Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής
Κφάλαιο 7 1 Κφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σύνοψη Στο έβδομο τούτο κφάλαιο μλτώνται και αναλύονται τα ηλκτρικά κυκλώματα μ τον νόμο του Ohm και τους κανόνς του Kirchhoff. Εξτάζται η σύνδση αντιστάσων ν παραλλήλω και σιρά, νώ μλτάται το κύκλωμα αντίστασης-πυκνωτή C κατά την φόρτιση και την κφόρτιση του πυκνωτή. 7.1 Βασικές έννοις των ηλκτρικών κυκλωμάτων _ + C Κάθ βρόχος αγωγού που διαρρέται από ηλκτρικό ρύμα ονομάζται ηλκτρικό Πηγή ηλκτργρτικής δύναμης Αντιστάτης (αντίσταση) Χωρητικότητα (πυκνωτής) Α Αμπρόμτρο V Βολτόμτρο Σχήμα 7.1 Συμβολισμός στοιχίων ηλκτρικού κυκλώματος. r L Γίωση (V=0) Εσωτρική αντίσταση Επαγωγή (πηνίο) κύκλωμα. Ένα ηλκτρικό κύκλωμα πριέχι διάφορα στοιχία, όπου κάθ στοιχίο συμβολίζται μ ιδικό σύμβολο όπως φαίνται στο σχ. 7.1. Η «καρδιά» του ηλκτρικού κυκλώματος ίναι το στοιχίο που παράγι την ηλκτρική δημιουργώντας νέργια διαφορές ηλκτρικού δυναμικού και πομένως ηλκτρικό πδίο ικανό να κινήσι τα φορτία των αγωγών του κυκλώματος. Τέτοια στοιχία ίναι οι μπαταρίς και οι ηλκτρικές γννήτρις που ονομάζονται πηγές ηλκτργρτικής δύναμης (ΗΕΔ). Συμβολίζονται μ δυο κάθτς παράλληλς άνισου μήκους γραμμές, μ το συν και πλην δυναμικό να παριστάνονται μ την βραχία και μγάλη γραμμή αντίστοιχα (σχ. 7.1). Έτσι δικνύται η πολωσιμότητα της πηγής και πομένως καθορίζται η
Κφάλαιο 7 κατύθυνση του ρύματος. Κατά σύμβαση η φορά του ρύματος ορίζται από το υψηλό δυναμικό στο χαμηλό δηλαδή χαρακτηρίζι την κίνηση των θτικών οπών στο υλικό του ηλκτρικού κυκλώματος. Η αντίσταση ίναι το στοιχίο του κυκλώματος που καταναλώνι νέργια μτατρέποντάς την σ θρμότητα. Αντίθτα ο πυκνωτής αποθηκύι ηλκτρική νέργια στους οπλισμούς του την οποία αργότρα μπορί να την αποδώσι σαν ωφέλιμο έργο κατά την κφόρτισή του. Το αμπρόμτρο και το βολτόμτρο ίναι δυο όργανα μ τα οποία μτρούμ την ένταση του ηλκτρικού ρύματος και την διαφορά δυναμικού αντιστοίχως. Το αμπρόμτρο συνδέται πάντα σ σιρά στα ηλκτρικά κυκλώματα, νώ το βολτόμτρο πάντα παράλληλα. Το ιδανικό αμπρόμτρο πρέπι να έχι μηδαμινή ωμική αντίσταση, νώ το ιδανικό βολτόμτρο άπιρη αντίσταση. Η γίωση ίναι κάθ σημίο του κυκλώματος που έχι δυναμικό ίδιο μ αυτό της γης δηλαδή μηδέν (V=0). Ας ιδούμ όμως πως λιτουργί ένα απλό ηλκτρικό κύκλωμα όπως αυτό του σχήματος 7.. H πηγή ΗΕΔ,, ίναι ένας συσσωρυτής ηλκτρικής νέργιας, ή αλλιώς μια μπαταρία μ θτικό και αρνητικό πόλο. Ο θτικός πόλος αντιστοιχί στο υψηλό δυναμικό νώ ο αρνητικός πόλος στο χαμηλό. Οι μπαταρίς ονομάζονται και ηλκτρικά στοιχία. Η μπαταρία προσφέρι στα σημία b και a υψηλό και χαμηλό δυναμικό αντίστοιχα. Αυτό έχι σαν συνέπια την δημιουργία ηλκτρικού πδίου στον αγωγό και την κίνηση των θτικών φορτίων προς το a και των αρνητικών προς το b. Εντούτοις για να υπάρχι συνχές ρύμα στο κύκλωμα, πρέπι τα φορτία μέσα στην μπαταρία να κινούνται από τον αρνητικό πόλο στον θτικό. Το αίτιο που προκαλί αυτή την κίνηση ίναι η ΗΕΔ, =V ab =V. Το ρύμα του κυκλώματος βάση του νόμου του Ohm ίναι V ab I (7.1) Στην πραγματικότητα κάθ πηγή ΗΕΔ παρουσιάζι αντίσταση η οποία ίναι γνωστή ως σωτρική αντίσταση r. Ο λόγος ίναι ότι καθώς τα ηλκτρικά φορτία κινούνται στο σωτρικό της πηγής, συναντούν αντίσταση. Αυτό έχι ως συνέπια να συμβαίνι μια b a + _ Ι Σχήμα 7. Ηλκτρικό κύκλωμα abcd, μ ΗΕΔ, αντίσταση και γίωση. c d
Κφάλαιο 7 3 πτώση τάσης μέσα στην ίδια την πηγή ίση μ το γινόμνο Ιr. Έτσι όταν συνδέται μια πηγή σ ένα κύκλωμα όπως για παράδιγμα αυτό του σχήματος 7. η πραγματική τάση που προσφέρι στο κύκλωμα ίναι Vab Ir (7.) Η πραγματική τάση που δίνι μια πηγή ΗΕΔ σ ένα κύκλωμα καλίται τάση πόλωσης της πηγής και ίναι μικρότρη της ονομαστικής. Συνήθως η σωτρική αντίσταση των πηγών ΗΕΔ ίναι μικρή οπότ και η τάση πόλωσης συμπίπτι μ την ΗΕΔ της πηγής. Εσωτρική αντίσταση έχουν και τα αμπρόμτρα καθώς πίσης και τα βολτόμτρα. Γυρνώντας στην κίνηση των φορτίων στο κύκλωμα, κατά την κίνηση του φορτίου ΔQ κινίται διαμέσου της μπαταρίας από το a και b η ηλκτρική δυναμική του νέργια αυξάνται κατά ΔQ.V νώ η χημική νέργια της μπαταρίας (όταν πρόκιται για ξηρό στοιχίο μ αλκαλικά διαλύματα) μιώνται κατά την ίδια ποσότητα. Εάν αντί για μπαταρία έχουμ μια ηλκτρογννήτρια, η νέργια που κινί το ΔQ από το σημίο α(-) στο b(+) στο σωτρικό της πηγής ίναι μηχανική. Αντίστοιχα αν η πηγή ΗΕΔ ίναι μια θρμική στήλη η νέργια ίναι θρμική, ή για ένα ηλιακό στοιχίο (ηλιακά κύτταρα), η νέργια ίναι φωτινή. Καθώς το φορτίο ΔQ διέρχται μέσα από την αντίσταση, χάνι την νέργιά του καθώς συγκρούται μ τα άτομα της αντίστασης παράγοντας θρμική νέργια. Δηλαδή μ την διέλυσή του μέσα από την αντίσταση η δυναμική νέργια U του φορτίου μιώνται από U c σ U d. Αυτή η λάττωση της δυναμικής νέργιας αντιστοιχί σ λάττωση του ηλκτρικού δυναμικού ίση μ V c -V d και ονομάζται πτώση τάσης. Όταν το φορτίο πράσι την αντίσταση θα βρθί στο σημίο d, το οποίο έχι το ίδιο δυναμικό μ αυτό του σημίου a δηλαδή μηδέν, διότι μταξύ των δυο σημίων δν παρμβάλλται κάποια αντίσταση για να προκαλέσι νέα πτώση τάσης. Στην πραγματικότητα υπάρχι πτώση τάσης μταξύ των σημίων d και α γιατί κάθ αγωγός έχι αντίσταση μιας και ισχύι η σχέση 6.14. Απλά πιδή συνήθως αυτή η πτώση τάσης ίναι μικρή την αγνοούμ. Ο ρυθμός μ τον οποίο το φορτίο χάνι δυναμική νέργια καθώς διέρχται από την αντίσταση ίναι James Wa (1736-1819)
Κφάλαιο 7 4 U Q V IV (7.3) Ο ρυθμός απώλιας δυναμικής νέργιας ονομάζται θρμική ή ηλκτρική ισχύς P του ηλκτρικού κυκλώματος και ίναι ίση μ την θρμότητα που παράγται στην αντίσταση. Άρα (6.10) V P VI P I (7.4) Μονάδα ηλκτρικής ισχύος στο SI ίναι το 1 Wa (Βατ) προς τιμή του Σκοτσέζου φυρέτη και μηχανικού James Wa (1736-1819) που ανακάλυψ την ατμομηχανή. Ένα μηχανικό ανάλογο του ηλκτρικού κυκλώματος που πριγράψαμ φαίνται στο σχ. 7.3. Θωρήστ έναν άνθρωπο να σηκώνι από το έδαφος μικρές σφαίρς και να τις αφήνι να κινηθούν από ένα ύψος h πάλι κάτω στο έδαφος μέσω νός σωλήνα. Ο άνθρωπος συνχώς σηκώνι και αφήνι τις σφαίρς οι οποίς κυλούν λόγω της βαρύτητας προς τα κάτω, μέχρι να φθάσουν στο έδαφος και να αποκτήσουν μηδνική δυναμική νέργια. Ο άνθρωπος δηλαδή σηκώνοντας τις σφαίρς, τους προσφέρι δυναμική νέργια mgh, όπως ακριβώς η πηγή ΗΕΔ δίνι ηλκτρική δυναμική νέργια στα φορτία νός ηλκτρικού κυκλώματος. Όσο πιο γρήγορα ανβάζι τις σφαίρς ο άνθρωπος σ ύψος h (μγάλη ισχύς μγάλη παραγωγή έργου ανά μονάδα χρόνου), τόσο πιο πολλές μπάλς διατρέχουν τον σωλήνα στη μονάδα του χρόνου. 1 _ + a b c Σχήμα 7.4 Ηλκτρικό κύκλωμα μ αντιστάσις συνδδμένς σ σιρά. I Ο άνθρωπος δηλαδή παίζι το ρόλο της ηλκτρργτικής πηγής, που όσο πιο δυνατή ίναι (μγάλη ισχύς - πολλά Vols), τόσο πρισσότρα φορτία κινί ανά μονάδα χρόνου στο ηλκτρικό κύκλωμα και πομένως τόσο πιο μγάλο ηλκτρικό ρύμα δίνι. Όταν ο άνθρωπος κουραστί και δν μπορί πια να ανυψώσι άλλο τις σφαίρς διακόπται η κίνηση των σφαιρών, όπως σταματά το ηλκτρικό h Σχήμα 7.3 Μηχανικό ανάλογο νός ηλκτρικού κυκλώματος (βλέπ κίμνο).
