ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μελέτες Περίπτωσης

Σχετικά έγγραφα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παραγωγικότητα Γεωτρήσεων Βελτιστοποίηση Υπεδαφικού Συστήµατος Παραγωγής

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

ιόδευση των πληµµυρών

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μελέτες Περίπτωσης

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Δαπάνη ενέργειας Περιορισμένο μήκος Επιδράσεις στον αγωγό από ανάντη και κατάντη Ποια εξίσωση, Ενέργειας η ορμής?

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x


Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ασκήσεις

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)


Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

Κανόνες παραγώγισης ( )

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους.

1.1.3 t. t = t2 - t x2 - x1. x = x2 x

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

1 = = = x x = x. 4 u = = = MRS MRS. x x. MRS = MRS = = x = x x [1] x12 x x W W

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ


Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο ευθύγραµµες κινήσεις

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Ασκήσεις κοπής σε τόρνο

Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία

ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Απόδειξη της σχέσης 3.17 που αφορά στην ακτινωτή ροή µονοφασικού ρευστού σε οµογενές πορώδες µέσο

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

dy/dx <1 (Δημητρίου, ί 1988) Υδροστατική διανομή πιέσεων, αμελητέες κατακόρυφες κινήσεις διατμητική τάση στερεού ορίου με βάση

Τρία ερωτήματα μεταφοράς. Που πρέπει να γίνουν «άσκηση», και να λυθεί η άσκηση για να απαντηθεί το ερώτημα...

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υ/Υ ΕΚΧΥΛΙΣΗΣ Κ. Μάτης

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

Transcript:

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μελέτες Περίπτωσης Μελέτη Περίπτωσης για την εκτίµηση της παραγωγικότητας των γεωτρήσεων (Χρήση IR) Περίπτωση 1: Κορεσµένος Ταµιευτήρας ( < ) Γεώτρηση παράγει από ταµιευτήρα µε µέση πίεση = 085 psig. Κατά τη διάρκεια δοκιµής παραγωγής µετρήθηκε σταθερός ρυθµός παραγωγής 8 st/d, µε πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης =1765 psig. Η πίεση σηµείου φυσαλίδας είναι 100 psig. Με βάση τα παραπάνω δεδοµένα υπολογίστε: 1. Τον ρυθµό παραγωγής από τη γεώτρηση για =0 psig.. Τον ρυθµό παραγωγής από τη γεώτρηση όταν η µειωθεί στα 1485 psig. 3. Την πίεση που θα πρέπει να επικρατεί στον πυθµένα της γεώτρησης προκειµένου ο ρυθµός παραγωγής να ανέλθει στα 400 st/d. Επίλυση Στην περίπτωση αυτή τόσο η πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης όσο και η µέση πίεση του ταµιευτήρα είναι µικρότερες της πίεσης σηµείου φυσαλίδας, εποµένως θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί το IR κατά Vogel: = 0. 0.8 1. Εξ ορισµού ο ρυθµός παραγωγής για =0 psig είναι το υναµικό Απόλυτα Ελεύθερης Ροής ( ). Λύνοντας την εξίσωση του Vogel ως προς είναι: = 1 0. 0.8 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την τιµή της πίεσης του ταµιευτήρα και τις τιµές του ζεύγους (, ) όπως προέκυψαν από την δοκιµή παραγωγής, υπολογίζεται: = 1097 st/d 1

Ο υπολογισµός του υναµικού Απόλυτα Ελεύθερης Ροής ( ) και η γνώση της πίεσης στον ταµιευτήρα, που αποτελούν τα δύο σταθερά µεγέθη της εξίσωσης του Vogel, δίνει τη δυνατότητα κατασκευής ολόκληρης της καµπύλης IR. ίνοντας τυχαίες τιµές στην (φυσικά στο εύρος 0-085 psig) και υπολογίζοντας το αντίστοιχο µέσω της εξίσωσης Vogel, σχηµατίζουµε έναν πίνακα τιµών όπως ο παρακάτω: (psig) 085 1800 1765 1618 1300 1000 700 300 0 (st/d) 0 53 8 400 618 790 93 1046 1097 Περίπτωση 1: IR Vogel 500 000 (psig) 1500 1000 500 0 0 00 400 600 800 1000 100 (st/d) Η πλήρης καµπύλη IR παρουσιάζεται στο παρακάτω Γράφηµα:. Από την παραπάνω καµπύλη IR, για = 1485 psig προκύπτει γραφικά: = 496 st/d Εναλλακτικά, ο ζητούµενος ρυθµός παραγωγής µπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά από την εξίσωση του Vogel, θέτοντας όπου = 1485 psig 3. Από την παραπάνω καµπύλη IR, για = 400 st/d προκύπτει γραφικά: = 1618 psig Εναλλακτικά, ο ζητούµενος ρυθµός παραγωγής µπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά από την εξίσωση του Vogel. Συγκεκριµένα, παρατηρούµε ότι η εν λόγω εξίσωση είναι ου βαθµού ως προς το λόγο ( / ). Για = 400 st/d και επιλύοντας την δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς ( / ) προκύπτει:

