Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského
|
|
- Ἀθήνη Σαμαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 2ročník Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerzia Komenského Conens I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc 2 II Vey o exisencii, jednoznačnosi a globálnej exisencii riešení 2 III Technika riešení niekorých ypov diferenciálnych rovníc 4 IV Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R 4 V Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R 5 VI Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R n 11 VII Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R n 12 VIII Lineárna diferenciálna rovnica n-eho rádu 13 IX Sysém lineárnych diferenciálnych rovníc s konšannými koeficienmi 18 References 1 MMedveď, Dynamické sysémy 2 Greguš,Švec,Šeda, Obyčajné diferenciálne rovnice 3 Nagy J, Diferenciálne rovnice 4 Bock,Marko, Diferenciálne rovnice 5 Kurzweil, Obyčajné diferenciálne rovnice 6 AFFilippov, Sbornik zadač po eorii obyknnavennych dif urovnenij Typese by AMS-TEX 1
2 2 2ROČNÍK I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc Definícia 11 Nech D R R n je oblasť, j ovorená súvislá množina a f : D R n (, x) f(, x), x R n Obyčajná diferenciálna rovnica 1 rádu v D je rovnica varu: (1) dx =f(, x) (, x) D Niekedy píšeme ẋ mieso dx, j ẋ=f(, x), pričom x=(x 1,, x n ), ẋ=(ẋ 1,, ẋ n ) Nech f = (f 1, f 2,, f n ), j f(, x) = (f 1 (, x),, f n (, x)), kde f i : D R (, x) f i (, x) Rovnica (1) plaí ak ẋ 1 =f 1 (, x 1,, x n ), ẋ 2 =f 2 (, x 1,, x n ),, ẋ n =f n (, x 1,, x n ) sysém obyčajných diferenciálnych rovníc 1rádu Príklad 11 D=R 2, f : R R 2 R 2, f=(f 1, f 2 ), f 1 (, x)=x 1, f 2 (, x)= x 2 poom ẋ 1 =x 1, ẋ 2 = x 2 x 1 ()=c 1 e λ x 2 ()=c 2 e µ ẋ1=c 1 λe λ =c 1 e λ ẋ 2 =c 2 µe µ =c 2 e µ λ=1 µ= 1 x 1 ()=c 1 e x 2 ()=c 2 e Definícia 12 Nech f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie Riešenie diferenciálnej rovnice (1) na inervale I R je aké spojie diferencovaeľné zobrazenie ϕ : I R n, pre koré plaí: 1 (, ϕ()) D, pre I 2 dϕ() =f(, ϕ()) pre I, kde ϕ=(ϕ 1,, ϕ n ), dϕ() ( dϕ1 () =,, dϕ ) n(), dϕ i () =f i (, ϕ 1 (),, ϕ n ()) pre I, i=1,, n dx dx Príklad 12 =1, x R má nekonečne veľa riešení x()=+c Ale =1, x()= má jediné riešenie x()= Cauchyho začiaočná úloha: (2) { ẋ=f(, x) x( )=x Pre dané (, x ) D reba nájsť inerval I R obsahujúci j I a riešenie x : I R n diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) koré splňuje zv začiaočnú podmienku ẋ( )=x Hovoríme iež, že riešenie x prechádza bodom (, x ) II Vey o exisencii a jednoznačnosi a globálnej exisencii riešení Vea 21 Peanova o exisencii Nech D R R n je oblasť a f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie Poom pre každý bod (, x ) D exisuje ovorený inerval I R obsahujúci na korom je definované riešenie x : I R n začiaočnej úlohy (2), j ẋ=f(, x) x( )=x
3 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 3 Definícia 21 Nech f : D R n, (, x) f(, x), D je oblasť v R R n Hovoríme, že zobrazenie f spĺňa v D Lipschizovu podmienku vzhľadom na premennú x (hovoríme iež, že f je lipschizovské v D vzhľadom na x), ak exisuje aká konšana L>, že plaí f(, x) f(, y) L x y pre (, x), (, y) D, kde je norma v R n (napr euklidovská norma) Definícia 22 Hovoríme, že zobrazenie f : D R n, (, x) f(, x), je lokálne lipschizovské na D vzhľadom na x, ak je splnená podmienka: (, x ) D exisujú čísla a>, b> aké, že G={(, x) R R n ; <a, x x <b} D a f(, x) f(, y) L x y, pre (, x), (, y) G, kde L> je konšana Vea 22 o lokálnej exisencii a jednoznačnosi Nech D R R n je oblasť, f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie a lokálne lipschizovské na D vzhľadom na x Poom pre každý bod (, x ) D exisuje číslo δ> aké, že na inervale I δ =( δ, +δ) je definované práve jedno riešenie začiaočnej úlohy: ẋ=f(, x), x( )=x Oázka: Ako sa nájde lipschizova konšana? Tvrdenie 21 Nech f=(f 1,, f n ) : D=(a, b) H R n je spojié zobrazenie, kde <a<b< a H R n je konvexná oblasť pričom funkcia f i (i=1,, n) má spojié parciálne derivácie f i(x), (j=1,, n), (, x) (a, b) H x j K= sup (,u) (a,b) H i,j=1,,n f i (, u) x j < Poom f(, x) f(, y) L x y, pre (, x), (, y) (a, b) H, kde L=K n a je euklidovská norma Dôkaz [ n ] 1/2 Nech (, x), (, y) (a, b) H Poom f(, x) f(, y) = (f i (, x) f i (, y)) 2 f i (, x) f i (, y) MVT = ( fi (, c 1 ) kde u=,, f i(, c n ) x 1 x n f i (, x) f i (, y) CSB n j=1 n j=1 ) ; v=x y f i (, c j ) x j } {{ } K 1 n f(, x) f(, y) = (f i (, x) f i (, y)) 2 i=1 nk 2 i=1 f i (, c j ) (x j y j )= u, v x j 2 2 MVT= Mean value heorem= Vea o srednej hodnoe CSB= nerovnosť Cauchyho-Schwarzova-Bunjakovského 1/2 x y nk x y x y (n 2 K 2 ) 1 2 x y = nk x y =L
