Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-2 Οι στηρίξεις κάποιων φορέων είναι δυνατό να μετακινηθούν υπό την επίδραση της εξωτερικής φόρτισης. Για παράδειγμα, στο σχήμα (a) η δοκός AB εδράζεται στη δοκό CD, η οποία μετακινείται όταν αναλάβει την αντίδραση της δοκού AB. Αν η δοκός CD συμπεριφέρεται ελαστικά τότε μπορεί να προσομοιαστεί με ένα ελατήριο όπως στο σχήμα (b). Για γραμμικά ελαστικό ελατήριο ισχύει η πιο κάτω σχέση μεταξύ του φορτίου και της μετακίνησης P = KΔ όπου Κ είναι η ακαμψία του ελατηρίου, με μονάδες δύναμης ανά μετακίνηση.

Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-3 Η διαδικασία ανάλυσης μιας δοκού σε ελαστική στήριξη είναι ανάλογη μ αυτή για δοκό σε σταθερή στήριξη, με μία μόνο διαφορά: αν η δύναμη του ελατηρίου θεωρηθεί ως υπερστατικό μέγεθος, τότε η εξίσωση συμβιβαστού πρέπει να δηλώνει ότι η μετακίνηση Δ τηςδοκούστοσημείο εφαρμογής του υπερστατικού μεγέθους είναι ίση με X Δ= = - fx K όπου f είναι η ευκαμψία του ελατηρίου, με μονάδες μετακίνησης ανά δύναμη. Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η μετακίνηση του ελατηρίου είναι αντίθετη της δύναμης που αναπτύσσεται στο ελατήριο και επιβάλλεται στο μέλος του φορέα που στηρίζει. Δηλαδή, αν το ελατήριο υπόκειται σε βράχυνση (μετακίνηση προς τα κάτω), η δύναμη που προκαλείται θα έχει φορά προς τα πάνω.

Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-4 Αν η ακαμψία του ελατηρίου είναι μεγάλη τότε η μετακίνηση θα είναι μικρή. ΣτοόριοπουτοΚ τείνει στο άπειρο, η μετακίνηση τείνει στο μηδέν. Σ αυτήν την περίπτωση η εξίσωση συμβιβαστού θα είναι Δ = 0, ίδια μ αυτήν που ίσχυε για δοκό σε σταθερή στήριξη.

Παράδειγμα 10-1 Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-5 Να γράψετε την εξίσωση συμβιβαστού για τη δοκό και να υπολογίσετε τη μετακίνηση στοσημείοβ. [K = 10 kips/in, w = 2 kips/ft, I = 288 in 4, E = 30,000 kips/in 2 ] Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι μία φορά υπερστατικός. Ο θεμελιώδης φορέας με την αρχική φόρτιση και το υπερστατικό μέγεθος, Χ Β, φαίνονται στο σχήμα (b). Η εξίσωση συμβιβαστού σ αυτήν την περίπτωση είναι: Δ B, δοκος X = K Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η μετακίνηση (προς τα κάτω) του άκρου της δοκού στο Β είναι αντίθετη της επιβαλλόμενης δύναμης Χ Β. Από επαλληλία των αναλύσεων στα σχήματα (c) και (d), η εξίσωση γράφεται XB Δ B0 + δbbxβ = K Οι μετακινήσεις Δ Β0 και δ ΒΒ υπολογίζονται από πίνακες. Αντικαθιστώντας στην πιο πάνω εξίσωση προκύπτει 4 3 wl L X Β + = 8EI 3EI K B X B ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα 10-1 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-6 Η τιμή του υπερστατικού μεγέθους προσδιορίζεται από την επίλυση της εξίσωσης 4 3 2(1 /12)(18 12) (18 12) + XΒ = 8(30,000)(288) 3(30,000)(288) X = 10.71 kips B X K B Η μετακίνηση στο σημείο Β είναι XB 10.71 Δ B = = = 1.071 in. K 10 (προς τα κάτω) ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-7 Στη γενική περίπτωση που η δύναμη του ελατηρίου δεν συμπίπτει με κάποιο υπερστατικό μέγεθος τότε η εξίσωση συμβιβαστού δεν αλλοιώνεται και η επιρροή των ελαστικών στηρίξεων λαμβάνεται υπόψη κατά τον υπολογισμό των μετακινήσεων με την ΑΔΕ. Στην περίπτωση γραμμικού ελατηρίου (με συντελεστή ευκαμψίας f i ) στο σημείο i και στροφικού ελατηρίου (με συντελεστή ευκαμψίας c j ) στο σημείο j του φορέα, η διατύπωση της ΑΔΕ έχει τη μορφή x= LMM 1 δ = dx + f PP + c M M x= 0 EI i i i j j j όπου P ι είναι η δύναμη που αναπτύσσεται στη διεύθυνση i (άξονας γραμμικού ελατηρίου) και Μ ι ηροπήστη διεύθυνση j (άξονας στροφικού ελατηρίου).

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Μέθοδος των Δυνάμεων: Σύνοψη Η Μέθοδος των Δυνάμεων συνοψίζεται στα εξής βήματα: Προσδιορισμός στατικής αοριστίας του φορέα Δ10-8 Επιλογή υπερστατικών μεγεθών και μόρφωση του θεμελιώδους φορέα Κατάστρωση των εξισώσεων συμβιβαστού των παραμορφώσεων Υπολογισμός των μετακινήσεων λόγω αρχικής (δοσμένης) φόρτισης και μοναδιαίων φορτίσεων κατά τις διευθύνσεις των υπερστατικών μεγεθών X i Διατύπωση της ΑΔΕ: x= LMM x= L VV x= LNN 1 δ + RΔ S = dx + K dx dx x= 0 EI + x= 0 GA + x= 0 EA λόγω υποχώρησης στηρίξεων (όταν η υποχώρηση δεν συμπίπτει με υπερστατικό μέγεθος) λόγω κάμψης λόγω τέμνουσας λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής Προσδιορισμός των υπερστατικών μεγεθών από τις εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων Μόρφωση των διαγραμμάτων [Μ], [V] και [N] λόγω αξονικής (ελκυστήρες) x= L αδτ x L m = Mdx α Ndx f x 0 x 0 ipp i i c jm jm = + ΔΤ + + j c = λόγω ελατηρίων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Μέθοδος των Δυνάμεων: Παρατηρήσεις Δ10-9 Υποχώρηση Στήριξης Όταν η υποχώρηση της στήριξης Δ s συμπίπτει με το υπερστατικό μέγεθος X i. Στην περίπτωση αυτή, η υποχώρηση της στήριξης λαμβάνεται υπόψη στην αντίστοιχη εξίσωση συμβιβαστού τροποποιώντας το δεύτερο μέλος της: Δ =Δ Δ + δ X =Δ i S i0 ii i S Σημείωση: Αφού η επιρροή της Δ S λαμβάνεται υπόψη απευθείας στην εξίσωση συμβιβαστού, η ύπαρξη της αμελείται κατά τον υπολογισμό των μετακινήσεων Δ i0 (δε σχεδιάζεται στην κατάσταση 0 ). Όταν η υποχώρηση της στήριξης Δ s δε συμπίπτει με το υπερστατικό μέγεθος X i. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση συμβιβαστού τίθεται ίση με μηδέν. Η υποχώρηση της στήριξης έχει επιρροή μόνο στην κατάσταση 0, δηλαδή στα Δ i0, καιμπορείναληφθείυπόψημε δύο τρόπους:

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ10-10 Μέθοδος των Δυνάμεων: Παρατηρήσεις (α) Είτε στην διατύπωση της ΑΔΕ, συμπεριλαμβάνοντας τον όρο RΔ S MM 1 Δ i0 + RΔS= dx EI (β) Είτε στην διατύπωση εξίσωσης συμβιβαστού (τροποποιώντας το πρώτο μέλος της), αφού υπολογιστεί γεωμετρικά η επιρροή της στη μετακίνηση Δ is και προστεθεί στην όποια μετακίνηση Δ i0 (Βλ. Παράδειγμα 9-1) Σημείωση: Αφού η επιρροή της Δ S λαμβάνεται υπόψη κατά τον υπολογισμό των Δ i0, πρέπει να σχεδιάζεται στην κατάσταση 0.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ10-11 Μέθοδος των Δυνάμεων: Παρατηρήσεις Ελαστική Στήριξη (Ελατήριο) Όταν το ελατήριο συμπίπτει με το υπερστατικό μέγεθος X i. Στην περίπτωση αυτή, η επιρροή του ελατηρίου μπορεί να ληφθεί υπόψη στην εξίσωση συμβιβαστού τροποποιώντας το δεύτερο μέλος της: Δ i = fx i i Δ i0 + δiixi = fx i i Δ = cx Δ + δ X = cx i i i i0 ii i i i όπου f i =ευκαμψία γραμμικού ελατ., c i =ευκαμψία στροφικού ελατ. Όταν το ελατήριο δε συμπίπτει με το υπερστατικό μέγεθος X i. Στην περίπτωση αυτή, τα ελατήρια έχουν επιρροή σε όλες τις μετακινήσεις, δηλαδή και στα Δ i0 και δ ij, και λαμβάνεται υπόψη στη διατύπωση της ΑΔΕ: MM 1 δ = dx + fpp + cmm EI k k k j j j

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ10-12 Μέθοδος των Δυνάμεων: Παρατηρήσεις Θερμοκρασιακή Μεταβολή Η θερμοκρασιακή μεταβολή έχει επιρροή μόνο στην κατάσταση 0, δηλαδή στα Δ i0 και λαμβάνεται υπόψη στη διατύπωση της ΑΔΕ: x= L αδτ x L m = 1 Δ i0 = Mdx α Ndx x= 0 c + ΔΤ x= 0

Μέθοδος των Δυνάμεων: Γενίκευση Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ10-13 Γιαέναφορέαμεn υπερστατκά μεγέθη, Χ n, μπορούμε να γράψουμε n εξισώσεις συμβιβαστού στη μορφή: Δ + f X + f X + + f X = 1 11 1 12 2 1n Δ + f X + f X + + f X = 2 21 1 22 2 2n Δ + f X + f X + + f X = n n1 1 n2 2 nn n Οι μετακινήσεις Δ 1, Δ 2,, Δ n προκαλούνται από εξωτερικά φορτία, μετακινήσεις στηρίξεων, θερμοκρασιακήμεταβολήή κατασκευαστικά λάθη. n n 0 0 0

Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ10-14 Μέθοδος των Δυνάμεων: Γενίκευση (...) Οι πιο πάνω εξισώσεις μπορούν να γραφτούν σε μητρωική μορφή: f11 f12 f1n X1 Δ1 f21 f22 f 2n X 2 Δ2 = f f f X Δ n1 n2 nn n n f ή { X} = { Δ} Βάσει του θεωρήματος Betti-Maxwell f ij =f ji (που δηλώνει ότι ο πίνακας [f] είναι συμμετρικός) επιτυγχάνεται μείωση του υπολογιστικού φόρτου. Η πιο πάνω εξίσωση αποτελεί τη βάση της Μητρωικής Ανάλυσης των Κατασκευών.