ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητς Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Συγγραφ Βασίλης Αντωνόπουλος ISBN: 978-96-6-58- Copright ΣΕΑΒ, 6 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Crativ Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορικ Χρση - Παρόμοια Διανομ.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτς επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://crativcommons.org/licnss/b-nc-sa/./gr/ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου www.kallipos.gr

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις v ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε όλες τις διαδικασίες φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων υπάρχει ο όρος της ταχύτητας του ρυθμού μεταβολς. Στα μαθηματικά η ταχύτητα και ο ρυθμός μεταβολς εκφράζονται με την παράγωγο. Οι βασικές αρχές της διατρησης της μάζας και της ενέργειας περιέχουν και τον όρο της μεταβολς της εξεταζόμενης μεταβλητς με το χρόνο την απόσταση. Οι εξισώσεις που περιγράφουν αυτά τα φαινόμενα περιέχουν κάποια παράγωγο τα διαφορικά των μεταβλητών γι αυτό λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις με απλά λόγια είναι η αναπαράσταση των φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων στη γλώσσα των μαθηματικών. Στις εφαρμοσμένες επιστμες, όπως είναι η Γεωργικ Μηχανικ, η Υδραυλικ, η Μηχανολογία, η Μηχανικ Περιβάλλοντος, η Χημεία, η Γεωλογία και η Βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν πολλά από τα προβλματά τους. Για τους λόγους αυτούς σε κάθε πρόγραμμα Σχολών Τμημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών μηχανικών υπάρχει μάθημα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών - Διαφορικών Εξισώσεων. Στο πρόγραμμα της κατεύθυνσης των Εγγείων Βελτιώσεων, Εδαφολογίας και Γεωργικς Μηχανικς της Γεωπονικς Σχολς περιλαμβάνεται το μάθημα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» και στα παλαιότερα προγράμματα της Μεταπτυχιακς ειδίκευσης «Έγγειες Βελτιώσεις» το μάθημα «Ανώτερα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά». Για τις ανάγκες των παραπάνω μαθημάτων έχει γραφεί το βιβλίο με τίτλο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις», που είναι συνέχεια των Πανεπιστημιακών Σημειώσεων με τίτλο «Συνθεις διαφορικές εξισώσεις. ΙΙ Ασκσεις και Προβλματα». Ο σκοπός της συγγραφς δεν είναι να γραφεί ένα άλλο βιβλίο Διαφορικών Εξισώσεων, αλλά να παρουσιαστούν και να δοθούν κυρίως λυμένες ασκσεις και προβλματα που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις και λιγότερη θεωρία. Παρουσιάζονται επίσης αρκετά προβλματα από την ποιότητα των υδατικών πόρων, τη φυσικ, την υδραυλικ, την αραίωση διαλυμάτων, των χημικών αντιδράσεων, των αρδεύσεων, των στραγγίσεων, της υδρολογίας, της διατρησης της μάζας και της δυναμικς πληθυσμών. Θεσσαλονίκη 6 Βασίλης Αντωνόπουλος Καθηγητς

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vi

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα. Ορισμοί. Γενικά. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης.4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης.5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς.6 Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης.7 Αόριστο ολοκλρωμα 5.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου 6. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης.5 Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης.5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα 4.5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα 5.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli 6.7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati 7.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και βαθμού 4.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις 4.9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών 4.9. Προβλματα ποιότητας νερού 6.9.4 Προβλματα φυσικς 9.9.5 Προβλματα αραίωσης διαλυμάτων 4.9.6 Προβλματα δυναμικς πληθυσμών 45.9.7 Προβλματα αρδεύσεων 49.9.8 Προβλματα υδραυλικς 5.9.9 Προβλματα ισοζυγίου μάζας σε λίμνες/δεξαμενές 6. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και Ανώτερου Βαθμού 65. Γενικά 65

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις viii. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την παράγωγο p. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την εξαρτημένη μεταβλητ 66.4 Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ 66.5 Εξισώσεις Clairat 67.6 Εξισώσεις Lagrang 67.7 Ιδιάζουσες λύσεις των διαφορικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού 68.7 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων ης τάξης και Ανώτερου βαθμού 69 4. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 84 4.. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης 84 4.. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με σταθερούς συντελεστές 85 4. Πλρεις μη ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης με σταθερούς συντελεστές 85 4.. Μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών μέθοδος της δοκιμαστικς συνάρτησης 86 4.. Μέθοδος του Lagrang μέθοδος της μεταβολς των παραμέτρων 87 4.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης των Elr-Cach 87 4.5 Επίλυση των μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης όταν είναι γνωστ μία λύση της αντίστοιχης ομογενούς 88 4.6 Τέλειες ακριβείς διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 88 4.7 Λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές με μετασχηματισμούς των μεταβλητών 89 4.7.. Λύση διά του μετασχηματισμού της εξαρτημένης μεταβλητς 89 4.7.. Λύση διά του μετασχηματισμού της ανεξάρτητης μεταβλητς 9 4.8.Προσδιορισμός μιας ειδικς λύσης της ομογενούς διαφορικς εξίσωσης ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές 9 4.9. Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ης τάξης 9 4.9. Προβλματα επιλύσιμα με διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 8 5. Συστματα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 9 Ασκσεις Συστημάτων Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 4 Προβλματα επιλύσιμα με συστματα διαφορικών εξισώσεων 5 6. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 6 6. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες με διαδοχικές ολοκληρώσεις 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ 6 6.4 Διαφορικές εξισώσεις ομογενείς ως προς,,,,. (ν). 6 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων Ανώτερης Τάξης 6 7. Επίλυση Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με τη Μέθοδο των Εκθετικών σειρών 7 7. Γενικά 7 65

