Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1α 1β 2 3 Σύνολο Κ Ε
ΑΜ: Σελ. 2 από 5 Θέμα 1α [Δεν παίρνει μονάδες, αλλά μόνο αν είναι σωστό θα βαθμολογηθεί το άλλο ερώτημα αυτού του θέματος]. Έστω ϕ και ψ προτάσεις πρωτοβάθμιας γλώσσας και A δομή της γλώσσας. Ποιος ή ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) = A (ϕ ψ) ανν = A ϕ είτε = A ψ. (II) (ϕ ψ) έγκυρη ανν ϕ έγκυρη είτε ψ έγκυρη. (III) (ϕ ψ) έγκυρη ανν ϕ έγκυρη και ψ έγκυρη. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ο ισχυρισμός (Ι) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (2) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙ) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (3) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙI) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (4) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙII) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (5) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (6) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (ΙI) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (7) Ουδείς αληθεύει. (8) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό σε αυτό το φύλλο θεμάτων είναι το (5) (η αρίθμηση διαφέρει από φύλλο σε φύλλο).
ΑΜ: Σελ. 3 από 5 Θέμα 1β [3,5 μονάδες]. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε τύπους της προτασιακής λογικής ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4, ο τύπος ((ϕ 1 ϕ 2 ) ((ϕ 3 ϕ 4 ) ((ϕ 2 ϕ 4 ) (ϕ 1 ϕ 3 )))) είναι ταυτολογία. Υπόδειξη: Υποθέστε ότι υπάρχει αποτίμηση που τον καθιστά ψευδή. Απάντηση: Ας καλέσουμε χάριν συντομίας ϕ τον τύπο που πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι ταυτολογία. Θεωρούμε, στοχεύοντας σε άτοπο, ότι υπάρχει αποτίμηση v τέτοια ώστε v(ϕ) = f (ψέματα). Επειδή μια συνεπαγωγή παίρνει την τιμή αλήθειας f (αλήθεια) ανν η υπόθεση είναι t και το συμπέρασμα f, συμπεραίνουμε ότι: v(ϕ 1 ϕ 2 ) = t και v((ϕ 3 ϕ 4 ) ((ϕ 2 ϕ 4 ) (ϕ 1 ϕ 3 ))) = f. (1) Παρομοίως από το δεύτερο μέρος της (1) συμπεραίνουμε ότι: και πάλι παρομοίως: v(ϕ 3 ϕ 4 ) = t και v((ϕ 2 ϕ 4 ) (ϕ 1 ϕ 3 )) = f, (2) και επίσης παρομοίως: v(ϕ 2 ϕ 4 ) = t και v(ϕ 1 ϕ 3 ) = f, (3) v(ϕ 1 ) = t και v( ϕ 3 ) = f, άρα v(ϕ 3 ) = t. (4) Επειδή τώρα αν μία συνεπαγωγή και η υπόθεσή της είναι αληθείς, συμπεραίνουμε ότι και το συμπέρασμά της είναι αληθές από τα πρώτα μέρη των (1), (2) συμπεραίνουμε ότι: v(ϕ 2 ) = t και v(ϕ 4 ) = t, (5) οπότε από το πρώτο μέρος της (3) έχουμε ότι v( ϕ 4 ) = t, που αντιβαίνει στο δεύτερο μέρος της (5).
ΑΜ: Σελ. 4 από 5 Θέμα 2 [3,5 μονάδες]. Θεωρούμε την πρωτοβάθμια γλώσσα L θα της Θεωρίας Αριθμών (με σύμβολο ισότητας) της οποίας τα μη λογικά σύμβολα είναι: ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο <, δύο διθέσια σύμβολα συναρτήσεων + και, ένα μονοθέσιο συναρτησιακό σύμβολο και ένα μονοθέσιο σύμβολο σταθεράς 0. Έστω ακόμη N = N, <, +,,, 0 η τυπική (συνήθης) ερμηνεία της L θα. Να γράψετε πρόταση ϕ στην L θα της οποίας η ερμηνεία στην να βεβαιώνει την αλήθεια της εικασίας του Goldbach (κάθε άρτιος 4 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων). Nα περιγράψετε τη ϕ με δομημένο τρόπο, δηλαδή να δώσετε πρώτα μερικότερους τύπους από τους οποίους να συνθέσετε τη ϕ. Για τους μερικότερους τύπους να εξηγήσετε, με δυο λόγια, τι σημαίνει η ερμηνεία τους στη N. Δυσνόητες ή περίπλοκες ή δυσανάγνωστες λύσεις δεν θα γίνουν δεκτές. Μπορείτε, για λόγους οικονομίας, να μην ξεχωρίσετε τη γραφή ενός συμβόλου από τη γραφή της ερμηνείας του και επίσης να προβείτε σε εύλογες συντμήσεις συμβολισμών. Χρησιμοποιήστε διαφορετικού μεγέθους παρενθέσεις καθώς και αγκύλες για ευανάγνωστο αποτέλεσμα. Μη μουντζουρώνετε. Απάντηση: Έστω ϕ 1 (x) ο τύπος (0 < x) y z[x = y z (y = 0 z = 0 )] ο οποίος ερμηνεύεται ως «ο x είναι πρώτος». Έστω ϕ 2 (x) ο τύπος y(x = y + y), ο οποίος ερμηνεύεται ως «ο x είναι άρτιος». Τότε ο ζητούμενος τύπος είναι ο: x[ϕ 2 (x) (0 < x) y z((x = y + z) ϕ 1 (x) ϕ 1 (y))].
ΑΜ: Σελ. 5 από 5 Θέμα 3 [3,5 μονάδες].έστω ϕ(x) τύπος πρωτοβάθμιας γλώσσας με μόνη ελεύθερη μεταβλητή τη x. Είναι έγκυρη η πρόταση x[ϕ(x) xϕ(x)]; Να δικαιολογήσετε προσεκτικά την απάντησή σας. Απάντηση: Ναι είναι έγκυρη. Έστω ότι δεν ήταν. Τότε θα υπήρχε δομή A στην οποία θα επαληθευόταν η πρόταση x[ϕ(x) xϕ(x)]. Επομένως στην A θα επαληθευόταν η πρόταση άρα και η πρόταση: x [(ϕ(x) xϕ(x)], x[ϕ(x) ( xϕ(x))]. (6) Επειδή όμως η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στη xϕ(x) από τη σχέση (6) συμπεραίνουμε ότι στη δομή A επαληθεύεται η πρόταση άτοπο. xϕ(x) ( xϕ(x)), (7)