να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει: Η συνάρτηση στο [, ] να είναι συνεχής. Η συνάρτηση στο, να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι. Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.. Όταν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle σε μια συνάρτηση στο διάστημα [, ] ουσιαστικά μας ζητούν να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ). Για να βρούμε το ξ πρέπει: Να βρούμε την παράγωγο της Να λύσουμε την εξίσωση ( ) Tα ξ που βρήκαμε να ανήκουν στο διάστημα, 6. Δίνεται η συνάρτηση 3 8. α) Να εξεταστεί αν για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,. β) Αν ναι, να εφαρμοστεί το θεώρημα Rolle για την παραπάνω συνάρτηση. ΛΥΣΗ 9

α) Η ως πολυωνυμική: είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, με 3 ' 8 ' 6 8. Επομένως για την ικανοποιούνται όλες οι προϋποθέσεις εφαρμογής του θεωρήματος Rolle. 646 5, 646 5, δηλαδή είναι β) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle για την υπάρχει, τέτοιο, ώστε 4 Όμως ' 3 4 ή 3 Οι τιμές αυτές είναι και οι δύο δεκτές, αφού ανήκουν στο διάστημα αναμένουμε το. '.,, στο οποίο Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Aν η είναι πολύκλαδη τότε: Για να εξετάσουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία αλλαγής του τύπου της χρησιμοποιούμε τους αντίστοιχους ορισμούς. Την εξίσωση ( ) την λύνουμε ξεχωριστά για κάθε κλάδο της παραγώγου. 6. Δίνεται η συνάρτηση:,, Να βρεθούν τα,,, ώστε για την συνάρτηση να εφαρμόζεται το θ. Rolle στο,. Να βρεθεί ο αριθμός του θ. Rolle. ΛΥΣΗ Για να εφαρμόζεται το θ. Rolle στο διάστημα, πρέπει η να είναι: συνεχής στο,. παραγωγίσιμη στο, και. 4 3 () Ισχύει

Για την συνέχεια στο, έχουμε: Αν Αν είναι είναι, συνεχής, ως πολυώνυμο., συνεχής, ως πολυώνυμο. Αν, για να είναι συνεχής πρέπει και αρκεί lim lim Για την παράγωγο της στο, έχουμε: Αν Αν, είναι, είναι '. '. Αν, για να είναι παραγωγίσιμη πρέπει και αρκεί τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής της στο να είναι ίσοι πραγματικοί αριθμοί. Είναι, οπότε lim lim lim lim lim lim lim lim lim πρέπει. Αφού,, από τη σχέση () βρίσκουμε 3. Για τις τιμές των,,, που βρήκαμε ο τύπος της συνάρτησης γράφεται:, 3, και η παράγωγος είναι: Από θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Για, : ' Για : ' Για,: Παρατήρηση Η εφαπτομένη της, ', 6, '. απορρίπτεται αδύνατο ' 6 δεκτό 3 στο σημείο με τετμημένη είναι παράλληλη στον άξονα ' 3