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις i 7. Διαφορικ εξίσωση του Bssl 7 7. Τροποποιημένη διαφορικ εξίσωση του Bssl 77 7.4 Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων ης τάξης επιλύσιμες με τη μέθοδο των εκθετικών σειρών 78 7.5 Συναρτσεις Γάμμα 9 7.6 Συνάρτηση σφάλματος (rror fnction) 9 8. Μετασχηματισμοί Laplac 97 8. Γενικές Αρχές 97 8. Μετασχηματισμός βασικών συναρτσεων με τη μέθοδο των μετασχηματισμών Laplac 97 8. Μετασχηματισμός των παραγώγων συναρτσεων 99 8.4 Μετασχηματισμός των ολοκληρωμάτων συναρτσεων 8.5 Αντίστροφοι μετασχηματισμοί 5 8.6 Θεώρημα συνέλιξης δύο συναρτσεων 7 8.7 Λύση προβλημάτων αρχικς τιμς 7 8.8 Λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με συντελεστές πολυώνυμα προβλματα αρχικς τιμς 8 8.9 Ασκσεις μετασχηματισμών Laplac Ασκσεις για λύση 6 9. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους 8 9. Συναρτσεις δυο μεταβλητών μερικά διαφορικά 8 9. Μερικά διαφορικά και παράγωγοι 8 9. Σύνθετες συναρτσεις 9 9.4 Αλλαγ των ανεξάρτητων μεταβλητών 9.5 Μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν προβλματα υδραυλικς 9.6 Κατάταξη των μερικών διαφορικών εξισώσεων 5 9.7 Ασκσεις 6. Σειρές Forir. Γενικά. Μορφ των σειρών Forir 4. Σειρές Forir για οποιαδποτε περίοδο 6.4 Σειρές Forir του ημιτόνου του συνημιτόνου 7.5 Μετασχηματισμοί Forir 8.6 Λυμένες Ασκσεις 4.7 Πρόσθετες Ασκσεις για λύση 47. Μέθοδοι Επίλυσης Διαφορικών εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους 5. Γενικά 5. Μέθοδος των μετασχηματισμών Laplac 5

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυση 5.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μεταφοράς μάζας 57.. Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 6..4 Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 66. Μέθοδος των μεταβλητών ομοιότητας 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης κίνησης του νερού προς φρεάτιο 75.4 Μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών 78.4. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας 78.4. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μη μόνιμης ακτινικς ρος του υπόγειου νερού 8.4. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας στο έδαφος 84.4.4 Αναλυτικ λύση για την περίπτωση που είναι Τα 87.5 Πρόσθετες Ασκσεις 89 Βιβλιογραφία 97 Παράρτημα 99

. Ορισμοί. Ορισμοί. Γενικά Διαφορικ εξίσωση είναι μια εξίσωση μιας άγνωστης συνάρτησης, που περιέχει τουλάχιστο μία παράγωγο της συνάρτησης. Συμβολισμός F(,,,,. (ν) ) = (.) Οι διαφορικές εξισώσεις μιας συνάρτησης () ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ λέγονται συνθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μερικές παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης ως προς πολλές μεταβλητές λέγονται μερικές διαφορικές εξισώσεις εξισώσεις με μερικές παραγώγους. σ αυτ. Τάξη μιας διαφορικς εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου, που περιέχεται Παραδείγματα. ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ) sin ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ( ) ) sin C C C t D ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( sin ) Βαθμός της διαφορικς εξίσωσης είναι ο βαθμός της υψηλότερης παραγώγου που περιέχεται σ αυτ. Παραδείγματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ου βαθμού: ( ου βαθμού: ) sin ( ) sin ( ) sin. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ν-οστς τάξης είναι κάθε διαφορικ εξίσωση που μπορεί να γραφεί με τη μορφ: ( ) a () ( ) a () ( )... a o () r() όπου αο(), α() αν-() και r() είναι συναρτσεις του. Παραδείγματα: Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() (.) Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ν-οστς τάξης είναι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις για τις οποίες r() =, δηλ. ( ) a () ( ) a () ( )... a o (). (.). Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης Λύση ολοκλρωμα της διαφορικς εξίσωσης F(,,,.. ( ) λέγεται κάθε συνάρτηση ) (.4) f () (.5) που επαληθεύει εκ ταυτότητος την εξίσωση (.4), δηλαδ F(,f(),f (),f ()... f ( ) ()) (.6) Η καμπύλη που παριστάνει η λύση =f() λέγεται ολοκληρωτικ καμπύλης της διαφορικς εξίσωσης (.4).

. Ορισμοί Γενικ λύση ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης νιοστς τάξης λέγεται η συνάρτηση = σ(, c, c,...cν) που περιέχει ν ανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές και επαληθεύει την εξίσωση (.4). Μερικ ειδικ λύση/ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης λέγεται η συνάρτηση που προκύπτει από τη γενικ λύση της για ορισμένες τιμές των παραμέτρων της. Ιδιάζουσες λύσεις μιας διαφορικς εξίσωσης είναι συναρτσεις που επαληθεύουν τη διαφορικ εξίσωση, αλλά δεν προκύπτουν από τη γενικ τους λύση..4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης Η διαφορικ εξίσωση μίας συνάρτησης (γενικς λύσης) που περιέχει ν αυθαίρετες σταθερές, προσδιορίζεται με διαδοχικές παραγωγίσεις της συνάρτησης ν φορές ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ με αποτέλεσμα ν εξισώσεις. Η απάλειψη των ν παραμέτρων από το σύστημα των εξισώσεων αυτών δίνει τη διαφορικ εξίσωση..5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς Η ολοκληρωμένη περιγραφ ενός προβλματος γίνεται με την διαφορικ εξίσωση και κάποια συνθκη την οποία ικανοποιεί η διαφορικ εξίσωση. Στις περισσότερες βοηθητικές συνθκες, η τιμ της άγνωστης συνάρτησης η τιμ μια παραγώγου της περιγράφεται σε ένα σημείο =o. Αν όλες οι βοηθητικές συνθκες περιγράφονται στο ίδιο σημείο o, αυτές λέγονται αρχικές συνθκες. Το σημείο o λέγεται αρχικό σημείο και η περιγραφόμενη τιμ αρχικ τιμ. Ένα πρόβλημα αρχικς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό της λύσης της διαφορικς εξίσωσης που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες. Αν οι βοηθητικές συνθκες ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε αυτά λέγονται οριακές συνθκες. Ένα πρόβλημα οριακς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό μίας λύσης της διαφορικς εξίσωσης που να ικανοποιεί τις οριακές συνθκες. Παράδειγμα. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα αρχικς τιμς. Το σημείο o= είναι το αρχικό σημείο και οι σταθερές και είναι οι αρχικές τιμές. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις οριακές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα οριακς τιμς..6. Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης Έστω=f() μια συνάρτηση που συνδέει τις μεταβλητές ποσότητες και. Αν η μεταβολ της ανεξάρτητης μεταβλητς από το o στο συμβολιστεί με Δ = - o και η

