1 of 23 vector maxmzaton 1.ΑΡΙΣΤΑ ΚΑΤΑ PRETO ΣΗΜΕΙΑ Τα αριστα κατα παρετο σημεια,η διανυσματικα μεγιστα, οριζονται παντα ως προς n μια συναρτηση στοχου της μορφης f( x = ( f ( x, f ( x,..., f ( x, xîr,και ενα εφικτο συνολο SÌ R n. Η συνηθης ερμηνεια ειναι οτι 1 2 Τα σημεια x περιγραφουν κατανομες των πορων η συναρτηση ( f x ειναι η συναρτηση οφελους του παικτη = 1,.., το εφικτο συνολο S περιγραφει τους περιορισμους που θετουν στις κατανομες των πορων η τεχνολογια,οι διαθεσιμοι ποροι,και η διαθεσιμη πληροφορηση Ενα σημειο θα λεγεται εφικτο εαν και μονο εαν ανηκει στο εφικτο συνολο S ΟΡΙΣΜΟΣ Το σημειο x ειναι καλυτερο κατα παρετο απο το σημειο x * εαν μπορουμε να χωρισουμε τους παικτες σε δυο συνολα Iτετοια, ωστε καθε παικτης στο προτιμα το x απο το x * f( x > f( x*,"î καθε παικτης στο I ειναι αδιαφορος αναμεσα στο x και το x * f( x = f( x*,"î I Το περιεχει εναν τουλαχιστο παικτη.το I μπορει να ειναι και κενο. ΟΡΙΣΜΟΣ το εφικτο σημειο x * ειναι αριστο κατα παρετο της συναρτησης f στο εφικτο συνολο S εαν δεν υπαρχει κανενα εφικτο σημειο καλυτερο κατα παρετο απο αυτο. f x f x για καθε Î{ 1,.., } xî S και ( ³ ( * f( x = f( x * για καθε Î{ 1,.., } συνεπαγεται Τα αριστα κατα παρετο σημεια(pareto effcent ponts,pareto optmal ponts ονομαζονται και διανυσματικα μεγιστα(vector maxma Spyros Vasslas 1
2 of 23 vector maxmzaton Οταν η διασταση του πεδιου τιμων της συναρτησης στοχου f : S R ειναι = 1 τοτε τα διανυσματικα μεγιστα ειναι τα συνηθη ολικα μεγιστα. Ο συμβολισμος max f( x, xî S θα σημαινει οτι αναζητουμε τα διανυσματικα μεγιστα της συναρτησης στοχου f στο εφικτο συνολο S. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 MORE IS ETTER,NO EXTERNLITIES Θεωρουμε οικονομια με δυο παικτες,τους Α και Β ενα αγαθο Η συνολικη διαθεσιμη ποσοτητα του αγαθου ειναι 1 Η μεταβλητη Α θα συμβολιζει το επιπεδο καταναλωσης του παικτη Α Η μεταβλητη Β θα συμβολιζει το επιπεδο καταναλωσης του παικτη Β Οι κατανομες των πορων θα ειναι τα ζευγη (, Οι προτιμησεις των παικτων περιγραφονται απο τις συναρτησεις οφελους Παικτης Α U(, = Παικτης Β V(, = Οι προτιμησεις αυτες εκφραζουν τις υποθεσεις της απληστειας(greed,more s better, και της αδιαφοριας για τους αλλους (no externaltes. Με αυτα τα δεδομενα,η συναρτηση στοχου θα ειναι ( f(, = U (,, V (, = (, Με αυτα τα δεδομενα,το εφικτο συνολο θα ειναι S = {(, : + 1, ³, ³ } Τα σπαταλα κατα παρετο σημεια ειναι ολα αυτα που δεν εξαντλουν τους διαθεσιμους πορους {(, : + < 1, ³, ³ }.Καθε τετοιο σημειο επιδεχεται βελτιωση και για τους δυο παικτες. Spyros Vasslas 2
3 of 23 vector maxmzaton Τα αριστα κατα παρετο σημεια ειναι ολα αυτα που εξαντλουν τους διαθεσιμους πορους {(, : + = 1, ³, ³ }. Καθε τετοιο σημειο επιδεχεται βελτιωση για τον ενα παικτη μονο σε βαρος του αλλου. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 IDEL POINTS,NO EXTERNLITIES Το εφικτο συνολο ειναι S = {(, : + 1, ³, ³ } οι προτιμησεις ειναι Παικτης Α U(, =-( -a Παικτης Β V(, =-( -b 2 2 οπου τα a, b >, a + b 1 ειναι παραμετροι,που ονομαζονται ιδεωδη σημεια για τους παικτες Α,Β αντιστοιχως. Οι προτιμησεις αυτες εκφραζουν τις υποθεσεις της αδιαφοριας για τους αλλους,και της υπαρξης ενος ιδεωδους σημειου καταναλωσης για καθε παικτη. Η χρησιμοτητα του καθε παικτη εχει μοναδικο μεγιστο στο ιδεωδες σημειο του,και αυξανεται οσο πλησιαζει προς αυτο. Η υποθεσηa, b >, a + b 1 σημαινει οτι τα ιδεωδη σημεια ειναι εφικτα και συμβατα μεταξυ τους. η συναρτηση στοχου θα ειναι f = ( U V = -( -a -( -b (, (,, (, (, Το μοναδικο αριστο κατα παρετο σημειο ειναι το εξαντλει τους διαθεσιμους πορους. (, = ( a, b,παρολο που δεν Spyros Vasslas 3
4 of 23 vector maxmzaton Τα σπαταλα κατα παρετο σημεια ειναι ολα τα υπολοιπα,ακομα και αυτα που εξαντλουν τους διαθεσιμους πορους,διοτι καθε τετοιο σημειο επιδεχεται βελτιωση και για τους δυο παικτες,προς την κατευθυνση των βελων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 MORE IS ETTER,ONE-SIDED POSITIVE EXTERNLITIES Το εφικτο συνολο ειναι S = {(, : + 1, ³, ³ } οι προτιμησεις ειναι Παικτης Α U(, = alog +,< a < 1 Παικτης Β V(, = Οι προτιμησεις αυτες εκφραζουν τις υποθεσεις της απληστειας και,για τον Α, της φιλιας προς τους αλλους (postve externaltes. f(, = U (,, V (, = ( log +, η συναρτηση στοχου θα ειναι ( a Καθε σημειο παρετο θα εξαντλει τους πορους(εαν + <1 τοτε η αυξηση του Β οφελει και τους δυο παικτες,αρα θα εχουμε = 1 - U, = a log+ 1 - V, = 1- du a dv Παραγωγιζοντας βρισκουμε οτι = - 1, =-1,αρα τα σημεια παρετο θα ειναι d d du a αυτα οπου = - 1³ (στα υπολοιπα και οι δυο παικτες συμφωνουν στην d μειωση του Α. Spyros Vasslas 4
5 of 23 vector maxmzaton ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 MORE IS ETTER,TWO-SIDED NEGTIVE EXTERNLITIES Το εφικτο συνολο ειναι S = {(, : + 1, ³, ³ } οι προτιμησεις ειναι Παικτης Α U(, = -2 Παικτης Β V(, = -3 Οι προτιμησεις αυτες εκφραζουν τις υποθεσεις της απληστειας και της εχθροτητας προς τους αλλους (negatve externaltes f(, = U (,, V (, = ( -2, -3 η συναρτηση στοχου θα ειναι ( Συμφωνα με τον ορισμο,ενα εφικτο σημειο (, θα ειναι αριστο κατα παρετο εαν και μονο εαν καθε λυση ( των, ανισοτητων U (, ³ U (, Û - 2³ -2 V (, ³ V (, Û- 3³ -3 + 1, ³, ³ (1 ικανοποιει U(, = U(,, V(, = V(, Ολα τα σημεια (,? (, ειναι ΣΠΑΤΑΛΑ κατα παρετο,διοτι οι ανισοτητες (1 ικανοποιουνται και απο εφικτα σημεια σαν το (, = ( -e, - e?(,, e > U(, = - 2= - 2 + e > - 2 = U(, V(, = - 3= -3 + 2e > - 3 = V(, στα οποια εχουμε βελτιωση και για τους δυο παικτες. Ολα τα σημεια της μορφης (,, 1 ειναι ΑΡΙΣΤΑ κατα παρετο διοτι λυνοντας τις ανισοτητες (1 ως προς το σημειο (, U(, ³ U(, Û - 2³ V(, ³ V(, Û- 3³-3 + 1, ³, ³ βρισκουμε οτι η μοναδικη λυση τους ειναι (, = (,. ολα τα σημεια της μορφης (,, 1 ειναι ΑΡΙΣΤΑ κατα παρετο διοτι λυνοντας τις ανισοτητες (1 ως προς το σημειο (, Spyros Vasslas 5
6 of 23 vector maxmzaton U(, ³ U(, Û- 2³-2 V(, ³ V(, Û- 3³ + 1, ³, ³ βρισκουμε οτι η μοναδικη λυση τους ειναι (, = (, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 MORE IS ETTER,NONRIVLRY IN CONSUMPTION Το εφικτο συνολο ειναι S = {(, : 1, 1, ³, ³ } οι προτιμησεις ειναι Παικτης Α U(, = Παικτης Β V(, = f(, = U (,, V (, = (, η συναρτηση στοχου θα ειναι ( τo προβλημα διανυσματικης μεγιστοποιησης ειναι max f(, = (, subject to 1, 1, ³, ³ Spyros Vasslas 6
7 of 23 vector maxmzaton 2.ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΣΕ ΣΥΝΗΘΗ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ(SCLRIZTION Θα κατασκευασουμε συνηθη προβληματα μεγιστοποιησης της μορφης ΟΡΙΣΜΟΣ Παραμετρικο προβλημα max { g( x, q,subject to x Î C ( q x ισοδυναμα με το αρχικο προβλημα διανυσματικης μεγιστοποιησης. ορισμος Παραμετροποιηση(scalarzaton Το παραμετρικο προβλημα ειναι ισοδυναμο με το αρχικο προβλημα εαν ικανοποιει τις αρχες της πληροτητας και της ορθοτητας Ορισμος πληροτητα καθε αριστο κατα παρετο σημειο x * της f στο S ειναι και λυση του παραμετρικου προβληματος για καποια τιμη των παραμετρων q. Ορισμος ορθοτητα Για καθε τιμη των παραμετρων q,καθε λυση του αντιστοιχου παραμετρικου προβληματος ειναι και αριστο κατα παρετο σημειο της f στο S Θα συζητησουμε δυο τετοια παραμετρικα προβληματα 1.ελαχιστα εγγυημενα επιπεδα ευημεριας 2.γραμμικη συναρτηση κοινωνικης ευημεριας Spyros Vasslas 7
8 of 23 vector maxmzaton 2.1 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΕΓΓΥΗΜΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ Σε καθε προβλημα διανυσματικης μεγιστοποιησης max f( x = ( f ( x, f ( x,..., f ( x,subject to xîs 1 2 αντιστοιχουμε κ τον αριθμο συνηθη παραμετρικα προβληματα μεγιστοποιησης της μορφης probl em P( q (2 max f ( x subject to f ( x ³ q," j¹,x ÎS j j ΘΕΩΡΗΜΑ πληροτητα Εαν το σημειο x*îsειναι αριστο κατα παρετο τοτε ειναι μεγιστο ολων των P ( q για τις τιμες των παραμετρων q= fx ( * Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι αριστο κατα παρετο, αλλα οχι και μεγιστο του P ( 1 q και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση. Εαν το σημειο x * δεν ηταν μεγιστο του P ( 1 q τοτε θα υπηρχε σημειο x εφικτο στο P ( 1 q και καλυτερο απο το x *,δηλαδη τετοιο ωστε f ( x > f ( x* f ( x ³ f ( x* M 1 1 f ( x ³ f ( x* xîs Αντιφαση στην υποθεση οτι το σημειο x * ειναι αριστο κατα παρετο. Spyros Vasslas 8