( / ) = 0.776 και για = 085 psig, = 1618 psig 3

Παράδειγµα : Υποκορεσµένος Ταµιευτήρας ( > ) Στην περίπτωση αυτή, για τον προσδιορισµό του IR για ολόκληρο το εύρος πιέσεων ( 0) χρησιµοποιείται συνδυασµός των δύο IR που εξετάστηκαν. Για µεν τις πιέσεις χρησιµοποιείται το γραµµικό IR ενώ για < χρησιµοποιείται η καµπύλη IR κατά Vogel, αλλά µετατοπισµένη ως προς την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριµένα, το πρώτο σηµείο του IR Vogel δεν είναι το σηµείο ( =0, = ) αλλά το ( =, = ), το σηµείο δηλαδή που αντιστοιχεί σε πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης ίση µε την πίεση σηµείου φυσαλίδας, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα 1 4000 (psig) 000 Γραµµικό IR Σηµείο Τοµής IR Vogel 0 0 400 (st/d) Στην περίπτωση αυτή το IR Vogel εκφράζεται από την παρακάτω σχέση, που αποτελεί απλό µετασχηµατισµό της τυπικής µορφής της εξίσωσης Vogel που εξετάστηκε στο Παράδειγµα 1: = = + ( ) ( ) 0. ή 0. 0.8 0.8 Για τον συνδυασµό των δύο IR θα πρέπει να λάβουµε υπόψη τα εξής: 1. Η καµπύλη IR είναι συνεχής για ολόκληρο το εύρος πιέσεων στον πυθµένα της γεώτρησης ( 0). Εποµένως, στο σηµείο που αντιστοιχεί σε πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης ίση µε την πίεση σηµείου φυσαλίδας του ρευστού ( =, = ), οι κλίσεις των δύο καµπυλών είναι ίσες.. Από τον ορισµό του δείκτη παραγωγικότητας (I), προκύπτει ότι πρόκειται για την αντίστροφη κλίση της καµπύλης του IR µε αρνητικό πρόσηµο. Συγκεκριµένα ισχύει: 4

Η κλίση Α 1 του γραµµικού IR ορίζεται ως: J = A1 = = 1 J J = = 1 A 1 Αν Α η κλίση της καµπύλης του Vogel, η αντίστροφή της υπολογίζεται ως εξής: 1 d 1.6 = = Α d Στο σηµείο = η παραπάνω σχέση γίνεται: 0. ( ) ( ) ( ) 1.8 ( ) 1 d = = 0. + 0.6 = Α d Αλλά, στο σηµείο αυτό, οι κλίσεις των δύο καµπυλών ταυτίζονται εποµένως: Α1 ( ) 1 1 1.8 = = J J = Α Αντικαθιστώντας τον όρο - στο IR Vogel έχουµε: = + J 1.8 0. 0.8 Για την χάραξη της καµπύλης IR απαιτείται ο προσδιορισµός τόσο του J όσο και του, σε αντίθεση µε την περίπτωση του κορεσµένου ταµιευτήρα που εξετάστηκε παραπάνω όπου ήταν απαραίτητος ο προσδιορισµός µόνο του υναµικού Απόλυτα Ελεύθερης Ροής ( ). Η χρήση της παραπάνω ανάλυσης στην πράξη θα φανεί στα παραδείγµατα που παρουσιάζονται παρακάτω. Είναι ωστόσο απαραίτητο στην περίπτωση υποκορεσµένου ταµιευτήρα να διακρίνουµε δύο υποπεριπτώσεις: 1. οκιµή παραγωγής µε >. οκιµή παραγωγής µε < Περίπτωση 1: Η δοκιµή παραγωγής αντιστοιχεί σε > h Γεώτρηση παράγει από ταµιευτήρα µε µέση πίεση = 4000 psig. Κατά τη διάρκεια δοκιµής παραγωγής µετρήθηκε σταθερός ρυθµός παραγωγής 00 st/d, µε πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης =3000 psig. Η πίεση σηµείου φυσαλίδας είναι 000 psig. Με βάση τα παραπάνω δεδοµένα προσδιορίστε το IR του ταµιευτήρα. 5

Επίλυση Στην περίπτωση αυτή ο ταµιευτήρας είναι υποκορεσµένος ( > ). Εποµένως το IR του ταµιευτήρα θα αποτελεί συνδυασµό του γραµµικού IR και IR Vogel. Κατά τη διάρκεια της δοκιµής παραγωγής η πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης ήταν µεγαλύτερη της πίεσης σηµείου φυσαλίδας >, άρα υπάρχει ένα γνωστό σηµείο στο γραµµικό τµήµα του συνολικού IR. Για τον προσδιορισµό του IR ακολουθούµε τα εξής βήµατα: 1. Υπολογισµός είκτη Παραγωγικότητας Ο είκτης Παραγωγικότητας J υπολογίζεται µέσω των δεδοµένων της δοκιµής παραγωγής: 00st / d J = = = 0.st / psig / d 4000 psig 3000 psig. Υπολογισµός ρυθµού παραγωγής Από τον ορισµό του J για = έχουµε: J = = J = 400st / ( ) d Ο υπολογισµός των J και, δίνει τη δυνατότητα κατασκευής ολόκληρης της καµπύλης IR δίνοντας τυχαίες τιµές στην (0-4000 psig). και υπολογίζοντας το αντίστοιχο µέσω της κατάλληλης εξίσωσης: Για µεν > = J ( ) Για < = J + 1.8 0. 0.8 Τα ζεύξη τιµών (, ) παρουσιάζονται στον παρακάτω Πίνακα ενώ η καµπύλη του IR παρουσιάζεται στο γράφηµα: (psig) 4000 3000 000 1500 1000 500 0 (st/d) 0 00 400 489 556 600 6 Το υναµικό Απόλυτα Ελεύθερης Ροής του εν λόγω ταµιευτήρα είναι 6 st/d. 6

Περίπτωση 1 4500 4000 3500 3000 (psig) 500 Vogel Straight Line roduction Test Data 000 1500 1000 500 0 0 100 00 300 400 500 600 700 (st/d) Περίπτωση : Η δοκιµή παραγωγής αντιστοιχεί σε < h Στη γεώτρηση του προηγούµενου παραδείγµατος πραγµατοποιήθηκε και δεύτερη δοκιµή παραγωγής κατά την οποία µετρήθηκε σταθερός ρυθµός παραγωγής 53 st/d, µε πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης =100 psig. Προσδιορίστε το IR του ταµιευτήρα. Επίλυση Η διαφορά µε την προηγούµενη περίπτωση είναι ότι κατά τη διάρκεια της δοκιµής παραγωγής η πίεση στον πυθµένα της γεώτρησης ήταν µικρότερη της πίεσης σηµείου φυσαλίδας <, εποµένως το σηµείο του IR που αντιστοιχεί στην δοκιµή αυτή βρίσκεται στο τµήµα της καµπύλης Vogel. Η µεθοδολογία που ακολουθείται είναι ανάλογη της προηγούµενης περίπτωσης. Όµως, καθώς τα διαθέσιµα δεδοµένα παραγωγής δεν αντιστοιχούν στο γραµµικό τµήµα της καµπύλης του IR, o είκτης Παραγωγικότητας J δεν µπορεί να υπολογιστεί απευθείας από τη σχέση ορισµού του. Αυτό µε τη σειρά του δεν επιτρέπει τον υπολογισµό του που είναι απαραίτητο για τη χάραξη της καµπύλης IR. Ωστόσο, η εξίσωση του σύνθετου IR και η εξίσωση του γραµµικού IR για = αποτελούν ένα σύστηµα δύο εξισώσεσων για ισάριθµους αγνώστους, τα J και. ηλαδή J = + 0. 0.8 1.8 και J = = J ( ) επιλύοντας ως προς J δίνουν την ακόλουθη έκφραση του είκτη Παραγωγικότητας: 7

J = + 0. 1.8 0.8 Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα της δοκιµής παραγωγής =53 st/d, =100 psig προκύπτει: J= 0. st/d/psi και =400 st/d Ο υπολογισµός των J και, δίνει τη δυνατότητα κατασκευής ολόκληρης της καµπύλης IR δίνοντας τυχαίες τιµές στην (0-4000 psig) και υπολογίζοντας το αντίστοιχο µέσω της κατάλληλης εξίσωσης: Για µεν > = J ( ) Για < = J + 1.8 0. 0.8 Tα ζεύγη τιµών (, ) παρουσιάζονται στον παρακάτω Πίνακα ενώ η καµπύλη του IR παρουσιάζεται στο γράφηµα: (psig) 4000 3000 000 1500 100 700 500 0 (st/d) 0 00 400 489 53 585 600 6 4500 4000 Περίπτωση 3500 3000 (psig) 500 Vogel Straight Line roduction Test Data 000 1500 1000 500 0 0 100 00 300 400 500 600 700 (st/d) 8