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις αντίστοιχη μεταβολ της εξαρτημένης μεταβλητς Δ=f()-f(o), τότε η μέση μεταβολ της στο διάστημα (o, o+δ) θα είναι f () f ( o ) f ( o ) f ( o ) () (.7) o Το όριο της μέσης μεταβολς λ(), στο o ( Δ ) συμβολίζεται με f () και περιγράφει τη στιγμιαία μεταβολ της συνάρτησης στο σημείο o, δηλαδ f ( o ) lim o f () f ( o o ) lim f ( o ) f ( Η συνάρτηση f(o) ενός υποσυνόλου του πεδίου τιμών λέγεται παράγωγος της f(). Η παράγωγος συμβολίζεται με τις εξς εκφράσεις: df d, f (), d d o ) (.8) ' d ' f,,,, D, D, Df (.9) d Η μερικ παράγωγος μιας συνάρτησης =f(,,z, t) πολλών μεταβλητών ως προς μια από αυτές, για παράδειγμα την ορίζεται από τη σχέση f (,, z,...t) f (,, z,...t) lim lim (.) Στην περίπτωση αυτ εξετάζεται μόνο η μεταβολ της μιας ανεξάρτητης μεταβλητς. Μια συνάρτηση των n μεταβλητών έχει n μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Ο συμβολισμός των μερικών παραγώγων έχει ως εξς: f,,, f Οι μερικές παράγωγοι και (.) μιας συνάρτησης =f(,) λέγονται μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης πρώτες μερικές παράγωγοι. Με την παραγώγιση αυτών των παραγώγων ακόμη μια φορά, προκύπτουν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης. f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) (.) Διαφορικά των μεταβλητών, είναι κάθε μεταβολ τους που μπορεί να είναι αυθαίρετη τιμ (d=δ). Το διαφορικό μιας συνάρτησης =f() για μια ορισμένη τιμ του και ένα δεδομένο διαφορικό d ορίζεται από τη σχέση d f ()d (.) Το μερικό διαφορικό μιας συνάρτησης =f(,,z, t) ορίζεται από τη σχέση d d (.4) Αν =f(,, t) είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε το ολικό διαφορικό ορίζεται από τη σχέση d d d... dt (.5) t

. Ορισμοί 5 Κάθε συνεχς συνάρτηση πολλών μεταβλητών που έχει μερικές παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές σε ένα δεδομένο σημείο είναι διαφορίσιμη σ αυτό το σημείο. H σωματιδιακ παράγωγος ορίζεται ως εξς: D Dt v w (.6) t z Για παράδειγμα, η σωματιδιακ παράγωγος της συγκέντρωσης C είναι DC C C C C v w (.7) Dt t z.7 Αόριστο ολοκλρωμα Αόριστο ολοκλρωμα αρχικ συνάρτηση της συνάρτησης f() στο διάστημα [α,β] καλείται η συνάρτηση F() παραγωγίσιμη στο [α,β], που ικανοποιεί τη σχέση F () = f() (.8) Για τη συνάρτηση F() χρησιμοποιείται ο συμβολισμός F() = f()d (.9) Στο συμβολισμό αυτό, το σύμβολο είναι το σύμβολο της ολοκλρωσης, ενώ το γινόμενο f()d λέγεται στοιχείο της ολοκλρωσης. Η πράξη υπολογισμού του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης λέγεται ολοκλρωση. Η γραφικ παράσταση μιας αρχικς συνάρτησης f() καλείται ολοκληρωτικ καμπύλη της συνάρτησης f(). Επειδ αν η F() είναι μία παράγουσα συνάρτηση της f() και επειδ το ίδιο ισχύει για την F()+c, για οποιαδποτε σταθερά c, γιατί [F() +c] = F () = f() (.) ο πλρης ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος (εξ..) είναι ο εξς: F() = f()d + c (.) Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος F () = (f()d) = f() (.) df()d = f()d (.) δηλαδ τα σύμβολα d,, όταν είναι το ένα μετά το άλλο αλληλοαναιρούνται kf()d = kf()d (.4) [cf() + cf() + cf() + ]d = cf()d+ cf()d + cf()d + (.5) Κανόνας διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() (.6)

6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου Λυμένες Ασκσεις Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης + = 9 () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = - - Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε + = - - + 9+ - = 9 () Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης 4 4 + 6 = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η και. Είναι = α + β = α + 6β Αντικαθιστώντας την, και στην εξ. () έχουμε 4 4 + 6 = 4 (α + 6β) 4 (α + β ) + 6 (α + β ) = = α 4 + 6β 4 8α + β + 6α + 6β = Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι οι συναρτσεις = c + (-)c + () και = -.5 () αποτελούν λύσεις της διαφορικς εξίσωσης ( ) +(-) + = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = c + (-)c + αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = c (4)

. Ορισμοί 7 Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε c +( -)c-c - (-)c -+= (5) Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση και περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά, που σημαίνει ότι είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Η αντικατάσταση της συνάρτησης () και της παραγώγου της = -.5 (6) στην εξ. () δίνει (-.5) +(-)(-.5) +.5 + = +.5 +-.5 -+ +.5 + = Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση, επειδ όμως δεν περιέχει καμία αυθαίρετη σταθερά, ούτε προέρχεται από την γενικ λύση () αποτελεί ιδιάζουσα λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση ( a) a () Παραγωγίζεται η εξ. (): ( a) ' () Από την οποία a = + () Αντικατάσταση της παραμέτρου a από την εξ. () στην εξ. () δίνει ( ') ( ') ( ') ' (') Τελικό ( ' )d d (4) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.5. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση = acosn + bsinn () Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' an sin n nb cosn '' an cosn n bsin n Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () και (). Λύνουμε την () ως προς acosn και αντικαθιστούμε στην εξ. () acosn= -bsinn (4) () ()

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις '' n ( bsin n) n bsin n '' n Μια άλλη μεθοδολογία βασίζεται στην παραδοχ ότι οι εξισώσεις () μέχρι () αποτελούν σύστημα τριών εξισώσεων με δυο αγνώστους. Στην περίπτωση αυτ η ορίζουσα των συντελεστών θεωρείται μηδέν και η λύση έχει ως εξς: ' ' ' n Τελικά n sin n n sin '' nsin cosn cosn n cosn n n '' n cos n n cos sin n sin n n ' n n ' n sin n cosn sin n cosn n(sin n cos n)('' n (5) '' n (6) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.6. Η εξίσωση Kostiakov, που δίνει την αθροιστικ διηθητικότητα του νερού στην περίπτωση κατάκλυσης του εδάφους, έχει ως εξς: b at () όπου a και b παράμετροι της εξίσωσης και t ο χρόνος. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση που έχει λύση την παραπάνω εξίσωση. Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' '' b () abt b () ab(b )t Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () έως (). Διαιρούμε τις εξ. () και () και αντίστοιχα () και () μεταξύ τους και προκύπτει t με b t ' (4) ' b ' '' t με b Από τις εξ. (4) και (5) προκύπτει '' b t (5) ' ' ' ' '' ' t t t t (6) ' ' t'' t(') ' (7) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση.