Κατηγορία η Εύρεση ριζών εξίσωσης Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε τις ρίζες μιας εξίσωσης ακολουθούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: Με τις μεθόδους που μάθαμε στις προηγούμενες τάξεις (παραγοντοποίηση, τριώνυμο,τύποι Vietta...) Προφανής ρίζα Με την βοήθεια μιας - συνάρτησης (κοίτα κεφάλαιο 6 κατηγορία ) Με το θ. Bolzano Βρίσκουμε το σύνολο τιμών και ελέχγουμε αν το ανήκει σε αυτό Με το θ. Rolle Όταν όμως η εκφώνηση της άσκησης μας ζητάει να βρούμε εάν υπάρχουν κ ρίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα (, ) τότε συνήθως χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα Bolzano και Rolle. Μάλιστα αρχικά πρέπει να ελέγχουμε το θ. Bolzano και αν δεν εφαρμόζεται να καταφεύγουμε στο θ. Rolle. Στις ασκήσεις που θα δούμε σε αυτήν την κατηγορία θα κάνουμε κυρίως χρήση του θ. Rolle διότι οι άλλοι τρόποι δεν δουλεύουν (συνήθως). Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle Τρόπος αντιμετώπισης: Εξετάζουμε εαν ισχύουν οι απαιτούμενες συνήκες και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα. Όταν μας ζητούν να βρούμε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα πρέπει να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ). 6.3 Δίνεται η συνάρτηση 4 ln e α) Η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα. β) Η εξίσωση 4. Να αποδείξετε ότι e e e έχει μία τουλάχιστον ρίζα. ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το e,. Η είναι συνεχής στο e,4 παραγωγίσιμη στο e,4 και e 4 Επομένως, για την εφαρμόζεται το θ. Rolle στο e,4, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον e,4 τέτοιο, ώστε Συνεπώς, η εξίσωση '. ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα. β) Στη συνάρτηση εφαρμόζουμε το θ. Rolle στο e,4. 4 e 4 4 ln e ln e e e e e Είναι ' ln e οπότε ' Άρα, η εξίσωση 4 e e e έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 4 e 3 6.4 Δίνεται η συνάρτηση 3., τέτοιος, ώστε η Αν είναι 3, να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη στην γραφική παράσταση της στο σημείο, παράλληλη στον άξονα ΛΥΣΗ '. Η συνάρτηση ως πολυωνυμική είναι: συνεχής στο διάστημα,. παραγωγίσιμη στο διάστημα και '.,, με, να είναι Επίσης 3 3 3 3 6 6 δηλαδή. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει, ώστε '. Δηλαδή η εφαπτομένη της στο σημείο,. τέτοιος είναι παράλληλη στον άξονα '. 3

6.5 α) Έστω συνεχής στο,, και παραγωγίσιμη στο, με Να εξετασθεί αν εφαρμόζεται το θ. Rolle για τη συνάρτηση g e β) Να δειχθεί ότι υπάρχει, ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση g e '. ώστε e., στο,. είναι συνεχής στο,, αφού γίνονται πράξεις μεταξύ e,. Επίσης είναι παραγωγίσιμη στο,, με g' e e ' και των συνεχών, ge, g e e. Οπότε, αφού g g, λόγω υπόθεσης εφαρμόζεται το θ. Rolle για την g στο,. β) Λόγω του (α) θα υπάρχει, ώστε ' e e ' e '. g, δηλαδή είναι: ' Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Δεν μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle και την βρίσκουμε από τα ζητούμενα. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Εξετάζουμε εάν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θ. Bolzano (κοίτα κεφάλαιο κατηγορία ). Αν αυτό δεν μας οδηγήσει στην λύση τότε: Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,. 4

6.6 Να δειχτεί ότι η εξίσωση 3 4 8 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,. ΛΥΣΗ Αν σκεφτούμε το θ. Bolzano για την 3 4 8, στο ικανοποιείται το., βλέπουμε ότι δεν Αν εφαρμόζαμε το θ. Rolle για την συνάρτηση θα βρίσκαμε ότι η παράγωγος της έχει τουλάχιστον μια ρίζα και όχι η ίδια η. Για αυτό σκεπτόμαστε να θεωρήσουμε μία συνάρτηση που έχει παράγωγο την F 4 4. Η F είναι συνεχής στο, 3 παραγωγίσιμη στο, με F' 4 8 και 4 4 F F θεωρούμε την 4 3 F, F δηλαδή. Oπότε οπότε ικανοποιούνται οι συνθήκες του Rolle άρα υπάρχει, ώστε 3 4 8 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,. 6.7 Αν F ', δηλαδή η ln, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Θέτουμε,,. Η F είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, με F' και F F, διότι F ln F ln ln Θεωρούμε μία παράγουσα F της, F ln,, 5

Επομένως, από θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, F'. Άρα, η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα, τέτοιο, ώστε, που είναι το ζητούμενο. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ). Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F σε καθένα από τα υποδιαστήματα. 6.8 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση στο διάστημα,. ΛΥΣΗ 4 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες Εύκολα διαπιστώνουμε αν θεωρήσουμε συνάρτηση 4 και εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano δεν καταλήγουμε στο ζητούμενο. Αναζητούμε επομένως την αρχική συνάρτηση F της για να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Είναι: 4 4 ' 4 ' 4 ' () Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση 4 F. Εφόσον θέλουμε δύο τουλάχιστον ρίζες για τη δοσμένη εξίσωση, προσπαθούμε για την F να βρούμε δύο διαστήματα, στα οποία να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Τα διαστήματα αυτά είναι τα,,,, όπως διαπιστώνουμε από την πρώτη κιόλας δοκιμή μια και το χωρίζει το, ακριβώς στη μέση. Η F είναι συνεχής στα διαστήματα,,, Η F είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα, συναρτήσεων, με F F και F F F ' 4., ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων., ως γινόμενο παραγωγίσιμων 6

Σύμφωνα λοιπόν με το θεώρημα Rolle υπάρχουν, και, F ' και F ' τέτοια, ώστε: Σύμφωνα λοιπόν με την () τα, είναι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα τότε Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βρίσκουμε μια συνάρτηση F (αρχική) που η παράγωγος της να ισούται με το πρώτο μέλος της εξίσωσης μας.,. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα 6.9 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα, 3 3 διάστημα, με: Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' 3 και παραγωγίσιμη στο. ΛΥΣΗ Στην ζητούμενη σχέση θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος οπότε έχουμε 3. Δεν μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση h 3 και να εφαρμόσουμε θ.bolzano στο διάστημα, διότι δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η h) και επίσης δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τις τιμές των a,. Άρα βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της θεώρημα Rolle. 3 Μια τέτοια αρχική είναι η g,, Η g είναι συνεχής στο διάστημα, παραγωγίσιμη στο διάστημα, με g' ' 3 g g 3 και εφαρμόζουμε σε αυτήν το 3 3 3 3 που ισχύει Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Όμως g' ' 3, οπότε: g' ' 3 ' 3 g '. 7

Συνάρτηση Αρχική F Συνάρτηση g Αρχική G ( ) c F( ) c g ( ) G ( ) ( ), v - v F( ) g ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) F ( ) ln g ( ) G ( ) ln ( ) F( ) g ( ) G ( ) ( ) F ( ) g ( ) G ( ) ( ) F( ) g ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) F( ) g( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) F ( ) g ( ) G ( ) F( ) F( ) g( ) G ( ) ( ) e F( ) e g ( ) e G( ) e ( ) a F( ) ln a g a ( ) ( ) ( ) G ( ) ln a ( ) h ( ) ( g ) ( ) ( g ) ( ) H ( g)( ) ( g ) ( ) ( g ) ( ) [ g ( )] h ( ) g H ( ) 8

6. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο και. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' 3, β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε ', γ) υπάρχει 3, τέτοιο, ώστε ' 3 3 3.,, με ΛΥΣΗ α) Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' 3 ' 3 ' 3 3 ' 3 ' Θέτουμε g 3, με,. Ισχύουν τα εξής: Η g είναι συνεχής στο,, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι παραγωγίσιμη στο g' 3 ' g' ' 3 Είναι g και g. Άρα ισχύει ότι: g g,, ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με:. Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: g' ' 3 ' 3 β) Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' ' ' ' ' ' ' ', με, Θέτουμε h. Παρατηρούμε ότι: Η h είναι συνεχής στο,, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιμη στο,, ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: ' h' ' h' 9

Είναι h και h. Άρα ισχύει h h. Σύμφωνα με τα θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστ ' h' ' ' '. γ) Θέτουμε όπου 3 το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' ' ' ' ' ' ' Θέτουμε, με,. Παρατηρούμε ότι: Η είναι συνεχής στο Η είναι παραγωγίσιμη στο ' ' ' ' Είναι και.,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.,, ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: 4. Άρα ισχύει Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον 3, τέτοιο, ώστε: ' ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ' g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g δηλαδή μια συνάρτηση G για την οποία ισχύει G( ) g( ). G( ) Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με e και έχουμε G( ) G( ) G( ) G( ) ' e g e ' e G( ) e G( ) G( ) G( ) ' e e e Εφαρμόζουμε το θ. Rolle για την h e G( ) στο διάστημα,.

6. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο. Να δειχτεί ότι υπάρχει, ' k, όπου k πραγματικός αριθμός., και ώστε να ισχύει η σχέση ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' k Διαπιστώνουμε ότι η εξίσωση είναι της μορφής ' g με g αρχική της g είναι η G k. k Πολλαπλασιάζουμε με e την εξίσωση οπότε έχουμε: k k k k k k e ' ke e ' k e e ' e k e ' k Θεωρούμε τη συνάρτηση h e. Είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, με h' k e ' k ke και hh γιατί. Άρα ισχύει το θ. Rolle οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε να είναι k k e ' ke e ' k ' k. h' δηλαδή k. Μια 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Δεν μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle και την βρίσκουμε από τα δεδομένα. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Όμως μερικές φορές είναι δύσκολη η εύρεση της αρχικής συνάρτησης F από την σχέση ( ). Σε αυτήν την περίπτωση: Παίρνουμε την σχέση που είναι δεδομένη και δίνεται από την άσκηση την μετασχηματίζουμε κατάλληλα και βρίσκουμε από αυτήν την συνάρτηση F. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,.

6. Έστω ότι η συνάρτηση :, ισχύει, για κάθε,. Αν ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε ln ', είναι παραγωγίσιμη και, να δείξετε, ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Έχουμε ln ln ln ln ln ln () ln,, Έστω η συνάρτηση g Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με g' και ' ln ' ισχύει g g ln από την () Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ώστε τέτοιο,, ' ln ln ' g' Παρατήρηση Η κλασσική μεθοδολογία είναι η εξής: Θέτουμε όπου το, φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και σχηματίζουμε την εξίσωση ln '. Θέτουμε συνάρτηση g ln ' Διαπιτώνουμε ότι για την συνάρτηση g δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θ.bolzano διότι δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η g) και επίσης δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τις τιμές των a,. Έπειτα προσπαθούμε να βρούμε μια αρχική συνάρτηση της g. Αυτό όμως είναι δύσκολο οπότε χρησιμοποιούμε τα δεδομένα για να βρούμε την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ.rolle.

4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ότι υπάρχει ένα ξ ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει τον όρο ''. Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια σχέση που περιέχει τον όρο '' τότε Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βρίσκουμε μια συνάρτηση F που η δεύτερη παράγωγος της να ισούται με το πρώτο μέλος της εξίσωσης μας. Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F σε καθένα από τα υποδιαστήματα οπότε προκύπτουν δύο ξ, ξ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,. Όμοια θα αντιμετωπίζουμε ασκήσεις που περιέχουν όρους 3, 6.3 Δίνεται συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ''. τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ. Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: Ισχύουν τα εξής: Η είναι συνεχής στο,. Η είναι παραγωγίσιμη στο,. Ισχύει. Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε '. Ομοίως η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε '. 3

Παρατηρούμε λοιπόν ότι: Η ' είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη. ' '. και παραγωγίσιμη στο,, αφού η είναι δύο φορές Ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ''. τέτοιο, ώστε 6.4 Έστω μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει 4 και. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 4, τέτοιο, ώστε ''. ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: '' () '' ' ' Η () γράφεται ισοδύναμα ' ' '' Θέτουμε F με,. Η F είναι συνεχής στα,,, παραγωγίσιμη στα,,, και F F, F F Επομένως, από θ. Rolle υπάρχουν,,, F' F'. τέτοια, ώστε να ισχύει Η F ' είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, και F' F'. 4

