5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných. Dfinj pojm loká minimm fnkci prmnných. Sformlj o nnj podmink isnci lokáho rém fnkci prmnných. Sformlj o posačjúcj podmink isnci lokáho rém fnkci prmnných. 5. Základné pojm akých ž A B naýam kariánskm súčinom množín A B a onačjm A B. Dfinícia 5. Množin škých sporiadaných dojíc [ ] Dfinícia 5. Onačm R RR. Ak na R j pr každú dojic bodo A [ ] a B [ ] dfinoaná diaosť ρ ( a b ) ( a ) ( ρ ) b b R naýam Eklido koroý prisor E. b a a poom dojic Dfinícia 5. Fnkcia doch prmnných j prdpis f korý každém X M E priradí prá jdno R f X f. [ ] píšm ( ) albo ( ) Dfinícia 5. Množin M naýam dfiničným oborom fnkci f on. D ( f ). Ponámka Ak množina M ni j adaná ak pod (prirodným) dfiničným oborom fnkci f romim najäčši podmnožin R pr korú má daná fnkcia msl. Príklad 5. Nájdim dfiničný obor fnkci ( 9 ) Rišni:. 59

Fnkcia j dfinoaná pr bod [ ] spĺňajúc podmink 9 > 0 čiž < 9. Dfiničný obor fnkci j da núro krh so srdom bod [ 0 0] a polomrom r. Dfinícia 5.5 Množin H ( f ) { R X M f ( X )} fnkci f. naýam obor hodnô Dfinícia 5.6 Majm fnkci f ( ) hodnô H ( f ). Ak c H ( f ) poom množin bodo [ ] M hodnoa j roná čísl c čiž c f ( ) dfinoanú na množin M E s oborom korých fnkčná naýam hladinoá krika. Príklad 5. Určm hladinoé krik fnkci. Rišni: Ak c > 0 poom c. Hladinoé krik danj fnkci sú kržnic so srdom 0 0 a polomrom r c. bod [ ] 60

5. Parciá driáci Dfinícia 5.7 Majm fnkci f ( ) dfinoanú okolí bod [ ] Parciáo driácio fnkci ( ) f on. A f f Parciáo driácio fnkci ( ) ( ). A a a. f podľa prmnnj bod A naýam limi ( a ) f ( a a ) f lim a a f podľa prmnnj bod A naýam limi ( a ) f ( a a ) f lim a a f f A on. f. A Pri ýpoč parciáj driáci podľa hocikorj prmnnj pospjm ak ako kb drhá prmnná bola konšana. Príklad 5. Vpočíajm parciá driáci fnkci 5. Rišni: 6 5 5 5 Dfinícia 5.8 Nch fnkcia f ( ) má okolí bod [ ] driáci A a a parciá f. Ak isj driácia fnkci f podľa prmnnj rsp. naýam f da krá podľa prmnnj j parciáa driácia drhého rád fnkci ( ) rsp. podľa prmnnj a prmnnj f on. A f f f. rsp. f Dfinícia 5.9 Nch fnkcia f ( ) má okolí bod [ ] driáci f. Ak isj driácia fnkci A A a a parciá f podľa prmnnj rsp. naýam j parciáa driácia drhého rád fnkci podľa prmnnj a prmnnj rsp. da krá podľa prmnnj f on. f A f rsp. A f f. 6

Príklad 5. Vpočíajm šk parciá driáci drhého rád fnkci 5. Rišni: 6 5 5 5 5 5 5 ( 6 ) 6 ( 6 ) 6 5 5 5 5 5 ( 5 ) 6 5 ( 5 ) 5 Ponámka Ak. a sú spojié na množin A poom na množin A plaí 5. Parciá driáci ložnj fnkci Majm danú fnkci f ( ) pričom ϕ ( ) ψ ( ). Ak majú fnkci f ϕ ψ spojié parciá driáci poom má spojié parciá driáci aj ložná fnkcia a plaí. Príklad 5.5 Vpočíajm. a ak sú dané fnkci 5 Rišni: ( ) ( 5) ( 5) ( ) 5 ( 5)( ). Ak mám f ( ) pričom ( ) ( ) poom d d d. d d d 6

d Príklad 5.6 Vpočíajm ak sú dané fnkci d. Rišni: d d d d d d. Ak mám f ( ) pričom ( ) d d poom d. d d Príklad 5.7 Vpočíajm ak sú dané fnkci d d d Rišni: d ( ). d. 5.5 Driácia implicinj fnkci Dfinícia 5.0 Nch ( ) fnkcia f ( ) aká ž pr šk dfiničného obor fnkci f ( ) plaí F [ f ( ) ] 0 poom fnkci f ( ) naýam fnkcio rčno implicin ronico ( ) 0 F j spojiá fnkcia doch prmnných. Ak isj spojiá F. Majm fnkci F ( ) dfinoanú okolí bod A [ 0 0 ]. Ak j fnkcia F ( ) okolí bod A [ 0 0 ] spojiá a má am spojié parciá driáci do drhého rád A pričom ( ) 0 f poom jj prú driáci rčím ako F F d 0 d F F 0 a pro F. F 6

Príklad 5.8 Vpočíajm pr fnkci 0. Rišni: F ( ) poom F F. 5.6 Úpý difrnciál Dfinícia 5. Majm fnkci f ( ) korá má bod [ ] parciá driáci. rád. Poom ýra df ( A X ) f f A a a spojié kd a a naýam úpým difrnciálom fnkci f bod A. Ponámka Môžm ho požiť pri približnom ýpoč hodno fnkci f bod X ( X ) f df ( A X ) f &. 5.7 Loká rém fnkci doch prmnných Dfinícia 5. Fnkcia f ( ) má bod A [ 0 0 ] D( f ) loká maimm (minimm) ak isj okoli bod A aké ž pr každý bod X [ ] D( f ) okolia bod A X A plaí f ( ) f ( ) rsp. ( ) f ( ) 0 0 f 0 0. Ponámka Ak má fnkcia njakom bod loká maimm albo minimm hoorím ž má om bod loká rém. Va 5. (Nná podminka isnci lokáho rém) Nch fnkcia f ( ) má bod [ ] driáci f f isjú ak sú ob roné nl. A 0 0 loká rém. Ak parciá Ponámka Bod A [ 0 0 ] korom parciá driáci sú roné nl naýam sacionárn bod. 6

Ponámka Sacionárn bod a bod korých parciá driáci nisjú sa naýajú kriické bod. Fnkcia môž mať loká rém kriickom bod. Va 5. (Posačjúca podminka isnci lokáho rém) Nch bod A [ 0 0 ] j sacionárnm bodom fnkci f ( ) f f f f isjú spojié parciá driáci drhého rád f f Onačm D a D f f a nch ňom. f. Ak plaí D > D 0 poom má fnkcia f ( ) bod A [ ] loká maimm. 0 < Ak plaí D > D 0 poom má fnkcia f ( ) 0 > A [ 0 0 ] loká minimm. Ak D 0 poom fnkcia f ( ) bod [ ] < A [ 0 0 ] sa naýa sdloý bod). 0 0 bod A 0 0 nmá rém (bod Príklad 5.9 Nájdim loká rém fnkci ( ) 8 6 Rišni: Prož f 6 f 6 sacionárn bod nájdm rišním súsa roníc. f 0 f 0. Rišním jo súsa dosáam da bod A [ 00 ] B. f. 65

Vžiím V 5. orím rém sacionárnch bodoch. f 6 f f f 6 6 8 0 6 D A bod A ni j rém 6 0 Pr sacionárn bod A plaí: ( ) 6 < 0 a bod A j sdloý bod. Pr sacionárn bod B plaí: D ( B) 08 > 0 D ( ) 6 > 0 bod B j loká minimm a ( B) 0 6 6 6 B f. 5.8 Viaané rém fnkci doch prmnných Majm fnkci f ( ) a hľadajm jj loká rém na množin M akých bodo [ ] D( f ) koré spĺňajú podmink ( ) 0 g. Takéo rém naýam iaané loká rém fnkci f ( ) ( ) 0 g naýam äba. a podmink. Ak sa äb ( ) 0 do fnkci f ( ). Ak sa äb ( ) 0 Lagrango fnkci g dá jdnonačn jadriť nikorá prmnná dosadím j a dosanm fnkci prmnnj (Mamaika ). g ndá jdnonačn jadriť žiadna prmnná osrojím a hľadám rém jo fnkci. ( ) f ( ) λ g( ) L Ponámka Erém Lagrangoj fnkci ( ) fnkci ( ) f. Sacionárn bod Lagrangoj fnkci ( ) L sú ároň aj rémami pôodnj L nájdm rišním roníc L 0 L 0. 0 L λ 66

Zár pr isnci iaaného lokáho rém sú ronaké ako pri lokách rémoch čiž Ak plaí D > D 0 poom má fnkcia L ( ) bod A [ ] 0 < iaané loká maimm. 0 0 Ak plaí D > D 0 poom má fnkcia L ( ) bod A [ ] 0 > iaané loká minimm. Ak D 0 poom fnkcia L ( ) bod [ ] < A [ 0 0 ] sa naýa sdloý bod). 0 0 A 0 0 nmá rém (bod Príklad 5.0 Nájdim iaané rém fnkci f ( ) ak 5. Rišni: Kďž fnkci g ( ) 0 ( 5 0) prdsajúcj äb nmôžm jdnonačn jadriť žiadn doch prmnných osrojím Lagrango fnkci L( ) λ.( 5) λ R a hľadám jj rém. Rišim súsa roníc L λ 0 L λ 0 L λ 5 0 Ak prj ronic jadrím drhj a dosadím ich do rj ronic dosanm 5 0. λ λ Rišním danj ronic dosanm λ ± a rčím sacionárn bod. Pr λ j A [ ] pr λ j B [ ]. Ďalj pospjm podobn ako Príklad 5.9. Vpočíam parciá driáci drhého rád a rčím ich hodno sacionárnch bodoch. L L L L λ 0 0 λ 67

0 D A bod 0 Pr sacionárn bod A dosáam: > 0 D ( ) > 0 A j iaané loká minimm a 5 f. Pr sacionárn bod B dosáam: D ( B) > 0 D ( ) < 0 bod B j iaané loká maimm a ( B) 5 0 0 B f. 5.9 Úloh V úlohách rč dfiničný obor fnkci f ( ) a náorni ho grafick:.... 5. 6. 7 5 7. 5 8. 9. 0. 6. 5. 9.. 5. 6 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) 0.. ( ) V úlohách 5 rč parciá driáci a fnkci f ( ) Výsldk: :. ( ) 68

69. 7 ( ) 7 ( ) 7. ( ) ( ) 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 6. ( ) ( ) ( ) 6 7. 5 ( ) 5 5 ( ) 5 8 8. 5 5 5 9. 0. ( ) ( )

70. 6 6 6. 5 5. 9 9 9. ( ) ( ) 5. ( ) ( ) 6. 6 ( ) ( ) 6 6 6 6 7. ( ) 8. ( ) ( ) 9. ( ) ( )

0. ( ).. ( ).. ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ( ) ( ) ( ) 6. Dokáž ž fnkcia f ( ) hoj ronici 7. Dokáž ž fnkcia f ( ) ( ) f f ( f ) 0 f f. 8. Dokáž ž fnkcia f ( ) f hoj roniciam hoj ronici f f f f. f f. V úlohách 9-57 rč driáci d d ložnj fnkci f ( ). Výsldk: 9. 50. 5 5 5 7

7 5. 5. 5. 5 5. 55. 56. 5 ( ) 0 5 57. ( ) ( ) V úlohách 58-6 rč driáci a ložnj fnkci ( ) f. Výsldk: 58. 59. 60. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6. ( ) ( ) ( )

6. ( ) ( ) 6. ( ) ( ) V úlohách 6-0 rč kriické bod klasifikj ich ako loká maimá loká minimá a sdloé bod. Výsldk: 6. f ( ) lok. ma. [ 0 0] 65. f ( ) 0 lok. ma. [ 0 0] 66. f ( ) lok. min. [ 0 0] 67. f ( ) lok. min. [ 0 0] 68. f ( ) lok. min. [ 0] 69. f ( ) lok. min. [ 0 ] 70. f ( ) lok. ma. [ 0] 7. f ( ) 8 lok. min. [ ] 7. f ( ) 6 lok. ma. [ ] 7. f ( ) 5 5 lok. min. [ 55] 7. f ( ) 6 sdl. bod [ ] 75. f ( ) 0 lok. min. [ 86] 76. f ( ) 6 6 sdl. bod [ ] 7

77. f ( ) 6 lok. ma. [ ] 78. f ( ) 6 lok. ma. [ 0 0] 79. f ( ) 0 5 8 0 lok. min [ 8] 80. f ( ) 8 5 sdl. bod [ 0 0] lok. min. [ 6 6] 8. f ( ) 8 6 sdl. bod [ 0 0] lok. min. [ ] 8. f ( ) sdl. bod [ 0 0] lok. ma. [ ] 8. f ( ) 6 9 5 sdl. bod [ 7 ] lok. min. [ 9 ] 8. f ( ) 7 sdl. bod 5 5 sdl. bod 5 5 lok. min. 0 lok. ma. 0 85. f ( ) sdl. bod [ ] sdl. bod [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] 86. f ( ) 8 0 sdl. bod [ ] sdl. bod [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] 87. f ( ) o rém [ 0] lok. min. [ ] lok. min. [ ] 0 nim rohodnúť

88. f ( ) sdl. bod [ 0 0] lok. min. [ ] lok. min. [ ] 89. f ( ) ( ) lok. min. [ ] 90. f ( ) ( ) lok. min. [ 0] 9. f ( ) ( ) 9. 9. 9. * f ( ) ( ) * f ( ) ( ) * f ( ) ( ) sdl. bod [ 0 0] lok. ma. [ ] sdl. bod [ 0 ] sdl. bod [ 0 ] lok. min. [ 0 0] sdl. bod [ 0 ] sdl. bod [ 0 ] lok. min. [ 0 0] sdl. bod [ 0 ] sdl. bod [ 0 ] lok. min. [ 0 0] 95. f ( ) 6 lok. ma. [ ] 96. f ( ) 8 8 lok. min. [ ] 5 8 97. f ( ) 5 lok. min. [ 5 5] 98. f ( ) sdl. bod [ ] sdl. bod [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] 99. f ( ) lok. min. [ ] 75

8 00. f ( ) lok. min. [ ] sdl. bod 0. f ( ) lok. min. lok. min. 0. f ( ) ( ) V úlohách 0-5 rč iaané rém fnkci f ( ) g ( ). 0. f ( ) 76 ak 0 0. ( ) f ak 05. ( ) f ak 06. f ( ) ak 07. ( ) 8 f ak 0 08. f ( ) 6 ak j daná äba Výsldk: lok. ma. [ 0 0] ak 0 09. ( ) 5 5 lok. min. [ 0] f ak 0 0. f ( ) 6 ak 0. ( ) 8 5 f ak 0. ( ) 8 6 f ak 0. f ( ) ak 0. f ( ) ak 5. f ( ) ak 8 lok. min. [ 0 ] lok. ma. [ 0] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. min. [ 55] lok. ma. [ 0 0] lok. min. [ 6 6] lok. ma. [ 0 0] lok. min. [ ] lok. ma. [ 0 0] lok. min [ 0 0] lok. ma. [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ 5 ]

6. f ( ) ak 8 7. f ( ) ak 5 8. f ( ) 8 lok. min. [ 5 ] lok. min. [ ] ak 9. f ( ) 6 0 0. ( ) ak 69 f ak 5. f ( ). * f ( ) ak ak lok. ma. [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. min. [ 5 ] lok. ma. [ 5 ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. min. [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. ma. [ ]. * ( ) f 8 ak lok. ma. [ 5 5] lok. ma. [ 5 5] lok. min. [ 5 5] lok. min. [ 5 5]. f ( ) 5. f ( ) ak ak lok. min. [ ] lok. ma. [ ] lok. min. [ ] lok. ma. [ ] V úlohách 6- nájdi úpý difrnciál fnkci. Výsldk: 6. f ( ) df ( ) d ( )d 77

7. f ( ) df ( ) d ( )d 8. f ( ) 9. f ( ) df ( 6 ) d ( 6 8 )d df d d 0. f ( ) ( ) df d d df d d 6 6. f ( ) 6. f ( ) df d d V úlohách -6 počíaj približn pomoco difrnciál.. 00 098 0. ( 00 098 ) -00 Výsldk: 5. 6. 6 0 0 985 99 0 98 09 V úlohách 7-7 nájdi driáci implicinj fnkci. 7. 5 0 8. 5 0 9. 0 0. 0. ( ) 0. ( ) 6 0 Výsldk: 6 ( ) 78

. ( ) 0. ( ) ( ) 0 5. 0 6. 0 7. 0 79