ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ δηλδή: ( A { ( γι κάποιο A} A Το σύνολο τιμών της στο συμβολίζετι με (A A Είνι Τι λέμε γρφική πράστση μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Γρφική πράστση της λέμε το σύνολο των σημείων M (, γι τ οποί ισχύει (, δηλδή το σύνολο των σημείων M (, (, με A Σχόλι - Η γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συνήθως με C - Η εξίσωση, λοιπόν, ( επληθεύετι μόνο πό τ σημεί της C Επομένως, η ( είνι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της - Οτν δίνετι η γρφική πράστση μις συνάρτησης, τότε: C Το πεδίο ορισμού της είνι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είνι το σύνολο (A των τετγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο A είνι η τετγμένη του σημείου τομής της ευθείς κι της C (Σχ 8 = 8 C (Α C ( C A(,( Α ( (β (γ
- Ότν δίνετι η γρφική πράστση, μις συνάρτησης μπορούμε, επίσης, ν σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι C Η γρφική πράστσης της συνάρτησης είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M (, ( που είνι συμμετρικά των M (, (, ως προς τον άξον (Σχ 9 Μ(,( 9 =( Μ (,( =( β Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον, των τμημάτων της C που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον υτόν (Σχ = ( =( 3 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των βσικών συνρτήσεων 3 ( β β (, γ (, δ (, ε (, g( Οι γρφικές πρστάσεις φίνοντι πρκάτω : Η πολυωνυμική συνάρτηση ( β a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση (, > < 3 γ Η πολυωνυμική συνάρτηση (,
3 > < δ Η ρητή συνάρτηση (, 4 > < ε Οι συνρτήσεις (, g( 5 4 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των πρκάτω συνρτήσεων : (, (, ( β (, γ (, Οι γρφικές πρστάσεις φίνοντι πρκάτω : Οι τριγωνικές συνρτήσεις : ( ημ, ( συν, ( εφ
6 π π =ημ ( π π =συν (β π/ π/ 3π/ =εφ (γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συνρτήσεις ( ημ κι ( συν συνάρτηση ( εφ είνι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση, ( είνι περιοδικές με περίοδο T π, ενώ η 7 Ιδιότητες Υπενθυμίζουμε ότι: > Αν, τότε: ( << Αν, τότε: (β γ Η λογριθμική συνάρτηση, (
8 > ( << (β Ιδιότητες Υπενθυμίζουμε ότι: 4 ( κι 5 3 κι 6 k κ 7 Αν, τότε: ln ln 8 e, φού e 5 Πότε δύο συνρτήσεις,g λέγοντι ίσες ; Δύο συνρτήσεις κι g λέγοντι ίσες ότν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει ( g(, ενώ ν, τότε 6 Πώς ορίζοντι οι πράξεις της πρόσθεσης, φίρεσης, γινομένου κι πηλίκου δύο συνρτήσεων, ; g Ορίζουμε ως άθροισμ g, διφορά - g, γινόμενο g κι πηλίκο με τύπους g δύο συνρτήσεων, g τις συνρτήσεις ( g( ( g(, ( g( ( g( ( g( ( g(, g ( ( g(
Το πεδίο ορισμού των g, g κι g είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α κι Β των συνρτήσεων κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον g προνομστή g(, δηλδή το σύνολο { A κι B, με g ( } 7 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Αν, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, κι τη συμβολίζουμε με, τη συνάρτηση με τύπο g ( go ( g( ( Σχόλι g Το πεδίο ορισμού της ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το νήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είνι το σύνολο A { A ( } B ( Είνι φνερό ότι η go ορίζετι,ν A, δηλδή ν ( A B β Γενικά, ν, g είνι δύο συνρτήσεις κι ορίζοντι οι go κι og, τότε υτές δ ε ν ε ί ν ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η ho(go, τότε ορίζετι κι η (hog o κι ισχύει ho ( go ( hog o Τη συνάρτηση υτή τη λέμε σύνθεση των, g κι h κι τη συμβολίζουμε με γενικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συνρτήσεις hogo Η σύνθεση συνρτήσεων 8 Πότε μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ κι πότε γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ ; Η συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε Δ με ισχύει:, ( ( Η συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: ( (
9 Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι προυσιάζει στο o Aολικό μέγιστο κι πότε ολικό ελάχιστο ; Μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: ( Προυσιάζει στο A (ολικό μέγιστο, το, ότν ( γι κάθε A ( ( Προυσιάζει στο A (ολικό ελάχιστο, το, ότν ( γι κάθε A ( Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγετι ; Μι συνάρτηση συνεπγωγή: Σχόλι :A R λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε A ισχύει η Αν, τότε ( ( Μι συνάρτηση :AR είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν ( (, τότε Είνι φνερό πό τον ορισμό της συνάρτησης ότι ισχύει η ισοδυνμί : ( ( β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μι συνάρτηση είνι, ν κι μόνο ν: - Γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( έχει κριβώς μι λύση ως προς - Δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής της πράστσης με την ίδι τετγμένη Αυτό σημίνει ότι κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έν σημείο - Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, τότε είνι συνάρτηση " " Το ντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλδή συνρτήσεις που είνι λλά δεν είνι γνησίως μονότονες, Πότε μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A ντιστρέφετι κι πώς ; Μι συνάρτηση :ARντιστρέφετι, ν κι μόνο ν είνι Η ντίστροφη συνάρτηση της συμβολίζετι με ορίζετι πό τη σχέση : Σχόλι Ισχύει ότι : ( ( που
( (, A κι ( (, ( A β Η ντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A της, κι σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι