ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, ) νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει: ( M ) = ρ () Όμως, ( M) = +. Επομένως, η () γράφετι Γι πράδειγμ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ= έχει εξίσωση + =. κύκλος υτός λέγετι μονδιίος κύκλος. + = ρ ή ισοδύνμ + = ρ. () B (πέρς) Πρτηρούμε, δηλδή, ότι οι συντετγμένες των σημείων του κύκλου κι μόνο υτές επληθεύουν την εξίσωση (). Άρ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο ( 00,) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + = ρ AB A (ρχή) κύκλος υτός λέγετι μονδιίος κύκλος. Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το K( 0, 0 ); Κ( 0, 0 ) Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο --- κύκλος με κέντρο K( 0, 0 ) κι κτίν ρ. Έν σημείο M(,) νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Κ πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει (KM) = ρ () ρ M(,) Όμως, (KM) = ( 0) + ( ) 0. Επομένως, η σχέση () γράφετι: ( ) + ( ) =ρ ή ( ) + ( ) = ρ. 0 0 0 0 Άρ, ο κύκλος με κέντρο K (, ) 0 0 κι κτίν ρ έχει εξίσωση: ( ) + ( ) =ρ 0 0 5
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Ποι είνι η γενική εξίσωση του κύκλου; Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής + + A+ B+Γ=0, με A + B 4Γ> 0 (Ι) κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) πριστάνει κύκλο. πόδειξη : Η εξίσωση του κύκλου είνι: ( ) + ( ) =ρ () 0 0 ν τώρ εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση () γράφετι + + ( + ρ ) = 0, δηλδή πίρνει τη μορφή + + A+ B+Γ= 0 () A= 0 B= 0 όπου, κι 0 0. ( + A) + ( + B) = Γ ή 0 0 0 0 Γ= + ρ ντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () γίνετι: A A B B A B + + + + + = Γ+ + 4 4 4 4 ή Η εξίσωση + + 4+ 6+ = 0 γι πράδειγμ, γράφετι διδοχικά: ( 4) + ( + 6) = = ή ( + ) + ( + + 3 + 3) = + + 3 ή ( ) + ( + 3) = Άρ, πριστάνει κύκλο με κέντρο K(, 3) κι κτίν ρ =. A B A + B 4Γ + + + =. 4 Επομένως: ν κέντρο A + B 4Γ> 0, η εξίσωση () πριστάνει κύκλο με A B K, A + B 4Γ κι κτίν ρ=. ν A + B 4Γ=0, η εξίσωση () πριστάνει έν μόνο A B σημείο, το K,. 6
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ + Γ<, η εξίσωση () είνι δύντη, δηλδή δεν υπάρχουν σημεί M(, ) των οποίων οι συντετγμένες ν την επληθεύουν. ν A B 4 0 ε M(,) Ποι είνι η εξίσωση της εφπτόμενης κύκλου με κέντρο το (0,0); (, ) Έστω ε η εφπτομένη του κύκλου C : + =ρ σε έν σημείο του A(, ). Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M(, ) νήκει στην ε, ν κι μόνο ν Μ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει Γι πράδειγμ, η εφπτομένη του κύκλου + = στο 3 σημείο A, έ- χει εξίσωση: 3 + =, η οποί γράφετι: + 3 = 0. --- A AM = 0 () Όμως A = (, ) κι AM = (, ). Έτσι η () γράφετι: ( ) + ( ) = 0 + = + φού + = ρ. Επομένως, η εφπτομένη του κύκλου του A(, ) έχει εξίσωση: + =ρ Δώστε τον ορισμό της προλής. + =ρ + =ρ στο σημείο δ (διευθετούσ) C (προλή) P Μ Κ (ΜΕ)=(ΜΡ) Ε (εστί) Έστω μι ευθεί δ κι έν σημείο Ε εκτός της δ. νομάζετι προλή με εστί το σημείο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό την Ε κι τη δ. ν είνι η προολή της εστίς Ε στη διευθετούσ δ, τότε το μέσο Κ του Ε είνι προφνώς σημείο της προλής κι λέγετι κορυφή της. 7