Επομένως, από θ.rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον F''... '', που είναι το ζητούμενο., τέτοιο, ώστε 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη το πολύ κ ριζών. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ το πολύ ρίζες στο διάστημα (, ). Υποθέτουμε ότι έχει κ+ ρίζες με ρ < ρ <... < ρ κ < ρ κ+. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα [ρ, ρ ], [ρ, ρ 3 ],..., [ρ κ-, ρ κ ], [ρ κ, ρ κ+ ]. Βρίσκουμε ότι υπάρχουν [ρ, ρ ], [ρ, ρ 3 ],..., [ρ κ, ρ κ+ ] τέτοια ώστε ( ) ( )... ( ). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα [ξ, ξ ], [ξ, ξ 3 ],..., [ξ κ-, ξ κ ]. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να οδηγηθούμε σε άτοπο. 6.5 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 4 3 3 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες για κάθε, ΛΥΣΗ. Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει τρεις τουλάχιστον πραγματικές ρίζες, τις α, β και γ με: Θεωρούμε τη συνάρτηση: 4 3 συνεχής στα διαστήματα, παραγωγίσιμη στα διαστήματα,. 3, Η είναι: και,, και, και Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν, και, ' και ' τέτοια, ώστε: 5

' 4 6 6 Στο σημείο αυτό δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε άτοπο, έτσι συνεχίζουμε με την '. Το θεώρημα Rolle για την ' στο, δίνει ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Έχουμε: 3 '', δηλαδή ''. Όμως έχουμε: '' 6, οπότε άτοπο, διότι 48. '' Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη ακριβώς κ ριζών. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ ακριβώς ρίζες στο διάστημα (, ). Βρίσκουμε ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες. Συνήθως με την βοήθεια των θεωρημάτων Bolzano και Rolle (κοίτα και μεθοδολογία σελίδα ). Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες. Συνήθως με την βοήθεια του θεωρήματος Rolle που καταλήγει σε άτοπο ή με την βοήθεια της μονοτονίας (υπάρχουν και λιγότεροι συχνοί τρόποι για παράδειγμα άμα είναι δευτέρου βαθμού έχει το πολύ δύο ρίζες). Όποτε από το πρώτο βήμα έχουμε αποδείξει ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες από το δεύτερο ότι έχει το πολύ κ ρίζες άρα έχει ακριβώς κ. 6.6 Να αποδείξετε ότι έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα εξίσωση:,, η ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση h. ΥΠΑΡΞΗ ΔΥΟ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΩΝ Εφόσον θέλουμε δύο τουλάχιστον ρίζες για τη δοσμένη εξίσωση, προσπαθούμε για την h να βρούμε δύο διαστήματα, στα οποία να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano. Τα διαστήματα αυτά είναι τα,,,, 6

Η h είναι συνεχής στο διάστημα, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h και h άρα h h Οπότε από θ.bolzano, η εξίσωση h, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. Η h είναι συνεχής στο διάστημα, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h και h, άρα h h Οπότε από θ.bolzano, η εξίσωση h, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Συνεπώς η εξίσωση h, έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, ΥΠΑΡΞΗ ΔΥΟ ΤΟ ΠΟΛΥ ΡΙΖΩΝ με Έστω ότι, η εξίσωση h, έχει και τρίτη πραγματική ρίζα στο διάστημα, Η h είναι: 3 συνεχής στα διαστήματα, και, 3 παραγωγίσιμη στα διαστήματα,., και,, και 3 h h h Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν, και, 3 h' και h' που είναι άτοπο γιατί: h' και η εξίσωση h', έχει στο, Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. τέτοια, ώστε:, μοναδική ρίζα το.,. Αποδείξαμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες και το πολύ δύο. Επομένως έχει ακριβώς δύο ρίζες. 6.7 Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία ισχύουν '' ln. Να δείξετε ότι οι και ', όπου g' ln μόνο κοινό σημείο με τετμημένη στο,. για κάθε και g, έχουν ένα ΛΥΣΗ 7

