Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
|
|
- Αἰνέας Δραγούμης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06
2
3 Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06
4 Recenzovali: doc. RNDr. Viktor Pirč, CSc., RNDr. Miriam Andrejiová, PhD.. vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou. c Anna Grinčová, Jana Petrillová ISBN
5 Obsah Úvod 6 Nekonečné rady 7. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčet Harmonický a geometrický rad Kritériá konvergencie číselných radov Funkcionálne a mocninové rady Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných 6. Funkcia n premenných Parciálne derivácie funkcie n premenných Parciálne derivácie zloženej funkcie Dotyková rovina Lokálne extrémy funkcie n premenných Viazané extrémy funkcie dvoch premenných Diferenciálne rovnice 56. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi Funkcia komplexnej premennej 7 4. Analytická funkcie a derivácia funkcie komplexnej premennej Rezíduum funkcie Laplaceova transformácia Laplaceova transformácia Spätná Laplaceova transformácia Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou spätnej Laplaceovej transformácie.. 85 Použitá literatúra 9
6 6 Úvod Táto učebná pomôcka je určená pre študentov prvého ročníka bakalárskej formy štúdia Fakulty elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach (FEI TU), ale môže poslúžiť aj študentom iných fakúlt. Učebnica je rozdelená do piatich kapitol, ktoré obsahujú základné teoretické poznatky potrebné k riešeniu príkladov, vzorové riešené aj neriešené úlohy k učivu, ktoré je preberané v predmete Matematika II. Cieľom tejto učebnej pomôcky nebolo podať ucelený teoretický prehľad riešenej problematiky, preto je vhodné kombinovať používanie tejto učebnice s vysokoškolskou učebnicou Matematická analýza II autorov Jozef Džurina, Anna Grinčová a Viktor Pirč aj s voľne dostupnými e-learningovými materiálmi Katedry matematiky a teoretickej informatiky FEI TU v Košiciach. Na záver ďakujeme doc. RNDr. Viktorovi Pirčovi CSc. a RNDr. Miriam Andrejiovej, PhD. za starostlivé prečítanie rukopisu a za cenné pripomienky, ktorými prispeli k zlepšeniu textu tejto učebnice. Zároveň sa chceme vopred ospravedlniť za možné jazykovo-štylistické chyby, pretože daný text neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.
7 7 Nekonečné rady. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčet Definícia. Nech {a n } je postupnosť reálnych čísel. Potom výraz a n = a + a + + a n + nazývame nekonečný číselný rad, kde číslo a n nazývame n tým členom nekonečného číselného radu. Definícia. Postupnosť {s n } definovanú s = a, s = a + a, s = a + a + a,..., s n = a + a + + a n nazývame postupnosť čiastočných súčtov. Definícia. Ak existuje konečná ita s = s n, tak číslo s nazývame súčtom radu a n a hovoríme, že rad a n je konvergentný. Označujeme s = a n. Definícia.4 Ak neexistuje konečná ita s n, tak je rad a n divergentný. Definícia.5 Ak je nekonečný číselný rad a n = a + a + + a n + konvergentný, tak hovoríme, že nekonečný číselný rad a n je absolútne konvergentný. Definícia.6 Ak je nekonečný číselný rad a n konvergentný a rad a n je divergentný, tak hovoríme, že nekonečný číselný rad a n je relatívne konvergentný. Veta. Ak je rad a n absolútne konvergentný, tak je rad a n konvergentný. Veta. (Nutná podmienka konvergencie nekonečného číselného radu) Ak je rad a n konvergentný, tak a n = 0. Príklad. Nájdime súčet radu n + n +. Riešenie: Najprv urobíme rozklad n tého člena radu na súčet elementárnych zlomkov. Z toho vyplýva n + n + = (n + )(n + ) = ( n + ). n +
8 8 NEKONEČNÉ RADY Teda n tý čiastočný súčet je ( s n = ) ( + ) ( ) ( n ) ( + n n ) ( + n + n + ). n + Vidíme, že niektoré členy sa odčítajú, preto po úprave dostaneme Súčet radu je s n = n +. ( s = s n = ) = n +.. Harmonický a geometrický rad Zovšeobecnený harmonický rad má tvar n α pre α > 0. Tento rad je divergentný pre α a konvergentný pre α >. Špeciálnym prípadom zovšeobecneného harmonického radu pre α = je harmonický rad a má tvar. Tento rad je divergentný. n Geometrický rad má tvar a q n = a +a q +a q + +a q n +, kde a 0. Tento rad n=0 je konvergentný pre q < a divergentný pre q. Súčet nekonečného geometrického radu je s = a, kde q <. q Príklad. Nájdime súčet radu ( n ( ) ) n+. Riešenie: Upravíme daný rad na geometrický rad ( ) n ( ) n+ = ( ) + ( = ( + ) ( + ( + ) ) +... ( ) ) ( ) 4 + = = n=0 ( ) n. ( n ) je geometrický rad, kde prvý člen a = a kvocient q =. Pretože platí n=0 q = <, súčet tohto geometrického radu je Potom súčet radu ( ) ( n+ n ) je s = ( ) = 5. s =. 5 = 5.
9 . Kritériá konvergencie číselných radov 9. Kritériá konvergencie číselných radov Veta. (D Alembertovo podielové kritérium) Nech a n je nekonečný číselný rad a nech n N platí, že a n 0. (a) Ak (b) Ak a n+ a n a n+ a n <, tak je rad a n absolútne konvergentný. >, tak je rad a n divergentný. Príklad. Vyšetrime konvergenciu radu ( Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n Na základe D Alembertovho kritéria dostávame ( a n+ n+ a n = n+ ( ) n = ) n n ( ) n. ) n a (n+) člen radu je rovný an+ = n+ Z toho vyplýva, že daný číselný rad konverguje. Veta.4 (Cauchyho odmocninové kritérium) Nech a n je nekonečný číselný rad. n n + = n n + = <. (a) Ak n a n <, tak je rad a n absolútne konvergentný. (b) Ak n a n >, tak je rad a n divergentný. ( ) n+ n Príklad.4 Vyšetrime konvergenciu radu. 5n + ( ) n+. Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = ( n n+. 5n+) Na základe Cauchyho odmocninového kritéria dostávame n n an = = = ( 5 ( n 5n + ( ) ( n n. 5n + 5n + ) ( ) 0 = <. ) n+ ( n = ) n Z toho vyplýva, že daný číselný rad konverguje. 5n + = ) n+ n ( n 5n + ( n = ). 5n + ( n 5n + ) + n = ) n =
10 0 NEKONEČNÉ RADY Pozn: Ak jednotlivé ity pri D Alembertovom podielovom kritériu a Cauchyho odmocninovom kritériu sú rovné, potom pomocou týchto kritérií nevieme rozhodnúť, či daný rad je konvergentný alebo divergentný. Musíme teda použiť iné kritérium. Veta.5 (Cauchyho integrálne kritérium) Nech pre rad f(n) = a n. a n existuje spojitá funkcia f(x) nerastúca na K, ) a nech n > K: (a) Ak K (b) Ak K f(x)dx <, tak je rad a n absolútne konvergentný. f(x)dx =, tak rad je a n divergentný. Príklad.5 Vyšetrime konvergenciu radu n= n ln n. Riešenie: Položme f(x) =. Definičný obor tejto funkcie je D(f) = (0, ) {}. Funkcia x ln x je teda spojitá na intervale, ). Je zrejmé, že pre každé n je f(n) = = a n. Pretože f (+ln x) (x) = < 0, je funkcia f(x) klesajúca na intervale, ) a možno teda (x ln x) použiť Cauchyho integrálne kritérium. Platí x ln x a dx = a = a (ln ln a ln ln ) = Z toho vyplýva, že daný číselný rad diverguje. dx = x ln x [ln ln a x ]a = a ln ln a ln =. =. n ln n Veta.6 (Leibnizovo kritérium) Nech ( ) n+ a n je rad so striedavými znamienkami. Nech postupnosť {a n } je nerastúca. Potom rad ( ) n+ a n je konvergentný práve vtedy, ak a n = 0. Príklad.6 Vyšetrime konvergenciu radu Riešenie: ( ) n+. n ( ) n+ n je rad so striedavými znamienkami, kde a n = n. Naviac platí n N : n < n + n < (n + ) n < (n + ) n > (n + ).
11 . Kritériá konvergencie číselných radov Postupnosť {a n } pre a n = n n = 0, podľa Leibnizovho kritéria je rad Definícia.7 Majme rady a n, je klesajúca, z čoho vyplýva, že je aj nerastúca. Keďže ( ) n+ n konvergentný. b n, pričom b n 0 pre všetky n N. Rad b n na- zývame majorantný rad k radu a n a rad a n nazývame minorantný rad k radu b n, ak pre každé n N a n b n. Veta.7 (Majorantné porovnávacie kritérium) Majme rady a n a b n, kde 0 a n b n pre n =,,.... Ak majorantný rad b n konverguje, tak konverguje aj rad a n. Ak minorantný rad a n diverguje, tak diverguje aj rad b n. Veta.8 (Limitné porovnávacie kritérium) Nech pre každé n N je a n 0 a b n > 0. a (a) Ak existuje vlastná ita n bn a rad b n konverguje, tak konverguje aj rad a n. a (b) Ak existuje vlastná ita n bn rôzna od nuly alebo je táto ita nevlastná a rad b n diverguje, tak diverguje aj rad a n. Pozn: Použitie porovnávacieho kritéria vyžaduje skúsenosti na skonštruovanie majorantného resp. minorantného radu na základe hypotézy o konvergencii, resp. divergencii vyšetrovaného radu. Často sa používa na toto porovnávanie zovšeobecnený harmonický rad. Príklad.7 Vyšetrime konvergenciu radu n + n + 4n. Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n+. Skúsime porovnať daný rad s harmonickým n +4n radom, o ktorom vieme, že je divergentný. Teda položíme b n n =. Keďže platí n a n = b n n+ n +4n n Podľa itného porovnávacieho kritéria je aj rad = n(n + ) n + 4n = 0. n+ divergentný. n +4n Príklad.8 Vyšetrime konvergenciu radu n + 4n n 5 n +.
12 NEKONEČNÉ RADY Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n +4n n 5 n+. Skúsime porovnať daný rad s radom o ktorom vieme, že je konvergentný. Teda položíme b n = n. Keďže platí a n = b n n +4n n 5 n+ n n (n + 4n) = n 5 n + = n 5 + 4n 4 n 5 n + =. Táto ita je vlastná a podľa itného porovnávacieho kritéria je rad n +4n konver- n 5 n+ gentný., n.4 Funkcionálne a mocninové rady Definícia.8 Nech {f n (x)} je postupnosť funkcií definovaných na intervale a, b, potom výraz f n (x) nazývame nekonečný funkcionálny rad. Pre konvergenciu funkcionálnych radov môžeme použiť upravené D Alembertovo podielové a Cauchyho odmocninové kritérium. Teda ak f n+(x) n f n(x) < resp. fn (x) <, tak funkcionálny rad konverguje v x. Definícia.9 Ak f n (x) = a n (x a) n, rad stredom v bode a. n=0 a n (x a) n Pre každý mocninový rad a n (x a) n nastáva jeden z prípadov: n=0 rad konverguje len v bode x = a ρ = 0, rad konverguje pre x R ρ =, nazývame mocninový rad so ρ > 0, že na intervale (a ρ, a + ρ) daný rad konverguje a na množine R/ a ρ, a + ρ daný rad diverguje. Číslo ρ sa nazýva polomer konvergencie a interval (a ρ, a + ρ) označuje interval konvergencie. Ak existuje a n+ a n = λ resp. n a n = λ, tak pre polomer konvergencie mocninového radu a n (x a) n platí n=0 ρ = λ pre 0 < λ <, ρ = pre λ = 0, ρ = 0 pre λ =.
13 .4 Funkcionálne a mocninové rady Príklad.9 Nájdime interval, na ktorom mocninový rad (x + ) n n (n + )(n + ) konverguje. Riešenie: Použijeme D Alembertovo kritérium pre konvergenciu funkcionálnych radov. n tý člen radu je rovný f n (x) = (x+) n n (n+)(n+) a (n + ) člen radu je rovný f n+(x) = (x+) n+ n+ (n+)(n+). Potom (x+) f n+ (x) f n (x) = n+ n+ (n+)(n+) (x+) n n (n+)(n+) = (n + ) (x + ) (n + ) = x +. f Podľa D Alembertovho kritéria je rad konvergentný vtedy, ak platí n+ (x) f n(x) <. Pre daný rad teda musí platiť podmienka x + <, z čoho dostávame x + < < (x + ) < < x + < 5 < x <. Pre všetky x ( 5, ) rad (x+) n n (n+)(n+) konverguje. Ešte musíme vyšetriť konvergenciu radu v krajných hodnotách a nato použijeme kritériá konvergencie číselných radov. Rad. Pre x = 5 dostaneme číselný rad ( ) n n (n + )(n + ) = ( ) n (n + )(n + ). Dostávame rad so striedavými znamienkami, kde a n = { kritéria zistíme, či daný rad konverguje. O postupnosti nerastúca a keďže = 0, rad ( ) n (n+)(n+) (n+)(n+). Pre x = dostaneme číselný rad n n (n + )(n + ) = (n+)(n+) (n+)(n+) a podľa Leibnizovho } je konvergentný. (n + )(n + ). Daný číselný rad má súčet s = (pozri Príklad.) a teda je konvergentný. (x + ) n konverguje na intervale 5,. n (n + )(n + ) Príklad.0 Nájdime interval, na ktorom mocninový rad x n 4 n konverguje. n vieme, že je Riešenie: Je daný mocninový rad so stredom v bode a = 0 a a n = 4n. Použijeme Cauchyho n odmocninové kritérium pre konvergenciu mocninových radov a využijeme vzťah n n =. Platí λ = n n 4 a n = n n = 4 n = 4 n n = 4. n
14 4 NEKONEČNÉ RADY Potom polomer konvergencie je ρ = =. Keďže je daný mocninový rad so stredom v bode λ 4 a = 0, rad konverguje pre x (, 4 4). Ešte musíme vyšetriť konvergenciu radu v krajných hodnotách a k tomu použijeme kritériá konvergencie číselných radov.. Pre x = 4 dostaneme číselný rad ( ) n n. Dostávame rad so striedavými znamienkami, kde a n = a podľa Leibnizovho kritéria n zistíme, či daný rad konverguje. O postupnosti { n} vieme, že je nerastúca a keďže = 0, rad ( ) n je konvergentný. n n Rad. Pre x = 4 dostaneme číselný rad n. Tento rad je harmonický rad, preto je divergentný. x n 4 n konverguje na intervale n 4, ). 4 Veta.9 (Veta o derivovaní a integrovaní mocninového radu) Nech ρ > 0 je polomer konvergencie mocninového radu a n (x a) n a nech funkcia s(x) = x (a ρ, a + ρ). Potom pre každé x (a ρ, a + ρ) platí s (x) = n a n (x a) n, x s(t) dt = a n=0 a n (x n+ a)n+. n=0 a n (x a) n, Príklad. Derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdime súčet radu na vhodnom intervale. n x n Riešenie: Keďže platí (x n ) = nx n, môžeme napísať ( ) n x n = x n. Rad x n je geometrický rad, kde a = x, q = x, a teda tento rad je konvergentný pre x <. Potom súčet tohto geometrického radu je s = a q = x. Teda súčet radu x n x n
15 .4 Funkcionálne a mocninové rady 5 je rovný s = ( ) x = x ( x) pre x (, ). Definícia.0 Nech funkcia f(x) má v bode a derivácie všetkých rádov. Mocninový rad n=0 f (n) (a) (x a) n = f(a) + f (a) (x a) + f (a) n!!! nazývame Taylorov rad funkcie so stredom v bode a. (x a) + + f (n) (a) (x a) n + n! Uvedieme rozvoj niektorých funkcií do Taylorovho radu so stredom v bode a = 0: e x = n=0 x n n! pre x R, ln( + x) = ( ) n+ xn n pre x (,, sin x = n=0 ( ) n x n+ (n + )! pre x R, cos x = ( ) n xn (n)! n=0 pre x R. Príklad. Rozviňme funkciu f(x) = x ln( + x ) do Taylorovho radu. Riešenie: Ak namiesto x dosadíme x do vzťahu ln( + x) = ( ) n+ xn, dostaneme n ln( + x ) = ( ) Potom vynásobíme obe strany x a úpravou dostaneme n+ xn n. x ln( + x ) = x ( ) n+ xn n = ( ) n+ xn+ n pre x (,.