Άσκηση.7. Να προσδιοριστούν τα ολοκληρώματα i. sin d ii. d. Ορισμοί 9 Απάντηση: Θα χρησιμοποιηθεί ο κανόνας της διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() Είναι αντίστοιχα i. sin d d cos cos cosd ii. sin d cos dsin cos sin sin d cos sin cos d d d d d 4 Ασκσεις για λύση.8. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων ), = 4 ) C C, ( ) c ), + = 4.9. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, και ότι το γραμμικό άθροισμά τους αποτελεί επίσης λύση της, c ) c ), διαφορικ εξίσωση ( ) sin, cos, διαφορικ εξίσωση.. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, αλλά το γραμμικό άθροισμά τους δεν αποτελεί λύση της ) ), cos, διαφορικ εξίσωση =, sin, διαφορικ εξίσωση

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Να προσδιοριστούν οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν γενικ λύση τις συναρτσεις d ) Bcos( t a) ( ) dt ) c ( )d d ) C C ( = ) 4) C C ( 5 6 ) 5) C C (( ) ) ).. Να δειχθεί ότι τα παρακάτω ζεύγη συναρτσεων αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων α) Το ζεύγος συναρτσεων 8 / c c - 4 8 / z = c c + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων + () 4 - () z 4 () ' z z (4) β) Το ζεύγος συναρτσεων 8 cos sin C 4 4 = / 5 () 67 z = sin + 7 94 7 cos + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων C -/5 + C () 4 z + = sin () + z = cos (4)

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού έχει ως εξς: Q(, ) P(, ) (.) Ισοδύναμες μορφές: F(, ) P(, ) / Q(, ) (.) P(, )d Q(, )d (.) όπου P(,) και Q(,) είναι συναρτσεις των και.. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές λέγονται οι διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να γραφούν με την εξς μορφ: P()d Q()d (.4) όπου P() συνάρτηση μόνο του και Q() συνάρτηση μόνο του. Γενικ λύση: ()d Q()d P c (.5) Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης ( ) ( ) () Η Διαφορικ Εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( )d ( )d () d d ( ) Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: () για ( ) () d d c (4) για - = ω, = -ω, d = dω και ( )d d d ( k)dk c k dk k dk c - = k, = - k, d = -dk

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις - ln ω + ω ln k + k = c ln ωk + ω k = c ln (-)(-) = c + - + + + ln (-)(-) = c (5).. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς Θεώρημα: Μια διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.6) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ακριβς εάν και μόνο εάν οι συναρτσεις P(,) και Q(,) επαληθεύουν εκ ταυτότητος τη σχέση: P Q η γενικ λύση δίνεται από τη σχέση (.7) P(, ) Q( o)d c (.8) o όπου o είναι διευκολύνουσα σταθερά... Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Ομογενς συνάρτηση. Η συνάρτηση F(,) λέγεται ομογενς ως προς και νιοστού βαθμού, αν F(, ) F(, ) (.9) Παράδειγμα: συνάρτηση F(, ) ( ) F(, ) ( )( ) άρα η F(,) ομογενς ου βαθμού. Ιδιότητες ομογενών συναρτσεων. τότε ( ) F(, ) α) Αν F(,) και G(,) ομογενείς βαθμού ομογένειας n και m αντίστοιχα, F(,).G(,) είναι ομογενς n+m βαθμού F(,)/G(,) είναι ομογενς n-m βαθμού β) Αν F(,) ομογενς τότε αν χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός = η συνάρτηση γίνεται F(). Ομογενς διαφορικ εξίσωση. Η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.)

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού λέγεται ομογενς αν οι P(,) και Q(,) είναι ομογενείς συναρτσεις του ιδίου βαθμού. Η λύση των ομογενών διαφορικών εξισώσεων προκύπτει με το μετασχηματισμό της χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ =/ = Η παράγωγος της μεταβλητς θα είναι : d d (.) d d Αν αντικατασταθεί η μεταβλητ και η παράγωγός της d/d στη διαφορικ εξίσωση (.) θα προκύψει η ισοδύναμη διαφορικ εξίσωση d F() d με χωριζόμενες μεταβλητές. (.).4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Η γενικ μορφ των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης έχει ως εξς: () a () Q() (.) a o Πιο συνθης μορφ d p() q() (.4) d Η συνάρτηση pd ( ) (.5) είναι ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης (.4). Αν πολλαπλασιαστεί η εξ. (.4) με τη συνάρτηση μ(), τότε το πρώτο μέρος της θα είναι ίσο με την ολικ παράγωγο ως προς του γινομένου () και άρα η λύση της (.4) θα είναι: d d () ().q() pd q() pd d c pd pd pd q() d c (.6).5. Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Ορισμός: Γενικά μια μη μηδενικ συνάρτηση μ(,) λέγεται ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης P(, )d εάν το γινόμενο Q(, )d (.7)

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις (, ).[P(, )d Q(, )d] (.8) είναι διαφορικ εξίσωση αμέσως ολοκληρώσιμη. Θεώρημα: Κάθε διαφορικ εξίσωση της μορφς (.7), η οποία έχει λύση την παραγωγίσιμη συνάρτηση (,)=c, έχει και ολοκληρωτικό παράγοντα μ(,) και μάλιστα άπειρο αριθμό ολοκληρωτικών παραγόντων..5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση P(, )d έχουμε την παράσταση P Q ( ) f () Q Q(, )d (.9) (.) ως συνάρτηση μόνο της ανεξάρτητης μεταβλητς, τότε υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας που δίνεται από τη σχέση f ()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) g() P (.) ως συνάρτηση μόνο της εξαρτημένης μεταβλητς τότε ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση g()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν για τη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) f (w) Q P ως συνάρτηση του γινομένου =w, τότε με w= (.4) f (w)dw ( w) (.5) Θεώρημα 4 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση (.9) έχει τη μορφ τότε f()d g()d (.6) (g ) (.7) [f ( ) g( )] P Q Θεώρημα 5 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση είναι ομογενς και P Q, τότε (, ) (.8) P Q Θεώρημα 6 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση έχει τη μορφ m n m n ( B )d (C D )d (.9)