Κφάλαιο 7 5 ρύμα όταν η πηγή ΗΕΔ ξαντληθί (άδια μπαταρία). Η αντιστοιχία δηλαδή που υπάρχι στο σχ. 7.3 ίναι άνθρωπος - ΗΕΔ πηγής, σφαίρς - φορτία και σωλήνας - βρόχος κυκλώματος. Το μικρό κάθτο τμήμα του σωλήνα παρουσιάζι τριβή που δυσχραίνι την κίνηση των σφαιρών όπως ακριβώς και ο αντιστάτης δυσχραίνι την κίνηση των φορτίων. 7. Αντιστάσις συνδδμένς σ σιρά Όταν δυο αντιστάσις 1 και ίναι συνδδμένς ν σιρά τότ διαρρέονται από το ίδιο ρύμα διότι κάθ φορτίο που διαρρέι την 1 θα διέλθι και μέσα από την. Στο σχ. 7.4 δυο τέτοις αντιστάσις φαίνονται να τροφοδοτούνται από πηγή ΗΕΔ και να διαρρέονται από ρύμα Ι. H πτώση της τάσης από το a στο b ίναι I 1 νώ από το b στο c ίναι I. Η ολική πτώση τάσης από το σημίο c στο a ίναι V V V I I I( ) I (7.5) ac ab bc 1 1 Άρα η ολική αντίσταση του κυκλώματος ίναι το άθροισμα των δυο αντιστάσων. Δηλαδή ισχύι 1 (7.6) Μ όμοιο τρόπο μπορούμ γνικύσουμ την ξ. 7.6 και να συμπράνουμ ότι για Ν αντιστάσις συνδδμένς σ σιρά η ολική αντίσταση ίναι 1... N (7.7) Η ολική αντίσταση νός κυκλώματος ονομάζται και I 1 a 1 b ισοδύναμη αντίσταση και ισούται μ την μία ωμική αντίσταση η οποία μπορί να αντικαταστήσι το σύνολο των αντιστάσων δίνοντας ένα ισοδύναμο ηλκτρικό κύκλωμα. I Ι _ + 7.3 Αντιστάσις συνδδμένς παράλληλα Σχήμα 7.5 Ηλκτρικό κύκλωμα μ αντιστάσις συνδδμένς παράλληλα. Όταν δυο αντιστάσις ίναι συνδδμένς παράλληλα η μια ως προς την άλλη όπως στο κύκλωμα στο σχ. 7.5, τότ έχουν στα άκρα τους την ίδια
Κφάλαιο 7 6 διαφορά δυναμικού =V ab =V. Το ρύμα που διαρρέι τις δυο αντιστάσις δν ίναι το ίδιο. Το ρύμα Ι που δημιουργί η ΗΕΔ, διαχωρίζται σ δυο πιμέρους ρύματα I 1 και Ι τα οποία διαρρέουν τις αντιστάσις 1 και αντίστοιχα. Ισχύι δηλαδή V V 1 1 I I1 I V ( ) (7.8) Όμως από τον νόμο του Ohm ισχύι 1 1 V I (7.9) Συγκρίνοντας τις ξισώσις 7.8 μέσω της 7.9 παίρνουμ 1 1 1 1 (7.10) Βάσι της ξ. 7.10 μπορούμ να γράψουμ για Ν αντιστάσις σ παράλληλη σύνδση 1 1 1 1... 1 N. (7.11) Παρατηρούμ ότι η ολική αντίσταση ολ ίναι μικρότρη από την κάθ αντίσταση ξχωριστά. Παράδιγμα 7.1 Ισοδύναμη αντίσταση ηλκτρικού κυκλώματος Ένα ηλκτρικό κύκλωμα αποτλίται από πέντ αντιστάτς 1 =6 Ω, =1 Ω, 3 =4 Ω, 4 =3 Ω και 5 =5 Ω όπως φαίνται στο σχ. 7.6, οι οποίοι ίναι συνδδμένοι μ μπαταρία =1 V. Να ύρτ την ισοδύναμη ή αλλιώς ολική αντίσταση του κυκλώματος και την πτώση τάση στα άκρα του αντιστάτη 5. Λύση Στο κύκλωμα υπάρχουν αντιστάτς συνδδμένοι σ σιρά αλλά και παράλληλα. Η συνολική αντίσταση 45 ίναι σ παράλληλη σύνδση μ την συνολική αντίσταση 13. Έτσι μπορούμ να γράψουμ για την ολ του κυκλώματος 1 1 1 (1) 13 45 Η 45 αποτλίται από τις αντιστάσις 4 και 5 συνδδμένς σ σιρά και πομένως ισχύι
Κφάλαιο 7 7 45 4 5 () Η 13 αποτλίται από τις αντιστάσις 3 και 1 συνδδμένς σ σιρά. Άρα 13 3 1 (3) Όμως ισχύι 1 1 1 1 1 1 1 1 Οι ξισώσις,3 και 4 στην 1 δίνουν 1 (4) 1 1 1 1 1 1 6 1 4 5 3 5 3 4 6 1 1 1 1 1 1 1 4 7 8 4 4 8 8 8 8 4 18 1 4 5 + _ Σχήμα 7.6 Ηλκτρικό κύκλωμα μ αντιστάτς και πηγή (παράδιγμα 7.1). Η πτώση τάσης στα άκρα του αντιστάτη 5 ίναι V I (5) 5 5 Το ρύμα Ι που διαρρέι την 5 ίναι το ίδιο μ αυτό που διαρρέι την 4. Το ρύμα αυτό ίναι το ίδιο το οποίο διαρρέι την συνολική αντίσταση 45, και πιδή υπόκιται σ τάση 1 V έχουμ 1V I I 1.5 8 45 Άρα η ξ. 5 δίνι τλικά V 1.5 5 V 7.5V 5 5 Παράδιγμα 7. Ισχύς ηλκτρικού κυκλώματος Ο καθένας από τους τρις αντιστάτς 1, και 3 στο σχ. 7.7 έχι την ίδια και μπορί να καταναλώνι μέγιστη ισχύ 4 W χωρίς να υπρθρμαίνται. Πόση ίναι η μέγιστη ισχύς κατανάλωσης του κυκλώματος; Λύση Η μέγιστη ισχύς P που καταναλώνι το κύκλωμα ίναι 1 Σχήμα 7.7 Ηλκτρικό κύκλωμα μ αντιστάσις συνδδμένς παράλληλα και σ σιρά (παράδιγμα 7.). I 3
Κφάλαιο 7 8 P (1) I όπου ίναι η ολική αντίσταση του κυκλώματος και Ι ίναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρύματος που διαρρέι το κύκλωμα. Όμως η ένταση Ι ίναι η μέγιστη ένταση ρύματος που διαρρέι και τον αντιστάτη 3 γιατί ίναι σ σιρά συνδδμένος μ την συνολική αντίσταση των άλλων δύο αντιστατών 1 και. Επομένως η μέγιστη ισχύς που καταναλώνι η 3 ίναι P I 3 () Εφόσον γνωρίζουμ την μέγιστη ισχύ που καταναλώνι ο κάθ αντίστατης, μπορούμ από την ξ. να ύρουμ την μέγιστη ένταση ρύματος του αντιστάτη 3 αλλά και του κυκλώματος. Επομένως Η ολική αντίσταση του κυκλώματος ίναι 1 1 3 3 1 P I (3) 3 (4) διότι οι 1 και ίναι παράλληλα συνδδμένοι και η συνολική τους αντίσταση 1 ίναι συνδδμένη σ σιρά μ τον αντιστάτη 3. Όλς όμως οι αντιστάσις ίναι ίσς μ πομένως η ξ. 4 δίνι. 3 3 Οι ξ. 5 και 3 στην 1 δίνουν τλικά (5) P 3 3 3 P P P 4W P 36W 7.4 Κανόνς του Kirchhoff Για την μλέτη των ηλκτρικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούμ δυο πολύ χρήσιμους κανόνς, οι οποίοι ίναι γνωστοί ως κανόνς του Kirchhoff. Οι κανόνς ισήχθησαν από τον Γρμανό φυσικό Gusav ober Kirchhoff (184 Gusav ober Kirchhoff (184 1887)
Κφάλαιο 7 9 1887), ο οποίος μλέτησ τους νόμους που διέπουν τα ηλκτρικά κυκλώματα. Για να πριγράψουμ τους κανόνς του Kirchhoff πρέπι να ορίσουμ δύο έννοις των ηλκτρικών κυκλωμάτων, τους ηλκτρικούς κόμβους και τους ηλκτρικούς βρόχους. Έτσι ηλκτρικός κόμβος νός κυκλώματος ίναι οποιοδήποτ σημίο του κυκλώματος στο οποίο το ηλκτρικό ρύμα ή γνικότρα τα ρύματα διακλαδίζονται ή συννώνονται. Επίσης ηλκτρικός βρόχος ονομάζται κάθ κλιστή διαδρομή σ ένα ηλκτρικό κύκλωμα. Ακολουθί η πριγραφή των κανόνων. Πρώτος κανόνας του Kirchhoff ή κανόνας των κόμβων: Το άθροισμα των ρυμάτων που συρρέουν προς ένα κόμβο ισούται μ το άθροισμα των ρυμάτων που απομακρύνονται από αυτόν, δηλαδή Ii 0 (7.1) i Ο κανόνας των κόμβων ίναι αποτέλσμα του νόμου διατήρησης του φορτίου. Παραδίγματα ηλκτρικών κόμβων φαίνονται στο σχ. 7.8. Στον κόμβο a το ισρχόμνο ρύμα Ι 1 διαχωρίζται σ δύο άλλα τα Ι και Ι 3. Στον κόμβο b ισέρχονται τα ρύματα Ι 1, Ι και Ι 3 και απομακρύνονται τα Ι 4 και Ι 5. Πάντα ισχύι ότι το συνολικό ρύμα που καταφθάνι στον κόμβο ισούται μ το συνολικό ρύμα που απομακρύνται. Δύτρος κανόνας του Kirchhoff ή κανόνας των βρόχων: Το αλγβρικό άθροισμα των μταβολών δυναμικού όλων των στοιχίων κατά μήκος οποιοδήποτ κλιστού βρόχου ίναι μηδέν. Ισχύι δηλαδή Vi 0 (7.13) i Ο κανόνας των βρόχων στηρίζται στην Σχήμα 7.8 Παραδίγματα κόμβων. a) Ο κόμβος a όπου το ρύμα Ι 1 διακλαδίζται στα Ι και Ι 3. και β) ο κόμβος b, όπου ισέρχονται τα ρύματα Ι 1, Ι και Ι 3 και απομακρύνονται τα Ι 4 και Ι 5. διατήρηση της νέργιας και στο γγονός ότι το ηλκτροστατικό πδίο ίναι ένα διατηρητικό πδίο (βλέπ κφάλαιο 4). Δηλαδή ένα φορτίο καταλήγι στο σημίο από το οποίο ξκινά και την νέργια που κρδίζι στην πηγή την χάνι όταν διαπρνά τις αντιστάσις. Για την φαρμογή του νόμου των βρόχων φαρμόζουμ για τα πρόσημα των Ι 1 a Ι Ι 3 Ι 1 Ι 4 Ι b Ι 5 Ι 3 (α) (β)