16 6 NEKONEČNÉ RADY Príklad. Nájdime prvé tri členy rozvoja funkcie f(x) = x e x do Taylorovho radu v bode a = 0. Riešenie: Z definície Taylorovho radu vyplýva f(x) f(0) + f (0)! (x 0) + f (0)! (x 0) + f (0)! (x 0) x e x. Keďže platí f (x) = e x + x e x f (0) =, f (x) = e x + e x + x e x = e x + x e x f (0) =, f (x) = e x + e x + x e x = e x + x e x f (0) =, rozvoj funkcie f(x) = x e x do Taylorovho radu v bode a = 0 je x e x 0 +! x +! x +! x. Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad a 0 + a n cos πnx l + b n sin πnx, l kde a 0 = l l f(x) dx, l a n = l l l f(x) cos πnx l dx, b n = l l l f(x) sin πnx l n =,,..., nazývame Fourierov rad funkcie f(x) a píšeme f(x) a 0 + ( a n cos πnx l dx, Koeficienty a 0, a n a b n nazývame Fourierove koeficienty. + b n sin πnx ). l
17 .4 Funkcionálne a mocninové rady 7 Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, párna, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad kde a 0 a n = l + l 0 a n cos πnx, l f(x) cos πnx dx, l n = 0,,..., nazývame kosínusový Fourierov rad funkcie f(x). Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, nepárna, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad b n sin πnx, l kde b n = l l 0 f(x) sin πnx dx, l n =,,..., nazývame sínusový Fourierov rad funkcie f(x). V praxi sa stretávame s dejmi, ktoré sa pravidelne opakujú. Sú to tzv. periodické deje, ktoré možno popísať periodickými funkciami. Ak f(x) je periodická funkcia s periódou T, tak a D(f) platí a+t a f(x) dx = T 0 f(x) dx. Fourierove rady sú funkcionálne rady, ktorými popisujeme periodicky sa opakujúce deje. Ak chceme pomocou kosínusového resp. sínusového Fourierovho radu vyjadriť po častiach spojitú funkciu f(x), ktorá nie je ani párna ani nepárna, musíme ju najprv párne resp. nepárne predĺžiť: Párne predĺženie funkcie f(x) z intervalu 0, l na interval l, l sa nazýva funkcia { f(x) pre x 0, l, f p (x) = f( x) pre x l, 0. Nepárne predĺženie funkcie f(x) z intervalu 0, l na interval l, l sa nazýva funkcia f(x) pre x (0, l, f n (x) = 0 pre x = 0, f( x) pre x l, 0).
18 8 NEKONEČNÉ RADY Príklad.4 Nájdime Fourierov rad funkcie f(x) = x + na intervale x,. Riešenie: Zo zadania vyplýva, že perióda je T = l =. Funkcia f(x) = x + nie je na intervale x, ani párna ani nepárna a pre n =,,... platí a 0 = l a n = l = l l l l f(x) dx = f(x) cos πnx l [ (x + ) sin(πnx) πn [ x (x + ) dx = + x dx = ] ] = + + = u = x + u = (x + ) cos(πnx) dx = v = cos(πnx) sin(πnx) πn v = sin(πnx) πn = [ dx = cos(πnx) ] = cos(πn) cos( πn) = 0 π n π n π n b n = l = l l f(x) sin πnx l [ (x + ) cos(πnx) πn = ( )n πn dx = ] = ( )n+ πn + u = x + u = (x + ) sin(πnx) dx = v = sin(πnx) v = cos(πnx) πn cos(πnx) πn dx = ( )n πn [ sin(πnx) + π n ] = Dosadením do predpisu Fourierovho radu dostávame f(x) a 0 + ( a n cos πnx l + b n sin πnx ) = + l [ ] ( ) n+ sin(πnx). πn Príklad.5 Rozviňme funkciu f(x) = 4 x, x 0, π do kosínusovho Fourierovho radu. Riešenie: Pretože hľadáme kosínusový Fourierov rad, musíme funkciu f(x) najprv dodefinovať tak, aby bola na rozšírenom intervale párna. Dostávame párnu funkciu f p (x) = { 4 x pre x 0, π, 4 + x pre x π, 0.
19 .4 Funkcionálne a mocninové rady 9 y 4 π π x Obr. : Graf funkcie f p (x) Takto dodefinovaná funkcia má periódu T = π l = π a pre n =,,... platí a 0 = l l 0 l f(x) dx = π a n = l 0 u = 4 x = v = cos(nx) = [ cos(nx) π n b n = 0. π f(x) cos πnx dx = l π ] π 0 0 (4 x) dx = π u = v = sin(nx) = π π 0 ] π [4x x = 0 π (4 x) cos πnx π = π n ( cos(πn) + cos 0 n n dx = π [ (4 x) sin(nx) n ) ] π ) (4π π = 8 π, π π (4 x) cos(nx) dx = π = πn [ ( )n ], Dosadením do predpisu kosínusového Fourierovho radu dostávame f(x) a 0 + a n cos πnx l = 8 π + 0 sin(nx) n πn [ ( )n ] cos(nx). dx = Príklad.6 Rozviňme funkciu f(x) = 4 x, x 0, π do sínusového Fourierovho radu. Riešenie: Pretože hľadáme sínusový Fourierov rad, musíme funkciu f(x) najprv dodefinovať tak, aby bola na rozšírenom intervale nepárna. Dostávame nepárnu funkciu 4 x pre x (0, π, f n (x) = 0 pre x = 0, 4 x pre x π, 0).
20 0 NEKONEČNÉ RADY y 4 π 4 π x Obr. : Graf funkcie f n (x) Takto dodefinovaná funkcia má periódu T = π l = π a pre n =,,... platí a n = 0, l π b n = f(x) sin πnx dx = (4 x) sin πnx l l π π dx = (4 x) sin(nx) dx = π u = 4 x u = = v = sin(nx) v = cos(nx) = [ (4 x) cos(nx) ] π π cos(nx) dx = π n n 0 π n 0 = [ (π 4) cos(nπ) + 4 ] [ ] π sin(nx) = π n n π n πn [(π 4) ( )n + 4]. Dosadením do predpisu sínusového Fourierovho radu dostávame 0 π f(x) b n sin πnx l = πn [(π 4) ( )n + 4] sin(nx). Neriešené úlohy: V nasledujúcich úlohách nájdite súčet radu:... (n + )(n + ) (5n 4)(5n + ) (n )(n + ) 5
21 .4 Funkcionálne a mocninové rady n=0 n= n + 5n + 6 n + 7n + n + 9n + 0 n + 4n + n + 6n + 8 n + 8n + 5 n + 0n + 4 n + n n + 5n + 4 4n + 8n + 9n + n 9n n 7 49n 7n 7 49n n n + n 0 9n + n 5 4 9n n 5 6 9n + 6n 8 6n n
22 NEKONEČNÉ RADY n= n= n= n 6 4n 9 n n(n + )(n + ) n + n(n )(n ) (n + n + )(n + ) n + n + n n + n + n n n + n + n n + n n + n n 4 n n 5 5 n ( ) n n 4 ( ) n n 5 n n+ n=0 n+ 7 4 n ( ) n 5 ( ) n 5 7 ( ) n n+ 8 n 5 n= n=
23 .4 Funkcionálne a mocninové rady ( ) n+ ( ) n 45 n= ( ) n n+ ( ) n n+ ( ) 5 n n+ 6 4 n n n 6 n n 5 n + n 6 n 5 n 4 V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou D Alembertovho kritéria konvergenciu radu: ( ) n n 8 ( ) n n + ( ) n 5 n 7 ( ) n 6 n + 5 ( ) n (n + )! 4 ( ) n 7 n 5 4n + n. n ( 5 ) n a n+ a n =, konverguje 8 a n+ a n =, konverguje a n+ a n = 5, konverguje 7 a n+ a n = 6, diverguje 5 a n+ a n = 0, konverguje a n+ a n = 7, diverguje 5 a n+ a n =, konverguje 5 n n n + n. n. n n + 4 a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n =, konverguje =, konverguje =, konverguje =, diverguje