4 4 2ROČNÍK Definícia 23 Nech I R je inerval (ovorený) a x : I R n je riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) Riešenie y : J R n diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x), kde J R je inerval sa nazýva predĺžením riešenia x, ak I J a x()=y() pre I Ak I J, I J poom sa y() nazýva vlasným predĺžením riešenia x() Riešenie x : I R n sa nazýva úplné, ak neexisuje žiadne jeho vlasné predĺženie Vedy I sa nazýva maximálny inerval exisencie Riešenie x diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) sa nazýva globálne, ak I=(, ) maximálny inerval exisencie Vea 23 o globálnej exisencii Nech f : R R n R n je spojié zobrazenie splňujúce podmienku, že f(, x) Φ()ω( x ) pre (, x) R R n, kde Φ : R R +, ω : R + R + ; v [ω(σ)] 1 dσ=, v > III Technika riešení niekorých ypov diferenciálnych rovníc 1 Triviálne diferenciálne rovnice: ẋ=f(), x( )=x, kde f() nezávisí od x Poom x()= f(s)ds+x, kde f=(f 1,, f n ), x=(x 1,, x n ) a x()=( f 1 (s)ds+ + f n (s)ds)+x 2 Separované a separovaeľné diferenciálne rovnice: Separovaná: ẋ=f 1 ()f 2 (x), x R Separovaeľné: koré sa dajú ransformovať do separovaných Formálny výpoče: dx =f 1()f 2 (x) dx x f 2 (x) =f 1() x x k =F 1 ( f 1 (s)ds+k) dx f 2 (x) = f 1 ds+k Vea 31 Nech f 1 : (a, b) R, f 2 : (c, d) R sú spojié funkcie, (a, b), x (c, d) Poom plaí: 1 Ak f 2 (x )= poom je x : (a, b) R, x( ) x je riešením začiaočnej úlohy ẋ=f 1 ()f 2 (x), x( )=ẋ (pozn x() x je singulárne riešenie) 2 Ak f 2 (x ) pre všeky x (c, d) poom pre každé x (c, d) exisuje riešenie x : (α, β) R začiaočnej úlohy: x=f 1 ()f 2 (x), x( )=x, kde (α, β), x (c, d), (α, β) (a, b) a oo má var: x x()=f 1 ds (G()+k), kde G()= f 1 (s)ds, F (x)= x f 2 (s), F (x )=k IV Lineárna homogénna diferenciálna rovnica (v R) (1) dx =p()x, x R p : (a, b) R, ( a b ) spojiá funkcia
5 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 5 Vea 41 Nech p() je spojiá na inervale I=(a, b) Poom plaí: 1 Každé riešenie x() diferenciálnej rovnice (1) má var x()=e p(s)ds c, I, I, c R (Too riešenie sa nazýva všeobecné) dx 2 Pre každé I a každé x R má začiaočná úloha: =p()x, x()=x práve R jedno riešenie a oo riešenie x() má var x()=e p(s)ds x Dôkaz Separácia premenných dx x =p() dx x = p() ln x = p()= = p(s)ds+ ln c ln x = R c p(s)ds x() =e p(s)ds c x() I Ak by τ R : x(τ)=, poom by dx =p()x, x(τ)= mala 2 rôzne riešenia, a o x() a x () spor s jednoznačnosťou Ak x()>, ak x() =x() x()=e R R p(s)ds c Ak x()<, ak x() = x() x()= e p(s)ds ( c ) R 2 x()=e p(s)ds c; x( )=x x =x( )=c V Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica (v R) dx =p()x+f() R f(), p() sú spojié na I Vea 51 Pre každé I=(a, b) a každé x R má začiaočná úloha dx =p()x+f(), x()=x práve jedno riešenie x() a oo riešenie má var: x()= e R p(s)ds x } {{ } x h () R p(s)ds + e e R τ p(s)ds f(τ)dτ } {{ } x p() x h () riešenie homogénnej rovnice splňujúce x( )=x x p () parikulárne riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice x()=x p ()+x h () princíp superpozície riešení Dôkaz Meóda variácie konšany: Hľadajme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v vare x()=e kde c() je spojie diferencovaeľná na I=(a, b) Dosaďme x() do rovnice: dx() R =p() e p(s)ds c() } {{ } x() R +e p(s)ds dc() =p()x()+f() R p(s)ds c(), R p(s)ds dc() e =f() dc() R =e p(s)ds f() riviálna diferenciálna rovnica pre c c()= R τ e p(s)ds f(τ)dτ+k
6 6 2ROČNÍK R R [ x()=e p(s)ds c()=e p(s)ds e R ] τ p(s)ds f(τ)dτ+k x()= e R p(s)ds x } {{ } x h () R p(s)ds + e e R τ p(s)ds f(τ)dτ } {{ } x p () x =x( )=K Dôkaz vey a) Meódou posupných aproximácií: f : D R R n R n Z predpokladu exisuje a, b> aké, že f splňuje lipschizovskú podmienku v oblasi G={(, x) R R n ; { a, b a, x x b} D Nech M= max f(, x), nech α= min (,x) Ḡ M Budeme konšruovať posupnosť {x k } k=, x k : α, +α R n akú, že x k () x() na I α, kde x() je riešenie začiaočnej úlohy (pokr) Tvrdenie 51 x() je riešením začiaočnej úlohy dx =f(, x), x()=x na inervale I α x() je spojiá na I α a x()=x + f(s, x(s))ds pre I α Dôkaz : } dx(s) ds =x() x = f(s, x(s))ds x()=x + f(s, x(s))ds x() x( ) I α : Nech x()=x + f(s, x(s))ds a x() je spojiá na I α Poom f(, x()) je spojié f(s, x(s))ds je spojie diferencovaeľná na I α x() je spojie diferencovaeľná na I α dx() =f(, x()) I α a x( )=x Okrajová úloha je ekvivalenná riešeniu zv inegrálnej rovnice x()=x + f(s, x(s))ds I α Pokračujeme v dôkaze vey 41 : Začiaočnú úlohu sačí riešiť pre =, lebo po ransformácií = +τ : y(τ)=x( +τ) dy(τ) dτ = dx(τ+) =f(τ+, x(τ+ )):=F (τ, y(τ)) dy dτ =F (τ, y) y()=x()=x Túo začiaočnú úlohu sačí riešiť pre τ, lebo po ransformácií τ = s dosávame pre z(s)=y( s) rovnicu: dz(s) ds =dy( s) ( 1)= F ( s, y( s) ) dτ s τ z(s) Picardova meóda posupných aproximácií: x()=x + f(s)x(s)ds, I k =, b
