ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως αµελούνται αδρανειακά φαινόµενα). Η υνιταµένη δύναµη και ροπή που ακούνται το αντιτοίχως. S υµβολίζονται ως F και M, Υπενθύµιη: Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου ώµατος µε άλλα ώµατα), (β) καθολικά (ody force) (φορτία διανεµηµένα τα εωτερικά τοιχεία του ώµατος π.χ. λόγω βαρύτητας). Θεωρείται επίης τοιχείο επιφανείας S που βρίκεται είτε το εωτερικό του ώµατος είτε την επιφάνειά του. Ο προανατολιµός του τοιχείου αυτού καθορίζεται από το µοναδιαίο κάθετο διάνυµα (λαµβάνεται θετικό όταν διευθύνεται προς τα έξω ).
Υπενθύµιη: Προδιοριµός του : Έτω f ( x x, x ) 0, η αναπαράταη µιας επιφάνειας S τον 3 = gradf χώρο. Τότε =. (Παράδειγµα: Η φαίρα x + x + x3 α = 0 έχει ως µοναδιαίο gradf x x x x ˆ ˆ ˆ x x3 e e e3 ). α α α 3 κάθετο διάνυµα το (,, ) = + + Θεµελιώδης υπόθεη της κλαικής Μηχανικής του Συνεχούς: F df ( l m = = ), (α) ds S 0 M l m = 0, (β) S 0 όπου το διάνυµα την θέη. καλείται ελκυτής και παριτά την δύναµη ανά µονάδα επιφανείας Ειδικώτερα για την (β), η υπόθεη αυτή είναι αρκετά ακριβής για υλικά µε λεπτή δοµή κόκκων (fe-graed materal), όπου λόγω της µικρής διάταης κάθε κόκκου µπορεί να αµεληθεί η ύπαρξη ροπών µεταξύ των κόκκων. Η υπόθεη αυτή χαρακτηρίζει όλες τις κλαικές θεωρίες Συνεχούς Μέου. Αντίθετα, εάν το δεξιά µέλος της Εξ. (β) δεν ληφθεί µηδέν, τότε αναπτύονται µοντέρνες θεωρίες, βάει των οποίων λαµβάνεται πλήρως υπόψη η µικροδοµή του υλικού. Τέτοιες είναι οι θεωρίες τύπου Coerat, τάεων ζεύγους (couple tree), και τύπου βαθµίδας (gradet type). Αρχή των Τάεων (Stre rcple) των Euler και Cauchy:
S V κλειτή επιφάνεια S το εωτερικό ενός υνεχούς F ( ) ( ) ( ) = (3 ος νόµος Newto) (ύπαρξη εωτερικών δυνάµεων) Αρχή των τάεων Euler-Cauchy: Για κάθε ιδεατή κλειτή επιφάνεια S το εωτερικό ενός υνεχούς µέου ορίζεται ένα διανυµατικό πεδίο ελκυτών, η δράη του οποίου το περικλειόµενο από την S τµήµα του ώµατος είναι ιοπολική µε την δράη το εξωτερικό ως προς την S τµήµα του ώµατος. 3
Πρόταη: Ο ελκυτής εξαρτάται από τον προανατολιµό και δεν έχει, εν γένει, την ίδια διεύθυνη µε την δύναµη F. ( ) ( ) ( ) ( ) F F F 4
Απόδειξη: Από τον οριµό του ελκυτή έχουµε F = l m, (α) S 0 ενώ παρατηρούµε ότι οι προβολές F και F της επιφάνειας, δηλ. F = F και ( ) F είναι υναρτήεις του προανατολιµού = F. Τότε, από την Εξ. (α) και τον κανόνα του παραλληλογράµµου έχουµε F F = + µε 0, (β) οπότε η Εξ. (β) δείχνει ότι εφόον ο εξαρτάται από τον προανατολιµό, ο έχει, εν γένει, την ίδια διεύθυνη µε την δύναµη F. δεν Ο τανυτής τάης (tre teor): 33 ( 3) ( ) x 3 3 3 3 ê 3 ( ) 3 ê ê x x (το πρόηµο των τάεων είναι θετικό όταν αυτές έχουν τις διευθύνεις του χήµατος) 5
Τα παριτούν τις προβολές του διανύµατος ( ) επάνω τους άξονες x ( ) ( ) ( 3) = eˆ + eˆ + eˆ, 3 3 = eˆ + eˆ + eˆ, 3 3 = eˆ + eˆ + eˆ 3 3 33 3 () ή ( ) = ê ή ( ) =, (, =,, 3). (3) Οι εννέα ποότητες καλούνται τανυτής τάης. Θα δειχθεί υντόµως ότι = (υµµετρία τανυτή). Οι τάεις (,, ) ονοµάζονται ορθές, ενώ οι τάεις ( =, =, = ) 33 ονοµάζονται διατµητικές. 3 3 3 3 Πρόταη: Η εξάρτηη του ελκυτή από τον προανατολιµό είναι γραµµική. Πιο υγκεκριµµένα, θα αποδειχθεί ότι το τυχόν ηµείο µε υντεταγµένες x ιχύει η εξής χέη ( ) ( x) ( x) = ( x),, εξάρτηη από το διαχωριµός όπου ο τυχαίος προανατολιµός τοιχειώδους επιφάνειας που διέρχεται από το ηµείο του ώµατος. Απόδειξη: Η απόδειξη βαίζεται το λεγόµενο τετράεδρο του Cauchy. 6
( ) C ( ) 3 x 3 B x A f ( 3) x Θα αποδειχθεί ότι η ταική κατάταη ε ένα ηµείο του ώµατος περιγράφεται πλήρως µε τον καθοριµό των υνιτωών. Με άλλα λόγια, θα αποδειχθεί ότι ο τανυτής είναι το χαρακτηριτικό µέγεθος ε κάθε ηµείο του ώµατος, και ότι η προβολή του ε τυχαία διεύθυνη δίνει τον ελκυτή. Ο υχετιµός µεταξύ και γίνεται λαµβάνοντας την ιορροπία όλων των δυνάµεων που ακούνται το τετράεδρο: ( ) ( ) ( 3) S 3+ f h = 0, (4) 3 όπου = ( ˆ) = co (, ˆ) AB, ( 3) h S e S e είναι το εµβαδόν των εδρών BC, AC και S το εµβαδόν της έδρας ABC, ο όγκος του τετραέδρου. οι προβολές του τους άξονες x, και Ακολούθως, υνδυάζουµε τις εξής τρείς χέεις και λαµβάνουµε την προς απόδειξη χέη ( ) Εξ. 4 µε h 0, = ˆ e, =. ( ) = ˆ e. (5) 7
Σε µητρωϊκή µορφή η Εξ. (5) γράφεται ως 3 = 3 3 3 3 33 3 ή 3 [,, ] = [,, ]. 3 3 3 3 3 33 Τέλος, ιδιαίτερα χρήιµη για την διατύπωη των υνοριακών υνθηκών ενός προβλήµατος είναι η ανάλυη του ελκυτή ε δύο υνιτώες την µια κάθετη και την άλλη εφαπτοµενική την τοιχειώδη επιφάνεια την οποία δρα ο. Αρχικά, για την κάθετη υνιτώα έχουµε = =, (6) Εξ. (5), (6) =. (7) Επίης, από το Πυθαγόρειο θεώρηµα, έχουµε για την εφαπτοµενική υνιτώα =. (8) 8
Παράδειγµα διατύπωης υνοριακών υνθηκών για την τάη (ιχυρές και αθενείς υνοριακές υνθήκες): y a F 0 x Θεωρείται το παραµορφώιµο τερεό που καταλαµβάνει την περιοχή 0< x< α, < y< υπό την επίδραη της κατακόρυφης δύναµης F. Το τερεό (ε χήµα προβόλου) τηρίζεται την δεξιά του παρειά Οι υνοριακές υνθήκες διακρίνονται ε ιχυρού τύπου (trog oudary codto or potwe oudary codto) = 0 για y = ±, yx = 0 για y = ±, yy = 0 για x = 0, xx και ε αθενούς τύπου (weak oudary codto or oudary codto of tegral type) xy dy= F για x = 0, xx dy= 0 για x =α, xy dy= F για x =α, xx y dy= F α για x =α. 9