3. [Balducci] Αν υποθέσουμε ότι η αντίστροϕη συνάρτηση της συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι γραμμική συνάρτηση του t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Αρμονική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 10. Πίνακας Αρμονικής Παρεμβολής Άσκησης 4.3 1 S Tx (t) 1 S T (x + t) επομένως (4.7) a x + b x t ( 1 S T (x) + 1 S T (x + 1) 1 ) S T (x) 1 1 ( 1 + 1 ) t l x+t l x l x+1 l x 1 ( 1 + l ) x l x+1 t l x l x+1 1 ( 1 + d ) x l x t l x+1 ), 1 l x ( 1 + q x p x t t,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 13 δηλαδή (4.8) ή 1 tp x 1 + q x p x t p x + t q x p x, tq x q x t p x + t q x. Παραπέρα, από τη σχέση (4.7) συμπεραίνουμε ότι t l d x x+t l x+1 + d x t, 0 t < 1, και σε συνδυασμό με τη (2.1) µ x+t l x+1 l x d x lx + d x lx t q x. p x + t q x Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.3), (4.4), (4.5) και (4.8) καταλήγουμε στον πίνακα Ποσότητα tq x Αρμονική Παρεμβολή t q x p x+t q x q µ x x+t p x +t q x 1 tq x+t t 1 tq x t t q x (1 t) q x (1 t) p x q x p x +t q x p x q x (p x+t q x) 2 Πινακας 11. Συμπληρωμένος Πίνακας Αρμονικής Παρεμβολής Άσκησης 4.3 με 0 t < 1. Άσκηση 4.4. Ολες οι παραπάνω υποθέσεις για την κατανομή της κλασματικής ηλικίας, εμπεριέχονται στην παρακάτω οικογένεια υποθέσεων 3 (1 t + t(p x ) a x ) (ax) 1, a x 0, tp x (p x ) t, a x 0. 0 t < 1, Βρείτε αρχικά τη μορϕή της έντασης θνησιμότητας µ x+t, έπειτα τη μορϕή της t t q x και τέλος τη μορϕή της πυκνότητας της δεσμευμένης κατανομής της S x K x και την απο κοινού κατανομή f Sx,K x (t, k). 3 Για a x 1 έχουμε τη μέθοδο UDD, για a x 0 τη μέθοδο CF M και για a x 1 τη μέθοδο Balducci.
14 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Υπόδειξη. Για να υπολογίσουμε την ένταση θνησιμότητας µ x+t, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω σχέση e t 0 µ x+udu t 0 t p x µ x+u du ln( t p x ) µ x+t t ln( tp x ) 1 tp x t t p x, για τη συγκεκριμένη έκϕραση της t p x και να συμπεράνουμε ότι 1 (p x ) a x, a a x(1 t+t(p x) ax ) x 0, µ x+t 0 t < 1, ln(p x ), a x 0. Οσο αϕορά τη μορϕή της t t q x χρησιμοποιούμε τη σχέση (4.5) και καταλήγουμε 1 (p x) ax, a a x(1 t+t(p x) t t q x ax ) 1 (a x) 1 x 0, 0 t < 1, (p x ) t ln(p x ), a x 0. Παραπέρα, η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής S x K x, δίνεται από την παρακάτω σχέση (4.9) F Sx K x (t k) P(S x t K x k) P(S x t, K x k) P(K x k) P(k < T x k + t) P(K x k) k p x tq x+k kp x q x+k t q x+k q x+k, επομένως έχουμε για τη συνάρτηση πυκνότητας της δεσμευμένης κατανομής της S x K x ότι (4.10) f Sx K x (t k) t F S x K x (t k) η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση παίρνει τη μορϕή f Sx K x (t k) 1 q x+k t t q x+k 1 q x+k t t q x+k, 1 (p x+k ) a x+k q x+k a x+k (1 t+t(p x+k ) a x+k ) 1 (a x+k ) 1, a x+k 0, (p x+k) t ln(p x+k ) q x+k, a x+k 0. 