7 -á aproximácia: x () x 1 aproximácia: x 1 ()=x + f(s)x(s)ds OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 7 k aproximácia: x k ()=x k 1 ()+ f(s)x(s)ds Najskôr dokážeme, že (, x k ()) G pre I k, k=1, 2, x k+1 () x = f(s, x k(s))ds f(s, x k(s)) ds Mb < Mα M min{a, b M } M b M = b Teda (, x k+1()) G pre I k, k=, 1, Teraz dokážeme, že x k x na I k (x k, x sú spojié) x k ()=x ()+[x 1 () x ()]+ +[x k () x k 1 ()] x 1 () x () = f(s, x (s))ds M M h x 2 () x 1 () = f(s, x 1(s)) f(s, x (s))ds f(s, x 1(s)) f(s, x (s)) ds L x 1(s) x (s) ds=l Msds=LM 2 2, I k x 3 () x 2 () L x 2(s) x 1 (s) ds L LM s2 2 ds=l2 M 3 3! aď k+1 x k+1 () x k () =L k M (k+1)! Lk M hk+1 (k+1)! x + x 1 () x () + + x k () x k 1 () x +Mh+LM h2 2! +L2 M h3 3! + + +L k 1 M hk k! = x + M ] [Lh+ (Lh)2 + + (Lh)k x + M L 2! k! L elh x k () x() na inervale I k x k+1 () =x + x() f(s, x k (s))ds x()=x + x(s) f(s, x(s))ds I k ẋ()=f(, x()), x()=x I k Jednoznačnosť: Nech u 1 (), u 2 () sú riešenia na I h, u 1 () u 2 () u 1 () u 2 () = [f(s, u 1 (s)) f(s, u 2 (s))]ds f(s, u 1 (s)) f(s, u 2 (s)) ds L u 1 (s) u 2 (s) ds Lh max u 1(τ) u 2 (τ) u 1 () u 2 () Lhρ τ h =ρ max τ h u 1(τ) u 2 (τ) Lhρ ρ Lhρ I h Ak h> je aké, že Lh<1, j <h< 1, poom <ρ Lh<ρ spor L Odhad chyby: n>m, x n () x m () = [x n () x n 1 ()]+ +[x m+1 () x m ()] x n () x n 1 () + + x m+1 () x m () L n 1 M hn n! +Ln 2 M hn 1 (n 1)! + +
8 8 2ROČNÍK +L m M hm+1 (m+1)! M L (Lh)m+1 e Lh n : x() x m () M L (Lh)n+1 e Lh Nech Lh<1 a ε> Treba nájsť najmenšie m aké, aby x() x m () <ε I h Sačí aby M L (Lh)m+1 e Lh <ε log Lh M L +m+1+lh log Lh e> log Lh ε m+1> log Lh ε e Lh M L Tvrdenie 52 Nech C k =C(I k, R n ) je množina spojiých zobrazení z inervalu I k =, k do R n Poom plaí: 1 Ak L>, r> ak d r (f, g)= max Ik {e rk f() g() } je merika na c k 2 (C k, d r ) je úplný merický priesor Banachova vea Nech (X, d) je úplný merický priesor a F : X X je konrakívne zobrazenie aké, že d(f (x), F (y)) kd(x, y) pre x, y X Poom F má práve jeden pevný bod u aký, že F (u)=u Dôkaz u X, u k+1 =F (u k ), u k u j d(u k, u)= pre k d(u n, u m ) kn 1 k d(u 1, u) m n m d(u, u n ) kn 1 k d(u 1, u) 2dôkaz vey 41 meódou pevného bodu x=c k ; d=d L ; r=l; F : C k C k, F (x)()=x + f(s, x(s))ds Hľadám x C k: F (x)=x x, y C k : d(f (x), F (y))= max{e L F (x)() F (y)() }= max{e L [x + f(s, x(s))ds] I k I k F (x)() [x + f(s, y(s))ds] } max } {{ } F (y)() = max I k {e L L {e L I k f(s, x(s)) f(s, y(s)) ds}= e Ls e Ls x(s) y(s) ds} max I k {e L Ld L (x, y) e Ls ds}= = max I k {e L Ld L (x, y) 1 L (el 1)}= max I k {1 e L }d L (x, y)=(1 e Lh )d L (x, y) d L (F (x), F (y)) (1 e Lh )d L (x, y) F je konrakívne zobrazenie F má jediný pevný bod F (x)=x F (x)() =x + x() { ẋ=f(, x) f(s, x(s))ds I h ; x C( a, b, R n ) x()=x I h Odhad chyby: x=x() -pevné riešenie x m =x m () m-á aproximácia m>n, d L (x m, x n ) (1 e Lh ) m e Lh d(x 1, x ) d(x m, x) (1 e Lh ) m e Lh d L (x 1, x )= = km 1 k d L(x 1, x ), kde k=1 e Lh
9 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 9 Prípravné úvahy ku dôkazu Peanovej vey x()=x + f(s, x(s))ds, I h =, h G={(, x) R R n ; a, x x b} f : G R n, f je spojiá, ale nemusí spĺňať lipschizovskosť Kedy možno z posupnosi {x k } k=1, x k A C b =C(I h, R n ); I h =, h vybrať konvergennú podposupnosť vzhľadom na d(f, g)= max Ih f() g() Množina A X sa nazýva re- Definícia 51 Nech (X, d) je merický priesor laívne kompakná, ak Ā=A A je kompakná Kriérium pre relaívnu kompaknosť množiny A C h =C(I h, R n ) Definícia 52 Hovoríme, že množina zobrazení A C(I, R n ), (I= a, b R) je rovnomerne ohraničená, ak exisuje konšana k> aká, že f() k I f A Definícia 53 Hovoríme, že A C(I, R n ) je rovnomocne spojiá, ak ε> δ=δ(ε)> aká, že plaí: 1 2 <δ, 1, 2 I f( 1 ) f( 2 ) <ε, f A Arzelova-Ascoliho Lema: Nech A C(I, R n ) je nekonečná množina, korá je rovnomerne ohraničená a rovnomocne spojiá, poom je A relaívne kompakná ε-približné riešenie: Definícia 54 Nech f : D R n (D R R n je oblasť), ε>, I R je inerval Spojié zobrazenie x : I R n sa nazýva ε -približné riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x), ak plaí: 1 (, x()) D I 2 x=x() je spojie diferencovaeľné zobrazenie na I\S, kde S I pozosáva z konečného poču bodov v korých má deriváciu ẋ()= dx() body nespojiosi aké, dx() že ak S, poom lim 3 dx() f(, x()) <ε aj lim + I\S dx() exisujú, ale sú rôzne Eulerove polygóny: (na inervale I α =, +α, α> pre ẋ()=f(, x), x( )=x -ý Eulerov polygón: x x =f(, x ) (x x ), ẋ( )=f(, x( ))=f(, x ), x ()=x +f(, x )( ) Nech δ m : < 1 < < m = +α 1 Eulerov polygón: m=2: < 1 < 2 = +α x 1 ()=x +f(, x )( ) pre 1 x 2 ()=x 1 +f(, x )( 1 )+f( 1, x 1 )( 1 ) pre 1 +α kde X 1 =x 1 ( 1 )=x +f(, x )( 1 x ) m-ý Eulerov polygón: (pri delení δ m ) X m ()=x m ( k 1 )+f( k 1, x m ( k 1 ))( k 1 ) pre k 1 k k=1,, n Vea 52 Nech G={(, x) R R n, a, x x b}, a, b>, (, x ) R R n a f : G R n je spojié zobrazenie Poom pre ε> exisuje ε-približné riešenie začiaočnej úlohy dx =f(, x), x()=x na inervale I α =, +α, kde α= min { } a, b M, M= max f(, x) (,x) G
10 1 2ROČNÍK Dôkaz f spojié na kompake G, poom f je rovnomerne spojié na G Ak ε> je dané, ak ku nemu exisuje δ=δ(ε)> aké, že (, u), (s, v) G, s <δ(ε), u v <δ(ε) f(, u) f(, v) <ε Zvoľme delenie δ : < +α; δ m : < 1 < < m = +α, m> δ X () -ý Eulerov polygón; δ m X m () m-ý Eulerov polygón Dokážeme, že (, x m ()) G I α =, +α Nech 1 x m () x = = f(, x )( ) =( ) f(, x ) M( ) Mα M b M =b Nech 1 2 X m ()=x m ()+f( 1, x m ( 1 ))( 1 )=x +f(, x )( 1 )+f( 1, x m ( 1 ))( 1 ) x m () x () = f(, x )( 1 )+f( 1, x m ( 1 )) M( 1 )+M( 1 )= =M( ) Mα b aď indukciou Plaí: 1 x m () je spojié zobrazenie na I α a derivácia exisuje až na konečný poče bodov z I α 2 dx m() f(, x m ()) <ε I α až na konečný poče bodov z I α Nech k {1, 2,, n}, k 1 k a delenie aké, že max { k k 1 } min{δ(ε), δ(ε) k M } Poom x m () x m ( k 1 ) = f( k 1, x m ( k 1 )) ( k 1 ) M( k 1 ) M δ(ε) M = =δ(ε) dx m() f(, x m ()) = f( k 1, x m ( k 1 )) f(, x m ()) ε ak exisuje dx m () x m () je ε-približné riešenie Dôkaz Peanovej vey Nech {ε m }, lim m= (napr ε m = 1 m m ) X m() je ε-približné riešenie na I α =, +α Ukázali sme, že x m () x b m x m () K=b+ x m> (K nezávisí od m) množina A={x m C; m>; C(I α, R n )} je rovnomerne ohraničená Ukážeme, že A je rovnomocne spojiá Nech, s I α =, +α δ m : < 1 < < m = +α Nech s< Poom s j, j+1, i, i+1, i>j x m () x m (s) = [x m () x m ( i )]+[x m ( i ) x m ( i 1 )]+ +[x m ( j+1 ) x m (s)] x m () x m ( i ) + x m ( i ) x m ( i 1 ) + + x m ( j+1 ) x m (s) M( i )+ +M( i i 1 )+ +M( j+1 s)=m( s) ε> δ=δ(ε)> aké, že s <δ x m () x m (s) <ε x m A A je rovnomocne spojiá Z Ascoli-Arzelovej lemy vyplýva, že exisuje podposupnosť {x mk } k=1 aká, že x m k x C(I α, R n ) na I α g k ()=x mk (), {g k }, g k x, g k ()=x + f(s, g k (s))+ k (s)ds k ()= dg k() f(, g k ()) ak je aké, že exisuje dg k(), inde Vieme, že k k () ε mk k g k () x x()=x + f(s, x(s))ds, I α je riešenie Vea o predĺžieľnosi riešení Nech f : D R n (D R R n je oblasť) je spojié, ohraničené zobrazenie Nech x() je riešenie začiaočnej úlohy ẋ=f(, x) x( )=x, kde (, x ) D na inervale I= a, b Poom exisuje x(a+)= lim x() a a+ lim b x()=x(b ) Naviac, ak (b, x(b)) D (analogicky (a, x(a)) D) poom exisuje β> a riešenie y(), (α β, b+β) aké, že y()=x() pre (a, b) ( y() spojié predĺženie x() na inervale (a β, b+β))
11 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 11 Dôkaz x()=x 1 + f(s, x(s))ds, (a, b) Nech M= max f(, x) Nech (,x) D a<u<v<b Poom x(v) x(u)= v f(s, x(s))ds x(v) x(u) M(v u) lim u,v b u [x(v) x(u)]= Z Cauchyho konvergenčného kriéria lim b x() exisuje Označme ju x(b ) Analogicky exisuje lim x()=x(a+) Predpokladajme, a+ { x(); (a, b) že (b, x(b )) D Definujme z()= Zrejme z() je spojiá na (a, b x(b ); ak =b A možno riešiť začiaočnú úlohu ẋ=f(, x); x(b)=x(b ) lim x()=x(a+) exisuje a+ z Peanovej vey β> aké, že začiaočná úloha má riešenie x(), a, b+β) Analogicky naľavo od a VI Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R n (1) dx =A() x, x Rn A()=(a ij ()) M nn (R) a ij () sú spojié na I=R Algebraická šrukúra riešení diferenciálnej rovnice (1): Vea 61 Množina M riešení diferenciálnej rovnice (1) je n-rozmerný vekorový priesor nad R Dôkaz Nech x 1 (), x 2 () sú riešenia, k 1, k 2 R x()=k 1 x 1 ()+k 2 x 2 () ẋ()=k 1 ẋ 1 ()+k 2 ẋ 2 ()=k 1 A()x 1 ()+k 2 A()x 2 ()=A()[k 1 x 1 ()+k 2 x 2 ()] Ukázali sme, že x 1, x 2 M x=k 1 x 1 +k 2 x 2 M M je vekorový priesor nad R n Dokážeme, že dim(m)=n Nech { e 1,, e n } je báza jednokových vekorov v R n Nech x i () je riešenie diferenciálnej rovnice (1) splňujúce začiaočnú podmienku x i ()= e i, i=1, 2,, n x 1 (), x 2 (), x n () sú lineárne nezávislé, j neexisujú c 1,, c n R aké, že c 2 i a c 1x 1 ()+ +c n x n ()= I Nech aké konšany exisujú Poom pre = je c 1 x 1 ()+ +c n x n ()= c=(c 1, c 2, c n )= =(,, ) c i = dim(m) n Nech y() je ľubovoľné riešenie j y M Nech y()=v=(v 1,, v n ) T R n Nech u()=v 1 x 1 ()+ +v n x n () Zrejme u M a plaí: y()=v=u(), lebo x 1 ()= e i, i=1,, n Z vey o exisencii a jednoznačnosi riešení u()=y() I u()=v 1 x 1 ()+ +v n x n () dim(m) n, ale vieme, že dim(m) n dim(m)=n a {x 1,, x n } je báza v M Definícia 61 Každú množinu ϕ 1 (), ϕ 2 (),, ϕ n () lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice (1) nazývame fundamenálnym sysémom riešení diferenciálnej rovnice (1) Definícia 62 Nech ϕ 1 (),, ϕ n () je fundamenálny sysém riešení a ϕ 1 ()=[ϕ 11 (),, ϕ 1n ()] T,, ϕ n ()=[ϕ n1,, ϕ nn ] T Poom sa maica Φ()=[ϕ 1 (),, ϕ n ()]=(ϕ ij ()) nazýva fundamenálnou maicou diferenciálnej rovnice (1) Tvrdenie 61 Fundamenálna maica Φ() je maicovým riešením diferenciálnej rovnice Ẋ= dx =A()X, j Φ()= dφ() =A()Φ(), kde Φ()=( ϕ 1 (),, ϕ n ()) Dôkaz Φ()=[ ϕ 1 (),, ϕ n ()]=[A()ϕ 1 (),, A()ϕ n ()]=A()Φ()
12 12 2ROČNÍK ( ) 1 Príklad 61 Ẋ= X=AX e B =I 1 n + 1 1! B+ 1 2! B2 2 + d ea =A+ 1 1! A ! A3 2 + =A(1+ 1 1! A+ )=AeA Φ()=e A ak je o maicové riešenie diferenciálnej rovnice ) (1) Φ()=I Dokáže, že Φ()=e A = ( cos sin sin cos Tvrdenie 62 Liouvilleova formula Nech Φ() je maicové riešenie diferenciálnej rovnice Ẋ=A()X Poom pre každé R T R je de Φ()= de Φ( ) e ra(s)ds, kde T ra(s)=a 11 (s)+ +a nn (s), A(s)=(a ij (s)) d Dôkaz (náznak) de(φ())= de[ ϕ 1(),, ϕ n ()]+ + de[ϕ 1 (),, ϕ n ()]= =A()ϕ 1 ()+ +A()ϕ n ()=T ra() de Φ(), ϕ i () sú sĺpce maice Φ() d de(φ()) = T ra() de Φ() x() p() x() R ẋ=p()x x()=e p(s)ds x( ) Dôsledok de Φ( ) de Φ() R Ak de Φ( )= de Φ() Vea 62 Začiaočná úloha ẋ=a()x x( )=x má riešenie varu x()=φ()φ 1 ( )x, kde Φ() je fundamenálna maica diferenciálnej rovnice ẋ=a()x Dôkaz ẋ()= Φ()Φ 1 ( )x =A()Φ()Φ 1 ( )=A()x(), x( )=Φ( )Φ 1 ( )x =x VII Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R n ẋ=a()x+f() A()=(a ij ()) f()=(f 1 (),, f n ()) T spojié na R Vea 71 Riešenie začiaočnej úlohy x=a()x+f(), x( )=x má var: x()=φ()φ 1 ( )x +Φ() Φ 1 (s)f(s)ds Dôkaz Meóda variácie konšany: Hľadáme riešenie v vare x()=φ()c(), kde c() je spojie diferencovaeľná ẋ()= Φ()c()+Φ()ċ()=A() Φ()c() +f() Dosávame rovnicu pre c(): x() A()Φ()c()+Φ()c()+Φ()ċ()=A() Φ()c() +f() Φ()ċ()=f() x c()=φ 1 ()f() c()= Φ 1 (s)f(s)ds+k, kde K je konšanný vekor Máme: x()=φ()c()=φ()[k+ Φ 1 (s)f(s)ds]=φ()k+φ() Φ 1 (s)f(s)ds x =Φ( )K K=Φ 1 ( )x x()=φ()φ 1 ( )x +Φ() Φ 1 (s)f(s)ds
13 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 13 Príklad 71(skúškový!!!) ( ) ( ) 1 4 ẋ= x+ x()= x 1 1 =(2, 1) T f() ( ) cos sin Riešenie: x()= γ+y() Hľadajme parikulárne riešenie v vare: sin cos y() α=(α 1, α 2 ) T konšanný Dosadíme: =Aα+f α= A 1 f=(1, 4) T x =x()=γ+α=γ+(1, 4) T γ=x (1, 4) T =(2, 1) T (1, 4) T =(1, 5) T, ( ) ( ) ( ) cos sin 1 1 x()= + sin cos 5 4 VIII Lineárna diferenciálna rovnica n-eho rádu Homogénna: L n u=, nehomogénna: L n u=f(), kde L n u=a () dn u n +a 1() dn 1 u n 1 + +a n 1() du +a n()u a (), a 1 (),, a n (), f() sú spojié skalárne funkcie na R Ak a ( )= pre nejaké R singulárna diferenciálna rovnica; ak a () pre R ak regulárna diferenciálna rovnica Budeme predpokladať, že a () pre R Poom bez ujmy na obecnosi prepokladajme, že a () 1 Využijeme eóriu lineárnych diferenciálnych rovníc v R n Uvažujme diferenciálnu rovnicu L n u=f() Napíšeme diferenciálnu rovnicu ako sysém: Ozn x 1 =u, x 2 = u= du,, x n= dn 1 u n 1 ẋ 1= u=x 2, ẋ 2 = d2 u 2 =x 3,, ẋ n 1 = dn 1 u n 1 =x n, ẋ n = dn u n = a d n 1 u 1 n 1 a nu+f= = a 1 x n a n x 1 +f ẋ=(ẋ 1,, ẋ n ) T = 1 1 ẋ= 1 a n a n 1 a n 2 a 1 x 2 x 3 x n a 1 x n a 2 x n 1 a n x 1 +f x 1 x 2 x n 1 x n + =A()x+ˆf() f (1) ẋ=a()x+ ˆf() (2) L n u=
14 14 2ROČNÍK Tvrdenie 81 1 x()=(x 1 (),, x n ()) T je riešením diferenciálnej rovnice (1) x 2 ()=ẋ 1 (), x 3 ()= d2 x 1 () 2,, x n ()= dn 1 u n 1 a x 1() je riešením diferenciálnej rovnice (2) 2 Ak x 1 (), x 2 (),, x n () sú riešenia diferenciálnej rovnice (2) maicové riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=a()x je x 1 () x n () dx 1 () dx n () Φ()= d n 1 x 1 () n 1 d n 1 x n () n 1 Definícia 81 W (x 1,, x n ):= de Φ() Wronského deerminan (wronskián) ξ Riešiť Cauchyho úlohu: ẋ=a()x+ ˆf(); x( )=ξ= je o isé ako riešiť ξ n 1 začiaočnú úlohu L n u=f(); u( )=ξ, u( )=ξ 1, ü( )=ξ 2,, u (n 1) ( )=ξ n 1, u() u() lebo x= u (n 1) () riešením diferenciálnej rovnice L n u=f je riešením diferenciálnej rovnice ẋ=a()x+ ˆf() u() je Definícia 82 Množina x 1 (),, x n () lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice L n u= sa nazýva fundamenálny sysém Vea 81 Riešenia x 1 (), x 2 (),, x n () diferenciálnej rovnice L n u= sú lineárne nezávislé ak W (x 1,, x n )() pre R Dôkaz : Nech x 1 (),, x n () sú lineárne nezávislé riešenia, ale W (x 1,, x n )( )= pre nejaké R Z Liouvilleovej formuly: W (x 1,, x n )()=W (x 1,, x n )( ) e R a 1(s)ds W (x 1,, x n )() c 1,, c n R c 2 i aké, že c 1x 1 ()+ +c n x n ()= pre R Spor s lineárnou nezávislosťou : Nech W (x 1,, x n )() pre R, ale x 1 (),, x n () sú lineárne závislé Poom c 1,, c n R c 2 i aké, že c 1x 1 ()+ +c n x n ()= pre R c 1 ẋ 1 ()+ +c n ẋ n ( =,, c 1 x (n 1) 1 ()+ +c n x (n 1) n ()= pre R Homogénny sysém algebraických rovníc pre neznáme c 1,, c n Ak jeho deerminan (=Wronskián) je nenulový c 1 =,, c n = spor Vea 82 Nech x 1 (),, x n () je fundamenálny sysém riešení homogénnej diferenciálnej rovnice L n u=u (n) +a 1 ()u (n 1) + +a n 1 () u+a n ()u= Poom riešenie x() Cauchyho úlohy L n x=f(), x( )=ξ, ẋ( )=ξ 1,, x (n 1) =ξ n 1 má var x()=u()+ n x k () k=1 W k (x 1,, x n )(s) W (x 1,, x n )(s) f(s)ds
15 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 15 kde W (x 1,, x n ) je wronskián riešení x 1 (),, x n () W k (x 1,, x n )() je definované ako: x 2 () x n () ẋ 2 () ẋ n () W 1 (x 1,, x n )()= de,, x (n 2) 2 () x (n 2) n 1 x (n 1) 2 x (n 1) n x 1 () x 2 () ẋ 1 () ẋ 2 () W n (x 1,, x n )()= de x (n 2) 1 x (n 2) 2 () x (n 1) 1 x (n 1) 2 1 u() je riešením Cauchyho začiaočnej úlohy L n u=, u( )=ξ, u (n 1) ( )=ξ n 1 Dôkaz ẋ=a()x+ ˆf(), x 1 (),, x n () fundamenálny sysém pre diferenciálnu rovnicu L n u= Poom Φ()= x 1 () x n () ẋ 1 () ẋ n () 1 () x (n 1) n () x (n 1) fundamenálna maica pre ẋ=a()x+ ˆf() Nech z() je riešenie diferenciálnej rovnice L n u= Poom v()= z() ż() riešenie začiaočnej úlohy pre sysém z (n 1) () v()=φ()φ 1 ( )ξ+φ() Φ 1 (s)f(s)ds Φ()=(ϕ ij )=(x (i 1) j ()) X ij -algebraický doplnok Φ 1 ()=diag(x 11 (),, X nn ()) v()=φ()φ 1 ( )ξ+w() X 11 (s) X n1 (s) w()=[(x (i 1) 1 j ())] W (x 1,, x n )(s) ds= X 1n (s) X nn f(s) x 1 () x n () X n1 (s)f(s) ẋ 1 () ẋ n () = 1 X n2 (s)f(s) x (n 1) 1 () x (n 1) W (x 1,, x n )(s) ds n X nn (s)f(s) n W k (x 1,, x n )(s) w()= x k () W (x 1,, x n )(s) f(s)ds k=1
16 16 2ROČNÍK Meóda variácie konšán: L 2 u=ü+a 1 () u+a 2 ()u=f() homogénna: ẍ+a 1 ()ẋ+a 2 ()x= Nech x 1 (), x 2 () sú riešenia Všeobecné riešenie homogénnej rovnice: x()=c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () c 1, c 2 R Hľadáme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v vare: u()=α 1 ()x 1 ()+α 2 ()x 2 (), α 1 (), α 2 () sú spojie diferencovaeľné, zaiaľ neznáme u= α 1 ()x 1 +α 1 ()ẋ 1 ()+ α 2 ()x 2 ()+α 2 ()ẋ 2 () Zvoľme α 1 (), α 2 () ak, že α 1 ()x 1 ()+ α 2 x 2 ()= pre R ü= α 1 ẋ 1 +α 2 ẍ 2 + α 2 ẋ 2 Za ẍ 1 a ẍ 2 dosadíme z homogénnej diferenciálnej rovnice: { α1 x 1 + α 2 x 2 = L n u=f α 1 ()ẋ 1 ()+ α 2 ()ẋ 2 ()=f() α 1 ẋ 1 + α 2 ẋ 2 =f 1 α 1 ()= x 2 () W (x 1, x 2 )() f() ẋ 2 () = x 2()f() W (x 1, x 2 )() 1 α 2 ()= W (x 1, x 2 )() x 1() ẋ 1 () f() = x 1()f() W (x 1, x 2 )() α 1 ()=c 1 x 2 (s)f(s) W (x 1, x 2 )(s) ds α 2()=c 2 + x 1 (s)f(s) W (x 1, x 2 )(s) ds u()=α 1 ()x 1 ()+α 2 ()x 2 ()= c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () + vš rieš L 2 u= x 2 (s)f(s) +x 1 () W (x 1, x 2 )(s) ds+x x 1 (s)f(s) 2() W (x 1, x 2 )(s) ds Ak by sme mali začiaočnú podmienku u( )=ξ, u( )=ξ 1, ak c 1 x 1 ( )+ +c 2 x 2 ( )=ξ Zderivovaním u() dosaneme: c 1 ẋ 1 ( )+c 2 ẋ 2 ( )=ξ 1 Lineárne diferenciálne rovnice n-eho rádu s konšannými koeficienami (1) L n u=u (n) +a 1 u (n 1) + +a n 1 u+a n u= a i R respc Poznámka Pod komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) rozumieme funkcie u()=u 1 ()+iu 2 () (s hodnoami v C) u 1 (), u 2 () sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1) Plaí Ak ϕ()=ϕ 1 ()+iϕ 2 () s hodnoami v R, poom L n ϕ=l n ϕ 1 +il n ϕ 2 L n ϕ= L n ϕ 1 ==L n ϕ 2 j ϕ je komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) ak ϕ 1, ϕ 2 sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1) Leibnizova formula Ak u(), v() sú n-krá diferencovaeľné, poom: ( ) ( ) n n (uv) (n) =u (n) v+ u (n 1) v+ u (n 2) v+ ( ) n + uv (n 1) +uv (n) 1 2 n 1
17 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 17 Definícia 83 Polynóm P (λ)=λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n sa nazýva charakerisický polynóm diferenciálnej rovnice (1) Z Leibnizovej formuly: L n (e λ v())=[e λ v()] (n) +a 1 (e λ v()) (n 1) + +a n 1 (e λ v()) +a n e λ v()= [ =e λ P (λ)v()+ P [1] (λ) v ()+ + P [n 1] (λ) v (n 1) () P [n] ] (λ) v (n) () 1! (n 1)! n! kde di v() i =v (i) () a p [i] (λ)= di P (λ) dλ i L 2 (e λ v())=(e λ v()) (2) +a 1 (e λ v()) (1) +a 2 (e λ v())= =(e λ ) (2) v()+2(e λ ) v ()+e λ v ()+a 1 (e λ ) v()+a 1 e λ v ()+a 2 e λ v()= =λ 2 e λ v()+2λe λ v ()+v ()e λ +a 1 λe λ v()+a 1 e λ v ()+a 2 e λ v()= =e λ [(λ 2 +a 1 λ+a 2 )v()+(2λ+a 1 )v ()+v ()] Vea 83 Nech λ 1, λ 2,, λ s sú navzájom rôzne korene charakerisického polynómu P (λ)=λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n Pričom násobnosť koreňa λ i je m i s m i =n Poom fundamenálny sysém riešení (vo všeobecnosi komplexných) i=1 diferenciálnej rovnice (1) je: x 1 ()=e λ1 ; x 2 ()=e λ1,, x m1 ()= m1 1 e λ1 x m1+1()=e λ 2 ; ; x m1+m 2 ()= m 2 1 e λ 2 x m1 + +m s 1 +1()=e λs ; ; x m1 + +m s ()= ms 1 e λs Dôkaz Najskôr ukážeme, že ak η je koreň P (λ) násobnosi k, poom sú funkcie e η, e η,, k 1 e η riešeniami diferenciálnej rovnice (1) Nech i k 1, poom L n ( i e η )=e η P (η) i + 1 1! P [1] (η)( ) i! P [i] (η)( ) (i) + = = = + P [i+1] (η) ( i ) (i+1) + + P [n] (η) ( i ) (n) = (i+1)! n! } {{ } = = Dokážeme, že x 1 (),, x n () sú lineárne nezávislé Sačí dokázať, že ich wronskián W (x 1,, x n )() pre = Nech: x 1 () x n () x (1) 1 () x(1) n () W (x 1, x 2,, x n )()= = x (n 1) 1 () x (n 1) n ()
18 18 2ROČNÍK Poom exisujú konšany b,, b n 1 R nie všeky nulové aké, že b x j ()+b 1 x (1) j ()+ +b n 1 x (n 1) j ()= pre j=1, 2, n Definujme Q(λ):=b +b 1 λ+ +b n 1 λ n 1, deg Q=n 1 a polynóm Q(λ) má n koreňov (vráane ich násobnosi) spor Iný dôkaz: Nech sú x 1 (),, x n () sú lineárne závislé; poom exisujú konšany c 11,, c 1m1 1, c 21,, c 2m2 1,, c s1,, c sms 1 nie všeky nulové aké, že c 11 e λ 1 +c 12 e λ 1 + +c 1m1 1 m 1 1 e λ 1 + +c sms 1 m s 1 e λ s P 1 ()e λ1 +P 2 ()e λ2 + +P s ()e λs = deg P i ()=m i 1 Nie všeky P i sú Bez ujmy na obecnosi predpokladajme, že P s () Derivujme m 1 -krá: P 1 ()+P 2 ()e (λ2 λ1) + +P s ()e (λs λ1) P 21 ()e (λ 2 λ 1 ) + +P s1 ()e (λ s λ 1 ) deg P i1 =m i 1 Po s akýcho procedúr dosávame, že P ss ()e (λ s λ 1 λ s 1 ) Spor, lebo deg P ss =m s 1 Vea 84 Nech λ 1,, λ s sú (1 s n) korene charakerisického polynómu P (λ) diferenciálnej rovnice (1), λ i má násobnosť m i m i =n Nech λ 1,, λ k sú reálne a λ k+1 =α k+1 +iβ k+1,, λ s =α s +iβ s sú komplexné Poom fundamenálny sysém reálnych riešení je: e λi, e λi,, mi 1 e λi, (i=1, 2,, k), e αj cos(β j ),, mj 1 e αj cos(β j ), e αj sin(β j ),, mj 1 e αj sin(β j ), j=k+1,, s+k 2 Príklad n=2 λ=α+iβ, β, λ=α iβ Komplexné riešenia: u()=e λ =e α (cos β+i sin ), v()=e λ =e α (cos β i sin β), reálne riešenia: u 1 ()=e α cos β, u 2 ()=e α sin β, u 1 ()= u+v 2, u 2()= u v 2i u v u+v u v =2 v u+v u v 2 u +v v =4i 2 2i u +v u v =4i u 1 u 2 u 1 u i IX Sysémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konšannými koeficienami (2) ẋ 1 =a 11 x 1 + +a 1n x n Označme A=[(a ij )] ẋ=ax x= ẋ n =a n1 x 1 + +a nn x n x 1 x n Lineárna ransformácia: y= 1 x, kde T M nn je regulárna maica x=x() riešenie ẋ=ax y=y()=t 1 x : ẏ=t 1 ẋ=t 1 Ax=(T 1 AT)y (3) ẏ=by, kde B:=T 1 AT