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 τότε a b (.).5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα Έστω η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.) και μ(,) ολοκληρωτικός παράγοντας με τον οποίο η εξίσωση Pd Qd (.) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη, θα ισχύει: και άρα ( P) ( Q) P Q P Q P Q ( ) Q P (.4) (.) Από την εξ. (.) προέκυψε η εξ. (.4), η οποία είναι μερικ διαφορικ εξίσωση ως προς μ. Επειδ δεν είναι γνωστ η λύση της εξ. (.4) και για απλοποίηση της διαδικασίας, γίνεται η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο συνάρτηση του. Τότε / d / d. Άρα η εξ. (.4) γίνεται P Q d ( )d Q Από την τελευταία προκύπτει ότι αν τότε P Q ( ) f () Q / (.5) (.6) f ()d ( ) (.7) που είναι το ο θεώρημα της παραγράφου.5.. Αν γίνει η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο του, τότε / και / d / d και άρα η εξ. (.4) γίνεται Άρα αν τότε P Q d ( )d P P Q ( ) g() P (.8) (.9) g() d ( ) (.4) και

6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Brnolli (Brnolli, J., 654-75, Ελβετός μαθηματικός) είναι η εξς: d P() Q() d όπου.. Η γενικ λύση προκύπτει ακολουθώντας τα παρακάτω βματα: Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση επί -ν, τότε d P() d Εισάγεται η νέα μεταβλητ Q() (.4) (.4) d d ( ) (.4) d d Γίνονται οι αντικαταστάσεις και αναδιάταξη των όρων με d p() q() (.44) d p()=(-ν)p()και q()=(-ν)q() Λύνεται η γραμμικ διαφορικ εξίσωση ολοκληρωτικός παράγοντας p()d πολλαπλασιασμός της διαφορικς εξίσωσης ολοκλρωση Γίνεται η αντίστροφη αντικατάσταση: d d ( ) q() p()d p()d p()d q() c (.45) /( ) (.46) Παράδειγμα Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (cos sin ) () πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε cos sin d d d d και () (α,β) d d cos sin sin cos (4) d d Η εξ. (4) είναι γραμμικ με

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 και Αν τότε d (5) d d sin d cos d C cos d και sin. d A cos sin και η εξ. (6) γίνεται B d sin dsin d sin B C sin sin B sin d sin C sin C (7) και από την εξ. (α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): / C sin (8) (6).7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati εξς: Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Riccati (Riccati, J., 676-754) έχει ως d P() Q() R() (.47) d Οι διαφορικές εξισώσεις Riccati δεν μπορούν να λυθούν απευθείας, εκτός αν γνωρίζουμε μία λύση της (). Στην περίπτωση αυτ η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης θεωρείται ότι δίνεται από τη σχέση () () από την οποία () d d d (.48) d d d Η συνάρτηση ικανοποιεί τη γραμμικ διαφορικ εξίσωση d d P() Q() P() (.49) Από την επίλυση της εξ. (.49) προσδιορίζεται η συνάρτηση ()

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Παράδειγμα: Να δοθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης: ( )( ) () Η διαφορικ εξίσωση () μπορεί να γραφεί με τη μορφ: () από την οποία προκύπτει ότι η διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati. Από την εξίσωση () εύκολα επίσης προκύπτει ότι μία λύση της διαφορικς εξίσωσης είναι η συνάρτηση = (4) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: d d της οποίας η παράγωγος είναι d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (5α) και (5β) στην εξίσωση () d d d d d (6) d Η διαφορικ εξίσωση (6) είναι γραμμικ με d ln (7) και μετά τον πολλαπλασιασμό και την εκτέλεση των πράξεων γίνεται d d d c ( ) c d () c / (8) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (8) στην (5α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (5α) (5β)

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( + )d + d = () d d () για () ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: επειδ d tan c d d tan, α > a a a Άρα η γενικ λύση θα είναι η συνάρτηση tan c για c = c και για κάθε. d c (4) (5) Να λυθούν οι ασκσεις ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές ) ( + ) + ( + ) = ) ( + )(cos) + 4 = ) Να βρεθεί η λύση του προβλματος αρχικς τιμς ', για () = Με τη βοθεια της συνάρτησης σφάλματος rf () d

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις να εκφραστεί η μεταβλητ ως προς. Το ολοκλρωμα αυτό δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Οι τιμές της rf() δίνονται συνθως σε πίνακες. ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις ) sincos = cos με λύση tan = sc + tan ) d ( ) d με λύση tan( ) 4. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι ομογενς επειδ οι συναρτσεις P(,)= ( + ) και Q(,)=( + ) είναι ομογενείς ου βαθμού, δηλαδ ισχύει P(λ,λ)= (λ λ + λ ) = λ ( + ) = λ P(,) Q(λ,λ)=(λ + λλ ) = λ ( + ) = λ Q(,) Χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ = και την παράγωγό της μετασχηματίζεται ως εξς: ( + ) + ( + d )( ) = d ( + ) + ( + d )( ) = d + 4( + d = d d + ) d + + d d = (α) (β) d d, η εξ. () d d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει χωρισμένες τις μεταβλητές και μπορεί να ολοκληρωθεί. Μετά την ολοκλρωση προκύπτει 4( d ) d + = C d( 4( ) d + ln = C ) ln + ln = C ln ( + ) 4 = 4C = C (4) 4 Μετά την αντιλογαρίθμηση και την αντικατάσταση της μεταβλητς από την = η εξ. (4) γράφεται 4 C C ( + ) = C (5) Η εξίσωση (5) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

Να λυθούν οι ασκσεις Να λυθούν οι ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ). Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού ' με λύση = sin(ln) = ) d = ( )d με λύση ln + = c ) (-) = με λύση ln C 4) = (ln ln) με λύση c 5) ( + )d- d= με λύση - = c. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = - d d d d d d C C C () Η εξ. () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = 5 () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Η εξ. () μπορεί να γραφεί = 4 () Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d ln () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = 4 - d d d/ d d / d C

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις 5 / C C (4) Η εξ. (4) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () για όλες τις τιμές του. Ασκσεις για λύση α) + tan = sin, αν () =, { = 4cos cos } β) + =, αν () =, { = + - } γ) = sin + cot (cot=cos/sin), { = sin + csin} δ) = +sin +, { = -(+)-.5(sin+cos) - +c} ε) = ( -), { = - c }.4 Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς και ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + sin)d + (cos )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= ( + sin) και Q(,)= (cos ) για τις οποίες ισχύει P Q sin cos cos - cos Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q cos Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( sin ) (o cos )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει ( sin ) d c sin + sin = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () c (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= και Q(,)= + για τις οποίες ισχύει

P Q. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( o )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει c + = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (ln)d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= (ln) και Q(, ) για τις οποίες ισχύει P ( (ln) ln ln Q + ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q ln ln g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d g()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (ln) - d + ( + ) - d = (ln)d + ( + ) - d = (5) (α) (β) ()

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: (ln)d + o ( + ) d Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln + ( ) d = c o = c ln + ( / Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). ( a ) d a Σημείωση : Ισχύει / ) = c (6) Άσκηση.4.4. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - 7 ) + (5 - ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα (5 - )d + ( - 7 )d = () η οποία έχει P(,)= (5 - ) και Q(,)= ( - 7 ) για τις οποίες ισχύει P Q (5 - ) 5 9 ( - 7 ) 6 7 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( 7 ) (5 ( ) f () ( 4 ) 5 9 ) 6 7 (α) (β) (4) είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d ln f ()d ( ) (5) / Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (5 - )() / d + () / ( - 7 )d = (5() / / 7/ )d + ( 5/ / + 7 / 5/ )d = (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o / / 7/ / o (5() - )d + ( o 7 )d = c Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται 5/ / 5/

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 / / 7/ / 5 d - d = c / 5/ 7/ / 5 = c 5 () / / 5/ 7/ / = c ( ) c ( ) ( ) c / 4 c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4.5. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση = (ln ln) () Η διαφορικ εξίσωση γράφεται ln d d έχει P(,)=ln(/) και Q(,)= -(/) για τις οποίες ισχύει P Q ln / ( ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση Q P Q / f () Ο ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση () f ()d d ln Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ln d d d c ln o ln o o ln ( ln ( ln ( o o o ) o ln ln o o ln c ln c ) ln ln o o ) ln o ln o o o o d o o ln c ln c (α) (β) () (4)

6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ln ln ln ln c ln ln c / c (5) Άσκηση.4.6. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + 4 d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= + και Q(,)= 4 για τις οποίες ισχύει P Q 4 4 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( + )( - )d + 4 ( - )d = ( + )( - )d + d = (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o d + o d = c ln o c ( ) ln o o c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται (α) (β) ln = c + ln = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.7. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () που γράφεται επίσης d - ( )d = (α) έχει P(,)= και Q(,)= - ( ) για τις οποίες ισχύει

P. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7-6 Q Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q 4 6 g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d 4 g()d 4ln 4 () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη - d - ( -4 - )d (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: - -4 - (o - ) d = c o o o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται c o o c (α) (β) c = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.8. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + + ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ( )d - ( + + )d = (α) έχει P(,) = ( ) και Q(,)= - - για τις οποίες ισχύει - P Q - - - Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q (α) (β) ()

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις είτε διαιρεθεί ως προς Ρ, Q και Q-P δεν δίνει αντίστοιχες συναρτσεις του, και. Έστω ότι η μορφ του ολοκληρωτικού παράγοντα είναι a b (, ) (4) Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό της διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) ( ) a b d - ( + + ) a b d = (5) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη και οι παράγωγοι P Q a b a b a b a b - (b ) ( b) a b a b a b - - - Είναι εκ ταυτότητος ίσες, δηλαδ P Q (b ) a Από την τελευταία : b+=-a- --b=-a- b ( b) a=b+ a=b+ a b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b (6α) b (6β) -(a+) = a = - καιb = - (7) Άρα η διαφορικ εξίσωση () έχει ολοκληρωτικό παράγοντα (, ) (8) Η αμέσως ολοκληρώσιμη διαφορικ εξίσωση (4) για τις τιμές του ολοκληρωτικού παράγοντα της εξ. (8) έχει τη μορφ ( ) - - d - ( - + - + )d = (9) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (9) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o - o d = c o ln ln o o c ln ln o ln c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln c ln o c () Η εξίσωση () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9 Άσκηση.4.9. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - ) + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα ( + )d + ( - )d = () η οποία έχει P(,)=( +) και Q(,)= ( - ) για τις οποίες ισχύει ( ) P Q (- ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( ) ( ) 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ( )d ln ( ) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( ) d ( ) d ( )d ( )d (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: ( ) ( )d c o ln ln o o ln c o o ln o ln c ln c ln o c ln c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). o (α) (β) (4) (5) Ασκσεις για λύση α) ( ) + ( + ) =, P Q Q P, μ() = /()

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Γενικ λύση ln c β) ( )d + d =, Γενικ λύση ln + = c Q P Q, μ() = /() γ) ( 4 +sin)d + (4 + cos)d = με γενικ λύση 4 +sin = c δ) ( 4 ) =, P Γενικ λύση (- 4 ) = c P Q, μ() = ε) ( +) + ( + ) = με γενικ λύση 4 + = c.5 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli και Riccati Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: - + =, όταν = () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + - = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α) d d d (β) d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις d d d d d d (4) d d Η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει = + c (5) Αντικατάσταση της στην εξ. ( α ) δίνει τη γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (6) c

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Άσκηση.5.. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (- ) = ( ) () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: (- ) - ( ) = - () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε (- ) - - ( ) - = - () (- )( d d d d d d και ) - ( ) = - d ( ) (5) d ( ) ( ) Η εξ. (5) είναι γραμμικ με ( ) d d d p d p ( ) p ln ln( ) ln( ) = (- ) (6) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d (4α,β) ( ) ( ) (7) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) d C ln C ln C (8) ( ) ( ) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) (9) ln C Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: = + ( ) ( ) () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + ( ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις d d d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις ( d ( ) d ) d d d d d d (4) d d Η διαφορικ εξίσωση (4) είναι γραμμικ με d (5) Μετά τον πολλαπλασιασμό της εξ. (4) και την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει d d ( ) ( ) d c ( )d c ( ) c (6) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (6) στην (α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (β) Άσκηση.5.4. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. ( + ) + + ( + ) 4 = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: ( + ) + = ( + ) 4 () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε ( + ) - + - = ( + ) 4 () d d d d d ( + )( ) + = ( + ) 4 d 4 και d ( ) ( ) (5) d ( ) ( ) (4α,β)