' ' ' ' έχει μία, μόνο, λύση στο Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g g,. ΥΠΑΡΞΗ ΜΙΑΣ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑΣ βρίσκουμε μια αρχική της συνάρτηση. Έστω η συνάρτηση Για την ' g' h g ή ln h,. Για την h ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (η είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη) είναι παραγωγίσιμη στο, με h' ' και h h ln ln ln που ισχύει Άρα η εξίσωση,. h' έχει μία, τουλάχιστον, λύση στο ΥΠΑΡΞΗ ΜΙΑΣ ΤΟ ΠΟΛΥ ΡΙΖΑΣ h' έχει δύο λύσεις στο Έστω ότι η εξίσωση, τις,. Η συνάρτηση h ' ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο, με h'' '' ισχύει h' h' Επομένως, η εξίσωση h'' '' έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο, αφού '' για κάθε. Άρα η εξίσωση h' έχει μια, μόνο, λύση στο,. 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη ξ ώστε μια εφαπτομένη να διέρχεται από ένα σημείο. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της, εργαζόμαστε ως εξής: στο σημείο, να διέρχεται από το σημείο 8

Γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης y ' αντικαθιστούμε = κ και y = λ. και Στην εξίσωση της εφαπτομένης θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος οπότε έχουμε g. Εφαρμόζουμε θ. Bolzano στην g ή θ.rolle σε μια αρχική της g. 6.8 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο, και παργωγίσιμη στο. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, εφαπτομένη της στο σημείο, να διέρχεται από το σημείο,., με τέτοιο, ώστε η ΛΥΣΗ Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y ' Επειδή η διέρχεται από το σημείο, οπότε θα πάρουμε ' ' () η () επαληθεύεται για και y,. Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' Θα δείξουμε ότι η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ' ' ' ' ' ' ' ' Θέτουμε F με,. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση συνεχής στον, παραγωγίσιμη στο, και F F F' έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, Η F είναι: 9

Επομένως, από θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε F'... ' Άρα η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ζητούμενο., που είναι το Κατηγορία 3 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές Τρόπος αντιμετώπισης: Στις συγκεκριμένες ασκήσεις συνδιάζουμε τις μεθοδεύσεις που έχουμε αναφέρει παραπάνω. Πολύ συχνός τόπος αντιμετώπισης είναι να θεωρούμε μια σχέση ότι ισχύει και να καταλήγουμε σε άτοπο. 6.9 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, να δείξετε ότι: α) Μεταξύ δύο ριζών της στο Δ υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της. β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της στο Δ υπάρχει μια, το πολύ, ρίζα της. ΛΥΣΗ α) Έστω, δύο ρίζες της. Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Άρα η, ' έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο.,, β) Έστω, δύο διαδοχικές ρίζες της '. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των και, δεν υπάρχει άλλη ρίζα της, αφού Έστω, ότι η έχει δύο ρίζες στο,. Τότε σύμφωνα με το α) Θα έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο. Άρα η έχει μια, το πολύ, ρίζα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της ' '. 3

6. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ' για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι -. ΛΥΣΗ Έστω ότι η δεν είναι. Τότε θα υπάρχουν, με π.χ. και. Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει Άρα η εξίσωση ', για κάθε. Οπότε η είναι. ' έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο, αφού 6. Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο και για κάθε είναι ' g g' να δειχτεί ότι μεταξύ δύο ριζών της τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης g. υπάρχει μια ΛΥΣΗ Έστω ότι μεταξύ των ριζών και της g δηλαδή g για κάθε,. Από την σχέση g g g και καταλήγουμε ότι, ' ' έχουμε g., δεν υπάρχει καμία ρίζα της ' g ' g g αφού Θεωρούμε τη συνάρτηση h. g Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο και, ισχύει h h γιατί 3

Έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε να είναι Είναι ' g g' ' g h' g g h οπότε ' ' που είναι άτοπο από την υπόθεση. Συνεπώς η h'. g θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των ριζών και. Σύνθετες ασκήσεις 6. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 3. Να αποδείξετε ότι: για την οποία ισχύει 4 και α) υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε, β) υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: ' ' 3 ΛΥΣΗ α) Θέτουμε όπου το και έχουμε την εξίσωση: Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με,. Η g είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Είναι: g 43 και g 434 Δηλαδή ισχύει g g. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε: g β) Θέτουμε όπου το και έχουμε την εξίσωση: ' ' 3 3 ' ' ' ' 3 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με, 3.

Η h είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιμη στο,, ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: 3 h' ' ' ' 3 Είναι: h 3 3 και: h Δηλαδή ισχύει h h., ώστε: Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον,, h' ' ' 3 ' ' 3 Παρατήρηση Στο β) ερώτημα της άσκησης η αρχική σκέψη θα μας οδηγούσε στο να εφαρμόσουμε το θ.rolle για την h στο διάστημα,. Όμως 3, h άρα h h h. Οπότε ψάχνουμε για άλλο διάστημα. Για το μοναδικό αριθμό που έχουμε κάποια πληροφορία είναι ο, που έχουμε βρει από το πρώτο ερώτημα. Άρα το ζητούμενο διάστημα θα είναι το, ή το. Με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι είναι το,., Άρα να έχουμε πάντα στο μυαλό μας ότι το θ. Rolle μπορεί να εφαρμόζεται σε διάστημα που θα προκύπτει με την βοήθεια των προηγούμενων ερωτημάτων της άσκησης ή των δεδομένων της. 6.3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση e ΛΥΣΗ e έχει ακριβώς μία ρίζα στο. Παρατηρούμε ότι η είναι η προφανής ρίζα της εξίσωσης αφού e e. Έστω ότι έχει και άλλη δηλαδή ρίζα της εξίσωσης e e. για την συνάρτηση e e Τότε αν Rolle στο, αφού ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος 33

είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, ' e e e e και ισχύει Οπότε υπάρχει, ώστε ' e, άτοπο γιατί. Όμοια αν καταλήγουμε σε άτοπο άρα η αρχική έχει μοναδική ρίζα την. 6.4 Δίνεται η συνάρτηση 9 της '. ΛΥΣΗ. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών Η συνάρτηση σαν πολυώνυμο 6ου βαθμού έχει παράγωγο ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού. Άρα η ' μπορεί να έχει το πολύ 5 ρίζες. Η ' 9 έχει προφανείς ρίζες και. Επίσης από 3 3 3 Άρα από θ. Rolle στα 3,,, και πολυωνυμική, θα υπάρχουν στα 3,,, και '. Άρα η,,, 3. ' μπορεί να έχει 5 τουλάχιστον ρίζες.,3 για την παραγωγίσιμη, άρα και συνεχή σαν,3 από μία τουλάχιστον ρίζα της Όποτε η ' έχει 5 ακριβώς ρίζες. 6.5 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε για κάθε, να ισχύει: () Να αποδείξετε ότι: α) β) ' γ) αν, τότε υπάρχει, τέτοιο, ώστε: '. ΛΥΣΗ α) Από ην υπόθεση (), για, έχουμε: () Έστω ότι,,τότε η () γίνεται: (3) 34

Από την (), για. Οπότε, λόγω της (), έχουμε:. (4) Δηλαδή,, Άρα., έχουμε: και β) Παραγωγίζουμε την ισότητα () και έχουμε: ' ' ' (5) Από την (5), για η οποία, λόγω της (4) γίνεται: Άρα: '. ' ' ', ' ' ' ή, προκύπτει: γ) Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο, και Από την (), για, επειδή είναι, έχουμε:. Δηλαδή, είναι. Επομένως υπάρχει, τέτοιο, ώστε: '. '., άρα 35