ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή: είναι η τυχαία τιμή ενός Υδρολογικού δεδομένου. Θεμελιώδεις έννοιες της στατιστικής Πληθυσμός: Σύνολο στοιχείων με κοινές ιδιότητες (πχ. ετήσια ύψη βροχής ενός βροχομετρικού σταθμού Δείγμα: είναι ένα τμήμα του πληθυσμού Μεταβλητές Διακεκριμένες Συνεχείς Η γραφική παράσταση της πιθανότητας συναρτήσει της μεταβλητής λέγεται κατανομή της πιθανότητας. Οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας χωρίζονται σε Διακριτοποιημένες κατανομές Συνεχείς κατανομές Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας Οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας ονομάζονται συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας. Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι η πιθανότητα μια μεταβλητή να λάβει τιμή μικρότερη ή ίση με την τιμή. F( ) P( X ) F ( ) p( ) d για συνεχείς κατανομές F ( ) p( ) για διακριτοποιημένες κατανομές
Στατιστικές παράμετροι Ο μέσος όρος (average) στον πληθυσμό παρίσταται συνήθως με μ ενώ σε δείγμα με k k Η διάμεσος (meda) είναι η τιμή που αντιστοιχεί στο 50% της κατανομής των πιθανοτήτων. Η πιθανότερη τιμή (mode) είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά. Στις συνεχείς συναρτήσεις είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Η μεταβλητότητα (varae) είναι: ( ) ) για μικρά δείγματα πολλαπλασιάζεται με την ποσότητα Η τυπική απόκλιση (tadard devato) η οποία παρίσταται με σ ενώ σε δείγμα με ( ) Τυπικό σφάλμα (tadard error) ονομάζεται η ποσότητα: Ο συντελεστής μεταβλητότητας (oeffet of varato) v Η ασυμμετρία α = μ 3 για μικρά δείγματα είναι: a ( )( ) ( ) 3 Ο συντελεστής ασυμμετρίας 3 a 3
Γνωστές κατανομές: )Διακριτοποιημένες Διωνυμική Κατανομή Poo ) Συνεχείς Ομοιόμορφη Κανονική Κατανομή πιθανότητας ακραίων τιμών τύπου Ι (Gumbel) Κατανομή Γάμα Κατανομή πιθανότητας ακραίων ελαχίστων τιμών τύπου ΙΙΙ ( Webull) Pearo III Λογαριθμική κατανομή Pearo III (Log Pearo III) Λογαριθμοκανονική κατανομή (Log-ormal ή κατανομή Galto) Κανονική κατανομή: συνεχής κατανομή ( ) p( ) e συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( X ) F ( ) p( ) d αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας Αν z z p( z) e p( ) z F( z) p( z) dz Κατανομή πιθανότητας ακραίων τιμών τύπου Ι (Gumbel) Η κατανομή πιθανότητας ακραίων τιμών έχει δύο μορφές, μια για τις ελάχιστες ακραίες τιμές και μία για τις μέγιστες ακραίες τιμές. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στη γενική μορφή της είναι : p( ) e ye y
το (-) είναι για μέγιστες ακραίες τιμές και το (+) για ελάχιστες ακραίες τιμές όπου: y a, a, 6, γ = 0.577... (σταθερά Euller) Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας για μέγιστες ακραίες τιμές και για ελάχιστες αντίστοιχα είναι: p( X p( X ) e e y ) e e y Περίοδος επαναφοράς: Είναι το μέσο χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο το θεωρούμενο υδρολογικό φαινόμενο θα εμφανισθεί μόνο μια φορά με τιμή ίση ή μεγαλύτερη της δοθείσης. p( X ) Η πιθανότητα p υπέρβασης ενός μεγέθους σε χρονικό διάστημα ετών, διαφορετικό από την περίοδο επαναφοράς, δίνεται από την εξίσωση p( X ) ( ) Ο προσδιορισμός σχέσεως μεγέθους συχνότητας σε σειρά δεδομένων γίνεται με κατάταξη των δεδομένων κατά σειρά φθίνοντος μεγέθους και τον υπολογισμό της συχνότητας πιθανότητας υπέρβασης της τιμής με τις εξής σχέσεις: p( X ) m σε κλειστές σειρές δεδομένων όπου m αύξων αριθμός κατάταξης και Ν ο συνολικός αριθμός των δεδομένων. m p ( X ) Webull (939) m σε ανοιχτές σειρές δεδομένων p( X ) Haze (930) 3m p ( X ) ukey (96) 3 Από τους προτεινόμενους τύπους ευρεία εφαρμογή παρουσιάζει το τύπος του Webull.
