Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης
Γραμμικά Συστήματα Σύστημα: x(t) T y(t) Κατηγορίες: Συνεχή/Διακριτά Γραμμικά/Μη Γραμμικά Αν Τότε
Γραμμικά Συστήματα Σύστημα: x(t) T y(t) Κατηγορίες: Χρονικά Αναλλοίωτα/Μεταβαλλόμενα Αν Αιτιατά/Μη αιτιατά Η έξοδος του δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου: y( t0 ) = T[ x( t); < t t0]
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Τ.Δ. Γραμμικός Μετασχηματισμός Τ.Δ.: Χ η είσοδος του «συστήματος» Α και Υ η έξοδος. Η μέση τιμή: Ο πίνακας συνδιακύμανσης:
Απόκριση Διακριτών ΓΧΑ Συστημάτων Στην περίπτωση μηδενικών αρχικών συνθηκών, υπολογίζεται από τη συνέλιξη: Αν το σύστημα είναι αιτιατό h(k)=0,k<0 Για να είναι ευσταθές:
Μετασχηματισμός Fourier κρουστικής απόκρισης Ορίζεται ως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος:
Μέση τιμή διακριτού ΓΧΑ συστήματος Αν X(n) είναι Τ.Σ., είσοδος σε διακριτό ΓΧΑ σύστημα, τότε η έξοδος: Υ(n) είναι τυχαίο σήμα Μέση τιμή: Δηλαδή:
Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης διακριτού ΓΧΑ συστήματος Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης:
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (1) Αν X(n) WSS: Οπότε για Υ(n): αφού Συνεπώς:
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (2) Αν X(n) WSS: Οπότε για Υ(n): Αλλά για R YX (n,n+k)
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (3) Ισχύει:
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (4) Τελικά: Όπου: Αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα Χ(n) WSS και Y(n) WSS
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (5) Αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα η είσοδος Χ(n) είναι Τ.Σ. WSS τότε και η έξοδος Y(n) θα είναι WSS. Αντιστοιχία με τον γραμμικό μετασχηματισμό Τυχαίων Διανυσμάτων: Υ=ΑΧ:
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Εξόδου Αν η είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστημα είναι WSS διαδικασία, η έξοδος θα έχει συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της εξόδου:
Διακριτά συστήματα και μετασχηματισμοί διανυσμάτων Για αιτιατό ΓΧΑ σύστημα: Αν h(k) είναι αιτιατό σύστημα με h(k)=0 για k<0 και X(n)=0 για n<0 Για διάφορες χρονικές στιγμές:
Διακριτά συστήματα και μετασχηματισμοί διανυσμάτων Σε μορφή πίνακα: Γραμμικός μετασχηματισμός για το Τ.Δ. Συνεπώς:
Παράδειγμα (1) Η είσοδος X(n) σε ΓΧΑ σύστημα είναι στατική διαδικασία με μ x =0 και R x (k) = δ(k). Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι h(k)=1, k=0,1, και 0 αλλού. Υπολογίστε μέση τιμή, συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και πυκνότητα φάσματος ισχύος της εξόδου. Μέση τιμή: Συν. Αυτοσυσχέτισης:
Παράδειγμα (1) PSD: Όμως: Επίσης: Τελικά:
Απόκριση Συνεχών ΓΧΑ Συστημάτων Η απόκριση ενός συνεχούς ΓΧΑ συστήματος σε ένα σήμα Χ(t), στην περίπτωση μηδενικών αρχικών συνθηκών, υπολογίζεται από τη συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση του συστήματος: Αν είναι αιτιατό h(t)=0 για t<0. Για να είναι ευσταθές το σύστημα:
Απόκριση Συνεχών ΓΧΑ Συστημάτων Ο Fourier της κρουστικής απόκρισης είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος: Για Ντετερμινιστικό σήμα:
Μέση τιμή εξόδου συνεχούς ΓΧΑ συστήματος Η έξοδος του συνεχούς ΓΧΑ συστήματος υπολογίζεται: Μέση τιμή:
Αυτοσυσχέτιση εξόδου συνεχούς ΓΧΑ συστήματος Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης:
WSS είσοδος συνεχούς ΓΧΑ συστήματος X(t) WSS Οπότε:
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Εξόδου Ισχύει: PSD εξόδου:
Συνοψίζοντας.. Για ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) και συνάρτηση μεταφοράς H(f) στο οποίο εφαρμόζουμε ένα τυχαίο σήμα εισόδου X(t) ισχύουν για το σήμα εξόδου:
Παράδειγμα (2) Δώστε την τιμή της παραμέτρου α ώστε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο να γίνει μέγιστη. Υπολογίστε τα Β και θ για την τιμή αυτή.
Παράδειγμα (2) Μορφή Συστήματος: Έχω 2 συνιστώσες στην είσοδο: SNR στην έξοδο:
Παράδειγμα (2) Υπολογισμός του a για μεγιστοποίηση του SNR: Έστω ότι εφαρμόζουμε καθαρό από θόρυβο σήμα εισόδου: Τότε: όμως:
Παράδειγμα (2) Παίρνοντας Fourier: Αν : Μέση ισχύς εισόδου: Μέση ισχύς εξόδου:
Παράδειγμα (2): Μέση ισχύς σήματος εξόδου Μέση ισχύς εξόδου: Αλλά: Τελικά:
Παράδειγμα (2): Μέση ισχύς θορύβου εξόδου Μέση ισχύς θορύβου στην έξοδο: στην είσοδο: στην έξοδο: Ιδιότητα:
Παράδειγμα (2): Βελτιστοποίηση SNR Σηματοθορυβική σχέση: Το SNR είναι συνάρτηση του a. Η βέλτιστη τιμή του a που μεγιστοποιεί το SNR βρίσκεται: