ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ανλυτική Φωτογρμμετρί Ενότητ # 4 Μθημτικά μοντέλ Συγγρμμικότητς κι Συνεπιπεδότητς Κθηγήτρι Όλγ Γεωργούλ Τμήμ Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχνικών
Άδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Creative Commons. Γι εκπιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειτι σε άλλου τύπου άδεις χρήσης, η άδει χρήσης νφέρετι ρητώς. 2
Χρημτοδότηση Το πρόν εκπιδευτικό υλικό έχει νπτυχθεί στ πλίσι του εκπιδευτικού έργου του διδάσκοντ. Το έργο «Ανοικτά Ακδημϊκά Μθήμτ στο Πνεπιστήμιο» έχει χρημτοδοτήσει μόνο τη νδιμόρφωση του εκπιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείτι στο πλίσιο του Επιχειρησικού Προγράμμτος «Εκπίδευση κι Δι Βίου Μάθηση» κι συγχρημτοδοτείτι πό την Ευρωπϊκή Ένωση (Ευρωπϊκό Κοινωνικό Τμείο) κι πό εθνικούς πόρους. 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μθημτικά μοντέλ Συγγρμμικότητς κι Συνεπιπεδότητς Ενότητ 4
Περιεχόµεν 4 ης ενότητς 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς i. ινυσµτική κι νλυτική έκφρση µις κτίνς ii. Γρµµικοποίηση των εξισώσεων συγγρµµικότητς iii. Οι γρµµικοποιηµένες εξισώσεις πρτηρήσεων iv. Η σική γρµµικοποιηµένη εξίσωση πρτήρησης v. Φωτογρµµετρικές Μέθοδοι που σίζοντι στο µθηµτικό µοντέλο των Εξισώσεων Συγγρµµικότητς 2. Εξίσωση συνεπιπεδότητς i. Γεωµετρί λήψης στερεοζεύγους ii. ινυσµτική έκφρσης συνεπιπεδότητς iii. Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς iv. Γρµµικοποίηση 5
Στόχοι ενότητς Η θεωρητική κτνόηση: του µθηµτικού µοντέλου των εξισώσεων συγγρµµικότητς, στο οποίο σίζοντι σικές φωτογρµµετρικές µέθοδοι της Ανλυτικής Φωτογρµµετρίς του µθηµτικού µοντέλου συνεπιπεδότητς, στο οποίο σίζετι το πρόληµ του σχετικού προσντολισµού 6
Λέξεις κλειδιά ινυσµτική κι νλυτική έκφρση µις κτίνς, Γρµµικοποίηση των εξισώσεων συγγρµµικότητς Γεωµετρί λήψης στερεοζεύγους ινυσµτική κι νλυτική έκφρση συνθήκης συνεπιπεδότητς Γρµµικοποίηση εξίσωσης συνεπιπεδότητς 7
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς i. ινυσµτική κι νλυτική έκφρση µις κτίνς
Σε πρώτη προσέγγιση, στη φωτογρµµετρί θεωρείτι ότι: Σηµείο του εδάφους P, η εικόν του p στο επίπεδο της λήψης κι το κέντρο λήψης Ο είνι συνευθεικά ή λλιώς ότι τ ντίστοιχ δινύσµτ θέσης OP= p κι Op= q είνι συγγρµµικά, Ο κι εποµένως ν λ συντελεστής κλίµκς, ισχύει y Ζ ινυσµτική κι νλυτική W Y Κ έκφρση µις κτίνς (1/3) V q p x X U p P p = λ q (1) Επίσης πό το σχήµ προκύπτει ότι x= y p p= x y (2) 9
ινυσµτική κι νλυτική έκφρση µις κτίνς (2/3) Ζ W Κ V q Y U X Η νλυτική έκφρση του p στο σύστηµ (U,V,W) της λήψης είνι: (1) p= U V W = λ u v w = λ x xo y yo f (3) Ο Ζ y Y X p x p P H νλυτική έκφρση του p στο σύστηµ (Χ,Υ,Ζ) είνι (2) p = x y = X X Y Y Z Z (4) Η σχέση (4) ουσιστικά περιγράφει τη µετάθεση του συστήµτος (Χ,Υ,Ζ) στο Κ 1
ινυσµτική κι νλυτική έκφρση µις κτίνς (3/3) Ζ W Κ V Y p U X Τ δύο συστήµτ συνδέοντι µε τη σχέση U V W = R X X Y Y (5) Z Z Ο πίνκς R της σχέσης (5) είνι της µορφής Ο Ζ Y X P (3),(5) λ x xo y yo f R = R(κ) R(φ) R(ω) = = R X X Y Y Z Z (6) R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 Η σχέση (6) ποτελεί την νλυτική έκφρση της δινυσµτικής σχέσης συγγρµµικότητς, πό την οποί προκύπτουν οι εξισώσεις 11
Ανλυτική έκφρση µις κτίνς U = λ(x xo) = R 11 X Xo R 12 Y Yo R 13 Z Zo (6.1) V = λ(y yo) = R 12 X Xo R 22 Y Yo R 23 Z Zo (6.2) W = - λf = R 31 X Xo R 32 Y Yo R 33 Z Zo (6.3) Οι πρπάνω εξισώσεις περιγράφουν τη σχέση ενός σηµείου του εδάφους P (Χ,Υ,Ζ) κι της εικόνς του p(x,y) σε µι λήψη η οποί έχει πργµτοποιηθεί µε µι µηχνή εσ. προσντολισµού (x o, y o,f). Η λήψη έγινε πό το σηµείο Κ (X, Y, Z ενώ ο προσντολισµός του άξον λήψης περιγράφετι πό τον πίνκ R= R(κ) R(φ) R(ω) Ο συντελεστής λ εκφράζει την κλίµκ µε την οποί ποτυπώνετι το σηµείο P στην εικόν µε τ πρπάνω χρκτηριστικά κι µπορεί ν είνι διφορετικός πό σηµείο σε σηµείο στην ίδι λήψη. Ο συντελεστής λ πλείφετι διιρώντς τις (6.1) κι (6.2) µε την (6.3) 12
Εξισώσεις συγγρµµικότητς Οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις συγγρµµικότητς x x o f = x o f y y o f = y o f Πρόκειτι γι συνρτήσεις της µορφής x x X, Y, Z, κ, φ, ω, X, Y, Z y y X, Y, Z, κ, φ, ω, X, Y, Z µη γρµµικές ως προς τ στοιχεί εξ.προσντολισµού X, Y, Z, κ, φ, ω, X, Y, Z κι τις συν/νες X, Y, Z του σηµείου στο έδφος Η γρµµικοποίησή τους γίνετι µε νάπτυξη σε σειρές Taylor χρησιµοποιώντς προσεγγιστικές τιµές X, Y, Z, κ, φ, ω κι X, Y, Z 13
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς ii. Γρµµικοποίηση εξισώσεων συγγρµµικότητς
x x X, Y, Z, κ,φ,ω, X, Y, Z ) (X - X ) (Y - Y ) (Z - Z ) (κ κ ) (φ φ ) (ω ω ) (X X ) (Y Y ) (Z Z ) x = x δx δy δz δκ δx δy δz (7.1) y y X, Y, Z,κ, φ, ω, X, Y, Z ) δφ δω (X - X ) (Y - Y ) (Z - Z (κ κ ) (φ φ ) (ω ω ) (X X ) (Y Y ) (Z Z y= y δx δy δz δκ Γρµµικοποίηση εξισώσεων δx συγγρµµικότητς δy δz (7.2) δφ δω 15
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς iii. Γρµµικοποιηµένες εξισώσεις πρτηρήσεων
Γρµµικοποιηµένες εξισώσεις πρτηρήσεων (1/3) Αντικθιστώντς τις ποσότητες x, y µε τις πρτηρήσεις x,y των φωτογρφικών συν/νων, οι οποίες είνι επηρεσµένες πό τ τυχί σφάλµτ πρτήρησης v x, v y οι εξισώσεις (7.1),(7.2) Γίνοντι x = x - v x x - x δx δy δκ δx δz δφ δω δy y= y - v y y - y = δx δy δz δκ δx δφ δω δy δz vx (8.1) δz vy (8.2) 17
Γρµµικοποιηµένες εξισώσεις πρτηρήσεων (2/3) Οι εξισώσεις (8.1), (8.2) µε τη µορφή πινάκων δίνοντι ως: b x b y ji = x x y y ji = ji δx δy δz i v x v y ji Κι συνοπτικά µε τον κτάλληλο συµολισµό ως: b ji = ji j ji δx δy δz δκ δφ δω ji i v ji j Οι δείκτες j κι i δηλώνουν ντίστοιχ λήψεις κι σηµεί 18
Γρµµικοποιηµένες εξισώσεις πρτηρήσεων (3/3) H πργώγιση των εξισώσεων συγγρµµικότητς κι η νλυτική έκφρση όλων των στοιχείων των πινάκων ji κι ji δίνοντι στο ερµάνης A. (199) Ενδεικτικά δίνετι: = - = R 23 Y Y R 22 Z Z = = R 31 U R 11 W 19
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς iv. Βσική εξίσωση πρτήρησης
Βσική εξίσωση πρτήρησης b ji = ji j ji i v ji Όπου: j κωδικός λήψης i κωδικός σηµείου 2x1 2x6 6x1 2x3 3x1 2x1 b ji πίνκς νηγµένων πρτηρήσεων (υπολογίζετι) ji πίνκς µερικών πργώγων στοιχείων εξ.προσντολισµού (υπολογίζετι) j διάνυσµ διορθώσεων προσ. τιµών πρµέτρων εξ.προσντολισµού (άγνωστες) ji πίνκς µερικών πργώγων συντετγµένων (υπολογίζετι) i διάνυσµ διορθώσεων προσ. τιµών συντετγµένων (άγνωστες) v ji σφάλµτ πρτήρησης (άγνωστ) 21
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Εξισώσεις Συγγρµµικότητς v. Φωτογρµµετρικές Μέθοδοι που σίζοντι στο µθηµτικό µοντέλο των Εξισώσεων Συγγρµµικότητς
Φωτογρµµετρικές Μέθοδοι Φωτογρµµετρικές Μέθοδοι που σίζοντι στο µθηµτικό µοντέλο των Εξισώσεων Συγγρµµικότητς : 1. Φωτογρµµετρική Οπισθοτοµί 2. Φωτογρµµετρική Εµπροσθοτοµί 3. Τυτόχρονος σχετικός κι πόλυτος προσντολισµός (mini έσµη) 4. έσµη κι έσµη µε πρόσθετες πρµέτρους 5. Βθµονόµηση µηχνής 23
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2. Εξίσωση Συνεπιπεδότητς i. Γεωµετρί λήψης στερεοζεύγους
i. Γεωµετρί λήψης στερεοζεύγους Κτά τη λήψη στερεοζεύγους: Σε κάθε φωτογρφούµενο σηµείο P του χώρου δηµιουργείτι το επιπολικό επίπεδο (Ο Ο Ρ), το οποίο τέµνει τις εικόνες κτά τις επιπολικές ευθείες (e ) κι (e ) ΕΠΙΠΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ e p 1 p 2 e Z Y P(X,Y,Z) X 25
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2. Εξίσωση Συνεπιπεδότητς ii. ινυσµτική έκφρση συνεπιπεδότητς
W ινυσµτική έκφρση συνεπιπεδότητς W V (Ο Ο Ρ) επιπολικό επίπεδο Ο p q U b p Ο q U p, p κι b συνεπίπεδ κι άρ ισχύει b. (p x p ) = (3) Ζ Y p p δινυσµτική σχέση συνεπιπεδότητς Ο X P Η νλυτική µορφή της δινυσµτικής σχέσης συνεπιπεδότητς εξρτάτι πό το σύστηµ στο οποίο επιλέγετι ν εκφρσθούν τ δινύσµτ p, p κι b. 27
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2. Εξίσωση Συνεπιπεδότητς iii. Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς στο σύστηµ (Χ,Υ,Ζ)
Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς (1/5) Στο επίγειο σύστηµ νφοράς (Χ,Υ,Ζ), τ δινύσµτ της σχέσης (3) εκφράζοντι ως: W V W Ο q p U b y p Ο q b =y y p = x - y = λ R q p = x - y =λ R q Ο Ζ y Y X x p P p Η σχέση (3) συνρτήσει των συνιστωσών των δινυσµάτων στο σύστηµ (Χ,Υ,Ζ) γίνετι: (y -y ) Τ R q x R q = (4) 29
Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς (2/5) Επιλέγοντς έν νέο σύστηµ, το σύστηµ µοντέλου (x,y,z), το οποίο τυτίζετι µε το σύστηµ (U, V, W ), τ δινύσµτ p, p κι b, εκφράζοντι ως: W =z Ο V = y U = x R T b Ο W b = R (y y ) R Ο Ζ y Y q p x X p q y p p P p = λ q p = λ R R q Η σχέση (3) συνρτήσει των συνιστωσών των δινυσµάτων στο σύστηµ (x,y,z) γίνετι: (R (y -y )) Τ q x R R q = (5) 3
Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς (3/5) R T W V p x b bx Ο b y bz p U Αν ντικτστήσουµε R (y y b x b y b z κι R R = R T P Προκύπτει η νλυτική έκφρση της εξίσωσης συνεπιπεδότητς b T q x RT q = b x b y b z T f y y o f x x o y y o x x o R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 x x o y y o f =(6) 31
Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς (4/5) b 1 Ο 1 Ο 2 Α Β Α b 2 O 3 Μετολή της κλίµκς του µοντέλου λόγω µετολής της άσης b Επειδή η συνιστώσ b x της άσης b σχετίζετι µε την κλίµκ του µοντέλου, η εξίσωση (6) ισχύει εξίσου ν διιρεθεί µε b x, οπότε Β T f y y o f x x o y y o x x o R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 x x o y y o f = (7) 32
Ανλυτική εξίσωση συνεπιπεδότητς (5/5) 1 y z T f x x o f y y o y y o x x o Αντικθιστώντς µε R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 x x o y y o f = (8) u v w R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 x x o y y o f = Η εξίσωση (8), γίνετι: (y -y o )w f v y [(x -x o )w f u ] z [(x -x o )v (y -y o )u ] = (9) Η εξίσωση (9) είνι η τελική νλυτική µορφή της εξίσωσης συνεπιπεδότητς στο σύστηµ του µοντέλου (x,y,z) 33
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2. Εξίσωση Συνεπιπεδότητς iv. Γρµµικοποίηση
(y -y o )w f v y [(x -x o )w f u ] z [(x -x o )v (y -y o )u ] = (x,y,x,y, y, z, κ, φ, ω)= γρµµικοποίηση Γρµµικοποίηση (1/3) 35 δω ω δφ φ δκ κ δz z δy y δy y δx x δy y δx x ) ω (ω ω ) φ (φ φ ) κ (κ κ ) z ( z ) y ( y ) y (y y ) x (x x ) y (y y ) x (x x ) κ, φ, ω, z,y y, x, y, (x = = z y
Γρµµικοποίηση (2/3) 36 δω ω δφ φ δκ κ δz z δy y vy y vx x vy y vx x = vy vx ] y x [ vy vx ] y x [ δω δφ δκ δz δy ] ω φ κ z y [ i - i - - i i = v b v b x a w i T i - i T i - T i i = (9)
Γρµµικοποίηση (3/3) H πργώγιση της εξίσωσης συνεπιπεδότητς κι η νλυτική a T, b T έκφρση όλων των στοιχείων των πινάκων i i, b T i δίνοντι στο ερµάνης A. (199) Ενδεικτικά δίνετι: = -f u (x -x o )w 1. Στο µθηµτικό µοντέλο της εξίσωσης συνεπιπεδότητς σίζετι η επίλυση του νλυτικού σχετικού προσντολισµού 37
Βιλιογρφί ερµάνης Α. (199): Ανλυτική Φωτογρµµετρί, Εκδόσεις ΖΗΤΗ 38
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητς Επεξεργσί: Βσιλική Φργκουλίδου Θεσσλονίκη, Χειμερινό Εξάμηνο 213-14