9 of 23 vector maxmzaton ΘΕΩΡΗΜΑ ορθοτητα Εαν το σημειο x*îs ειναι μεγιστο ολων των P ( q για καποιες τιμες των παραμετρων q τοτε ειναι και αριστο κατα παρετο Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι μεγιστο ολων των P ( q αλλα δεν ειναι αριστο κατα παρετο,και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση.εαν το σημειο x * δεν ηταν αριστο κατα παρετο,θα υπηρχε xî S και παικτης κ τετοια ωστε f ( x > f ( x*, f( x ³ f( x*"¹.επειδη το σημειο x*îs ειναι μεγιστο του P ( q θα εχουμε f( x > f( x*, f( x ³ f( x*³ q"¹ δηλαδη το x ειναι εφικτο σημειο του P ( q και αποδιδει περισσοτερο απο το μεγιστο του P ( q. υπολογισμος ολων των σημειων παρετο με τη μεθοδο ελαχιστων εγγυημενων επιπεδων ευημεριας λυνω ολα τα προβληματα μεγιστοποιησης P( q, P( q,..., P ( q για ολες τις τιμες των παραμετρων q 1 2 Spyros Vasslas 9
1 of 23 vector maxmzaton Σε ορισμενες περιπτωσεις αρκει να λυσουμε μονο ενα απο τα προβληματα P ( q ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 κατ ουσιαν μοναδικα μεγιστα για καποιο P Υπαρχει παικτης,εστω ο παικτης 1,τετοιος ωστε για ολες τις τιμες των παραμετρων q,και για οποιαδηποτε δυο μεγιστα m, m του P ( 1 q, f( m = f( m ΘΕΩΡΗΜΑ ορθοτητα με κατ ουσιαν μοναδικα μεγιστα Εαν το P 1 εχει κατ ουσιαν μοναδικα μεγιστα,τοτε για ολες τις τιμες των παραμετρων q,καθε μεγιστο του και αριστο κατα παρετο P ( 1 q ειναι Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι μεγιστο του P ( 1 q αλλα δεν ειναι αριστο κατα παρετο,και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση.εαν το σημειο x * δεν ηταν αριστο κατα παρετο,θα υπηρχε xî S και καποιος παικτης,εστω ο 2, τετοια ωστε f ( x ³ f ( x* f ( x > f ( x* f ( x ³ f ( x*. M 1 1 3 3 f ( x ³ f ( x* Επειδη το σημειο x * λυνει το προβλημα P ( 1 q θα εχουμε f ( x ³ f ( x* f ( x > f ( x* ³ q f ( x ³ f ( x* ³ q M 1 1 3 3 f ( x ³ f ( x* ³ q δηλαδη αρα 2 3 το σημειο x ανηκει στο εφικτο συνολο του προβληματος P ( 1 q και αποφερει τουλαχιστον οσο και το μεγιστο του P ( 1 q, το σημειο x ειναι και αυτο μεγιστο του P ( 1 q, Spyros Vasslas 1
11 of 23 vector maxmzaton αρα δηλαδη για τα δυο αυτα μεγιστα xx, * του P ( 1 q ισχυει οτι f( x = f( x * f ( x = f ( x* f ( x = f ( x* f ( x = f ( x* M 1 1 3 3 f ( x = f ( x* αντιφαση στην ανισωση f ( x > f ( x *. Το θεωρημα ορθοτητας με κατ ουσιαν μοναδικα μεγιστα,μαζι με το θεωρημα πληροτητας, δειχνουν οτι η αναζητηση αριστων κατα παρετο συνισταται στην αναζητηση μεγιστων καποιου P ( με κατ ουσιαν μοναδικα τοπικα μεγιστα q υπολογισμος ολων των σημειων παρετο με τη μεθοδο ελαχιστων εγγυημενων επιπεδων ευημεριας εστω οτι υπαρχει P με κατ ουσιαν μοναδικα μεγιστα. Τοτε λυνω το προβλημα μεγιστοποιησης P ( q για ολες τις τιμες των παραμετρων q Spyros Vasslas 11