Διαδικασία ανάλυσης συχνότητας Τα δεδομένα πρέπει να είναι ομογενή και ανεξάρτητα. Ομογενή: οι μετρήσεις πρέπει να είναι από τον ίδιο πληθυσμό, να είναι αντιπροσωπευτικά και επαρκή. Ανεξάρτητα: πρέπει κατά την επεξεργασία τους ένα υδρολογικό γεγονός (πχ μια ραγδαία βροχόπτωση) να μην υπεισέρχεται δεύτερη φορά στα δεδομένα Ανάλυση συχνότητας με τη χρήση του παράγοντα συχνότητας (Ve de Chow 95) Ο Ve de Chow απέδειξε ότι πολλές αναλύσεις συχνότητας μπορούν να αναχθούν στη μορφή: ( C K ) v Όπου: : το μέγεθος του γεγονότος περιόδου επαναφοράς Τ : ο μέσος όρος C v : ο συντελεστής διακύμανσης ή μεταβλητότητας (= ˆ / ) Κ Τ : ο παράγοντας συχνότητας που εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς Τ και τα χαρακτηριστικά της κατανομής. ( CvK ) K K Παράγοντας συχνότητας: είναι συνάρτηση της περιόδου επαναφοράς και του είδους της κατανομής. Κ=f (, είδος κατανομής) Για την κανονική κατανομή K άρα Κ=z, οπότε ο παράγοντας συχνότητας συμπίπτει με την ανοιγμένη μεταβλητή z K P( X ) e dk F ( K )
δεύτερο δεκαδικό του z Ακέραιο μέρος και πρώτο δεκαδικό του z
Για την κατανομή μεγίστων ακραίων τιμών a y a 6 y 6 ) l l( y ) l l( 6 K για Ν πεπερασμένο από την εκτίμηση των παραμέτρων α, προκύπτει : y a y y y K ) l l( Όπου y : ο μέσος όρος της ανηγμένης μεταβλητής y σ : η τυπική απόκλιση της ανηγμένης μεταβλητής y τα οποία υπολογίζονται με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων του δείγματος
Όρια εμπιστοσύνης Καμπύλες Ελέγχου Η τιμή μιας στατιστικής μεταβλητής που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ είναι στην πραγματικότητα η επικρατέστερη από μία σειρά τιμών στις οποίες θεωρείται ότι μπορεί να προσαρμοστεί κανονική κατανομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση ίση με το τυπικό σφάλμα S που εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς και από το είδος της κατανομής που προσαρμόζεται στο αρχικό δείγμα. Οι εξισώσεις που δίνουν τα όρια εμπιστοσύνης για δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης (-α) είναι ma zs m zs Όπου z z a και S (τυπικό σφάλμα) : είναι η τυπική απόκλιση της αρχικής κατανομής και εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς και από το είδος της αρχικής κατανομής και είναι αντίστοιχα: για την κανονική κατανομή ( K ) όπου Κ Τ : ο παράγοντας συχνότητας που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ της αρχικής κατανομής για την κατανομή Gumbel ( bk. K ) Για δείγμα b=.30 ενώ για θεωρητική κατανομή ( ) b=.396
Για κάθε όριο εμπιστοσύνης προκύπτουν εκατέρωθεν της δύο καμπύλες οι οποίες ονομάζονται καμπύλες ελέγχου Κριτήρια προσαρμογής σε δεδομένα Για να κρίνουμε αν μια κατανομή προσαρμόζεται ικανοποιητικά σε μια σειρά δεδομένων υπάρχουν διάφορα κριτήρια. Αυτά που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι: Σύγκριση των πραγματικών και θεωρητικών συχνοτήτων Η γραφική μέθοδος Το κριτήριο Ποσοτικά κριτήρια Το κριτήριο Kolmogorov Smrov Ποιοτικά κριτήρια Γραφική μέθοδος Συνίσταται στον έλεγχο της γραμμικότητας που πρέπει να υπάρχει μεταξύ της στατιστικής μεταβλητής και του παράγοντα συχνότητας Κ. Για το σκοπό αυτό οι τιμές των δεδομένων διατάσσονται κατά φθίνουσα σειρά, διακεκριμένες ή σε κλάσεις. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι αθροιστικές συχνότητες- πιθανότητες και ο αντίστοιχος παράγοντας συχνότητας Κ σύμφωνα με την ελεγχόμενη κατανομή. Στις περιπτώσεις της κανονικής κατανομής Κ=z. Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ της στατιστικής μεταβλητής και του παράγοντα συχνότητας μας δίνει το μέτρο της προσαρμογής της θεωρητικής κατανομής στο ελεγχόμενο δείγμα δεδομένων.