24 4 NEKONEČNÉ RADY n= n= (n ) n n (n + ) n (n + 4) n n n! n + n (n )!. 0 n. n! (n + )! n (n )! 5 n n! n! n (n + ) 6 n (n ) n! n (n + )! n n (n + )! ( ) n (n )! 7 n! ( ) n n 7 (n + )! (n!) (n)! n! (n)! n (n)! (n + )! n (n + 5) n! n n n n (n!) a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n =, konverguje =, konverguje =, diverguje = 0, konverguje = 0, konverguje = 0, diverguje = 5, konverguje =, diverguje = 0, konverguje =, diverguje = 0, konverguje = 7, konverguje = 0, konverguje = 4, konverguje = 0, konverguje = 0, konverguje =, diverguje = e, konverguje = 0, konverguje
25 .4 Funkcionálne a mocninové rady n (n + )! n n! n n n n! n n a n+ a n a n+ a n (n + )! 0 n n. 0 n. n! (n)! a n+ a n a n+ a n n e n n n n! n n (n + )! ( ) n (n + )! ( ) n n (n + )! ( ) n n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n e n n + n (n )! a n+ a n a n+ a n (n )! 0 n+ (n )!. 0 n+ a n+ a n a n+ a n a n+ a n = 0, konverguje = e, konverguje = e, diverguje =, diverguje = 0, konverguje = e, konverguje = e, konverguje = 6, diverguje = 0, konverguje = e, konverguje = 0, konverguje =, diverguje =, diverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Cauchyho odmocninového kritéria konvergenciu radu: n a n n =, konverguje 4 ( + ) n an = n, konverguje n 6 ( ) n n + n an =, konverguje n ( 4n + n 5 n= ( n 4n ) n ) n n an =, diverguje n an =, konverguje 4
26 6 NEKONEČNÉ RADY ( ) n 5n n an = 5 n +, diverguje arctg n n ( n n + ( 8n + n ( n + 5 n ( n + n + ( 4n + n ( 0n + n ( n n + ( n + n ( 5n + n n ( n ( n + 5 ) n ) n + ) n+ ) n ) n+ ) n+ ) n+ ) n ) n ) n+ ) n n n= ( ) n n n + ( n + n ( n + n + ( + n n ) n ) n ) n ( ) n ( 6 + ) n 5 n ( ) n ( ) n n + 7 n n an = 0, konverguje n an = 4, konverguje 9 n a n =, diverguje n an =, konverguje 9 n an = 4, konverguje 9 n an = 4, diverguje n an = 0, diverguje n an =, konverguje 9 n an =, konverguje n 5 an =, diverguje n an =, konverguje e n an = e 7, diverguje n an =, konverguje e 4 n an = e 0, diverguje n an =, diverguje n an = e, konverguje n an = 6e, diverguje 5 n an = e, konverguje 7
27 .4 Funkcionálne a mocninové rady (n ) n n n n n a n = e, konverguje (n + ) n n n n n a n = e, konverguje n (n + ) n n a n n = e, diverguje (n + ) n V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Cauchyho integrálneho kritéria konvergenciu radu: n + diverguje n 5 diverguje n + diverguje 4n + 7 diverguje n + n diverguje n n + diverguje n n diverguje n + n konverguje n + konverguje n + diverguje n diverguje n n + diverguje n= n= n= n= n= n + 9 n 4 n 4 7n + n 6 n ln n konverguje konverguje diverguje
28 8 NEKONEČNÉ RADY n= n ln n ln n n ln n n ln n n e n n konverguje diverguje konverguje diverguje konverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Leibnizovho kritéria konvergenciu radu: ( ) n+ n ( ) n+ ln(n + ) ( ) n+ (n + ) n + ( ) n+ n ( ) n+ n ( ) n+ n n + ( ) n+ (n ) n ( ) n+ n ln n ( ) n+ n n= a n = 0, konverguje a n = 0, konverguje a n =, diverguje a n = 0, konverguje a n = 0, konverguje a n =, diverguje a n =, diverguje a n = 0, konverguje n a n = 0, konverguje ( ) n+ sin π n a n = 0, konverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou porovnávacieho kritéria konvergenciu radu:.. n= 4n + n 5 diverguje diverguje
29 .4 Funkcionálne a mocninové rady diverguje n + diverguje 4n + 7 n diverguje + n n diverguje n + n diverguje n n= konverguje n + konverguje n 4 n= n + 9 konverguje n 4 n 4 7n + konverguje n 6 konverguje n,6 5 konverguje n diverguje n 7 diverguje n ( ) n 5 konverguje 7 ( ) n 7 diverguje 5 ( ) n konverguje n+ konverguje 6 4 n 5 n n diverguje
30 0 NEKONEČNÉ RADY V nasledujúcich úlohách nájdite interval, na ktorom daný funkcionálny rad konverguje: x n (n )! n! x n x n n n n x n 9 n n x n 4 n (, ) {0}, ) (, ) (, ) x n (, ) n x n n, n (x + ) n n ( x ) n (, ) (, ) ( ) n x(x + n) (, ) n n e nx (0, ) nx e nx 0, ) ln n x ( ) e, e V nasledujúcich úlohách určte polomer konvergencie mocninového radu: n xn (n ) (x )n x n n! n! x n 0
31 .4 Funkcionálne a mocninové rady n n 5 n x n 5 n n xn n xn 5 ( ) n x n n n n (n + ) n xn (n + )(n + ) (x + n )n n k n! xn n! x n (n )! 0 n x n n 0 00 n x n n + 00 n n xn n n (x + ) n 0 (n )! n n x n e n n n! xn e n! (x )n e nn (n)! (n)! n n xn (n!) x n (n)! 4e 7 4 V nasledujúcich úlohách nájdite interval, na ktorom daný mocninový rad konverguje:. n xn,
32 NEKONEČNÉ RADY (n ) (x )n 0, ) x n n! (, ) n! x n {0} n 5 n x n 5 n n n xn n xn ( ) n x n n n n (n + ) n xn ( 5, ) 5, ) 5, ) 5, ) (, ) (n + )(n + ) n (x + )n 4, n k n! xn n! x n (n )! 0 n n x n 00 n n + x n n n xn n n (x + ) n (, ) (, ) 0, ) 0 ) 00, 00 ( ), { } V nasledujúcich úlohách derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdite súčet daného radu na vhodnom intervale:. (n + )x n ( x) n=0. (n + )(n + )x n ( x) n=0 n 5. 5 n xn (5 x)
33 .4 Funkcionálne a mocninové rady (n + )x n + x n=0 n=0 (x )n ln n ( x ) x + ln (x ) V nasledujúcich úlohách pomocou základných mocninových radov určte Taylorov rad danej funkcie so stredom v bode a = 0:. f(x) = e x n=0 x n n n!. f(x) = e x n n! xn n=0. f(x) = e x ( ) n n n! xn n=0 x n+ 4. f(x) = x e x n! n=0 5. f(x) = xe x n n! xn+ n=0 6. f(x) = x e x ( ) n n 7. f(x) = xe x n=0 n=0 x n+ n n! 8. f(x) = x ( ) n e x n! n=0 9. f(x) = x e x x n+ n! n=0 0. f(x) = x e x ( ) n. f(x) = x ln( + x). f(x) = x ln( + x). f(x) = ln( + x ) 4. f(x) = x ln( + x ) 5. f(x) = x sin x 6. f(x) = x cos x n! xn+ x n+ x n+ n! n=0 ( ) n+ n ( ) n+ n ( ) n+ n ( ) n+ n=0 n=0 n x n+ x n+ x n x n+ ( ) n (n + )! xn+ ( ) n (n)! xn+
34 4 NEKONEČNÉ RADY 7. f(x) = sin x V nasledujúcich úlohách nájdite Fourierov rad funkcie na danom intervale: ( ) n+. f(x) = x, x, sin(nπx) nπ sin(nx). f(x) = x, x 0, π π n 4. f(x) = x, x π, π n ( )n+ sin(nx) n=0 ( ) n (n + )! x4n+ 4. f(x) = x, x π, π ( ) n+ sin(nx) n 5. f(x) = x, x 0, π π 4 n sin(nx) { 0, pre x π, 0) 6. f(x) =, pre x (0, π + πn [ ( )n ] sin(nx) { π x, pre x π, 0) 7. f(x) = 0, pre x (0, π 8. f(x) = x, x π, π 9. f(x) = x, x π, π π 4 + [ ( ) n cos(nx) + ( )n πn n V nasledujúcich úlohách rozviňte funkciu f(x) do kosínusového radu: ] sin(nx) π + πn [( )n ] cos(nx) π + 4 n ( )n cos(nx). f(x) = x, x 0, + (π n) [( )n ] cos(nπx). f(x) = x, x 0, π π 4 + π n [( )n ] cos(nx). f(x) = π 4 x, x 0, π 4. f(x) = x, x 0, π 5. f(x) = x(π x), x 0, π π n [( )(n+) + ] cos(nx) π + 4 n ( )n cos(nx) π 6 n [( )n+ ] cos(nx)
