ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ ii Αν κ = 1και λ = 1 να βρείτε την f f ( ) iii Να βρείτε το όριο lim 0 1 0, Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με D f =D g =R Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η g είναι γνησίως αύξουσα στο R Για την f ισχύει f ( ) f ( ) 0 για κάθε εr και για την συνάρτηση g ισχύει i Να βρείτε ii iii g( ) 3 για κάθε εr lim f ( ) και lim g( ) 0 0 Αν f, g συνεχείς στο R να αποδείξετε ότι η εξίσωση στο (1,) ( 1) f ( 1) ( 1) Να βρεθεί το lim 1 3 f ( ) 1 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με lim 1 i Να δείξετε ότι f(0)=1 1 f ii Nα υπολογίσετε το lim 016 f ( 1) 1 (1) iii Να προσδιορίσετε το όριο lim 1 ( 1) iv Να δείξετε ότι υπάρχει ξε(0,1) έτσι ώστε να ισχύει f(ξ)+ξ+1= 1 1 f ( ) g( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 1
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f () f ()ημ συν για κάθε και f(0)=1 iνα δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f()+ημ, διατηρεί σταθερό πρόσημο ii Να δείξετε ότι f () 1 ημ f () 1 iii Να βρείτε τα όρια lim και lim f () 0 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f () 1 f () για κάθε i Να δείξετε ότι f () για κάθε ii Αν f(1)>1 τότε να βρείτε: α Τον τύπο της f β Το lim f () ημ γ Το lim f ( ) f ( ) 9 1 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: R R ώστε με f(0)=4 f ( ) i Να βρείτε τον τύπο της f f ( ) ii Βρείτε το lim 0 ln iii Αν g()=lnf(), τότε: α Βρείτε το πεδίο ορισμού της g καθώς και το lim g( ) β Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται, να βρείτε τον τύπο της g -1 καθώς και το g 1 ( ) lim e 3 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) 3ln e 4 i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την f ii Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της f iii Να λυθεί η εξίσωση f ( ) e iv Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει 3 3( 1) 6 3ln 4 3ln( ) 4( 1) e e 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ
4 Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) IR με τύπο f ( ) 3ln 1 i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f iii Να αποδείξετε ότι για κάθε IR, η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός 0 για τον οποίο 4 1 3 1 ισχύει: ln Έστω ότι για τη συνεχή συνάρτηση f : ισχύει ότι (-1)f()=α +β- για κάθε και Α(1,3)C f i Να βρείτε τα α, β ii Να δείξετε ότι f()=+, 1 iii Να βρείτε το lim f ()ημ f () iv Nα βρείτε το lim f ( ) Έστω f συνεχής για κάθε >0 για την οποία ισχύει i Να δείξετε ότι f ()-f()=1 για κάθε >0 f ( ) t t 1 lim f ( ) 1, με >0 t t t t ii Aν f(0)=1 να δείξετε ότι f()=+ 1 για κάθε >0 iii Βρείτε το σύνολο τιμών τιμών της f καθώς και την αντίστροφη αυτής iv Nα λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 1 1 f ( ) v Να δείξετε ότι η εξίσωση 015, για κάθε α>1 έχει μοναδική λύση ln a 1 3 Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει η σχέση f ( ) 3 3 f ( ), για κάθε IR i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο IR 1 ii Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το IR, ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f iii Να λύσετε την εξίσωση f ( ) 0 iv Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1 f ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 3
Έστω συνάρτηση f: R R με σύνολο τιμών το (1,+ ) και για κάθε εr ισχύει: f ( ) f() e 1 i Να βρείτε την συνάρτηση f ii Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f -1 iii f ( ) Βρείτε το lim 3 3 Έστω f:r R μία συνεχής συνάρτηση i Αν 1<f() e να δείξετε ότι η εξίσωση f()=e έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1] ii 1 Αν f(0)>1 και lim f ( ) να δείξετε ότι η εξίσωση f()= e έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα iii Αν f(α)+f(3α)=4α, α>0 και η f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) f ( ) 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,3α) 3 a iv Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση g:[1,3] R με g()=f()- Να δείξετε ότι υπάρχει f (1) f () 3 f (3) 7 0[1,3] ώστε g( 0) 6 3 Έστω συνάρτηση f: R R με f(0)= με f(f())+f()=4- για κάθε εr i Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 ii Να βρείτε το f() iii Αν η f είναι συνεχής στο R: f ( 0) α Να δείξετε ότι υπάρχει 0 ε(0,): 1 0 β Να βρείτε το f(1) γ Να λύσετε την εξίσωση f(ln+-1)=f(0)f(1) f ( ) f ( ) iv Αν lim lim m, 0 τότε: α Βρείτε τα lim f ( ) και lim f ( ) β Να βρείτε το γ Να βρείτε το mε (,0) lim f ( ) f ( ) 1 f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 4