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η εξ. (5) είναι γραμμικ με p d p ln( ) ( + ) - (6) ( ) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d ( ) ( ) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) (7) ( )d C ( ) C ( ) ( ) C (8) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) Ασκσεις για λύση C α) 4 = /, () = [ = ( + ) ] β) = - ( + + ), () = [ = /( + - )] γ) = 4 /, () = [ = ( ) ] δ) + = ln, () = / [ = /( + ln )] ε) + ( ) =, / = -, [ = /(c ln )] στ) + ( ) =, / = - [ = /(c + )] ζ) ( + ) + + ( + ) 4 = /(+) = ( + ) η) = ( + ) + / = - θ) cos = +cos sin, αν =sin (=-.5sin+Ccos)

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις ) Αρχικά προσδιορίζεται ο βασικός κανόνας (αρχ) που διέπει το φυσικό πρόβλημα. Π.χ. ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι το άθροισμα των δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε ένα σώμα είναι ίσο προς το γινόμενο της μάζας m επί την επιτάχυνση γ του σώματος την ίδια στιγμ. ) Ο νόμος (αρχ) της μεταβολς μιας μεταβλητς ορίζει την παράγωγο της εξαρτημένης μεταβλητς. Εισάγοντας την παράγωγο στον κανόνα προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Για παράδειγμα, ο ρυθμός διάσπασης μιας ουσίας εκφράζεται μαθηματικά με την παράγωγο d/dt. ) Στη συνέχεια επιλύεται η διαφορικ εξίσωση και προσδιορίζεται η γενικ λύση η όποια περιέχει αυθαίρετες σταθερές όσες και η τάξη της διαφορικς εξίσωσης. 4) Στο επόμενο βμα από τις βοηθητικές συνθκες, οι οποίες καθορίζονται από την τάξη της διαφορικς εξίσωσης και τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών, προσδιορίζονται οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι προσδιορίζεται η ειδικ λύση που περιγράφει το πρόβλημα από τα δεδομένα των βοηθητικών συνθηκών. 5) Έλεγχος αποτελεσμάτων. Με τη συνάρτηση της λύσης της διαφορικς εξίσωσης υπολογίζονται τιμές της εξαρτημένης μεταβλητές για διαφορετικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών και συγκρίνονται με δεδομένα αποτελέσματα άλλων λύσεων..9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών και μεταβολς της θερμοκρασίας. Πρόβλημα.9.. Ο ρυθμός διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών είναι ανάλογος προς την υπάρχουσα ποσότητα της ουσίας. Θεωρώντας ότι στο χρόνο t= η ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας είναι 8 gr, να βρεθεί η σχέση με την οποία να μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας σε κάποιο μελλοντικό χρόνο.

Λύση του προβλματος.. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 Αρχικά προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Αν η ποσότητα της ουσίας στο χρόνο t συμβολίζεται με (t), τότε ο ρυθμός διάσπασης της ουσίας θα είναι d/dt. Σύμφωνα με το νόμο της διάσπασης της ουσίας, το d/dt είναι ανάλογο με το. Δηλαδ d dt K όπου K είναι μιά φυσικ σταθερά, η τιμ της οποίας είναι γνωστ για πολλές ραδιοκτινοβολούσες ουσίες (για παράδειγμα, το Ράδιο έχει τιμ K=.44 έτη - ). Σύμφωνα με τα παραπάνω, η φυσικ διαδικασία της διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών περιγράφεται μαθηματικά από μια συνθη διαφορικ εξίσωση πρώτης τάξης. Το ο βμα περιλαμβάνει την επίλυση της διαφορικς εξίσωσης. Η διαφορικ εξίσωση () είναι διαφορικ εξίσωση με χωριζόμενες τις μεταβλητές και η λύση της έχει ως εξς: d Kdt +C ln = - Kt + C = C -Kt () H εξίσωση () περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά και γι αυτό είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Στο ο βμα προσδιορίζεται η ειδικ λύση. Η ειδικ λύση της διαφορικς εξίσωσης προκύπτει με τον προσδιορισμό της τιμς της αυθαίρετης σταθεράς C από τα δεδομένα του προβλματος. Στο πρόβλημά μας η ποσότητα της ραδιενεργού ουσίας (t) στο χρόνο t εξαρτάται από την αρχικ ποσότητα της ουσίας. Αυτ η ποσότητα είναι 8 gr στο χρόνο t=. Από τη συνθκη αυτ που λέγεται αρχικ συνθκη μπορεί να προσδιοριστεί η σταθερά C. () = 8 Αντικατάσταση στην εξ. () δίνει () = C = 8 C = 8. H εξίσωση () για την τιμ του C=8 γίνεται = 8 -Kt () Με την εξ. (), αν είναι γνωστ η τιμ της σταθεράς K, που χαρακτηρίζει το ρυθμό διάσπασης της ραδιενεργού ουσίας, μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας που θα παραμένει μετά από χρόνο t. είναι: Για παράδειγμα, με την τιμ K του ράδιου, η ποσότητα ραδίου μετά από δέκα χρόνια θα () = 8 -(.44)() = 5.5 γραμ. Το τελικό βμα περιλαμβάνει τον έλεγχο των αποτελεσμάτων. Από την εξ. () προκύπτει: d dt d dt Kt Kt (8 ) 8K K και () = 8 = 8. H εξ. () ικανοποιεί την εξίσωση () και την αρχικ συνθκη. ()