19 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 19 Definícia 91 Hovoríme, že sysémy (2), (3) sú ekvivalenné Vea 91 Sysém ẋ=ax je ekvivalenný so sysémom ẏ=by, kde B=T 1 AT je Jordanova forma maice A j D S B=J(A)= 1 S k =diag(d, S 1,, S k ) λ mj 1 λ 1 λ kde S j = mj 1 λ M λ mj 1 mjm j D= 2 λ mj λ m j=1, 2,, k a m+m 1 + +m k =n λ i sú vlasné hodnoy maice A Teda sysém ẏ=by má var ẏ 1 =λ 1 y 1,, ẏ m =λ m y m Výpoče maice T ak A má všeky vlasné hodnoy navzájom rôzne V omo prípade λ 1 λ B=T 1 AT= 2 =diag(λ 1,, λ n ) λ n T=[T 1, T 2,, T n ]=? (T i sú sĺpce) B=T 1 AT TB=AT TB=[λ 1 T 1,, λ n T n ], AT=[AT 1,, AT n ] Rovnosť AT=TB nasáva práve vedy, keď AT i =λ i T i pre i de T T i pre i=1, 2,, n Tvrdenie 91 Pre všeky i=1, 2,, n je T i vlasný vekor maice A zodpovedajúci vlasnému číslu λ i Riešme Cauchyho úlohu ẋ=ax, x( )=x y=t 1 x, B=T 1 AT=J(A)=diag(λ 1,, λ n ) ẋ=by, y( )=T 1 x =:y ( y()=e B y =(I+B+ 1 ) 2! (B)2 + )y = (B) k 1 y = k! k= e λ1 e = λ 2 y =diag(e λ1,, e λn )y e λ n Poznámka e B =e (T 1AT) =T 1 e A T ) ) Príklad ẋ= x, x =x()= ( x()=ty()=te B T 1 x ( 1 2 Riešenie: Vlasné hodnoy λ 1 = 2, λ 2 = 3 vlasné vekory T 1, T 2, T 1 =(1, 1) T,
20 2 2ROČNÍK ( ) ( ) T 2 =(3, 4) T T= 1 3, T = x()=t diag(e 2, e 3 )T 1 Hľadáme riešenie v vare x()=e λ γ, kde λ C je parameer a γ je nenulový vekor ẋ=λe λ γ=a(e λ γ) ( R) e λ [λi A]γ= (λi A)γ= j algebraická rovnica (λi A)x= má neriviálne riešenie γ To plaí práve vedy, keď P (λ)= de(λi A)= charakerisická rovnica pre diferenciálnu rovnicu ẋ=ax Teda Aγ=λγ, j γ je vlasný vekor pariaci k λ Vea 92 Nech λ 1,, λ n sú navzájom rôzne vlasné hodnoy maice A, (λ i C) a γ i je vlasný vekor zodpovedajúci vlasnej hodnoe λ i, pričom γ 1,, γ n sú lineárne nezávislé Poom fundamenálny sysém riešení (vo všeobecnosi komplexných) diferenciálnej rovnice ẋ=ax je: x 1 ()=e λ1 γ 1,, x n ()=e λn γ n Dôkaz Ukázali sme, že x 1 (),, x n () sú riešenia Lineárna nezávislosť je riviálna: de[e λ1 γ 1,, e λn γ n ]=e (λ 1+ +λ n ) de[γ 1,, γ n ] lebo de[γ 1,, γ n ] sĺpce Výpoče reálnych riešení z komplexných e λ γ -komplexné riešenie λ=σ+iω, ω, γ=g+ih, h e λ γ=e (σ+iω) (g+ih)= =e σ (cos ω+i sin ω)(g+ih)=e σ [(g cos ω h sin ω)+i(h cos ω+g sin ω)] Reálne riešenia: u()=r(e λ γ)=e σ (g cos ω h sin ω); v()=i(e λ γ)=e σ (h cos ω+ +g sin ω) Vea 93 Nech λ=σ+iω, ω je k-násobný koreň charakerisickej rovnice pre diferenciálnu rovnicu ẋ=ax, j polynóm P (λ)= de(λi A), pričom k nemu e- xisuje k lineárne nezávislých vlasných vekorov: ξ 1 =g 1 +ih 1,, ξ k =g k +ih k Poom množina riešení varu u()=(a cos ω+b sin ω)e σ, (kde R, a, b sú vekory) je vekorový podpriesor množiny všekých riešení dimenzie 2k, pričom jej báza je u 1 ()=(g 1 cos ω h 1 sin ω)e σ ; ; u k ()=(g k cos ω h k sin ω)e σ ; v 1 ()=(h 1 cos ω+g 1 sin ω)e σ ; ; v k ()=(h k cos ω+g k sin ω)e σ Dôkaz u 1,, u k, v 1,, v k sú riešenia o je jasné Lineárna nezávislosť: Nech exisujú c 1,, c k, d 1,, d k R; (c 2 i +d2 i ): c 1 u 1 ()+ +c k u k ()+d 1 v 1 ()+ +d k v k ()= (c 1 g 1 + +c k g k +d 1 h d k h k )e σ cos ω i(c 1 h 1 + +c k h k d 1 g 1 d k g k )e σ sin ω= (c 1 g c k g k +d 1 h 1 + +d k h k )e σ cos ω= (c 1 h 1 + +c k h k d 1 g 1 d k g k )e σ sin ω= = π 2ω = (c 1 id 1 )(g 1 +ih 1 )+ +(c k id k )(g k +ih k )= ξ 1 ξ k Spor s lineárnou nezávislosťou ξ 1,, ξ k Riešenie pomocou zovšeobecnených vlasných vekorov: Definícia 92 Vekor v sa nazýva zovšeobecnený vlasný vekor rádu p maice A prislúchajúci vlasnému číslu λ maice A ak plaí: (A λi) p v= a (A λi) p 1 v Označme: v 1 =(A λi) p 1 v, v 2 =(A λi) p 2 v,, v p 1 =(A λi)v, v p =v Plaí: (A λi)v 1 =, (A λi)v 2 =v 1,, (A λi)v p 1 =v p 2, (A λi)v p =v p 1, kde v 1 je vlasný vekor
21 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 21 Definícia 93 Usporiadanú p-icu (v 1, v 2,, v p ) nazývame reťazec zovšeobecnených vlasných vekorov rádu (dĺžky) p maice A vyvorený vekorom v; (A λi) p v=; (A λi) p 1 v Vea 94 Nech (v 1,, v m ) je reťazec zovšeobecnených vlasných vekorov maice A zodpovedajúce vlasnému číslu λ maice A vyvorený vlasným vekorom v=v 1 Poom vekorové funkcie (vo všeobecnosi komplexné) w 1 ()=v 1 e λ, w 2 ()=(v 2 +v 1 )e λ,, w k ()=(v k + 1 1! v k (k 1)! v 1 k 1 )e λ,, ( m ) 1 w m ()= i! v i m i e λ sú riešeniami diferenciálnej rovnice ẋ=ax, koré sú i=1 lineárne nezávislé Dôkaz Lineárna nezávislosť v 1,, v m : m=2: Nech v 1, v 2 sú lineárne závislé Poom c 1 v 1 +c 2 v 2 =, c 1, c 2 R a c 2 1+c 2 2 Poom c 1 (A λi)v 1 +c 2 (A λi)v 2 = c 2 = c 1 = spor = =v 1 m=3: c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 =, c 2 i c 1 (A λi)v 1 = c 2 v 1 +c 3 v 2 = +c 2 (A λi)v 2 +c 3 (A λi)v 3 v 1 v 2 c 2 (A λi)v 1 +c 3 (A λi)v 2 = c 3 = c 2 = c 1 = Lineárna nezávislosť funkcií w 1 (),, w m () vyplýva z oho, že w i ()=v i pre i Dokážeme, že w 1 (),, w m () sú riešenia diferenciálnej rovnice ẋ=ax Plaí: ẇ 1 ()=λv 1 e λ =λw 1 ()=Aw 1 (), lebo v 1 je vlasný vekor ẇ 2 ()=v 1 e λ +(v 2 +v 1 )λe λ ẇ 2 ()=λw 2 +w 1 aď ẇ m =λw m +w m 1 Aw 2 =A[(v 2 +v 1 )e λ ]=e λ Av 2 +e λ Av 1 =e λ (λv 2 +v 1 )+e λ λv 1 =λe λ v 2 +e λ v 1 + +λv 2 e λ =λ(v 2 +v 1 )e λ +v 1 e λ, Aw 2 =λw 2 +w 1 ẇ 2 =Aw 2 Ak w k () je komplexné riešenie, ak reálne riešenia sú: x k ()=R(w k ()), y k ()=I(w k ()) Poznámka ẋ=ax, x R n, Φ()=e A =I m + 1 1! (A)+ + 1 k! (A)k + P (λ)= de(a λi n )=( 1) n (λ n +c 1 λ n 1 + +c n 1 λ+c n )= Podľa Cayley-Hamilonovej vey A n = c 1 A n 1 c n 1 A+c n Poom A k pre k n možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu maíc I, A, A 2,, A n 1, eda exisujú funkcie (s hodnoami v R) b (), b 1 (),, b n 1 () aké, že Φ()=e A =b ()I n +b 1 ()A+ + +b n 1 ()A n 1 R 1 Nech λ 1,, λ n sú navzájom rôzne vlasné čísla maice A TAT 1 = B = =diag(λ 1,, λ n ) Poom e B =Te A T 1 =T[b ()+ +b n 1 ()A n 1 ]T 1 = =b ()I n + +b n 1 () TA } n 1 {{ T 1 } B n 1 e λ1 n 1 b ()λ i 1 = e λ n i= b n ()λ i n e λ i =b ()+b 1 ()λ i + +b n 1 ()λ n 1 i i=1, 2,, n sysém lineárnych algebraických rovníc o neznámich b (),, b n 1 () Jeho deerminan je Vandermondov deerminan a en je nenulový
22 22 2ROČNÍK 2 Ak λ je k-násobný koreň charakerisického polynómu Máme jednu rovnicu: b ()+b 1 ()λ+ +b n 1 ()λ n 1 =e λ Derivujme podľa λ: b 1 ()+2b 2 ()λ+ +(n 1)b n 1 ()λ n 2 =e λ,, (k 1)!b k 1 ()+ +(n k) (n 1)b n 1 () λ n k 1 = k 1 e λ Ak o urobíme pre každé vlasné číslo maice A, ak dosaneme n rovníc o neznámich b (),, b n 1 ()
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Διαβάστε περισσότεραL A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMolekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Διαβάστε περισσότεραA 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραKapitola III. FUNKCIE
Kapiola III. FUNKCIE DEFINÍCIA FUNKCIE Úvahy v omo odseku zanime preskúmaním dvoch známych vzorcov. Príklad. a) s = g b) P = πr Vzorec a) je dobre známy vzah pre voný pád udávajúci závislos prejdenej dráhy
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραy(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných.
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Διαβάστε περισσότεραErrata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)
Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y
Διαβάστε περισσότεραM p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότερα9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Διαβάστε περισσότεραMesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Διαβάστε περισσότερα!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Διαβάστε περισσότεραErkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραJMAK の式の一般化と粒子サイズ分布の計算 by T.Koyama
MAK by T.Koyama MAK MAK f () = exp{ fex () = exp (') v(, ') ' () (') ' v (, ') ' f (), (), v (, ') f () () f () () v (, ') f () () v (, ') f () () () = + {exp( A) () f () = exp( K ) () K,,, A *** ***************************************************************************
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραSolutions - Chapter 4
Solutions - Chapter Kevin S. Huang Problem.1 Unitary: Ût = 1 ī hĥt Û tût = 1 Neglect t term: 1 + hĥ ī t 1 īhĥt = 1 + hĥ ī t ī hĥt = 1 Ĥ = Ĥ Problem. Ût = lim 1 ī ] n hĥ1t 1 ī ] hĥt... 1 ī ] hĥnt 1 ī ]
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραX(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Διαβάστε περισσότεραV r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-
Διαβάστε περισσότεραγ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραf : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραDissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότερα(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.
1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότερα(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραu(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραP t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Διαβάστε περισσότεραΑναπαραστάσεις οµάδων: παραδείγµατα
Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
Διαβάστε περισσότεραW τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max
Διαβάστε περισσότεραAnswers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
Διαβάστε περισσότεραTALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
Διαβάστε περισσότερα