Δίνεται η συνάρτηση f() με f 3 ( ) f ( ) για κάθε εr i Να δείξετε ότι η f() είναι γνησίως μονότονη, έχει μοναδική ρίζα και να προσδιορίσετε το πρόσημο της ii Να βρείτε το lim f ( ) 0 iii Να δείξετε ότι η f() είναι συνεχής στο R iv Να προσδιορίσετε την f -1 () καθώς και τα κοινά σημεία της γραφικής της παράσταση με αυτήν της f() v Αν g συνεχής συνάρτηση με g( 0 )= 0 όπου 0 η μοναδική ρίζα του α ερωτήματος και lim g( ), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ<0 για το οποίο 1 g( ) e f ( ) ( 1) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο R τέτοια ώστε lim 100 1 1 i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,) f ( ) f() 3 1 ii Να υπολογίσετε τα όρια lim και lim 1 1 1 1 3 3 iii Αν οι ρίζες της f()=0 είναι 1, και επιπλέον ισχύουν: lim f ( ) 0, lim f ( ) 0 να βρείτε το πρόσημο της f() iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξε[0,1] τέτοιο ώστε f(ξ)= f (0) f (1) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()=e -e - + 3 +-1 i Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε το πεδίο ορισμού και τη μονοτονία της αντίστροφης συνάρτησης της f ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=014+e έχει μοναδική ρίζα η οποία είναι θετική iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f -1 ()= έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1) iv Να λύσετε την ανίσωση f(e 1- +1)>f(ln+) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) 6 lim 1 0 f(-)+f(+)=( --) για κάθε εr ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 5
i Να προσδιορίσετε τις τιμές f(0) και f(4) ii Nα δείξετε ότι υπάρχει ξε(0,4) ώστε f(ξ)=0 iii Να δείξετε ότι υπάρχει ρε(0,4) ώστε να ισχύει 6 f ( ) f ( 1 ) f ( ) για κάθε 1, ε(0,4) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: f(y+f())=f()+y για κάθε,yεr και η συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ) 3e 3 Αν η f είναι αντιστρέψιμη τότε: i Να δείξετε ότι f()= (Yπόδειξη: Θέτω =f -1 ()) ii Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g iii Nα προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της g iv a 3 Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3 για τις διάφορες τιμές του αεr e Έστω f : (0, ) R μία συνάρτηση με inα βρείτε το σύνολο τιμών της f ii Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται iii Δείξτε ότι η f -1 είναι γνησίως αύξουσα f ( ) 1 1 ivαν θεωρήσουμε ότι η f -1 είναι συνεχής, υπολογίστε το 1 f ( ) lim 1 f ( ) Δίνεται συνάρτηση f :[0, 4] R συνεχής και γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση 4 f ( ) ( 4) διέρχεται από το Ν(0,5) Αν γνωρίζεται ότι: lim 18 4 3 1 i Να βρείτε το f(4) ii Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας και το σύνολο τιμών της f iii Να δείξετε ότι η ευθεία y=4 τέμνει την γραφική παράσταση της f σε μοναδικό σημείο iv Να δείξετε ότι υπάρχει ξε(0,4) τέτοιο ώστε 3f(ξ)=f(1)+f()+f(3) Δίνεται συνάρτηση f :[1,9] R συνεχής για την οποία ισχύει ότι: f(1)f(3)f(9)=7 και f ( ) 0 για κάθε ε[1,9] Να αποδείξετε ότι: i f()>0 για κάθε ε[1,9] ii Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξε[1,9] ώστε f(ξ)=3 iii Η εξίσωση f()= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,9] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 6
Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ()=f()+1 (1) για κάθε και f(0)=1 i Να βρείτε τον τύπο της f f () ii Να βρείτε τα όρια lim f () και lim 0 ημ iii Να δείξετε ότι υπάρχει ο (0,1) τέτοιο ώστε o 1 e f ( o ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει (+1)f()= ++α για κάθε 1 i Να δείξετε ότι α=-1 ii Να βρείτε τον τύπο της f iii Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=-ημ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1) f () iv Να βρείτε το lim, ν Ν ν o Έστω η συνάρτηση f()=e +ln-3 i Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το σύνολο τιμών iii Να δείξετε ότι η εξίσωση e +ln=3 έχει μοναδική ρίζα 1 iv Να βρείτε το lim f Δίνεται η συνάρτηση f()= --συν i Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο π Δ 0, ii Να βρείτε το f(δ) και να δείξετε ότι η εξίσωση =+συν έχει μοναδική λύση στο f () 3 iii Να βρείτε το lim 0 iv Να βρείτε το lim f () π 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 7
Έστω συνεχής συνάρτηση f :[0,5] R τέτοια ώστε f(0)=-1, f()=4 και f(5)=1 Aν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,5] να βρείτε: iτο σύνολο τιμών της f iito πλήθος των ριζών της f()=0 iiiτο πλήθος των ριζών της f()= Έστω συνεχής συνάρτηση f :[1,4] R τέτοια ώστε f(1)=1, f()=3, f(3)= και f(4)=4 Αν η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα [1,], [,3] και [3,4], να βρείτε: i Το σύνολο τιμών της f ii Το πλήθος των ριζών της f()=α για τις διάφορες τιμές του αεr Δίνεται η συνάρτηση f()=ημ, ε [0, ] i Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f ii Να βρείτε το f -1 (0) iii Αν η f -1 είναι συνεχής, να βρείτε το 1 1 0 f ( ) lim Δίνονται f, g: R R οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε f()g() 1+f() για κάθε ε i Nα αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο R ii Aν g()=1, να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι η εξίσωση g()=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,) Έστω συνάρτηση f: (,4) R η οποία είναι συνεχής και τέτοια ώστε f ( ) 1 και f ( ) 5 Να αποδείξετε ότι: i Υπάρχουν 1, ε(,4) τέτοια ώστε f( 1 )<1 και f( )>5 ii Υπάρχει 0 ε(,4) τέτοιο ώστε f( 0 )= 0 lim lim 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 8
Έστω συνάρτηση f : R R συνεχής και 1-1 για την οποία ισχύει f(3)f(4)<0 Nα αποδείξετε ότι: i f(1)f()>0 ii Η εξίσωση f()f(+1)=1- έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1) iii Η εξίσωση (-1)f(+1)f(+)=(-)f()f(+1) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,) Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και τέτοια ώστε f(4)<0 και f(3)f(6)=-18 Αν η C f έχει με τον άξονα ακριβώς δύο κοινά σημεία Α(1,0) και Β(5,0) να αποδείξετε ότι: i f()f(3)>0 ii f(7)>0 iii Υπάρχει 0 εr ώστε f( 0 )=3-0 3 3 4 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) i Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το όριο lim f ( ) iii Να βρείτε το όριο lim f ( ) iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μία ακριβώς ρίζα στο ΙR για κάθε IR, 0 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f ( ) 0 8 16 3, 0 i Να βρείτε τα κ, λ ii Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) iii Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) ln 8 1 διάστημα (0,1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 9
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει IR, 0 i Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR ii Αν f(0) = - να βρείτε τον τύπο της f f ( ) 3 iii Να υπολογίσετε το όριο: lim, 3 43 f ( ) 3 iv Να υπολογίσετε το όριο: lim, 3 3 43 f ( ) 1 για κάθε Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει i Να βρείτε τον τύπο της f ii Να υπολογίσετε το lim f () iii Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα 1 f () ημ ημ για κάθε 0 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f () 1για κάθε ii Να δείξετε ότι η C f τέμνει την ευθεία ε: y= σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ο (0,1) iii Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: 1 1 a Η συνάρτηση g() 1 f () e, είναι γνησίως φθίνουσα στο a Η εξίσωση e +f()=e f() έχει μοναδική ρίζα στο (0,) 1 iii Να βρείτε το lim f ln 0 Έστω f()=e +ln-3,>0 i Να βρείτε την μονοτονία της ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να δείξετε ότι η e +ln=3 έχει μοναδική λύση iv Βρείτε την συνάρτηση g: (0, ) (0, ) με e g() +lng()=+ln(ln), >0 i Βρείτε το 1 lim f και το lim g( e 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 10
Έστω f:r R μία συνεχής συνάρτηση i Αν 1<f() e να δείξετε ότι η εξίσωση f()=e έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1] 1 ii Αν f(0)>1 και lim f ( ) να δείξετε ότι η εξίσωση f()= e έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα iiiαν f(α)+f(3α)=4α, α>0 και η f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) f ( ) 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,3α) 3 a iv Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση g:[1,3] R με g()=f()- Να δείξετε ότι υπάρχει f (1) f () 3 f (3) 7 0[1,3] ώστε g( 0) 6 3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [0,1] για την οποία ισχύουν: f ( ) o lim 3 1 1 o f ( ), [0,1] i Βρείτε το f(1) f ( ) f (1) ii Βρείτε τo lim 1 1 iii Δείξτε ότι f(0)= iv Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία ε: +y-3=0 σε ένα τουλάχιστον σημείο Ρ του οποίου η τετμημένη 0 ε(0,1) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν: o f(0)=f()=4 o f (1) f () f (3) f (4) o f f ( ) 1 f f ( ) 4 f f ( ) 3 f f ( ) για κάθε εr i Να δείξετε ότι f()>0 για κάθε εr ii Nα δείξετε ότι f(4)f(5)=f(6)f(7) v Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξε[4,5] ώστε vi Να δείξετε ότι η f δεν είναι 1-1 f ( ) f(4)f(5) 1 3 vii Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ρε[0,] ώστε f ( ) 3 f ( ) f ( ) f (1) viii Nα δείξετε ότι υπάρχουν 1, [0,] με 1 1 ώστε f ( ) f ( 1) 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 11
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,1) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f () 5 lim 4 και ημ(-1)+10(-1) 3 (-1)f() 8-14+6 για κάθε ε(0,1) 0 i Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f () ii iii iv 0 1 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h()=f()-ln-4, ε(0,1) f () 4 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() e τέμνει την y= σε μοναδικό σημείο με τετμημένη ρε(0,1) 4 f () Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e e στο διάστημα (0,1) για κάθε λεr Η συνάρτηση f :[0, 4] R είναι συνεχής κσι ισχύουν f(0)= και f(f())+f()=6 για κάθε ε[0,] i Να βρείτε το f(3) ii Δείξτε ότι η C f τέμνει τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων σε ένα τουλάχιστον σημείο iii Δείξτε ότι η C f διέρχεται από το σημείο Ν(9,31) iv Δείξτε ότι υπάρχει 0 ε[0,4] ώστε 4f( 0 )=f(1)+6 Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :[,8] f()f(4)f(8)=64 i Δείξτε ότι f()>0 για κάθε ε[,8] ii Δείξτε ότι υπάρχει 1 ε(,8) ώστε f( 1 )=4 iii Δείξτε ότι υπάρχει ε(,8) ώστε f( )= iv 1 Δείξτε ότι υπάρχει 0 ε[,8] ώστε να ισχύει f ( 3 ) 4 * R για την οποία ισχύει Δίνεται η συνάρτηση f()=e + και η g: R R για την οποία ισχύει g 3 ( ) g( ) e i Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξε(-1,0) τέτοι ώστε f(ξ)=0 ii Δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα και βρείτε το πρόσημό της iii Να λύσετε την ανίσωση g(f())>1 iv Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της g είναι το R Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [-1,1] για την οποία ισχύουν: f()>0 για κάθε ε[-1,1] m<f(1)<m, όπου m και Μ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο [-1,1] i Nα δείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 1
ii Να δείξετε ότι υπάρχει ρε(-1,1) τέτοιο ώστε f ( ) mm f (0) m M iii Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξε(-1,1) τέτοιο ώστε f ( ) 3 1 e ( ), 1 Έστω f()= 3, 1< ln( 1) ( ) 1, > i Βρείτε τα α,βεr ώστε η f να είναι συνεχής ii Για α=1 και β=1 να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε σημείο 1 Μ(γ,f(γ)), με γε 1, iii Δείξτε ότι υπάρχει ξε(,4) ώστε να ισχύει f(ξ)-ln=0 iv Αν h()=f()+ e ln, ε[ 3, ] δείξτε ότι η h παίρνει ελάχιστη τιμή για κάποιο 0 και ότι αυτό το 0 δεν μπορεί να είναι εσωτερικό του ( 3, ) f () 1 Έστω f :[1,100] R για την οποία e f () e 1 για κάθε ε[1,100] i Δείξτε ότι η f () 1 για κάθε ε[1,100] ii Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της f iii Αν g()=lnf() α Να δείξετε ότι g()>0 για κάθε ε[1,100] β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξε(1,100) ώστε g( ) 016 017 ln f (1) f (100) 4033 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία f () για κάθε εr Aν είναι: 1 o lim f () 0 016 o f () f () 1 για κάθε πραγματικό αριθμό i Nα αποδείξετε ότι για κάθε εr είναι f()-<0 ii Nα δείξετε ότι f () 1 για κάθε εr iii Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της iv Να δείξετε ότι η εξίσωση f () 1 1, με λ>0 είναι αδύνατη e v Αν γνωρίζεται ότι η συνάρτηση f -1 1 f () ln είναι συνεχής, να προσδιορίσετε το lim 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ 13