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Ποι είνι η εξίσωση της προλής με κορυφή το (0,0); Έστω C μι προλή με εστί Ε κι διευθετούσ δ. Θ ρούμε την εξίσωση της προλής C ως προς σύστημ συντετγμένων με ρχή την κορυφή της προλής κι άξον την κάθετη πό το Ε στην δ. p Η εξίσωση της προλής C με εστί E,0 κι διευθετούσ p δ := είνι: = p ριθμός p λέγετι πράμετρος της προλής κι η πριστάνει την πόστση της εστίς πό τη διευθετούσ. ν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων με ρχή την κορυφή της προλής κι άξον την κάθετη πό το Ε στη δ θ ρούμε ότι η προλή C έχει εξίσωση: = p Η εξίσωση υτή γράφετι ισοδύνμ = κι πριστάνει τη p γρφική πράστση της γνωστής μς πό την Λυκείου συνάρτησης =, όπου = p Ποιες είνι οι ιδιότητες της προλής; p Προλή P p<0 p δ: = p E,0 M(,) p E,0 Προλή =p p>0 M(,) = p P E 0, p p>0 p δ: = = p p δ: = Έστω μι προλή = p () πό την εξίσωση () προκύπτει ότι τ p κι (με 0) είνι ομόσημ. Άρ, κάθε φορά η προλή ρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονς κι η εστί Ε. Επομένως, η προλή ρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε. =p p<0 p δ: = E 0, p 8
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ν το σημείο M(,) είνι σημείο της προλής, δηλδή, ν = p, τότε κι το σημείο M(, ) θ είνι σημείο της ίδις προλής, φού ( ) = p. υτό σημίνει ότι ο άξονς είνι άξονς συμμετρίς της προλής. Επομένως, η κάθετη πό την εστί στη διευθετούσ είνι άξονς συμμετρίς της προλής κι λέγετι άξονς της προλής. Ποι είνι η εξίσωση της εφπτόμενης προλής με κορυφή το (0,0); ε M (, ) C Η εφπτομένη της προλής = p στο σημείο της M(,) έχει εξίσωση B (πέρς) = p( + ) Γι πράδειγμ, η εφπτομένη της προλής = 4 στο σημείο της M(,) έχει εξίσωση A = (ρχή) (+ ), η οποί γράφετι = +. AB ν μι προλή έχει εξίσωση της στο σημείο M(,) έχει εξίσωση = p, τότε η εφπτομένη = p( + ). M (, ) ω Ποι ιδιότητ --- της προλής, ονομάζετι νκλστική ιδιότητ; N (-,0) ε ω φ ω φ p E,0 η C t Η κάθετη στην εφπτομένη μις προλής στο σημείο επφής M διχοτομεί τη γωνί που σχημτίζουν η ημιευθεί ME κι η ημιευθεί Mt, που είνι ομόρροπη της Ε, όπου Ε είνι η εστί της προλής. 9
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Η χρήση της πρπάνω ιδιότητς γίνετι στ προλικά τηλεσκόπι, στ ρντάρ, στ φνάρι των υτοκινήτων, στους προολείς των οδοντιάτρων κτλ. Συγκεκριμέν: Όλες οι κτίνες φωτός που προσπίπτουν στο προλικό κάτοπτρο πράλληλ προς τον άξονά του, νκλώμενες, συγκεντρώνοντι στην εστί. Στ φνάρι των υτοκινήτων που έχουν προλικά κάτοπτρ οι λμπτήρες ρίσκοντι στην εστί τους. Έτσι, οι φωτεινές κτίνες, νκλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχοντι πράλληλ προς τον άξονά του. Γι ν φέρουμε την εφπτομένη μις προλής σε έν σημείο της M(,), ρκεί ν ενώσουμε το σημείο N(,0) με το M(,). Δώστε τον ορισμό της έλλειψης. Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. νομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του EE. Το στθερό υτό άθροισμ το συμολίζουμε, συνήθως, με κι την πόστση των εστιών E κι Ε με γ. H πόστση EE ονομάζετι εστική πόστση της έλλειψης. Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό: Φνάρι υτοκινήτου M ) Έν σημείο Μ του επιπέδου είνι σημείο της έλλειψης, ν κι μόνο ν (ME ) + (ME) = ) Ισχύει (E E) < (ME ) + (ME), δηλδή γ< οπότε γ<. ν γ= 0, τότε τ σημεί E,E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνετι κύκλος με κέντρο το Ε κι κτίν. E (Ε Ε)=γ (ΜΕ )+(ΜΕ)= Ε Ποι είνι η εξίσωση της έλλειψης; 0
