ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς Συναρτήσεις Συνέχεια Συνάρτησης σε Διαστήματα πλην των Βασικών Θεωρημάτων του κεφ..8 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να εξετάσετε ποιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχής στο σημείο :. f( ) 4 = αν, = >. f( ) ηµ συν = αν, = = f = ln. ( ) αν [ ),, = < 4. ( ) f = > αν =, = <. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι προφανώς το. Για να δούμε αν είναι f. συνεχής στο θα πρέπει τα πλευρικά όρια της f να είναι ίσα με την lim f = lim 4 = 8, Έχουμε
lim f lim 8 = = και f = 8. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο =.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το. Θα εξετάσουμε τώρα αν lim f f f =. Για να υπολογίσουμε όμως το παραπάνω όριο =. Έχουμε εργαζόμαστε ως εξής: ηµ συν = ηµ συν ηµ, επειδή συν. Οπότε ηµ ηµ συν ηµ. lim ηµ = lim ηµ =, εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής Επειδή έχουμε lim ηµ συν =. Άρα lim f ( ) f = δηλαδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το A (,) = δηλαδή το = δεν ανήκει στο A, επομένως δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν η f είναι ή δεν είναι συνεχής στο =. 4. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το. Παρατηρούμε ότι f = και ( ) lim f ( ) = lim = lim ( ) = διότι = αφού πλευρικό όριο είναι διαφορετικό από το είναι συνεχής στο. >. Άρα το ένα f =. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού. Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο. Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια στο σημείο και ελέγχουμε αν είναι ίσα με την Το αποτέλεσμα του ελέγχου μας καθορίζει αν η συνάρτηση μας είναι ή δεν είναι συνεχής στο σημείο. f.
Παράδειγμα. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι συνεχής: f συν ηµ = ηµ αν < Στο διάστημα (, ) η συνάρτηση είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, αφού η ( ) συν ηµ είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ηµ και συν και η - είναι συνεχής ως σταθερή. Στο διάστημα (,) συναρτήσεων η συνάρτηση είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών ηµ και. Θα εξετάσουμε αν είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει τύπο η συνάρτηση δηλαδή στο =. ηµ Παρατηρούμε ότι f = και lim f ( ) = lim ( ηµ ) = lim =. Άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο =. Οπότε η δοθείσα συνάρτηση είναι * συνεχής στο. f (), Όταν η συνάρτηση f έχει τύπο : f() = f (), > και ζητείται να εξετάσουμε την f ως προς τη συνέχεια εργαζόμαστε ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα : Εξετάζουμε τη συνέχεια στο (, ), χρησιμοποιώντας τη συνέχεια βασικών συναρτήσεων και πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο (, ), χρησιμοποιώντας τη συνέχεια βασικών συναρτήσεων και πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέχειας.
Παράδειγμα. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ αν η συνάρτηση f = κ λ ln είναι συνεχής. αν < < Η συνάρτηση είναι συνεχής, άρα τα πλευρικά όρια στα σημεία που αλλάζει μορφή η συνάρτηση θα πρέπει να είναι ίσα με την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Ισχύει: f ( ) lim f ( ) lim f ( ) = =. Δηλαδή: f = lim = lim κ λ =κλ (). Ισχύει: lim f ( ) lim f ( ) f ( ) = =. f = lim κ λ = lim ln κλ= (). Δηλαδή: Από τις σχέσεις () και () λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε ότι λ= και κ=. Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης. Θα πρέπει να είναι ίσα με την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Με αυτό τον τρόπο σχηματίζουμε σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τις παραμέτρους τις οποίες αναζητούμε. Το επιλύουμε και βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων. 4