0 t < 1,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 15 Τέλος, για την από κοινού κατανομή f Sx,K x (t, k) έχουμε ότι (4.11) δηλαδή f Sx,K x (t, k) f Sx,K x (t, k) t P(S x t, K x k) t ( kp x tq x+k ) k p x t t q x+k, kp x [1 (p x+k ) a x+k ] a x+k (1 t+t(p x+k ) a x+k ) 1 (a x+k ) 1, a x+k 0, k p x (p x+k ) t ln(p x+k ), a x+k 0. 0 t < 1, Άσκηση 4.5. Ποια η μορϕή της δεσμευμένης κατανομής της S x δεδομένου ότι K x k; Σε ποια από τις τρεις αναϕερόμενες μεθόδους ισχύει ότι η S x είναι ανεξάρτητη της K x ; Υπόδειξη. Η δεσμευμένη κατανομής της S x δεδομένου ότι K x k δίνεται από την σχέση (4.9) και στην περίπτωση γραμμικής παρεμβολής έχουμε στην περίπτωση εκθετικής παρεμβολής έχουμε F UDD S x K x (t k) t, F CF M S x K x (t k) 1 (p x+k) t 1 p x+k, ενώ στην περίπτωση αρμονικής παρεμβολής έχουμε F BLD S x K x (t k) t 1 (1 t) q x+k. Μόνο στην περίπτωση UDD η S x είναι ανεξάρτητη της K x, αϕού F UDD ανεξάρτητη του k. Άσκηση 4.6. Ποια η πιθανότητα άτομο ηλικίας c να αποβιώσει στο διάστημα ηλικιών (c + 1 2, c + 3 2 ), στην περίπτωση UDD και ποια στην περίπτωση Balducci, αν υποθέσουμε ότι q c a, q c+1 b με a, b (0, 1) δεδομένους αριθμούς; 5. Κεντρικος ρυθμος θνησιμοτητας Άσκηση 5.1. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο U DD και να συγκρίνετε με την ένταση θνησιμότητας. (5.1) m x d x L x d x 1 0 l x+tdt,
16 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ επομένως στην περίπτωση U DD, χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.1) έχουμε m x 1 d x 0 (l x d x t)dt d x l x 1 2 d x q x 1 1 2 q x µ x+ 1. 2 Άσκηση 5.2. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο CF M και να συγκρίνετε με την ένταση θνησιμότητας. η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή, (µ x+t µ x, 0 t < 1), επομένως 1 0 m x l x+t µ x+t dt 1 l 0 x+tdt µ x. Παραπέρα, χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.6) έχουμε m x ln(1 q x ). Άσκηση 5.3. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο Balducci; m x d x 1 0 l x+tdt όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (4.8). q x 1 0 t p x dt 1 0 q x p x p x+t q x dt (q x ) 2 p x ln(p x + t q x ) 1 t0 (q x ) 2 (1 q x ) ln(1 q x ), Άσκηση 5.4. [1, Παρ. σελ.116] Εστω ότι l x l 0 1 0.01x. (α) Μπορούμε να θεωρήσουμε την παραπάνω συνάρτηση ως μία συνάρτηση επιβίωσης; Αν ναι, τότε ποια είναι η οριακή ηλικία; (β) Ποια η ακριβής μορϕή του µ x ; (γ) Ποια η ακριβής μορϕή του m x ; (δ) Ποια η ακριβής μορϕή του f Tx (t); (ε) Ποια η ακριβής μορϕή της αναμενόμενης μέσης ηλικίας στο θάνατο ατόμων ηλικίας x;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 17 Άσκηση 5.5. [1, Παρ. σελ.114] Να δείξετε ότι ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας, m x, ικανοποιεί την παρακάτω μη-γραμμική διαϕορική εξίσωση ( ) (5.2) dm x m 2 x + p x µ x+1 µ x e o x:1 Παραπέρα, να επαληθεύσετε την (5.2) στην περίπτωση όπου η συνάρτηση επιβίωσης, S T (x), είναι της μορϕής (α) 1 x, *(β) e 3x, *(γ) 1 1+x. Άσκηση 5.6. [1, Α 2.22] Να δείξετε ότι ο ρυθμός θνησιμότητας, µ x, ικανοποιεί την παρακάτω μη-γραμμική διαϕορική εξίσωση (5.3) dµ x (µ 2x S T (x) ) dx, S T (x) όπου S T (x) συμβολίζει τη δεύτερη παράγωγο ως προς x της συνάρτησης S T (x). Παραπέρα, να επαληθεύσετε την (5.3) στην περίπτωση όπου η συνάρτηση επιβίωσης, S T (x), είναι της μορϕής 1 *(α), 1+x 1 *(β), 1+x 2 (γ) e 1 ex. Να βρείτε τη μορϕή της (5.3) όταν η συνάρτηση επιβίωσης είναι (α) 1 x, (De Moivre) ω (β) e cx, c > 0, εκθετική E(c). Άσκηση 5.7. [1, Α 2.26] Να υπολογίσετε τις ποσότητες e o x, e o και m x:1 x όταν η συνάρτηση επιβίωσης είναι εκθετική E(c), όπου c > 0. Παραπέρα, να δείξετε ότι η e o είναι ασυμπτωτικά x:1 ισοδύναμη με τη e o x καθώς το c, δηλαδή ισχύει e o x:1 lim 1. c e o x Αναϕορες [1] Χατζοπουλος Π.Φ. (2011). Μαθηματικά Ασϕαλίσεων Ζωής. Εκδόσεις Συμμετρία. dx.
18 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Σύμβολο Ερμηνεία T Διάρκεια ζωής ατόμου (μελλοντική ζωή νεογνού) T x υπολειπόμενη διάρκεια ζωής ατόμου ηλικίας x K x Ακέραια χρόνια υπολειπόμενης διάρκειας ζωής ατόμου ηλικίας x S T (t) Συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής F T (t) Συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής f T (t) Συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής µ x h T (x) Ενταση ή ρυθμός θνησιμότητας για άτομα ηλικίας x tp x S Tx (t) Συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x tq x F Tx (t) Συνάρτηση κατανομής υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x m nq x Πιθανότητα άτομο ηλικίας x να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών x + m και x + m + n e o x E(T x ) Προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x e x E(K x ) Ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x S x Κλάσμα έτους που ζει άτομο ηλικίας x. Δηλαδή T x K x + S x S(x) l 0 ή S(x) Αριθμός επιζώντων ηλικίας x, από ομάδα l 0 νεογέννητων l x E(S(x)) Αναμενόμενος αριθμός επιζώντων, από l 0 νεογέννητα, που ϕτάνουν στην ηλικία x n x Αριθμός θανάτων στο διάστημα [x, x + n] ομάδας l 0 νεογέννητων nd x E( n x ) Αναμενόμενος αριθμός θανάτων στο διάστημα [x, x + n] ομάδας l 0 νεογέννητων q [x s]+s Πιθανότητα άτομο που έχει επιλεγεί στην ηλικία x s να συμπληρώσει στην ασϕάλιση s ακέραια έτη L x 1 0 x+tdt Κεντρική έκθεση στον κίνδυνο για άτομα ηλικίας x m x d x /L x Κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας e o L x:1 x/l x Αναμενόμενος μέσος χρόνος ζωής στο διάστημα [x, x + 1) για άτομα ηλικίας x Πινακας 12. Συμβολισμοί Τμημα Μαθηματικων, Κατευθυνση Στατιστικης και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικων, Πανεπιστημιο Αιγαιου, Καρλοβασι, ΤΚ-83 200 Σαμος, Ελλαδα, Τηλ. +3022730-82343, istamatiou@aegean.gr, joniou@gmail.com