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ A E ( γ,0) B B M (, ) E(γ,0) Έστω μι έλλειψη C με εστίες E κι Ε. Θ ρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετγμένων με άξον των την ευθεί EE κι άξον των τη μεσοκάθετο του EE. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί E( γ,0), E( γ,0) κι στθερό άθροισμ είνι + =, όπου = γ E ( 0, γ) ν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων με άξον των τη μεσοκάθετο του EE κι άξον των την ευθεί EE θ ρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είνι B Β + =, όπου = γ B (πέρς) E ( 0, γ) A Ποιες είνι οι ιδιότητες της έλλειψης; AB A (ρχή) Έστω μι έλλειψη C : + =, όπου = γ A B M 3 M M 4 M B A ν M(,) είνι έν σημείο της έλλειψης C, τότε τ σημεί M(, ), M( 3,) κι M( 4, ) νήκουν στην C, φού οι συντετγμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της. υτό --- σημίνει ότι η πρπάνω έλλειψη έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E,E της έλλειψης κι η μεσοκάθετος του EE είνι άξονες συμμετρίς της έλλειψης, ενώ το μέσο του EE είνι κέντρο συμμετρίς της. Το σημείο λέγετι κέντρο της έλλειψης. πό την εξίσωση της έλλειψης γι = 0 ρίσκουμε = ±, ενώ γι = 0 ρίσκουμε = ±. Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξον στ σημεί A(,0) κι A(,0), ενώ τον άξον στ σημεί B(0, ) κι B(0, ).
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Τ σημεί A,A,B,B λέγοντι κορυφές της έλλειψης, ενώ τ ευθύγρμμ τμήμτ AA κι BB, τ οποί έχουν μήκη (A A) = κι (B B) =, λέγοντι μεγάλος άξονς κι μικρός άξονς ντιστοίχως. Το ευθύγρμμο τμήμ που ορίζουν δύο οποιδήποτε συμμετρικά ως προς σημεί M κι M4 της έλλειψης λέγετι διάμετρος της έλλειψης. ποδεικνύετι ότι (MM 4), δηλδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είνι μεγλύτερη ή ίση πό το μικρό άξον κι μικρότερη ή ίση πό το μεγάλο άξον της έλλειψης. Τέλος, πό την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε = οπότε 0 κι άρ. μοίως. Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες =, = κι =, =. Τι είνι η εκκεντρότητ της έλλειψης; Μι πράμετρος που κθορίζει τη μορφή της έλλειψης είνι η εκκεντρότητ της έλλειψης. νομάζουμε εκκεντρότητ της έλλειψης + = κι τη συμολίζουμε με ε, το λόγο γ ε= <. Είνι γνωστό πό την στρονομί ότι οι τροχιές των πλνητών γύρω πό τον Ήλιο είνι ελλείψεις, των οποίων τη μί εστί κτέχει ο Ήλιος. Επειδή γ=, είνι ε=, οπότε ε = = κι άρ = ε Πρτηρήσεις :