12 of 23 vector maxmzaton ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ max f(, = (, subject to + 1, ³, ³ problem P ( q max U(, = subject to V(, = ³ q + 1, ³, ³ Το προβλημα P ( q εχει μοναδικα μεγιστα τα σημεια (, = (1- q, q, q 1,αρα η λυση του P ( q αρκει για να δωσει ολα τα αριστα κατα παρετο σημεια ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ ( a ( b max f(, = (- -,- - subject to + 1, ³, ³ parameters a >, b >, a+ b 1 problem P ( q max U(, =-( -a 2 ( b q V(, =- - ³ + 1, ³, ³ solutons(over all q = a, 1-a 2 subject to solutons that are pareto optma = a, = b problem P ( q max U(, =-( -b 2 ( a q V(, =- - ³ + 1, ³, ³ solutons(over all q 1 - b, = b solutons that are pareto optma = a, = b 2 subject to Εδω η λυση ενος απο τα παραμετρικα προβληματα (εστω του P ( q θα δωσει το μοναδικο σημειο παρετο μαζι με απειρα αλλα σημεια που δεν ειναι αριστα κατα παρετο διοτι ο Β δεν ειναι αδιαφορος μεταξυ αυτων.επιβαλλεται η λυση και των δυο παραμετρικων προβληματων για να βρεθουν τα σημεια παρετο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ max f(, = ( alog +, subject to + 1, ³, ³ parameters < a < 1 Spyros Vasslas 12
13 of 23 vector maxmzaton problem P ( q max U(, = alog + subject to V(, = ³ q + 1, ³, ³ solutons ì 1 - q, q f a + q < 1 =í ï ( a,1- a f a + q ³ 1 î solutons that are pareto optma ï( (, all Εδω η λυση ενος απο τα παραμετρικα προβληματα (του P ( q για καθε q ειναι μοναδικη,αρα η λυση του σημεια. P ( q αρκει για να δωσει ολα τα αριστα κατα παρετο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ max f(, = ( -2, - 3 subject to + 1, ³, ³ problem P ( q max U(, = -2 subject to V(, = - 3 ³ q + 1, ³, ³ solutons (, ( q ì, f q 1 ï =íæ q ö ï -, f - 3 q ïç îè 3 ø solutons that are pareto optma all Εδω η λυση ενος απο τα παραμετρικα προβληματα (του P ( q για καθε q ειναι μοναδικη,αρα η λυση του σημεια. P ( q αρκει για να δωσει ολα τα αριστα κατα παρετο Spyros Vasslas 13
14 of 23 vector maxmzaton ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο ΟΡΙΣΜΟΣ Το σημειο x ειναι ομοφωνως καλυτερο κατα παρετο απο το σημειο x * εαν ολοι προτιμουν το x απο x *. f( x > f( x * για καθε Î{ 1,.., } ΟΡΙΣΜΟΣ το εφικτο σημειο x * ειναι ασθενως αριστο κατα παρετο της συναρτησης f στο εφικτο συνολο S εαν δεν υπαρχει κανενα εφικτο σημειο ομοφωνως καλυτερο κατα παρετο απο αυτο. f( x > f( x* για καθε Î{ 1,.., } συνεπαγεται xï S ΘΕΩΡΗΜΑ ορθοτητα οταν ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο. Εαν ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο,τοτε για ολες τις τιμες των παραμετρων q,καθε μεγιστο του κατα παρετο P ( 1 q ειναι και αριστο Spyros Vasslas 14
15 of 23 vector maxmzaton Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι μεγιστο του P ( 1 q αλλα δεν ειναι αριστο κατα παρετο,και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση.εαν το σημειο x * δεν ηταν αριστο κατα παρετο,τοτε δεν θα ηταν και ασθενως αριστο κατα παρετο,αρα θα υπηρχε xî S τετοιο ωστε f ( x > f ( x* f ( x > f ( x* f ( x > f ( x* M 1 1 3 3 f ( x > f ( x* Επειδη το σημειο x * λυνει το προβλημα P ( 1 q θα εχουμε f ( x > f ( x* f ( x > f ( x* ³ q f ( x > f ( x* ³ q M 1 1 3 3 f ( x > f ( x* ³ q δηλαδη 2 3 το σημειο x ανηκει στο εφικτο συνολο του προβληματος P ( 1 q και αποφερει περισσοτερο απο και το μεγιστο του P ( 1 q αντιφαση στην υποθεση οτι το σημειο x * ειναι μεγιστο του P ( 1 q. υπολογισμος ολων των σημειων παρετο με τη μεθοδο ελαχιστων εγγυημενων επιπεδων ευημεριας εστω οτι ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο Τοτε λυνω το προβλημα μεγιστοποιησης τιμες των παραμετρων q P ( 1 q για ολες τις Spyros Vasslas 15
16 of 23 vector maxmzaton ΘΕΩΡΗΜΑ. Μια περιπτωση οπου ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο. Εστω οτι μπορουμε να χωρισουμε τις n μεταβλητες x,.., 1 xn σε μη κενα συνολα 1 1 1 1 Q = { x, x,..., x } Q = { x, x,..., x } M 1 2 n1 1 2 n2 Q = { x, x,..., x } 1 2 τετοια ωστε n 1. Q I Q =Æ"¹, j j 2.Η συναρτηση f εξαρταται μονο απο τις τιμες των μεταβλητων στο συνολο Q (δεν υπαρχουν εξωτερικοτητες 3. Η συναρτηση f ειναι αυστηρως αυξουσα ως προς καθε μεταβλητη στο συνολο Q (μονοτονικοτητα Εστω επισης οτι το εφικτο συνολο ειναι της μορφης που προκυπτει σε μια οικονομια απο τους περιορισμους των πορων 1 2 n å å å 1 2 n = 1 = 1 = 1 S = { x³, x t, x t,..., x t } 1 n parameters t >,..., t > Τοτε καθε ασθενως αριστο κατα παρετο σημειο ειναι και αριστο κατα παρετο Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι ασθενως αριστο κατα παρετο αλλα οχι αριστο κατα παρετο,και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση.εαν το σημειο x * δεν ηταν αριστο κατα παρετο,θα υπηρχε xî S καλυτερο κατα παρετο,δηλαδη θα μπορουσαμε να χωρισουμε τους παικτες σε δυο συνολα ¹Æ, Iτετοια ωστε f( x > f( x*,"î, f( x = f( x*,"î I.Οριζουμε ενα νεο σημειο y ως εξης 1.Για καθε παικτη στο συνολο Β αφαιρουμε μια αρκετα μικρη ποσοτητα απο τις θετικες μεταβλητες που τον ενδιαφερουν ετσι ωστε f( x > f( y > f( x*,"î Spyros Vasslas 16
17 of 23 vector maxmzaton 2.οι μειωσεις των μεταβλητων που ενδιαφερουν τους παικτες στο Β αναδιανεμονται στους παικτες του Ι ως αυξησεις στις μεταβλητες που τους ενδιαφερουν,και αρα f( y > f( x*,"î I 3.Το σημειο y ειναι εφικτο( το x * ειναι ασθενως αριστο κατα παρετο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ yîs και ομοφωνως καλυτερο απο το x * max f(, = (, subject to + 1, ³, ³, αντιφαση στην υποθεση οτι ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ ( a ( b max f(, = (- -,- - subject to + 1, ³, ³ parameters a >, b >, a+ b 1 Τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια = a, < 1-a δεν ειναι αριστα κατα παρετο. Τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια < 1 - b, = b δεν ειναι αριστα κατα παρετο. Οι συναρτησεις δεν ειναι αυστηρως αυξουσες ως προς τις μεταβλητες που ενδιαφερουν τον καθε παικτη ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ max f(, = ( alog +, subject to + 1, ³, ³ parameters < a < 1 Συμφωνα με την αναλυση της σελιδας 5,ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο,παρολο που δεν πληρουνται οι υποθεσεις του θεωρηματος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ max f(, = ( -2, - 3 subject to + 1, ³, ³ Συμφωνα με την αναλυση της σελιδας 6,ολα τα ασθενως αριστα κατα παρετο σημεια ειναι και αριστα κατα παρετο,παρολο που δεν πληρουνται οι υποθεσεις του θεωρηματος. Spyros Vasslas 17
18 of 23 vector maxmzaton 2.2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οριο παρετο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Το οριο παρετο οριζεται ως η σχεση μεταξυ των επιπεδων χρησιμοτητας στα σημεια παρετο Στο προβλημα max f(, = (, subject to + 1,, ³ τα σημεια παρετο ειναι τα + = 1,, ³ οι χρησιμοτητες στα σημεια παρετο ειναι u =, u = = 1-,και αρα το οριο παρετο ειναι u + u = 1, u ³, u ³ Στο προβλημα max f(, = ( 2, 2 subject to + 1,, ³ τα σημεια παρετο ειναι τα + = 1,, ³ οι χρησιμοτητες στα σημεια παρετο ειναι =, = = ( 1-2 u = 1 - u, u 1 το οριο παρετο ειναι ( Στο προβλημα ( a ( b u u,και αρα f(, = (- -,- - subject to + 1,, ³ τα σημεια παρετο ειναι τα = a, = b οι χρησιμοτητες στα σημεια παρετο ειναι u =, u =,και αρα το οριο παρετο ειναι το σημειο ( u, u = (, 2 ΟΡΙΣΜΟΣ συνολο εφικτων επιπεδων χρησιμοτητας Το συνολο εφικτων επιπεδων χρησιμοτητας ειναι το συνολο κατω απο το οριο παρετο U 1 1 1 xîs utlty possblty set = {( u,..., u, u f ( x,..., u f ( x} Spyros Vasslas 18
19 of 23 vector maxmzaton ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Στο προβλημα max f(, = (, subject to + 1,, ³ το συνολο εφικτων επιπεδων χρησιμοτητας ειναι utlty possblty set = {( u, u, u, u, + 1, ³, ³ } Στο προβλημα max f(, = ( 2, 2 subject to + 1,, ³ Το συνολο εφικτων επιπεδων χρησιμοτητας ειναι Στο προβλημα ( a ( b f(, = (- -,- - subject to + 1,, ³ Το συνολο εφικτων επιπεδων χρησιμοτητας ειναι Spyros Vasslas 19
2 of 23 vector maxmzaton ΟΡΙΣΜΟΣ Μεγιστοποιηση γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριας problem w( q max W( x = q f ( x +... + q f ( x subject to xîs 11 parameters q ³,..., q ³, q +... + q = 1 1 1 ΘΕΩΡΗΜΑ πληροτητα οταν το συνολο των εφικτων επιπεδων καταναλωσης ειναι κυρτο,τοτε καθε αριστο κατα παρετο x * ειναι και μεγιστο του προβληματος w ( q για καποιες τιμες των παραμετρων q το συνολο εφικτων επιπεδων καταναλωσης ειναι κυρτο εαν το εφικτο συνολο ειναι κυρτο και ολες οι συναρτησεις f ( x,..., f ( x ειναι κοιλες. 1 Η κυρτοτητα ειναι απαραιτητη για να μπορει η μεθοδος της γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριας να υπολογισει ολα τα σημεια παρετο. Στο προβλημα max f(, = (, subject to + 1,, ³ το συνολο εφικτων επιπεδων καταναλωσης δεν ειναι κυρτο.οι λυσεις του προβληματος μεγιστοποιησης μιας γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριας W= q 2 + q 2 subject to + 1,, ³ ειναι ΜΟΝΟ ΔΥΟ σημεια παρετο,τα (, = (1, και (, = (,1 Spyros Vasslas 2
21 of 23 vector maxmzaton Η κυρτοτητα ΔΕΝ ειναι απαραιτητη για να μπορει η μεθοδος των ελαχιστων εγγυημενων επιπεδων ευημεριας να υπολογισει ολα τα σημεια παρετο. Στο προβλημα max f(, = (, subject to + 1,, ³,το συνολο εφικτων επιπεδων καταναλωσης δεν ειναι κυρτο.οι λυσεις του προβληματος μεγιστοποιησης max U = subject to U = ³ U, + 1,, ³ ειναι = U, = 1 - U, U 1,αρα περιγραφουν ολα τα σημεια παρετο. Στο προβλημα max f(, = (, subject to + 1,, ³ το συνολο εφικτων επιπεδων καταναλωσης ειναι κυρτο.οι λυσεις του προβληματος μεγιστοποιησης μιας γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριαs maxw = q U+ q V= q + q subject to + 1,, ³ ειναι ακριβως τα σημεια παρετο + = 1,, ³. Spyros Vasslas 21
22 of 23 vector maxmzaton ΘΕΩΡΗΜΑ ορθοτητα Εαν το σημειο x * ειναι μεγιστο του προβληματος w ( q για καποιες τιμες των παραμετρωνq,και ειτε q >, " ειτε x * w ( q ειναι το μοναδικο ολικο μεγιστο του προβληματος τοτε το σημειο x * ειναι και αριστο κατα παρετο Αποδειξη θα υποθεσουμε οτι το σημειο x * ειναι μεγιστο του προβληματος w ( q αλλα οχι αριστο κατα παρετο,και θα καταληξουμε σε μια αντιφαση.εαν το σημειο x * δεν ηταν αριστο κατα παρετο,θα υπηρχε xî S καλυτερο κατα παρετο,δηλαδη θα μπορουσαμε να χωρισουμε τους παικτες σε δυο συνολα ¹Æ, Iτετοια ωστε f( x > f( x*,"î, f( x = f( x*,"î I. Στην περιπτωση που q >, " εχουμε qf( x > qf( x*,"î, qf( x = qf( x*,"î I å å Αθροιζοντας βρισκουμε οτι q f ( x > q f( x *,αντιφαση στην υποθεση οτι το σημειο = 1 = 1 x * ειναι μεγιστο του προβληματος w ( q. Στην περιπτωση που το x * ειναι το μοναδικο ολικο μεγιστο του προβληματος w ( q,θα πρεπει να å å εχουμε q f ( x < q f( x *(αλλοιως το xî S = 1 = 1 θα ηταν και αυτο μεγιστο.ταυτοχρονα ομως οι ανισοτητες f( x > f( x*,"î, f( x = f( x*,"î I συνεπαγονται å å q f ( x ³ q f( x *,αντιφαση. = 1 = 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (ΣΥΝΕΧΕΙΑΜΗ ΟΡΘΕΣ ΛΥΣΕΙΣ max f(, = (, subject to 1, 1, ³, ³ το συνολο εφικτων επιπεδων καταναλωσης ειναι κυρτο. Οι λυσεις του προβληματος μεγιστοποιησης μιας γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριαs οταν q = max W= subject to 1, 1, ³, ³ ειναι τα σημεια = 1, 1.Απο αυτα μονο το = 1, = 1ειναι αριστο κατα παρετο. Spyros Vasslas 22
23 of 23 vector maxmzaton υπολογισμος ολων των σημειων παρετο με τη μεθοδο της γραμμικης συναρτησης κοινωνικης ευημεριας λυνω το προβλημα μεγιστοποιησης των παραμετρων q w ( q για ολες τις τιμες το προβλημα ορθοτητας στην περιπτωση που καποια παραμετρος ειναι ιση με το μηδεν και υπαρχουν πολλαπλα μεγιστα μπορει να λυθει με παραιτερω μεγιστοποιησεις της συναρτησης κοινωνικης ευημεριας σε καταλληλα επιλεγμενα υποσυνολα του εφικτου συνολου. Spyros Vasslas 23