Κφάλαιο 7 10 διαφορών ηλκτρικού δυναμικού ή αλλιώς τάσων κατά μήκος του βρόχου τις ξής συμβάσις: 1) Όταν διατρέχουμ μια αντίσταση κατά την διύθυνση του ρύματος Ι, τότ η μταβολή του δυναμικού ίναι I νώ όταν την διατρέχουμ αντίθτα ίναι Ι (θυμηθίτ ότι κατά μήκος της αντίστασης που διαρρέται από ρύμα συμβαίνι πτώση τάσης, ΔV<0). ) Όταν διατρέχουμ μια πηγή ΗΕΔ κατά την κατύθυνση από τον στον + πόλο τότ η τάση της θωρίται θτική νώ στην αντίθτη πρίπτωση αρνητική. Σκοπός μας μ την φαρμογή των κανόνων του Kirchhoff ίναι να γράψουμ τόσς ξισώσις όσοι και οι άγνωστοι του προβλήματος. Σημιώστ ότι για να φαρμόσουμ τον κανόνα των βρόχων θα πρέπι να θωρήσουμ την φορά του ρύματος που διαρρέι την κάθ αντίσταση του βρόχου. Σ κάποις πριπτώσις αυτό ίναι ύκολο μιας και μπορούμ να σημιώσουμ την σωστή φορά από την πολικότητα της πηγής ΗΕΔ. Εάν αυτό δν ίναι φικτό μπορούμ να ορίσουμ την φορά τυχαίως αρκί να μην παραβιάζται σ κάποιον κόμβο ο πρώτος κανόνας του Kirchhoff, δηλ. μόνο να ισέρχονται ή μόνο να ξέρχονται ρύματα. Εάν η τιμή του ρύματος σ έναν αντιστάτη υρθί αρνητική, σημαίνι ότι η φορά που διαλέξαμ ίναι αντίθτη της πραγματικής. Χαρακτηριστικό ίναι το παράδιγμα που ακολουθί. Παράδιγμα 7.3 Υπολογίστ τα ρύματα Ι 1, Ι και Ι 3 του κυκλώματος του σχήματος 7.9, αν 1 =10 V, =14 V, 1 =6 Ω, =4 Ω και 3 = Ω. Λύση Οι άγνωστοι ίναι τρις, τα τρία ρύματα, γι αυτό και χριαζόμαστ τουλάχιστον τρις ξισώσις για τον υπολογισμό τους. Ο κανόνας των κόμβων δίνι για τον κόμβο d I I I 0 I I I (1) 1 3 3 1 b a f _ 1 + + _ 3 Σχήμα 7.9 Ηλκτρικό κύκλωμα τριών βρόγχων abcdefa, abcda και adefa, (παράδιγμα 7.3). 1 Ι 1 c d e Ι Ι 3
Κφάλαιο 7 11 Εφαρμόζοντας τον κανόνα των βρόχων στον βρόχο bcdab παίρνουμ () I11 1 I 0 Ο ίδιος κανόνας για τον βρόγχο adefa δίνι I I (3) 1 1 1 3 3 0 Οι ξισώσις 1, και 3 αποτλούν σύστημα τριών ξισώσων μ τρις αγνώστους τα Ι 1, Ι και Ι 3. Αντικατάσταση των τιμών στην ξ. δίνι 14V + 6 I 10V - 4 I 0 6I 4I 4 3I I 1 (4) νώ η ξ. 3 γίνται 1 1 1 10V 6 I I 0 6I I 10 6I I 10 3I I 5 (5) H ξ. 1 στην 5 δίνι 1 3 1 3 1 3 1 3 3I I I 5 4I I 5 I 5 4I (6) 1 1 1 1 Η ξ. 6 στην 4 δίνι 3I1 (5 4 I1) 1 3I1 10 8I1 1 11I1 1 10 I1 A I1 A 11 Η ξ. 6 δίνι Ι =-3 Α και η ξ. 1 δίνι, Ι 3 =-1 Α. Το αρνητικό πρόσημο των Ι και Ι 3, δηλώνι ότι τα ρύματα ίναι αντιθέτων κατυθύνσων αυτών που φαίνονται στο σχ. 7.9. 1 3 f α b Ι 3 Παράδιγμα 7.4 1 Ι 1 Ι 3 Έστω το κύκλωμα του σχήματος 7.10, όπου 1 = Ω, 3 =5 Ω, 1 =0 V και 3 =36 V. Τα ρύματα που διαρρέουν τις αντιστάσις 1 και ίναι e d c αντίστοιχα, Ι 1 =5 Α και Ι =1 Α. Υπολογίστ τα Ι 3, και. Οι πηγές ΗΕΔ έχουν αμλητές σωτρικές αντιστάσις. Λύση Εφαρμόζουμ τον κανόνα των κόμβων για τον κόμβο α και έχουμ I I I 0 I I I 5A 1A I 6A (1) 3 1 3 1 3 Σχήμα 7.10 Ηλκτρικό κύκλωμα δύο βρόχων (παράδιγμα 7.4)
Κφάλαιο 7 1 Στη συνέχια φαρμόζουμ τον κανόνα των βρόχων για τον βρόχο adcba και έχουμ I I 0 1 36V 5I 0 3 3 3 3 1 5 I 36V 0 1 5 I 36V 3 3 Η ξ. 1 στην δίνι 5 6 1 36V 30V +1 36V 1 36V - 30V = 6V 6 Εφαρμόζοντας τον δύτρο κανόνα του Kirchhoff στον βρόχο afeda παίρνουμ 1 1 1 I I 0 0V 5 1A 6 0 0V 10V 6V 0 16V 0 16V () 7.5 Κύκλωμα αντιστάτη-πυκνωτή C 7.5.1 Φόρτιση πυκνωτή Θωρήστ το κύκλωμα στο σχ. 7.11 μ τον αντιστάτη και τον πυκνωτή χωρητικότητας C. Τέτοιου ίδους κυκλώματα ονομάζονται κυκλώματα C. Αρχικά όταν ο διακόπτης S ίναι ανοικτός το κύκλωμα δν διαρρέται από ρύμα. Όταν ο διακόπτης C _ (α) + S C Σχήμα 7.11 (a) Κύκλωμα C μ τον διακόπτη ανοικτό. (β) Όταν ο διακόπτης κλίνι το κύκλωμα διαρρέται από ρύμα και ο πυκνωτής αρχίζι να φορτίζται. b α +q -q κλίσι, διαρρέται το κύκλωμα από ρύμα Ι και ο πυκνωτής να αρχίζι φορτίζται αποθηκύοντας φορτίο q στους οπλισμούς του. Η διαδικασία αυτή ονομάζται φόρτιση του πυκνωτή. Τη στιγμή που κλίνι ο διακόπτης, δηλαδή για =0 s, η τάση στα άκρα του αντιστάτη ίναι V bc = και το ρύμα ίναι Ι(0)=V bc /=/. Καθώς φορτίζται ο πυκνωτής, η τάση V ab στα άκρα του αυξάνται και η τάση V bc στα άκρα του αντιστάτη λαττώνται μ ταυτόχρονη μίωση του ρύματος. Το μέγιστο φορτίο φόρτισης Q του πυκνωτή ξαρτάται από την ΗΕΔ της πηγής. Όταν ο πυκνωτής φορτιστί μ το _ Ι (β) + S c d
Κφάλαιο 7 13 μέγιστο φορτίο, το ρύμα στο κύκλωμα μηδνίζται μιας και δν μπορί να υπάρξι κίνηση φορτίου προς τους οπλισμούς του. Τότ η τάση στα άκρα του πυκνωτή ίναι ίση μ την ΗΕΔ της πηγής, δηλαδή V ab =. Εφαρμόζοντας τον νόμο των βρόχων στο κύκλωμα για τυχαίο χρόνο, όπου η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή ίναι V c παίρνουμ q I VC 0 I 0 (7.14) C Για =0 s το q=0 C άρα η ξ. 7.11 δίνι για το ρύμα Ι(0)=/. Για = o, χρόνο της πλήρους φόρτισης του πυκνωτή, το q=q, το ρύμα Ι=0 και η ξ. 7.14 δίνι q= C=Q (7.15) Για να βρούμ μια αναλυτική σχέση για την ξάρτηση του φορτίου και του ρύματος συναρτήσι του χρόνου, κατά την φόρτιση του πυκνωτή, παραγωγίζουμ την ξ. 7.14 ως προς τον χρόνο και παίρνουμ d q di 1 dq di 1 I 0 0 I 0 d C d C d d C H ξ. 7.16 μπορί να γραφτί di 1 d (7.17) I C Ολοκληρώνοντας την ξ. 7.17 από =0 s έως τυχαία χρονική στιγμή παίρνουμ Io di 1 I 1 I I d ln I ln e I C Io C I 0 o C Io I C (7.16) I I o ή τλικά o I I e C (7.18) Η παραπάνω ξίσωση δηλώνι ότι κατά την φόρτιση του πυκνωτή, το ρύμα ίναι μια κθτική φθίνουσα συνάρτηση μ τον χρόνο. Για =0 s το ρύμα Ι=Ι ο το οποίο ίναι το μέγιστο ρύμα. Για αναπαριστάται γραφικά στο σχ. 7.1. Σχήμα 7.1 Μταβολή του ρύματος σ ηλκτρικό κύκλωμα C κατά την φόρτιση του πυκνωτή. το ρύμα I 0. Η ξ. 7.18
Κφάλαιο 7 14 Από την ξ. 7.18 μπορούμ να βρούμ πως μταβάλλται το φορτίο q στον πυκνωτή κατά την διάρκια της φόρτισής του. Πράγματι θωρώντας ότι το ρύμα ίναι η μταβολή του φορτίου ως προς τον χρόνο η ξ. 7.18 δίνι dq C C e dq e d (7.19) d Ολοκληρώνοντας την ξ. 7.19 από =0 s έως παίρνουμ q C C C C C dq e d q e d ( C) e C( e 1) C(1 e ) 0 0 0 0 ή τλικά μέσω της ξ. 7.15 C q Q( 1 e ) (7.0) Η ξ. 7.17 πριγράφι την μταβολή του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή ως συνάρτηση του χρόνου κατά την διάρκια της φόρτισής του, μταβολή που φαίνται γραφικά στο σχ. 7.13. Για =C η ξ. 7.0 δίνι τιμή φορτίου q=0.63q. O χρόνος αυτός ονομάζται σταθρά χρόνου του κυκλώματος C και συμβολίζται ως τ. Από την ξ. 7.18 το ρύμα Ι στον χρόνο τ υπολογίζται 0.37 Ι ο. q Q 0.63 Q o τ Σχήμα 7.13 Η μταβολή του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή ως συνάρτηση του χρόνου κατά την διάρκια της φόρτισης. 7.5. Εκφόρτιση πυκνωτή Όταν ο πυκνωτής φορτιστί πλήρως μ φορτίο Q, το ρύμα Ι στο κύκλωμα C ίναι μηδέν. Ο πυκνωτής έχι αποθηκύσι ηλκτροστατική νέργια η οποία μπορί να αποδοθί ως ωφέλιμη νέργια στο κύκλωμα του σχ. 7.14, όταν ο C +Q -Q (α) S Σχήμα 7.14 (α) Το κύκλωμα C δν διαρρέται από ρύμα όταν ο διακόπτης S ίναι «ανοικτός». (β) Ο πλήρως φορτισμένος πυκνωτής δίνι ηλκτρικό ρύμα στο κύκλωμα όταν ο διακόπτης S «κλίσι». C +q -q Ι (β) S
Κφάλαιο 7 15 διακόπτης S «κλίσι». Μ άλλα λόγια ο πυκνωτής παίζι το ρόλο της πηγής ηλκτρργτικής δύναμης. Αν για =0 s ο διακόπτης S κλίσι, τότ αρχίζι η κίνηση των λυθέρων ηλκτρονίων των αγωγών του κυκλώματος προς τον θτικό οπλισμό του πυκνωτή. Αυτό έχι ως συνέπια την δημιουργία ηλκτρικού ρύματος στο κύκλωμα. Το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή μιώνται μ το χρόνο διαδικασία που ίναι γνωστή ως κφόρτιση του πυκνωτή. Όπως ακριβώς λαττώνται το φορτίο συμβαίνι και για το ρύμα του κυκλώματος, ώσπου τλικά μηδνίζονται και τα δυο. Όλη η ηλκτρική νέργια δαπανάται τλικά ως θρμότητα στην αντίσταση. Επιδή ο πυκνωτής κφορτίζται μόνο μέσω του αντιστάτη από τον κανόνα των βρόχων παίρνουμ q q V c I 0 I 0 I C C (7.1) Όμως το ρύμα του κυκλώματος ίναι ίσο μ τον ρυθμό μίωσης του φορτίου στον πυκνωτή, οπότ ισχύι dq I (7.) d Η ξ. 7. στην 7.1 δίνι q dq q dq dq q dq 1 0 d (7.3) C d C d d C q C Ολοκληρώνοντας την ξ. 7.3 από =0s έως και λαμβάνοντς υπόψη ότι το φορτίο στον πυκνωτή ίναι Q και q αντίστοιχα, παίρνουμ q Q dq q ή τλικά 0 1 C 1 1 q 1 1 q 1 q C lnq ln q ln Q ln( ) e Q d C q Qe (7.4) C H ξ. 7.4 κφράζι την κφόρτιση του πυκνωτή η οποία γίνται μ φθίνουσα κθτική συνάρτηση και αναπαριστάται γραφικά στο σχ. 7.15. C Q Q o Σχήμα 7.15 Μταβολή του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή κατά την διάρκια της κφόρτισης. Q C Q
Κφάλαιο 7 16 Το ρύμα του κυκλώματος κατά την διάρκια της κφόρτισης του πυκνωτή βρίσκται από την παραγώγιση της ξ. 7.1. Το αποτέλσμα ίναι το ίδιο μ αυτό της φόρτισης του πυκνωτή και κφράζται μ την ξ. 7.15. Παράδιγμα 7.5 Θωρίστ το κύκλωμα C του σχήματος 7.16, όταν ο πυκνωτής ίναι πλήρως φορτισμένος. Εάν =6V, 1 =100 Ω, =80 Ω, C= μf και I 3 =50 ma, βρίτ την αντίσταση 3, το φορτίο Q και την τάση στα άκρα του πυκνωτή V C. Λύση Από τον κανόνα των κόμβων έχουμ για τον κόμβο α I I I 0 I I I (1) 1 3 3 1 Από τον κανόνα των βρόχων έχουμ για τον βρόχο adefa I I 0 I I () 3 3 1 1 1 1 3 3 νώ για τον βρόχο abcda I V I (3) C 3 3 0 Όταν ο πυκνωτής ίναι πλήρως φορτισμένος, τότ η αντίσταση δν διαρρέται από ρύμα, δηλαδή Ι =0. Η ξ. 1 δίνι τότ ότι Ι 1 =Ι 3 και πομένως η ξ. I3( 3 1 ) 0 I33 I31 ) I33 I31 γράφται I 3 1 6V (50mA 100 ) 6V - 5V 1V Η ξ. 3 3 3 3 0 I 50mA 50mA 50mA γράφται 3 VC I33 0 VC I33 VC 6V (50mA 0 ) = 6V 1V VC 5V Το φορτίο που έχι αποθηκυθί στον πυκνωτή ίναι Q CV Q μf 5V Q 10μC C f 1 e Ι 1 3 α d Σχήμα 7.16 Ηλκτρικό κύκλωμα δύο βρόχων (παράδιγμα 7.5) Ι 3 Ι _ + b c C Παράδιγμα 7.6
Κφάλαιο 7 17 Πυκνωτής χωρητικότητας C=.5010-10 F ίναι φορτισμένος μ φορτίο Q=610-8 C και συνδέται μ βολτόμτρο σωτρικής αντίστασης r=410 5 Ω όπως φαίνται στο σχ. 7.17. α) Πόσο ίναι το ρύμα που διαρρέι το βολτόμτρο αμέσως μόλις γίνι η σύνδση; β) Πόση ίναι η σταθρά χρόνου τ του κυκλώματος; γ) Σ πόσο χρόνο το ρύμα θα πέσι στη μισή τιμή της αρχικής; Λύση Μόλις το βολτόμτρο συνδθί μ τα άκρα του πυκνωτή, ένα ρύμα αρχίζι να διαρρέι την σωτρική αντίσταση, του οποίου η ένταση λαττώνται μ την πάροδο του χρόνου μιας και ο πυκνωτής αρχίζι να κφορτίζται. Η σχέση ρύματος και χρόνου κατά την κφόρτιση ίναι Για =0s έχουμ το μέγιστο ρύμα διέλυσης o I I e rc (1) Όμως I o V C () r -8 Q Q 610 C C VC VC V 40V -10 C V C.50 10 F Η ξ. δίνι τλικά I C 40V 410 4 o I 5 o 610 β) Η σταθρά χρόνου τ του κυκλώματος ίναι _ + C Σχήμα 7.17 Ηλκτρικό κύκλωμα πυκνωτή-βολτομέτρου (παράδιγμα 7.6) Ι V r rc γ) Από την ξ. 1 έχουμ για Ι=Ι ο / 5 10 4 4 10.50 10 F 1 10 s 1 1 rc e ln ln1 ln 0 ln ln rc rc rc rc 4 5 rc ln 0.69 0.69 110 s 6.9 10 s Παράδιγμα 7.7 Εάν η νέργια νός πυκνωτή σ πλήρη φόρτιση ίναι U max, σ πόσο χρόνο αποθηκύι το ένα τρίτο της νέργιάς του κατά την φόρτισή του σ ένα απλό κύκλωμα C
Κφάλαιο 7 18 (βλέπ σχ. 7.11); Θωρίστ ότι το μέγιστο φορτίο που αποθηκύι ο πυκνωτής ίναι Q, η χωρητικότητά του C και η σταθρά χρόνου του κυκλώματος τ. Λύση Η νέργια του πυκνωτή κατά την πλήρη φόρτισή του ίναι 1 1Q (1) C Umax CV Umax Κατά την φόρτιση του πυκνωτή, έστω ότι το φορτίο του ίναι q όταν η νέργιά του ίναι U max /3. Τότ ισχύι Umax 1 q q CU max () 3 C 3 Η ξ. 1 στην δίνι 1Q Q Q q C q q (3) 3 C 3 3 Το φορτίο του πυκνωτή κατά την φόρτιση δίνται ως συνάρτηση του χρόνου ως C q Q( 1 e ) (4) Η ξ. 4 λόγω της 3 γράφται 1 1 1 C C C q q 3(1 e ) 1 e e 1 ln(1 ) 3 3 C 3 ln(1 0.58) ln 0.4 0.87 0.87C 0.87 C Άρα ο πυκνωτής αποκτά το ένα τρίτο της μέγιστης νέργιάς του σ χρόνο 0.87 της σταθράς χρόνου του C κυκλώματος.
Κφάλαιο 7 19 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π7.1 Υπολογίστ την συνολική αντίσταση του ηλκτρικού κυκλώματος στο σχ. 7.18 1 ( 3 4 ) μταξύ των σημίων a και b. Απάντηση: ab ( )( ) Ιούνιος 009). 1 3 4 1 a (Τμήμα Χημίας, 3 Π7. Στο κύκλωμα των τσσάρων αντιστάσων του σχήματος βρίτ, α) την ισοδύναμη αντίσταση του α 1 c 3 d 4 κυκλώματος, β) το ρύμα που διαρρέι την κάθ αντίσταση, και γ) την διαφορά δυναμικού στα άκρα της κάθ αντίστασης. Δίνονται, 1 =3 Ω, =6 Ω, 3 = Ω, και 4 =4 Ω, νώ η τάση της πηγής ίναι =90 V. Π7.3 Έστω το κύκλωμα του σχήματος 7.0. Εάν =5 V, 1 = Ω, =4 Ω και 3 =6 Ω, α) να υρθί η ολική αντίσταση του κυκλώματος και β) να υπολογισθούν τα ρύματα Ι 1, Ι και Ι 3. Απάντηση: α) 4.4 Ω και β) Ι 1 =1.15 Α, Ι =0.675 Α και Χημίας, Σπτέμβριος 010). Σχήμα 7.19 Πρόβλημα Π7.. b Ι 3 =0.45 Α. (Τμήμα b 1 Σχήμα 7.18 Πρόβλημα Π7.1. Ι 1 + 1 Ι Ι 3 Σχήμα 7.0 Πρόβλημα Π7.3. 3 4 Π7.4 Ένας άνθρωπος μ αντίσταση μταξύ των χριών 10 kω πιάνι τυχαία τους πόλους νός τροφοδοτικού τάσης 0 kv. α) Εάν η σωτρική αντίσταση του τροφοδοτικού ίναι 000 Ω, πόσο ίναι το ρύμα που διαρρέι το σώμα του ανθρώπου; β) Πόση ισχύς
d b Κφάλαιο 7 0 καταναλίσκται στο σώμα του; γ) Εάν το τροφοδοτικό πρόκιται να κατασκυασθί ώστ να ίναι ασφαλές, αυξάνοντας την σωτρική του αντίσταση, ποια θα έπρπ να ίναι η σωτρική του αντίσταση, ώστ το μέγιστο ρύμα να ίναι 1mA; Απάντηση: α) 1.67 Α, β).7810 4 W και γ) 10 7 Ω. Π7.5 Έστω το ηλκτρικό κύκλωμα του σχήματος 7.1. Εάν οι πηγές ηλκτρργτικής δύναμης 1 =0 V και =10 V έχουν μηδνικές σωτρικές αντιστάσις και οι ωμικές αντιστάσις = Ω και 3 =4 Ω διαρρέονται από ρύματα Ι και Ι 3 αντίστοιχα, να υπολογιστούν τα ρύματα αυτά καθώς πίσης και η ωμική αντίσταση 1, η οποία διαρρέται από ρύμα Ι 1 =4 Α. Απάντηση: Ι =4.33 Α, Ι 3 =0.33 Α και 1 =.84 Ω. (Τμήμα Χημίας, πτυχιακή Νοέμβριος 007). 1 Σχήμα 7.1 Πρόβλημα Π7.5. Ι Ι α 3 Π7.6 Να ύρτ τα ρύματα Ι 1, Ι και Ι 3 στο κύκλωμα του σχήματος 7., άν 1 =6 Ω, =4 Ω, 3 = Ω, 1 =10 V και 1 Ι 1 =14 V. Ποια ίναι η διαφορά δυναμικού μταξύ των 3 σημίων a και d; Απάντηση: Ι 1 = A, Ι =3 A, Ι 3 =1 A και 1 V ab = V. (Τμήμα Χημίας, πτυχιακή Νοέμβριος 008). d Π7.7 Φόρτιση πυκνωτή Έστω ένας αφόρτιστος πυκνωτής Σχήμα 7. Πρόβλημα Π7.6. χωρητικότητας C σ κύκλωμα C. Υπολογίστ την συνολική νέργια που πρέπι να δαπανήσουμ για να φορτίσουμ τον πυκνωτή μ φορτίο Q/3, όπου Q το μέγιστο φορτίο που μπορί να αποθηκύσι ο πυκνωτής. Βρίτ τον χρόνο στον οποίο φορτίζται που συμβαίνι αυτή η φόρτιση άν C= μfκαι =1 μω. Υπόδιξη: Θωρίστ ότι φορτίζοντας τον πυκνωτή μ φορτίο dq δαπανούμ νέργια dw=dq.v, όπου ίναι V η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή.
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν κπαιδυτικό υλικό έχι αναπτυχθί στα πλαίσια του κπαιδυτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανπιστήμιο Ιωαννίνων» έχι χρηματοδοτήσι μόνο τη αναδιαμόρφωση του κπαιδυτικού υλικού. Το έργο υλοποιίται στο πλαίσιο του Επιχιρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδυση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτίται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμίο) και από θνικούς πόρους. Σημιώματα Σημίωμα Αναφοράς Copyrigh Πανπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διύθυνση: hp://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=111. Σημίωμα Αδιοδότησης Το παρόν υλικό διατίθται μ τους όρους της άδιας χρήσης Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μταγνέστρη. [1] hps://creaivecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.