ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz, C + ακαδ. έτος όπου ο κύκλος C + με θετική φορά διαγραφής δεν διέρχεται από τα σημεία z = z = π. Εξετάστε όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Λύση. (i) Ο κύκλος C δεν περιέχει τα σημεία π. Από το θεώρημα Cauchy I =. (ii) Ο κύκλος C περιέχει μόνο το σημείο. Από τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy έχουμε I = C+ /(z π) 3 dz = πi z (z π) 3 = z= π 3. (iii) Ο κύκλος C περιέχει μόνο το σημείο π. Από τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy για παραγώγους έχουμε I = { /z πi C (z π) 3 dz + = ( ) z z=π = z + z sin z + z 3 = π z=π π 3. (iv) Ο κύκλος C περιέχει τα σημεία π. Εστω C C δύο κύκλοι που δεν τέμνονται βρίσκονται εσωτερικά του κύκλου C, έτσι ώστε ο C περιέχει στο εσωτερικό του μόνο το σημείο ο C περιέχει στο εσωτερικό του μόνο το σημείο π. Τότε, I = πi C + = π 3 + π π 3 = π 4 π 3. z(z π) 3 dz + πi C + z(z π) 3 dz (γενικευμένο θεώρημα Cauchy) (περιπτώσεις (ii) (iii)). Αν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο δίσκο D(, R), αποδείξτε ότι όπου < r < R. f(re iθ ) re iθ dθ = πf (), Λύση. Αν z = re iθ, θ π, τότε dz = ire iθ dθ = izdθ, οπότε dθ = dz/iz. Επομένως, f(re iθ ) re iθ dθ = z =r iz dz { = π πi (z ) dz z =r = πf (). (ολοκληρωτικός τύπος Cauchy για παραγώγους)
3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι z = dz, zn+ n N z = e cos θ cos(nθ sin θ) dθ = π. Λύση. Χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy για παραγώγους έχουμε { πi dz = dz zn+ πi zn+ = πi = πi z = ( ) (n) z= e = π i. Η εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου είναι z = e iθ, θ π. Επειδή dz = ie iθ dθ = izdθ, είναι Άρα, z = dz = i zn+ = i = i = e eiθ dθ einθ cos θ+i sin θ e e inθ dθ e cos θ e i(sin θ nθ) dθ e cos θ cos(nθ sin θ) dθ = π e cos θ sin (nθ sin θ) dθ + i e cos θ cos (nθ sin θ) dθ. e cos θ sin (nθ sin θ) dθ =. z + 6z 4. (αʹ) Εστω η συνάρτηση f (z) = ( z)(z + ) = z (z + ). Να βρεθεί το ανάπτυγμα της f σε σειρά Taylor με κέντρο το z =, καθώς επίσης η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. (βʹ) Να βρεθεί το ανάπτυγμα της f (z) = z + 4z 3i σε δυναμοσειρά με κέντρο το z =. Ποια είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς; Λύση. Θα χρησιμοποιήσουμε τη γεωμετρική σειρά w = w n + w = ( ) n w n, w <. (αʹ) Είναι z = ( z/) = ( z n = ) z n. ( z/ < z < ) n+
Παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά +w = ( )n w n, w <, παίρνουμε ( + w) = ( ) n nw n ( + w) = ( ) n nw n = ( ) n (n + )w n, w <. Επομένως, n= (z + ) = ( + z/) = Άρα, για z < έχουμε n= ( z n ( ) n (n + ) = ) ( ) n (n + ) zn. ( z/ < z < ) n+ f (z) = Ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς R =. (βʹ) Είναι f (z) = (z + ) (4 + 3i) = 4 + 3i (z+) 4+3i = ( (z + ) 4 + 3i 4 + 3i = n+ [ + ( ) n+ (n + ) ] z n. ) n ( (z+) 4+3i < z + < 4 + 3i ) (z + ) n (4 + 3i) n+. ( z + < 5) Ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς R = 5. 5. Υποθέτουμε ότι η ακέραια συνάρτηση f : C C είναι τέτοια ώστε R, για κάθε z C. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Υπόδειξη. Θεωρείστε τη συνάρτηση g(z) = e. Λύση. Η συνάρτηση g(z) := e είναι ακέραια με g(z) = e = e (R+iI) = e R e =. (R για κάθε z C) Επομένως, από το θεώρημα Liouville η συνάρτηση g είναι σταθερή στο C. Τότε η g(z) = e R θα είναι σταθερή οπότε η R είναι σταθερή. Άρα, από βασικό παράδειγμα η συνάρτηση f θα είναι σταθερή στο C. 6. Αν = z 3i, να βρεθούν τα σημεία του κλειστού δίσκου D(, ) = {z C : z στα οποία η f παίρνει τη μέγιστη την ελάχιστη τιμή της. Λύση. Επειδή η f είναι αναλυτική στο C, από την αρχή μεγίστου η f θα παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο σύνορο του D(, ) που είναι ο κύκλος z = με εξίσωση z(θ) = e iθ, π θ π. Στον κύκλο z = είναι = z 3i = 4e iθ 3i = 4 cos θ + i(4 sin θ 3) = (6 cos θ + (4 sin θ 3) = 5 4 sin θ. 3
Η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της αν sin θ = θ = π/4, δηλαδή για z = e iπ/4 = ( i). Επομένως, max z = f( ( i)) = 7. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f έχει ρίζα στον ανοικτό δίσκο D(, ) = {z C : z <. Είναι = αν μόνο αν z = 3i (x + iy) = 3i x y + ixy = 3i { x y =, xy = 3. Η λύση του συστήματος είναι x = y = 3/ x = y = 3/. ος τρόπος. Επειδή z = 3i = 3e πi/, είναι z k = 3e (kπi+πi/)/, k =,, δηλαδη z = 3e πi/4 z = 3e 5πi/4. Άρα, min = z f ( ) 3 ( + i) = ( 3 f ( + i) ) =. 7. Εστω η συνάρτηση f είναι αναλυτική στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο D(, ) = {z C : z τέτοια ώστε > για κάθε z =. Αν f() = i, αποδείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο μοναδιαίο δίσκο D(, ) = {z C : z <. Λύση. Υποθέτουμε ότι η f δεν έχει καμία ρίζα στο μοναδιαίο δίσκο D(, ) = {z C : z <. Τότε, από την αρχή ελαχίστου η f παίρνει την ελάχιστη τιμή της στο σύνορο που είναι ο μοναδιαίος κύκλος z =. Ομως από την υπόθεση είναι > για κάθε z = f() = i =. (άτοπο) Άρα η f θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο μοναδιαίο δίσκο D(, ) = {z C : z <. 8. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στον ανοικτό δίσκο D(, R) = {z C : z < R με M < για κάθε z D(, R). Αν το είναι ρίζα τάξης της f, δηλαδή f() = f () = f (), αποδείξτε ότι M R z για κάθε z D(, R) () f () M R. () Υπόδειξη. Θεωρείστε τη συνάρτηση g(z) = z αν < z < R, f () αν z =. Λύση. Είναι = f () = z ( f () z + f () + f () z 3 + + f (n) () z n + z + + f (n) () z n + ), z < R. 4
Αν g(z) := f () + f () z + + f (n) () z n +, τότε η g είναι αναλυτική στο δίσκο D(, R) με g(z) = z αν < z < R, f () αν z =. Εστω z D(, R), z σταθερό. Παίρνουμε ένα οποιοδήποτε r με z < r < R. Από την αρχή μεγίστου έχουμε f(w) g(z) max g(w) = max w =r w =r w M r. Στη συνέχεια παίρνοντας το r R προκύπτει ότι αυτό αποδεικνύει τις ανισότητες () (). g(z) M R για κάθε z D(, R) Σημείωση. Για την απόδειξη της () μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ανισότητες Cauchy. Πράγματι, f () M R. Συμβολισμός: Iz = Im z, Rz = R Παράδοση των ασκήσεων έως 5/7/ 5