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ. Όσο μεγλώνει η εκκεντρότητ τόσο μικρίνει ο λόγος κι κτά συνέπει τόσο πιο επιμήκης γίνετι η έλλειψη (Σχ. ). (). Ότν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος τείνει στο κι επομένως η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος. Ότν, όμως, το ε τείνει στη μονάδ, τότε ο λόγος τείνει στο 0 κι επομένως η έλλειψη τείνει ν εκφυλιστεί σε ευθύγρμμο τμήμ. 3. ι ελλείψεις που έχουν την ίδι εκκεντρότητ, άρ ίδιο λόγο, λέγοντι όμοιες (Σχ. ). Ποι είνι η εξίσωση της εφπτόμενης της έλλειψης; ε Μ () Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση --- + = κι έν σημείο της M(,). Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M(,) έχει εξίσωση: + = ζ ν μι έλλειψη έχει εξίσωση: + =, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(,) έχει εξίσωση + =. 3
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Ποι ιδιότητ της έλλειψης, ονομάζετι νκλστική ιδιότητ; M Η κάθετη στην εφπτομένη μις έλλειψης στο σημείο επφής Μ διχοτομεί τη γωνί EME, όπου E,E οι εστίες της έλλειψης. E E ε Σύμφων με την ιδιότητ υτή έν ηχητικό κύμ ή μι φωτεινή κτίν που ξεκινούν πό τη μί εστί μις έλλειψης, νκλώμεν σε υτήν, διέρχοντι πό την άλλη εστί. Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι στο σχεδισμό ορισμένων τύπων οπτικών οργάνων κι στην κτσκευή των λεγόμενων στοών με ειδική κουστική. ι στοές υτές είνι ίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες έν πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μι εστί μπορεί ν κουστεί στην άλλη εστί. νεφρό + ηλεκτρόδιο κόμη, η νκλστική ιδιότητ της έλλειψης ρίσκει σπουδί εφρμογή σε μι ιτρική μέθοδο που λέγετι λιθοθρυψί. Η μέθοδος υτή εφρμόζετι ως εξής: Στη μι εστί της έλλειψης τοποθετείτι έν ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο σθενής τοποθετείτι σε τέτοι θέση, ώστε το νεφρό του ν είνι στην άλλη εστί. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούντι πό τους νκλώμενους υπερήχους. E πέτρ νεφρού E ελλειπτικό κάτοπτρο Δώστε τον ορισμό της υπερολής. Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. νομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι μικρότερη του (E E). Την πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων κάθε σημείου της υπερολής πό τις εστίες την πριστάνουμε συνήθως με, ενώ την πόστση των εστιών με γ. Το EE ονομάζετι εστική πόστση της υπερολής. Ε (Ε Ε)=γ (MΕ ) (ME) =a Μ Ε 4
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ Σύμφων με τον ορισμό υτό: ) Έν σημείο Μ είνι σημείο της υπερολής, ν κι μόνο ν (ME ) (ME) =. ) Ισχύει (ME) (ME) < (EE) δηλδή < γ, οπότε < γ. Ποι είνι η εξίσωση της υπερολής; Ε (-γ,0) Μ(,) Ε(γ,0) Έστω C μι υπερολή με εστίες E κι Ε. Θ ρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημ συντετγμένων με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετη του EE. Η εξίσωση της υπερολής C με εστίες τ σημεί E( γ,0), E( γ,0), κι στθερή διφορά είνι =, όπου = γ E(0,γ) ν τώρ πάρουμε σύστημ συντετγμένων με άξον των την ευθεί EE κι άξον των τη μεσοκάθετο του EE κι εργστούμε όπως πριν, θ ρούμε ότι η εξίσωση της υπερολής C είνι: =, όπου --- = γ. Ε (0,-γ) Τέλος, ν είνι =, τότε η υπερολή λέγετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της γράφετι: = a. Ποιες είνι οι ιδιότητες της υπερολής; 5
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Έστω μι υπερολή C, η οποί ως προς έν σύστημ συντετγμένων έχει εξίσωση =, όπου = γ. ν M(,) είνι έν σημείο της υπερολής C, τότε κι τ σημεί M(, ), M( 3,) κι M( 4, ) νήκουν στην C, φού οι συντετγμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της. υτό σημίνει ότι η υπερολή C έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E,E της υπερολής κι η μεσοκάθετη του EE είνι άξονες συμμετρίς της υπερολής, ενώ το μέσο του EE είνι κέντρο συμμετρίς της. Το σημείο λέγετι κέντρο της υπερολής. M 3 M M 4 M πό την εξίσωση της υπερολής γι = 0 ρίσκουμε = ±. Συνεπώς, η υπερολή τέμνει τον άξον στ σημεί A(,0), κι A(,0). Τ σημεί υτά λέγοντι κορυφές της υπερολής. πό την ίδι εξίσωση γι = 0 προκύπτει η εξίσωση =, η οποί είνι δύντη στο R. Επομένως, η υπερολή C δεν τέμνει τον άξον. =-a =a Τέλος, πό την εξίσωση της υπερολής, έχουμε = +, οπότε 0 κι άρ ή. Επομένως, τ σημεί της υπερολής C ρίσκοντι έξω πό την τινί των ευθειών = κι =, πράγμ που σημίνει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. Ποιες είνι οι σύμπτωτες της υπερολής; ι σύμπτωτες της υπερολής = είνι οι ευθείες P Μ =, = = = a a 6
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ Είνι φνερό ότι οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι = = διγώνιες του ορθογώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τ σημεί K(, ), a a Λ (, ), M(, ) κι N(,. ) Το ορθογώνιο υτό λέγετι ορθογώνιο άσης της υπερολής. Ν Κ Μ Λ ν η υπερολή C έχει εξίσωση =, τότε οι σύμπτωτες της είνι ευθείες: =, = Τι είνι η εκκεντρότητ της υπερολής; B (πέρς) Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είνι =, οπότε ε=. Όπως στην έλλειψη έτσι κι στην υπερολή μί πράμετρος που AB κθορίζει το σχήμ της είνι η εκκεντρότητ. νομάζουμε εκκεντρότητ της υπερολής γ με ε, το λόγο ε = >. A (ρχή) =, κι τη συμολίζουμε Επειδή γ= +, είνι ε= +, οπότε ε = + κι άρ, = ε. --- Πρτήρηση : A A Η εκκεντρότητ ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της συμπτώτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθογώνιο άσης, άρ τη μορφή της ίδις της υπερολής. Όσο η εκκεντρότητ μικρίνει κι τείνει ν γίνει ίση με, ο λόγος, άρ κι το, μικρίνει κι τείνει ν γίνει ίσο με 0. Κτά συνέπει, όσο πιο μικρή είνι η εκκεντρότητ της υπερολής τόσο πιο επίμηκες είνι το ορθογώνιο άσης κι κτά συνέπει τόσο πιο κλειστή είνι η υπερολή 7
MAΘΗΜΤΙΚ Β ΛΥΚΕΙΥ Ποι είνι η εξίσωση της εφπτόμενης της υπερολής; Έστω μι υπερολή με εξίσωση M(,) υτής. Η εφπτομένη της υπερολής στο σημείο = κι έν σημείο M(,) έχει εξίσωση: ζ ε = Μ (, ) ν μι υπερολή έχει εξίσωση =, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(,) θ έχει εξίσωση =. Ποι ιδιότητ της υπερολής, ονομάζετι ιδιότητ; νκλστική Η εφπτομένη μις υπερολής σε έν σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνί EME, όπου E,E οι εστίες της υπερολής. M ω ω ω Επομένως, μι φωτεινή κτίν, κτευθυνόμενη προς τη μί εστί της υπερολής, ότν νκλάτι στην επιφάνει υτής, διέρχετι πό την άλλη εστί. Η ιδιότητ υτή της υπερολής σε συνδυσμό με τις ντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών ρίσκει εφρμογή στην κτσκευή των νκλστικών τηλεσκοπίων, κθώς κι στη νυσιπλοΐ γι τον προσδιορισμό του στίγμτος των πλοίων. Ε Ε 8