35 .4 Funkcionálne a mocninové rady 5 6. f(x) = x x, x 0, + 4 (π n) [( )n+ ] cos nπx V nasledujúcich úlohách rozviňte funkciu f(x) do sínusového radu: ( ) n+. f(x) = x, x 0, sin(nπx) nπ. f(x) = x, x 0, π ( ) n+ sin(nx) n. f(x) = π 4 x, x 0, π n [( )n + ] sin(nx) [ ] 4. f(x) = x ( ) n, x 0, π π ( ) n sin(nx) π n n 4 5. f(x) = x(π x), x 0, π πn [ ( )n ] sin(nx) 6. f(x) = x x, x 0, 8 (π n) [( )(n+) + ] sin nπx
36 6 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných. Funkcia n premenných Definícia. n rozmerný euklidovský priestor E n je množina všetkých usporiadaných n tíc X = (x, x,..., x n ) reálnych čísel, pričom je definovaná vzdialenosť ρ ľubovoľných dvoch n tíc X = (x, x,..., x n ), Y = (y, y,..., y n ) vzťahom ρ = (x y ) + (x y ) + + (x n y n ). n ticu X = (x, x,..., x n ) reálnych čísel nazývame bodom priestoru E n a čísla x, x,..., x n súradnice tohto bodu. Definícia. Okolie bodu A resp. ɛ ové okolie O ɛ (A) bodu A E n je množina všetkých bodov X E n, ktorých vzdialenosť od bodu A je menšia ako ɛ. Platí O ɛ (A) = {X E n, ρ(a, X) < ɛ}. Definícia. Nech M E n. Bod A nazývame hromadným bodom množiny M, ak v každom okolí bodu A existuje aspoň jeden bod množiny M rôzny od bodu A. Pozn: Hromadný bod množiny M nemusí patriť do množiny M. Definícia.4 Nech M E n. Funkcia n premenných je predpis f, ktorý každému X M priradí práve jedno y R. Píšeme y = f(x) alebo y = f(x, x,..., x n ). Definícia.5 Množinu M nazývame definičným oborom funkcie f a označujeme D(f). Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f(x, y) = ln(9 x y ). Riešenie: Funkcia f(x, y) je definovaná pre body [x, y] spĺňajúce podmienku 9 x y > 0. Po úprave dostávame x + y < 9. Definičný obor funkcie f(x, y) je vnútro kruhu so stredom v bode [0, 0] a polomerom r = (pozri Obr. ). Definícia.6 Nech je funkcia f(x) definovaná v istom okolí bodu A = (a, a,..., a n ), ktorý je hromadným bodom jej definičného oboru D(f). Číslo b nazývame itou funkcie f(x) v bode A, ak pre každé ɛ > 0 existuje také δ > 0, že pre všetky X O δ (A), X A je f(x) O ɛ (b). Píšeme X A f(x) = b. Ak existuje f(x) = b, tak pre každú podmnožinu M D(f), ktorej hromadným bodom X A je bod A, platí f(x) = b a hovoríme, že b je ita funkcie f v bode A vzhľadom X A A M na množinu M.
37 . Parciálne derivácie funkcie n premenných 7 y x Obr. : Grafické zobrazenie definičného oboru funkcie ln(9 x y ) v rovine Pozn: Ak pre dve množiny M D(f) a L D(f) sú ity X A X M potom X A f(x) = b neexistuje. Základné vlastnosti ity funkcie viacerých premenných: f(x) a f(x) rôzne, X A X L Nech funkcie f a g majú v bode A itu, f(x) = b R a g(x) = b R. Potom X A X A má v bode A itu aj funkcia: c f +c g, kde c, c sú ľubovoľné konštanty a platí X A (c f(x)+c g(x)) = c b +c b, f. g a platí X A f(x). g(x) = b b, f g f(x) a platí = b X A g(x) b, ak b 0. Príklad. Vypočítajme itu funkcie Riešenie: x y (x,y) (0,0) x +y (x,y) (0,0) x y x + y. je typu 0. Keďže ju nevieme ďalej upraviť, overíme si, či vôbec 0 daná ita existuje. Položíme y = kx, k 0 (sú to priamky prechádzajúce bodom (0, 0)). Po dosadení dostávame (x,y) (0,0) x y x + y = (x,y) (0,0) x kx x + (kx) = (x,y) (0,0) k + k = k + k. Daná ita závisi od k a teda pre rôzne hodnoty k, je hodnota ity rôzna. Z toho vyplýva, že x y (x,y) (0,0) x +y neexistuje.. Parciálne derivácie funkcie n premenných Definícia.7 Nech f je funkcia n premenných (x, x,..., x n ), n, definovaná na nejakom okolí bodu A = (a, a,..., a n ). Hovoríme, že funkcia f má v bode A konečnú parciálnu
38 8 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH deriváciu prvého rádu podľa premennej x i, ak existuje konečná ita f(a,..., a i, x i, a i+,..., a n ) f(a,..., a i, a i, a i+,..., a n ). x i a i x i a i Hodnotu tejto ity označujeme (A) x i alebo f x i (A). Ak je daná funkcia f n premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie podľa premennej x i postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie jednej premennej. Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií a viet pre derivovanie. Pri derivovaní funkcie f podľa premennej x i budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej x i. Ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty. Parciálna derivácia funkcie f je opäť funkciou n premenných. Definícia.8 Nech f je funkcia n premenných, n, ktorá má na množine M parciálne derivácie prvého rádu x, x,..., x n. Parciálna derivácia druhého rádu podľa premených x i a x j je parciálna derivácia podľa premennej x i parciálnej derivácie funkcie f podľa premennej x j. Označujeme Pozn: Ak sú parciálne derivácie f x j x i f x j x i a f x i x j a špeciálne, ak x i = x j, píšeme f. x i spojité v bode A D(f), tak platí f(a) x j x i = f(a) x i x j. Príklad. Určme parciálne derivácie funkcie f(x, y) = x y + y + x e 5y podľa jednotlivých premenných. Riešenie: Pri počítaní (x,y) premennú y považujeme za konštantu a funkciu f(x, y) derivujeme ako funkciu jednej premennej x, čím x dostaneme (x, y) x = 6xy + e 5y. Podobne pri počítaní (x,y) premennú x považujeme za konštantu a funkciu f(x, y) derivujeme y ako funkciu jednej premennej y, čím dostaneme (x, y) y = x + + 5x e 5y. Príklad.4 Nájdime parciálne derivácie funkcie f(x, y, z) = x + y z y z x premenných v bode A = (,, ). podľa jednotlivých Riešenie: Najprv nájdeme parciálne derivácie funkcie f(x, y, z) podľa jednotlivých premenných (x, y, z) x = y + z x, (x, y, z) y = x y + z, (x, y, z) z = y z x.
39 . Parciálne derivácie funkcie n premenných 9 Nakoniec dosadíme súradnice bodu A do jednotlivých parciálnych derivácií, čím dostaneme [ (A) = x y + z ] = x + = [, (A) = x y y + ] = z 4 + = 4, A (A) z = [ y z ] = =. x A A Príklad.5 Vypočítajme všetky parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(x, y) = x y + y + xe 5y. Riešenie: Parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(x, y) = x y + y + xe 5y sme vypočítali v Príklade.. Potom parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(x, y) sú rovné f(x, y) x = x (6xy + e5y ) = 6y, f(x, y) x y = y (6xy + e5y ) = 6x + 5e 5y, f(x, y) y = y (x + + 5x e 5y ) = 5x e 5y, f(x, y) y x = x (x + + 5x e 5y ) = 6x + 5e 5y. Vidíme, že f(x, y) x y = f(x, y) y x... Parciálne derivácie zloženej funkcie Definícia.9 Nech funkcia f je definovaná na množine M E m a nech X = (x, x,..., x n ). Nech g (X), g (X),..., g m (X) je m funkcií n premenných, ktoré sú definované na množine P E n. Nech pre každé X P je bod (g (X), g (X),..., g m (X)) M. Potom funkciu F (X) = f(g (X), g (X),..., g m (X)) nazývame zloženou funkciou, ktorej definičný obor je množina P. Definícia.0 Nech X = (x, x,..., x n ) a F (X) = f(g (X), g (X),..., g m (X)) je zložená funkcia. Nech funkcie g i (X), i =,,..., m sú v bode A = (a, a,..., a n ) D(g i ) diferencovateľné. Nech funkcia f je v bode B = (g (A), g (A),..., g m (A)) D(f) diferencovateľná. Potom zložená funkcia F je diferencovateľná v bode A, pričom pre jej parciálne derivácie platí: F (A) x i = (B) g (A) g x i + (B) g (A) g x i + + (B) g m (A), i =,,... n. g m x i Príklad.6 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u, v) = uv, ak u = x 5y, v = xy + y.
40 40 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x, y) = f(u, v), pričom u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú F x = u u x + v v x F y = u u y + v v y = v + u y = (xy + y) + y(x 5y), = v ( 5) + u (x + ) = 5(xy + y) + (x 5y)(x + ). Príklad.7 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u, v) = u v, ak u = ex, v = x. Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x) = f(u, v), pričom u = ϕ(x), v = ψ(x). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú df dx = du u dx + dv v dx = v ex + u ( v ) ( x ) = xe x + e x. Príklad.8 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u) = ln u, ak u = xy. Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x, y) = f(u), pričom u = ϕ(x, y). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú F x = df du u x = u y = xy y = x, F y = df u du y = u x = xy x = y... Dotyková rovina Definícia. Nech funkcia z = f(x, y) je spojitá a diferencovateľná v okolí bodu A = (x 0, y 0, z 0 ). Potom rovnica dotykovej roviny ρ ku grafu tejto funkcie v bode A je ρ : (x 0, y 0 ) x (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) = 0 y a rovnica normály n ku grafu tejto funkcie v bode A je kde z 0 = f(x 0, y 0 ). n : x = x 0 + (x 0, y 0 ) t, x y = y 0 + (x 0, y 0 ) t, y z = z 0 t, t R.
41 . Lokálne extrémy funkcie n premenných 4 Príklad.9 Nájdime rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie danej rovnicou f(x, y) = arctg y x v bode A = (,,?). Riešenie: Z rovnice dotykovej roviny (x 0, y 0 ) x vyplýva, že potrebujeme určiť z 0 (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) = 0 y z 0 = f(x 0, y 0 ) = f(, ) = arctg = π 4 a parciálne derivácie funkcie f(x, y) = arctg y v bode A = (,, π) x 4 [ (x 0, y 0 ) = ( y )] x + ( y = [ ] x ) x (x 0,y 0, (x 0, y 0 ) = y + ( y ) x ) x Dosadením do rovnice dotykovej roviny dostávame ρ : (x ) + ( (y ) z π ) = 0, 4 (x 0,y 0 ) =. po úprave ρ : x y + z π = 0. Zostáva nájsť rovnicu normály n ku grafu funkcie f(x, y) v bode A. Normála je priamka kolmá na dotykovú rovinu ρ a normálový vektor dotykovej roviny ρ je smerový vektor normály. Rovnica dotykovej roviny je ρ : x y + z π = 0, súradnice normálového vektora dotykovej roviny ρ sú (,, ). Potom parametrický tvar normály n ku grafu funkcie f(x, y) v bode A = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, π) je 4 x = x 0 + t = + t, y = y 0 t = t, z = z 0 + t = π 4 + t, t R.. Lokálne extrémy funkcie n premenných Definícia. Hovoríme, že funkcia f(x) n premnenných má v bode A ostré lokálne maximum (lokálne maximum), ak pre každý bod X, X A z okolia bodu A platí f(x) < f(a) (f(x) f(a)). Definícia. Hovoríme, že funkcia f(x) n premnenných má v bode A ostré lokálne minimum (lokálne minimum), ak pre každý bod X, X A z okolia bodu A platí f(x) > f(a) (f(x) f(a)).
42 4 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Definícia.4 Bod A, v ktorom parciálne derivácie prvého rádu sú rovné nule, nazývame stacionárny bod. Definícia.5 Stacionárne body a body, v ktorých parciálne derivácie neexistujú, sa nazývajú kritické body. Pozn: Funkcia môže mať lokálny extrém len v kritickom bode. Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x) a nech v bode A je funkcia f(x) dva razy diferencovateľná. Potom: funkcia f(x) má v bode A ostré lokálne minimum (maximum), ak druhý diferenciál d f(a, X) > 0 (d f(a, X) < 0) pre každý bod X A, funkcia f(x) nemá v bode A lokálny extrém, ak existujú body X, X také, že d f(a, X ) a d f(a, X ) majú rôzne znamienka. Veta. (Postačujúca podmienka existencie extrému funkcie dvoch premenných) Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x, y) a nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant f(a) f(a) x = x y > 0. f(a) y x f(a) y Potom, ak 0, má funkcia f(x, y) v bode A lokálny extrém, a to lokálne minimum, ak súčasne platí = f(a) x > 0, lokálne maximum, ak súčasne platí = f(a) x < 0. Ak (A) < 0, tak nemá funkcia f(x, y) v bode A extrém (bod A sa nazýva sedlový bod). Pozn: Ak (A) = 0, tak o lokálnom extréme pomocou uvedenej vety nevieme rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x, y) v okolí stacionárneho bodu A inými metódami (napríklad testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A). Veta. (Postačujúca podmienka existencie extrému funkcie troch premenných) Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x, y, z) a nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant f(a) f(a) x = x y > 0. f(a) y x f(a) y Potom má funkcia f(x, y, z) v bode A lokálny extrém, a to
43 . Lokálne extrémy funkcie n premenných 4 lokálne minimum, ak súčasne platí = f(a) x f(a) f(a) x x y = f(a) f(a) y x f(a) z x y f(a) z y lokálne maximum, ak súčasne platí = f(a) x f(a) f(a) x x y = f(a) f(a) y x f(a) z x y f(a) z y > 0 a zároveň > 0, f(a) x z f(a) y z f(a) z < 0 a zároveň < 0. f(a) x z f(a) y z f(a) z Príklad.0 Nájdime lokálne extrémy funkcie f(x, y) = x + y + x y x 4. Riešenie: Najprv potrebujeme určiť stacionárne body. Nato musíme vypočítať parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(x, y) (x, y) x = 6x + 6x, Stacionárne body nájdeme riešením sústavy rovníc (x, y) y = y. 6x + 6x = 0 y = 0. Stacionárne body sú A = (, ), B = (, ) C = (, ) a D = (, ). Využitím Vety. overíme extrémy v týchto stacionárnych bodoch. Vypočítame druhé parciálne derivácie f(x, y) x = x (6x + 6x ) = x + 6, f(x, y) x y = y (6x + 6x ) = 0, f(x, y) y = y (y ) = 6y, f(x, y) y x = x (y ) = 0. a určíme postupne hodnoty determinantov a v stacionárnych bodoch. 8 0 Pre stacionárny bod A platí (A) = 0 6 = 08 > 0 (A) = 8 > 0 v bode A je lokálne minimum. 8 0 Pre stacionárny bod B platí (B) = 0 6 = 08 < 0 (B) = 8 0 v bode B nie je extrém a bod B je sedlový bod. 8 0 Pre stacionárny bod C platí (C) = 0 6 = 08 < 0 (B) = 8 0
44 44 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH v bode C nie je extrém a bod C je sedlový bod. 8 0 Pre stacionárny bod D platí (D) = 0 6 v bode D je lokálne maximum. = 08 > 0 (D) = 8 < 0.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných Definícia.6 Nech funkcia f(x, y) je definovaná na množine M a množinu L nech tvoria všetky body z M, ktoré vyhovujú rovnici g(x, y) = 0. Lokálne extrémy funkcie f(x, y) na množine L nazývame viazanými lokálnymi extrémami a podmienku g(x, y) = 0, ktorá určuje množinu L, nazývame väzbou. Pri hľadaní extrémov môžu nastať dva prípady: ak sa z väzby g(x, y) = 0 dá jednoznačne vyjadriť niektorá premenná, dosadíme ju do funkcie f(x, y), dostaneme funkciu jednej premennej a viazaný extrém danej funkcie hľadáme ako lokálny extrém funkcie jednej premennej, ak sa z väzby g(x, y) = 0 nedá jednoznačne vyjadriť žiadna premenná, zostrojíme Lagrangeovu funkciu L(x, y) = f(x, y) + λg(x, y), λ R. Vypočítame jej parciálne derivácie podľa premenných x a y L x = x + λ g x, L y = y + λ g y a stacionárne body Lagrangeovej funkcie L(x, y) nájdeme riešením sústavy rovníc x + λ g x = 0 y + λ g y = 0 g(x, y) = 0. Závery pre existenciu viazaného lokálneho extrému sú rovnaké ako pri lokálnych extrémoch, avšak ak Lagrangeova funkcia nemá lokálny extrém, o existencii viazaného lokálneho extrému funkcie f(x, y) nevieme povedať nič. V takom prípade musíme hľadať viazaný extrém iným spôsobom. Pozn: Ak Lagrangeova funkcia L(x, y) má extrém, tak tento extrém je extrémom funkcie f(x, y) (naopak to neplatí). Príklad. Nájdime viazané extrémy funkcie f(x, y) = e xy, ak x + y =.
45 .4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 45 Riešenie: Z funkcie g(x, y) = 0, t. j. x+y = 0, predstavujúcej väzbu môžeme jednoznačne vyjadriť ľubovoľnú z dvoch premenných, napr. y = x. Takto vyjadrené y dosadíme do funkcie f(x, y) a dostaneme funkciu jednej premennej f(x) = e x( x) = e x x. Vypočítame deriváciu prvého rádu funkcie f(x) f (x) = ( x)e x x a položíme ju rovnú nule, čím dostávame rovnicu ( x)e x x = 0. Riešením danej rovnice dostaneme stacionárny bod A = (, ). Potom určíme hodnotu derivácie druhého rádu funkcie f(x) v stacionárnom bode A f (A) = [( x)e x x] [ = (4x 8x + )e x x] = e < 0. A A Funkcia f(x, y) = e xy s väzbou x + y = má v bode A lokálne maximum a f(a) = e. Príklad. Nájdime viazané extrémy funkcie f(x, y) = x + y, ak x + y = 5. Riešenie: Keďže z funkcie g(x, y) = 0, t. j. x + y 5 = 0, predstavujúcej väzbu nemôžeme jednoznačne vyjadriť žiadnu z dvoch premenných, zostrojíme Lagrangeovu funkciu L(x, y) = x + y + λ(x + y 5), λ R a hľadáme jej extrémy. Najprv vypočítame parciálne derivácie prvého rádu Lagrangeovej funkcie L x = + xλ, L y = + yλ. Stacionárne body funkcie L(x, y) nájdeme riešením sústavy rovníc + xλ = 0 + yλ = 0 g(x, y) = x + y 5 = 0. Ak z prvej rovnice vyjadríme x, z druhej y a dosadíme ich do tretej rovnice, tak dostaneme rovnicu 4λ + λ 5 = 0. Riešením danej rovnice dostaneme λ =, λ = a určíme stacionárne body v závislosti na λ, λ. Pre λ = je A = (, ), pre λ = je B = (, ). Ďalej postupujeme podobne ako v Príklade.0. Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu a určíme ich hodnoty v stacionárnych bodoch. Platí
46 46 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH L(x, y) x = λ, L(x, y) y x = 0, L(x, y) L(x, y) = λ, = 0. y x y 0 Pre stacionárny bod A platí (A) = 0 = > 0 (A) = > 0 v bode A viazané lokálne minimum a f(a) = 5. 0 Pre stacionárny bod B platí (B) = 0 = > 0 (B) = > 0 v bode B je viazané lokálne maximum a f(b) = 5. Neriešené úlohy: V nasledujúcich úlohách určte definičný obor funkcie f(x, y) a znázornite ho graficky:. f(x, y) = x + y x y x. f(x, y) = x + 7 ex y. f(x, y) = x + y x +. f(x, y) = x + y x y. f(x, y) = xy x + y 4. f(x, y) = y xy x y 4. f(x, y) = ln x x y + x + y 5. f(x, y) = e xy x 6 + xy x 4 5. f(x, y) = y x y + ex+y 6. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y 6. f(x, y) = + x y 7. f(x, y) = ln (xy 4) + y x + y 5 x + 7. f(x, y) = y x f(x, y) = x ln ( x y ) 8. f(x, y) = y x 9. f(x, y) = ln (x + e y ) + y x + 9. f(x, y) = 4 y x 0. f(x, y) = x ln y y ln x + xy 0. f(x, y) = 6 x y. f(x, y) = x+y + x y ln(x y). f(x, y) = x + y + x + 5 V nasledujúcich úlohách vypočítajte itu danej funkcie:. x + y (x,y) (0,4). (x,y) (4, ). (x,y) (0,0) 4. (x,y) (0,) x y 9 x y 6 x + y 4 x y x + (y ) + x + (y ) 4
47 .4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných arcsin (x,y) (0,) x y x sin(xy) 6. (x,y) (,0) xy 7. (x,y) (0, ) 8. (x,y) (4,0) ( sin x x tg (xy) y + y ) 9. arctgy neexistuje (x,y) (0,0) x xy 0. neexistuje (x,y) (0,0) x + y x + y. neexistuje (x,y) (0,0) x y x + y. neexistuje (x,y) (0,0) y x y. neexistuje (x,y) (0,0) x + y xy x y + 4. neexistuje (x,y) (,) x + y x 4y + 5 xy x + y 5. neexistuje (x,y) (,) (x + ) + (y ) x 6. neexistuje (x,y,z) (0,0,0) x + y + z (x z + ) 7. neexistuje (x,y,z) (,0,0) (x + ) + y + z V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie funkcie f(x, y) podľa jednotlivých premenných:. f(x, y) = x + y 5xy. f(x, y) = ln(y 4x + 8). f(x, y) = arctg x + y 4. f(x, y) = (x + 5y) sin x 5. f(x, y) = x + y x 6. f(x, y) = x y x + y y x 7. f(x, y) = x + 7 ex y 8. f(x, y) = x + y x + 9 π x = x 5y, y = y 5x x = 4 y 4x + 8, y = y y 4x + 8 x = 8x 8 + (x + y ), y = 8y 8 + (x + y ) = sin x + (x + 5y) cos x x = 5 sin x y x = y + ( x), y = x x = 4xy (x + y ), y = 4x y (x + y ) x = y x 4x ex (x + 7) y y = x e x (y ) x = x (x ) y (x + ), y = x + 4
48 48 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH 9. f(x, y) = ln x x y + x + y 0. f(x, y) = y x y + ex+y. f(x, y) = + x y x + y 5. f(x, y) = y x + 5. f(x, y) = y x 4. f(x, y) = 4 y x x = 5. f(x, y) = 6 x y x = 6. f(x, y) = x + y + x f(x, y) = y xy x y 8. f(x, y) = e xy x 6 9. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y x = 0. f(x, y) = ln (xy 4) + y x +. f(x, y) = x ln ( x y ). f(x, y) = ln (x + e y ) + y x +. f(x, y) = x ln y y ln x + xy x = y ln x x 4x (x y) (x + y ) y = ln x (x y) 4y (x + y ) x(y ) = x (x y ) + ex+y y = x y + 6y + e x+y (x y ) x = x + y x + xy 5 (x + y 5) y = yx + 8y xy (x + y 5) x = y x + 5, y = y x + 5 x = y x, y = y y x x 4 (y x ), y = y 4 (y x ) x 6 x y, y = y 6 x y x = x x + y + x x + 5 y = y x + y x = y xy (x y) x y y = xy + x y 4x y (x y) x y x = exy (yx 6y x) (x 6) x 6, y = xexy x y 6 + xy + ex y, y = x + xy ex y x = y xy 4 y (x + ), y = x xy 4 + x + x = ln ( x y x ) x y y = xy x y x = x x + e y y x + y = ey x + e + y y x + x = ln y y x + y xy y = ln x + x y + x xy