Παράδειγμα 4. Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f :[ 5, ) για την οποία ισχύει: f() = 5 f() () για κάθε D f = [ 5, ). Από την () για κάθε [ 5, ) (, ), έχουμε συνεχής στο [ 5, ), θα είναι και συνεχής στο 5 f() =. Εφ όσον η f είναι =, δηλαδή θα ισχύει: limf() = f( ) (). Για [ 5, ) (, ), έχουμε: 5 5 5 f() = = = = 5 ( )( 5 ) 5, συνεπώς lim f () = lim =, 5 4 οπότε λόγω της (), παίρνουμε ότι: f ( ) =. 4 Άρα ο τύπος της συνάρτησης f είναι: 5, [ 5, ) (, ) f() =, = 4 Από τον ορισμό γνωρίζουμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο A όταν ισχύει: lim f f( ) =. Αν μας ζητούν την τιμή f( ) τότε αρκεί να βρούμε το lim f ( ). 5
Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : η οποία πληροί τη παρακάτω σχέση: συν f για κάθε. Να βρείτε την f( ). Από τη δοσμένη ανισοτική σχέση λαμβάνουμε: συν f f συν για κάθε. Οπότε: Για > έχουμε f( ) συν συν = και συν lim f ( ) lim = και για < έχουμε f( ) συν lim f ( ) lim = συν συν = και Άρα lim f ( ) = και επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει f =. Από τον ορισμό γνωρίζουμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο A όταν ισχύει: lim f = f. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A και σαν δεδομένο έχουμε μία ανισοτική σχέση, τότε υπολογίζουμε το f( ) κάνοντας χρήση των πλευρικών ορίων και καταλήγουμε σε σχέσεις της μορφής f( ) κ και f( ) κ οπότε f( ) = κ με κ. 6
Παράδειγμα 6. Έστω ότι η συνάρτηση f : είναι συνεχής στο σημείο f για κάθε. 4 αν γνωρίζουμε ότι ισχύει: =. Να υπολογίσετε το f( ) Για = λαμβάνουμε: f () και επειδή λόγω συνέχειας το f () ± έχουμε ότι ισχύει η σχέση ( ισχύει το = ) Αφού με αυτόν τον τρόπο δεν μπορούμε να βρούμε το f (), θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο παρεμβολής. Καταρχήν παραγοντοποιούμε το πρώτο και το τρίτο μέλος της ανισότητας και έχουμε: ( )( ) ( )f() ( ) έπειτα για διαιρούμε με το οπότε Αν > έχουμε: f. lim[ ] = lim =, Είναι lim f =. οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε Αν < έχουμε: f. lim[ ] = lim =, Είναι lim f =. οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε Άρα lim f = f = διότι η f είναι συνεχής στο =. "Εγκλωβίζουμε" την δοσμένη συνάρτηση ανάμεσα σε άλλες που έχουν ίδιο όριο και κάνουμε χρήση του κριτηρίου παρεμβολής. Υπολογίζουμε το όριο αυτής. 7
Παράδειγμα 7. Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής στο και της f στο 9. 5f () 6 lim = 5 9 να βρείτε την τιμή Θέτουμε Έχουμε 5f () 6 g() =, 9 lim g = 5. οπότε 9 5f () 6 g() = g() = 5f() 6 f() = 6g() 5 Παίρνοντας τα όρια στην τελευταία σχέση λαμβάνουμε: lim f ( ) = ( 86 5 ) =. 9 5 Δηλαδή lim f ( ) = και επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει 9 f 9 =. Ως βοηθητική συνάρτηση θέτουμε τη συνάρτηση της οποίας γνωρίζουμε το όριο. Η σχέση αυτή περιέχει την f( ), της οποίας ζητάμε το όριο. Λύνουμε ως προς f( ) και παίρνουμε τα όρια. 8
Παράδειγμα 8. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: α. f( ) = ηµ ( ) β. g( ) ηµ ηµ, =, = α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το D f =. Θεωρούμε τις συνεχείς στο συναρτήσεις: f =, f ( ) = ηµ, f ( ) = και f =. 4 Τότε η συνάρτηση ( f ) f f = ηµ ( ) είναι συνεχής για κάθε ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Επειδή f( ) = ( f ( f f) )( ) f4( ) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. β. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το D g =. Η συνάρτηση g είναι συνεχής για κάθε ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων g ( ) = ηµ ( ηµ ) και g ( ) =. Η συνάρτηση g () = ηµ ( ηµ ) είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y= ηµ u και u = ηµ. Θα εξετάσουμε τη συνέχεια στο =. Έχουμε: ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ lim g = lim = lim () ηµ ηµ ( ηµ ) Για το lim θέτουμε u = ηµ. Τότε: lim u = lim ηµ =, Δηλαδή όταν ηµ, τότε u οπότε: ( ) ηµ ηµ ηµ u lim = lim =. ηµ u u 9
ηµ ηµ Επίσης: lim = lim = = Τότε από τη σχέση () έχουμε: Είναι: g =. Επειδή lim g ( ) g lim g = =, η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο =. Άρα η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (,) (, ) και δεν είναι συνεχής στο =. α. Στη περίπτωση που η συνάρτηση f δεν είναι πολλαπλού τύπου, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού D f και ελέγχουμε αν η συνάρτηση προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων για κάθε D. f β. Στη περίπτωση που υπάρχει εκατέρωθεν του οποίου αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής: Σε κάθε διάστημα με ανοικτό άκρο το ελέγχουμε αν η συνάρτηση προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Ερευνούμε τη συνέχεια στο με τη βοήθεια του ορισμού. Βρίσκουμε το lim f ( ) και το f( ). Αν lim f( ) f( ) = η f είναι συνεχής στο. Αν δεν υπάρχει το lim f ( ), ή lim f ( ) = ±, ή lim f( ) f( ) είναι συνεχής στο. τότε η f δεν
Παράδειγμα 9. Να βρείτε τους κ, λ ώστε η συνάρτηση κλ, < f() = ( κλ), να είναι συνεχής. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το D f =. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,) ως ρητή και στο (, ) ως πολυωνυμική για κάθε κ, λ. Αφού η f είναι συνεχής στο θα πρέπει να είναι συνεχής και στο =. Δηλαδή θα πρέπει: lim f ( ) lim f ( ) f = = () Έχουμε: κλ = = κλ lim f ( ) lim lim ( ) (). lim κλ = 4 κλ και Επειδή < <. lim = lim = και, αφού κλ< τότε Αν 4, Αν 4, lim f =. lim f =. κλ> τότε Άρα δεν υπάρχει το όριο της f στο =. Επομένως για να υπάρχει στο το lim f ( ) 4κλ= κλ= 4 () 4 lim f = lim = lim = 4. Τότε: lim f ( ) = lim ( κλ ) = 4 ( κλ) f 4 = κλ = κλ.., πρέπει:
Από την () έχουμε: 4= 4( κλ) κλ= (4) Από το σύστημα των σχέσεων () και (4) βρίσκουμε: κ= και λ=. Αφού η f είναι συνεχής στο {} για κάθε κ, λ και συνεχής στο για κ= και λ=, συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής για κ= και λ=. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο εκατέρωθεν του οποίου αλλάζει ο τύπος της, lim f lim f είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει: τότε τα όρια, lim f = lim f = f.
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίδεται η συνάρτηση f : με την ιδιότητα f( y) = f( ) f( y) () για κάθε, y.. Να βρείτε την τιμή f( ).. Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο. Αφού η σχέση () ισχύει για κάθε, y, θα ισχύει και για = y=, οπότε f = f f f =. Για να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο τυχαίο σημείο. Επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει lim f = f =. Κάνουμε τον μετασχηματισμό = t οπότε αν τότε t. Άρα lim f( ) = limf( t) = lim f( ) f( t) = f( ) limf( t) = f( ) που είναι t t t και το ζητούμενο. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο κάνοντας χρήση των παρακάτω σχέσεων: lim f( ) f( ) = ή lim f f = ή limf( h) = f( ) ή h h limf κ h = f, κ ή h limf h = f,.
Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο = και τέτοια ώστε: f ηµ ( ) συν 4 για κάθε. Να βρείτε την τιμή f(. ) Για κάθε έχουμε: f συν ηµ 4 f 4 4 ηµ συν f ηµ ( ) ηµ συν 4 4 Επειδή συν > αφού συν για κάθε, από την παραπάνω σχέση έχουμε: 4 4 ( συν) ηµ ( ) f( ) ( συν ) ηµ ( ) () Για κάθε > από την () έχουμε:. ηµ ηµ συν f( ) ( συν ) ηµ ( ) lim συν = Όμως: lim ( ) ηµ συν = ( ) ηµ συν = lim ( )( ) =. ( ) ηµ (Για το lim θέτουμε = u. τότε lim u = lim ( ) =, δηλαδή όταν τότε u, αφού για κάθε > είναι u >, οπότε: 4
ηµ ηµ u lim = lim = ) u u lim Επίσης: lim ( ) ( ) ηµ συν = συν = ηµ ( ) lim ηµ συν = ( )( ) =. lim f =. Συνεπώς, από το κριτήριο παρεμβολής, έχουμε: Για κάθε < από την () έχουμε: ηµ ηµ συν f( ) ( συν ) lim f =. Εργαζόμενοι ως ανωτέρω έχουμε: Επομένως, αφού lim f ( ) = lim f ( ) =, έχουμε =, συμπεραίνουμε ότι f =. είναι συνεχής στο lim f = και επειδή η συνάρτηση f Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε ισχύει: lim f( ) f( ) βρούμε την αριθμητική τιμή f( ) αρκεί να βρούμε το lim f ( ). =. Επομένως, για να 5
Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση f: * η οποία είναι συνεχής στο σημείο f ( y) = f ( ) f ( y) (*) για κάθε, y α. Να βρείτε την τιμή f( ). β. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. = και τέτοια ώστε: α. Για = y= από τη δοθείσα σχέση έχουμε: f = f f f =. Επειδή f( ) για κάθε, είναι: f = f =. β. Αφού η f είναι συνεχής lim f = f lim f =. () =, έχουμε: Για να είναι η f συνεχής στο, αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο τυχαίο, δηλαδή ότι ισχύει lim f( ) f( ) =. Θέτουμε = h. Όταν έχουμε h, οπότε: = h (*) = ( ) = = lim f lim f h lim f f h f lim f h. () h h h Για το lim f ( h) h o θέτουμε h = u. Όταν h έχουμε και u, οπότε: ( ) lim f h = lim f u =. h u Τότε από την () βρίσκουμε: lim f( ) f( ) =. Άρα η f είναι συνεχής στο. Αν έχουμε μια συναρτησιακή σχέση της μορφής f( y) lim f ( ) = ±λ και έχουμε: lim f ( ) lim f ( h) θέτουμε h h μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συναρτησιακή σχέση. ±λ =, για να βρούμε το = ±λ =, ώστε να 6
Παράδειγμα 4. Έστω συνάρτηση f : (, ) η οποία είναι συνεχής στο σημείο = α και τέτοια ώστε: f( y) = f( ) f( y) (*) για κάθε, y (, ). α. Να βρείτε την τιμή f( ). β. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο (, ). α. Για y f = f f f =. () = = από τη δοθείσα σχέση έχουμε: β. Επειδή η f είναι συνεχής στο α, έχουμε: lim f ( ) f α έχουμε h, οπότε έχουμε: =αh (*) α [ ] f( α ) = limf() = limf( α h) = lim f( α ) f(h) = f( α ) limf(h) α h h h = α (). Θέτουμε =α h. Όταν Άρα f( α ) = f( α ) limf(h). Οπότε h () limf(h) = limf(h) = f() () h h Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι γ. Έστω τυχαίο (, ). lim f = f (), δηλαδή ότι η f είναι συνεχής στο. Θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο Θέτουμε = h. Όταν έχουμε h οπότε: = h (*) lim f = lim f h = lim f f h = h h, δηλαδή ότι lim f( ) f( ) f limf h = f f = f. h Άρα η f είναι συνεχής στο (, ). =. 7
Αν έχουμε μια συναρτησιακή σχέση της μορφής f( y) =, για να βρούμε το lim f ( ) θέτουμε h lim f = lim f h =, ώστε να h μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συναρτησιακή σχέση. = και έχουμε: 8
Παράδειγμα 5. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο = και τέτοια ώστε: α. Να βρείτε την τιμή f (). f() f() β. Να βρείτε το lim. f() lim =. f() α. Θέτουμε g() = f() f() lim g = και f() = f() g(). Oπότε Παίρνοντας όρια έχουμε: lim f = lim f () g = f () = 6 f (). () Επειδή η f είναι συνεχής στο lim f = f (). Επομένως από την () έχουμε: f () = 6 f () f () = 6 f () =. β. Αφού f () =, έχουμε f() = g(). () =, έχουμε: () f() f() g() Άρα: lim = lim = lim g ( ) = lim g ( ) = lim g ( ) = = 4 9
Ως βοηθητική συνάρτηση θέτουμε τη συνάρτηση της οποίας γνωρίζουμε το όριο. Η σχέση αυτή περιέχει την f( ) και λύνουμε ως προς f( ). Κατόπιν βρίσκουμε το lim f ( ) με βάση τις ιδιότητες των ορίων. Ημερομηνία τροποποίησης: 5/8/