6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα.9.. Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα για τη μεταβολ της θερμοκρασίας ενός σώματος, ο ρυθμός ψύξης ενός σώματος στον αέρα είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας του σώματος Τ και του αέρα Τα. Εάν η θερμοκρασία του αέρα είναι ο C και σε min ένα σώμα ψύχεται από τους στους 6 ο C να βρεθεί ο χρόνος που η θερμοκρασία θα πέσει στους ο C. Ποια τιμ έχει η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα. Λύση του προβλματος. Μαθηματικ περιγραφ της ψύξης ενός σώματος στο αέρα. Αν η θερμοκρασία στο χρόνο t είναι Τ(t) και ο ρυθμός ψύξης του σώματος είναι dτ/dt, τότε σύμφωνα με το νόμο της ψύξης των σωμάτων, το dτ/dt είναι ανάλογο με τη διαφορά Τ-Τα. Δηλαδ dt k(t T ) () dt όπου k είναι η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα (min - ). Η γενικ λύση προκύπτει με χωρισμό των μεταβλητών και ολοκλρωση, θα είναι Τ = Τα + C kt Η σταθερά C για τη συνθκη Τ = Το, t =, είναι C = Το -Tα. Η μερικ λύση θα έχει τη μορφ Τ = Τα + (Το-Τα) Από την οποία T T k ln t T T o kt Για τα δεδομένα του προβλματος ψύξης του σώματος θα είναι 6 k ln.55 ανα min.55t και = + 8 t ln 6 min.55 () () (4).9. Προβλματα ποιότητας νερού Πρόβλημα.9.. Τα ενεργά χημικά απόβλητα μιας βιομηχανίας, μετά την αραίωσ τους σε ένα ποτάμι αποικοδομούνται με μια κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Η σταθερά της ταχύτητας αποικοδόμησης είναι ίση με K=.5 ανά ημέρα. Τα απόβλητα χύνονται με παροχ Qα =.4 m /s και συγκέντρωση Cα = mg/l δραστικς ουσίας σε ένα ποτάμι που λίγο πιο πάνω από την είσοδο των αποβλτων έχει παροχ Qπ = 5. m /s και συγκέντρωση δραστικς ουσίας Cπ =. mg/l. Εάν η μέση ταχύτητα ρος στο ποτάμι είναι U=.5 m/s, να υπολογιστεί η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα περιοριστεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l. Απάντηση Ακριβώς μετά την είσοδο των αποβλτων στο ποτάμι και την ανάμιξ τους με το νερό που έρχεται από τα ανάντη του ποταμού, σύμφωνα με το νόμο διατρησης της μάζας θα ισχύει:

. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 QαCα + QπCπ = QκCκ αλλά Qκ = Qα + Qπ = 5 +.4 = 5.4 (m /s) Συνεπώς, αμέσως μετά την εισρο των αποβλτων στο ποτάμι, η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας στο νερό του ποταμού θα είναι: Cκ = [QαCα + QπCπ]/ Qκ = [5 +.4]/5.4 = 4.74 (mg/l) Τα ενεργά χημικά απόβλητα αποικοδομούνται με κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Στις κινητικές αντιδράσεις πρώτης τάξης ο ρυθμός μεταβολς της ουσίας στο χρόνο t είναι ανάλογος με τη συγκέντρωση της ουσίας στον ίδιο χρόνο, δηλαδ dc KC dt η λύση της οποίας είναι Ct = Cαρ -Κt οπού Ct είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στο χρόνο t, Cαρ είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στην αρχ (t=), η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων ακριβώς μετά την ανάμιξη (για το πρόβλημά μας Cκ), Κ είναι η σταθερά της αντίδρασης αποικοδόμησης (=.5 ημ - ). Η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων θα περιοριστεί στα mg/, σε χρόνο t που μπορεί να υπολογιστεί από την τελευταία εξίσωση για τις τιμές Ct= mg/, Cαρ=Cκ=4.74 mg/ και Κ=.5 ημ -. Συνεπώς Ct = Cαρ -Κt ======> t = C ln K C t t = 4.74 ln.5 =.4 ημέρες Για ομοιόμορφη μετακίνηση των χημικών αποβλτων μέσα στο ποτάμι με ταχύτητα.5 m/s, η απόσταση μεταφοράς στην οποία θα επιτευχθεί η αποικοδόμηση των χημικών αποβλτων στα mg/, θα είναι: S = Ut = (.5 m/s)(.4 d)(4.6 s/d) = 844. (m) Άρα η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα μειωθεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l, θα είναι 8.4 km. Πρόβλημα.9.4. Η νιτροποίηση είναι μια βιολογικ διαδικασία οξείδωσης της αμμωνίας με τελικό προϊόν τα νιτρικά. Η χημικ αντίδραση της νιτροποίησης έχει τη μορφ: K NΗ4 ΝΟ Ο ρυθμός μεταβολς της συγκέντρωσης της αμμωνίας περιγράφεται από κινητικ αντίδραση ης τάξης της μορφς: da KA () dt όπου Α είναι η συγκέντρωση της αμμωνίας και Κ είναι η σταθερά του ρυθμού της αντίδρασης.

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις δηλαδ: Ο ρυθμός μεταβολς των νιτρικών εξαρτάται από τη μετατροπ της αμμωνίας σε νιτρικά, B K dt A όπου Β είναι η συγκέντρωση των νιτρικών. Ζητείται να βρεθούν οι συναρτσεις που εκφράζουν τις σχέσεις της συγκέντρωσης της αμμωνίας, και των νιτρικών με το χρόνο. Αν στο χρόνο t=, η συγκέντρωση της αμμωνίας είναι mg/l και των νιτρικών μηδέν, να υπολογιστούν οι συγκεντρώσεις της αμμωνίας και των νιτρικών σε 4 ημέρες. Οι τιμές της σταθεράς του ρυθμού της αντίδρασης είναι Κ=.8 da -. Απάντηση Η λύση της διαφορικς εξίσωσης () έχει ως εξς: da K dt A +C lnα = - Kt + Δ Από την αρχικ συνθκη προσδιορίζεται η αυθαίρετη σταθερά Δ. Αν για t =, Α=Αο από την αρχικ συνθκη, τότε K t Δ = ln Ao και τελικά A( t) A () Η λύση της δεύτερης διαφορικς εξίσωσης (εξ. ) έχει ως εξς: o db KA (4) dt που λόγω της εξ.() γίνεται db K dt A o K t Η οποία είναι με χωριζόμενες μεταβλητές και έχει γενικ λύση B A ( K )t o E Από την αρχικ συνθκη για t=, B = Bo, η αυθαίρετη σταθερά λαμβάνει την τιμ E B o A o και η λύση της Δ.Ε. () παίρνει την εξς μορφ: o K t Bo B A (5) Οι συναρτσεις () και (5) δίνουν τη μεταβολ του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου με το χρόνο. Οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου σε 4 ημέρες, για τα δεδομένα της εφαρμογς, t=, Ao= mg/l, Bo=. mg/l, K=.8 da -. θα είναι: Αμμωνιακό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση ). Α=p(-.84)=. mg/l. Νιτρικό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση 5). C. (.84 ) 8.78 mg/l. Άρα μετά από 4 ημέρες οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου θα είναι αντίστοιχα.και 8.78 mg/l. ()