49 .4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných f(x, y) = x+y x y + ln(x y) x = y = y x y (x y) x + y + x (x y) x x y x y x + y x y 5. f(x, y) = x + y x y 6. f(x, y) = xy x + y x = y = x = y = x x + y 4 y x + y 4 7. f(x, y) = e x y + x y x = y e x y + yx y, 8. f(x, y) = xye x+y x = yex+y ( + x), 9. f(x, y) = xe x y x = ( + x)ex y, 0. f(x, y) = ye x +y x x 9 x y y 9 x y xy + y 4y (x + y ) x + y xy + x 4x (x + y ) x + y y = x y e x y + x y ln x y = xex+y ( + y) y = xex y +y = xyex, y = ( + y x +y )e. f(x, y) = (x y )e xy x = ( + xy y4 )e xy y = ( y + x xy )e xy. f(x, y) = cos(x y) x + y. f(x, y) = cotg x y x + y 4. f(x, y) = (x + y) sin xy 5. f(x, y) = x sin y + ln tg x y (x + y) sin(x y) cos(x y) = x (x + y) (x + y) sin(x y) cos(x y) = y (x + y) x = y, y = (x + y) sin x y x+y x = x sin xy + (yx + y ) cos xy y = sin xy + (x + yx) cos xy x = y = sin y x sin y + y sin x cos x x cos y y y x sin y x y sin x cos x y y x (x + y) sin x y x+y V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie danej funkcie podľa jednotlivých premenných v bode A:. f(x, y) = arctg x y, A = (0, ) (A) x =, (A) y = 0
50 50 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH. f(x, y) = x y + e xy, A = (, ). f(x, y) = e sin y x, A = (, 0) 4. f(x, y) = 4 y x, A = (0, ) 5. f(x, y) = 6 x y, A = (, ) 6. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y, A = (, ) 7. f(x, y) = ln x x y + (A), A = (, ) x + y ( π 8. f(x, y) = y sin(x y ), A =, π ) 9. f(x, y, z) = y cos x + z cos y + x sin z, ( A = 0, π, π ) 0. f(x, y, z) = ln(x + y + z ), A = (,, ) (A) = + e (A), = + e x y (A) (A) = 0, = x y x = 0, y = (A) = x, (A) = y (A) = x 4, (A) = 5 y 8 =, (A) = y x (A) x (A) = x (A) x = π 4, (A) y, (A) y = 7, (A) y = π 4 = π, (A) z = 7, (A) z = 7 = 0 V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie zloženej funkcie podľa jednotlivých premenných: df. f(x, y) = x y, x = t, y = t + dt =. f(x, y) = x y, x = e t, y = e 5t df dt = 4et + 5e 5t. f(x, y) = x y, x = ln t, y = t 4. f(x, y) = xy, x = t, y = t + df dt = t + t df dt = t + t + t 5. f(x, y) = xy, x = e t, y = e 5t df dt = et + e t e t e t 6. f(x, y) = xy, x = ln t, y = df t dt = ln t t df t + 7. f(x, y) = y ln x, x = t, y = t + = ln t + dt t 8. f(x, y) = y ln x, x = e t, y = e 5t df dt = e 5t ( 0t + ) 9. f(x, y) = y ln x, x = ln t, y = df ln t ln(ln t) = t dt t ln t 0. f(x, y) = x y, x = ln t, y = + e t df dt = + e t t + et ln t ln t t + e t. f(x, y) = arcsin (x y), x = t, y = 4t df dt = t (t 4t ). f(x, y) = x y y x, x = u + v, y = u v u = u v + 4u + v u v u v
51 .4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 5 v = u + u + u v v + u v. f(x, y) = x y y x, x = e u, y = e v u = eu+ v e u+ v 4. f(x, y) = x y y x, x = ln(u + v), y = u + v x 5. f(x, y) = y, x = (u + v), y = v u x 6. f(x, y) = y, x = e4u v, y = uv 7. f(x, y) = x y, x = u v, y = u + v v = eu+ v + e u+ v u = v = ln(u + v) ln (u + v) ln(u + v) (u + v) (u + v) u = v (v u), v = u = eu v (u ) uv v = eu v (v + ) u v u = v = u v v (u + v) u v u+v u u (v u) (u + v) u v u+v 8. f(x, y) = x ln y, x = u v, y = u v u = u ( ln(u v) + u ) v ( u v ) ln(u v) v = u + v v u v 9. f(x, y) = x (u v)(u + v), x = u v, y = v + u = y (u + v) = (v u)(9u + v) (u + v) V nasledujúcich úlohách nájdite rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie f(x, y) v dotykovom bode A:. f(x, y) = (y x ), A = (,,?) ρ : 4x 4y z + 4 = 0 n : x = + 4t, y = 4t, z = 4 t, t R. f(x, y) = 4 x y, A = (,,?) ρ : x + y + z 4 = 0 n : x = + t, y = + t, z = + t, t R. f(x, y) = x 4y, A = (,,?) ρ : 8x 8y z 4 = 0 4. f(x, y) = x + y, A = (, 4,?) ρ : x + 4y 5z = 0 5. f(x, y) = sin x, A = (π,,?) ρ : x πy + z = 0 y n : x = + 8t, y = 8t, z = 4 t, t R n : x = + t, y = 4 + 4t, z = 5 5t, t R
52 5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH ( π ) 6. f(x, y) = e y sin x, A = 4, 0,? n : x = π + t, y = πt, z = t, t R ρ : x + y z + ( π ) = 0 4 n: x = π 4 + t, y = t, z = t, t R V nasledujúcich úlohách nájdite rovnicu dotykovej roviny ρ ku grafu danej funkcie, pričom dotyková rovina je rovnobežná s danou rovinou σ:. f(x, y) = 4x + y, σ : x + y z + = 0 ρ : 8x + 8y 4z 5 = 0. f(x, y) = 4 x y, σ : x + y z = 0 ρ : x + y z + 6 = 0. f(x, y) = x + y, σ : x + y + z = ρ : 6(x + ) + (y + 4 ) + ( z 45 6) = 0 4. f(x, y) = + (x ) + y, σ : z = 0 ρ : z = 0 V nasledujúcich úlohách nájdite lokálne extrémy funkcie f(x, y):. f(x, y) = 4 x y lok. max. v (0, 0). f(x, y) = 0 x y lok. max. v (0, 0). f(x, y) = x + y lok. min. v (0, 0) 4. f(x, y) = x + y + lok. min. v (0, 0) 5. f(x, y) = x + y x + lok. min. v (, 0) 6. f(x, y) = x + y + 4y + lok. min. v (0, ) 7. f(x, y) = 4 x y x lok. max. v (, 0) 8. f(x, y) = x + y 4x + 4y + 8 lok. min. v (, ) 9. f(x, y) = x y + x y nemá extrém 0. f(x, y) = x y + 6x + y lok. max. v (, ). f(x, y) = x + y + xy + 5x 5y + lok. min. v ( 5, 5). f(x, y) = x + y + xy 4y + 0x lok. min. v ( 8, 6). f(x, y) = x + y 4xy 6y nemá extrém 4. f(x, y) = x + y + 6xy + 6x nemá extrém 5. f(x, y) = 4 x y + xy + 6y lok. max. v (, 4) 6. f(x, y) = 46 x 4y + xy lok. max. v (0, 0) 7. f(x, y) = x + 0y + 5xy + 8x 40y lok. min. v ( 4, 8) 8. f(x, y) = x + y 8xy + 5 lok. min. v (6, 6) 9. f(x, y) = x + 8y 6xy + lok. min. v ( ), 0. f(x, y) = x + y + xy lok. max. v (, ). f(x, y) = x + y 6xy + 9x + 5y + lok. min. v ( ) 4, ( 9 ). f(x, y) = x + y + x y y lok. min. v 0, ( ) lok. max. v 0,
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραNelineárne optimalizačné modely a metódy
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA
KATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A JEJ POUŽITIE (bakalárska práca) PETER PEREŠÍNI Vedúci: RNDr. Michal Forišek Bratislava,
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότερα