ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ, 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. i. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν ισχύουν: οι f, g είναι συνεχείς στο Δ, f ( = g ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε f( = g(+c Δ Î να ισχύει: Α. ί. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;; (Να κάνετε πρόχειρο σχήμα. ii. Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ;; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια συνάρτηση f: A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, Î A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε f( = f(. β. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f. γ. Αν f( α, α> =, τότε f ( = α. δ. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +. Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, β ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο[ α, β ], τότε: ΛΥΣΗ Α. i. Η συνάρτηση f β ò α f(td t = G(α G(β g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ÎD ισχύει: ( f g( = f ( g ( =. Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε ÎD να ισχύει f( g( = c, οπότε f( = g( + c. y y=g(+c y=g( O ii. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F( = f(, για κάθε ϵ Δ. Α. Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, Î ( a, b τέτοιο, ώστε: f ( = f( b f( a b a Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Γεωμετρική ερμηνεία Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ένα Î( a, b τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο y M(ξ,f (ξ Β(β,f (β σημείο M ( ξ, f ( ξ να είναι παράλληλη της ευθείας A(a,f (a ΑΒ. Ο a ξ ξ β Α3. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τη συνάρτηση é ë ( f: 4, È, 5ù û της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο επόμενο σχήμα: Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη συνέχεια. Β. Να βρείτε το όρια: i. im f( και ii. im f( +. B3. i. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα (, 5ù û. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii. Να βρείτε την παράγωγο της f, όταν Î ( 4,. Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 3
Β4. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα ορίζονται;; 4 I= ò f (d, Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. J =ò f (d, B5. Δίνεται η συνάρτηση g( = + i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της fog. ii. Πως με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης fog ; ΛΥΣΗ Β. Η f είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα [4,,(,,(, 5], διότι δεν είναι συνεχής στα σημεία = και = im Β. i. f( = ii. f( =. Β3. im + i. Τα εσωτερικά σημεία 3, 4 4, 5 3 = = = του διαστήματος (, 5ù û είναι τα ζητούμενα κρίσιμα σημεία. Στα σημεία ( 3, f( 3, B( 4, f( 4 στον άξονα και επομένως 3 κρίσιμα σημεία της f.στο σημείο Γ ( 5, ( 5 θέση 5 είναι επίσης κρίσιμο σημείο της f. A υπάρχει εφαπτομένη παράλληλη f ( = και f ( = άρα οι θέσεις 4 3 4 =, = 4 είναι f δεν υπάρχει η παράγωγος της f και άρα η ii. Η παράγωγος της f, όταν Î ( 4, είναι ίση με εφ35 = ή διαφορετικά είναι ο λόγος (3 =. ( 4+ Β4. Τo Ι ορίζεται, αφού η f ορίζεται στο διάστημα [, 4 ] και είναι συνεχής σε αυτό Το J δεν ορίζεται αφού η f δεν ορίζεται στο σημείο =. B5. i. Το πεδίο ορισμού D fog έχουμε: Είναι: { R / ( [ 4, (, 5] } Dfog = Î g Î È Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 4
[ 4, (, 5] g ( Î È αν, και μόνο αν, ( 4 + < ή < + 5 ή Î[ 5, È(, 4] D = È. Επομένως fog [ 5, (, 4] ii. Ο τύπος της συνάρτησης fog είναι: ( fog f g f D ( = ( ( = ( +, Î f g. Επομένως η γραφική παράσταση της fog είναι η γραφική παράσταση της f μετατοπισμένη κατά μονάδα αριστερά (οριζόντια μετατόπιση. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση: f( = 3 + +, Î R Γ. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f. Γ3. Να αποδείξετε ότι: i. Ίσχύει: f ( f (y y f( f(y για κάθε, yî R ii. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R. Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξî (, τέτοιο, ώστε να ισχύει: Γ5. Αν για την παράγουσα F της f ισχύει: να βρείτε τον τύπο της F. f (ξ + ξ =. F ( ³ F(F( για κάθε Î R, ΛΥΣΗ Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R (ως πολυωνυμική με f ( = 3 + >, ÎR. Άρα αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R θα είναι και αντιστρέφεται.το σύνολο τιμών της είναι το ( AB,, όπου: και επομένως η f A= im f( =, B= im f( =+, δηλαδή το R. + Γ. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση f ( f ( = έχει μοναδική ρίζα το. Έχουμε: Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 5
f f ( f f = ( = ( Û ( Έστω: Παρατηρώ ότι: ( ( = (, τότε είναι g( = Û f ( = f ( g f f ( ( ( ( g = f f + = f + = + = Άρα το είναι ρίζα της Η συνάρτηση συναρτήσεων στο R με: ( ( g ( g ( είναι παραγωγίσιμη στο R (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων ( ( ( ( ( ( ( 3 3 g = f f f = 3 + + + 3 + = 9 + 3 + + + 3 > Άρα η g ( είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και.επομένως το είναι η μοναδική ρίζα της ( = Û ( = ( g f f Άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο το A (, f( ή (, Εναλλακτικά ος τρόπος: Έχουμε: A. f( = Û f ( =, δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης: f ( = f( Û f( f( =. Έστω ότι η f ( = f( έχει ρίζες ρ, r ( ρ < r επομένως και η f( f( = έχει ρίζες τις ρ,r. Θεωρώ τη συνάρτηση: g ( = f( f(, ÎR Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Ro για την g στο διάστημα [ρ, r ].Έχουμε: Η g είναι συνεχής στο [ρ, r ] (ως σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο [ρ, r ] Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 6
Η g είναι παραγωγίσιμη στο ( ρ,r (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ( ρ,r με: ( g f f f f f f ( = ( ( ( = 3 ( + (3 + = 9 ( + 3 ( + 3 > g g (ρ = (ρ = Άρα υπάρχει ( ρ, r Î τέτοιο, ώστε g ( = που είναι άτοπο αφού g ( >. Άρα η = η μοναδική ρίζα της f ( = f( και επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο το A(, f( ή (, A. Γ3. i. Για = y ισχύει η ισότητα: f ( f ( y = f( f( y = y Για < yεφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στο διάστημα [ y, ] και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ y, ] (ως πολυωνυμική Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( y, (ως πολυωνυμική ( ( ξ, : (ξ f y f Î y f = ³ ( f (ξ = 3 + ³, δηλαδή: y Άρα υπάρχει ( f( y f( ³ y ή f( f( y ³ y διότι: f( f( y = f( y f( = f( y f( ³ y = y = y ( Για > y εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στο διάστημα [ y, ] και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ y, ] (ως πολυωνυμική Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( y, (ως πολυωνυμική ( ( ξ, : (ξ f f y Î y f = ³ ( f (ξ = 3 + ³, δηλαδή: y Άρα υπάρχει ( f( f( y ³ y ή f( f( y ³ y διότι: Επομένως από τις σχέσεις ( και ( έχουμε: f( f( y = f( f( y ³ y = y ( y f( f( y (Ι για κάθε yî, R Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 7
Στην σχέση (Ι θέτουμε όπου το f ( και y το f ( y, αφού η (Ι ισχύει για κάθε yî, R και f (, f ( y Î R. Άρα έχουμε: f ( f ( y y και τελικά: f f y y f f y ( ( ( ( ii. Î R. Έστω οποιοδήποτε Θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο, δηλαδή ότι Έχουμε: im f ( f ( =. f ( f ( Û f ( f ( Είναι ( im = im = Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε και ( f f Γ4. Έχουμε ισοδύναμα: Θεωρούμε τη συνάρτηση: Ισχύουν: im ( ( = ή f f f f ( + = Û (ξ = Û = ( Û ( = g ( = f(, ÎR im f ( = f ( Η g είναι συνεχής στο [, ] (ως σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο[, ]. g( = f( = > g( = f( = 9 = < Από το Θεώρημα του Bozano υπάρχει Î (, τέτοιο, ώστε g( = ή ισοδύναμα f ( + =. Επιπλέον η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, με: g f ( = ( = ( + =4 3 < Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα και, και επομένως το παραπάνω είναι μοναδικό. Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 8
Εναλλακτικά ος τρόπος Ισχύει f ( = και f ( = και η f είναι συνεχής στο [,]. Επομένως, σύμφωνα με το Θ. Bozano υπάρχει (και είναι μοναδικό Î(, τέτοιο, ώστε: Ακόμα f( = Û f ( = ( f( = Û f ( = Î, Θα εφαρμόσουμε το Θ. Bozano για την συνάρτηση h ( f ( Έχουμε: Η h ( είναι συνεχής στο [, ] (άθροισμα συνεχών στο[, ] και h = f = <, h( = f ( + = > ( ( Επομένως υπάρχει ξî (, τέτοιο, ώστε: Η f είναι γνησίως αύξουσα διότι: Αν y y, Î f( R = R με y y Έστω y f y f = (, = ( με, h ( = Û f ( + = <.Θα αποδείξουμε ότι f ( y f ( y = + στο διάστημα [ ] <. Î R. Άρα f ( y, f ( y = = (* Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει η (* έχουμε διαδοχικά: ( ( y < y Û f( < f( Û < Û f y < f y Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Τώρα θα αποδείξουμε ότι η h ( είναι γνησίως αύξουσα: έχουμε:,. < Þ f ( < f ( < Þ < και με πρόσθεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε: f ( + < f ( + Þ h( < h( Το είναι μοναδικό, αφού η συνάρτηση h ( είναι γνησίως αύξουσα, άρα και. Γ5. Έχουμε διαδοχικά για κάθε Î R : F F F F F F ( ³ ( ( Û ( ( ( ³ ( Θέτουμε g ( = F( FF ( (, ÎR και από την ( προκύπτει: g ( ³ Û g ( ³ g(, ÎR Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 9
Δηλαδή η συνάρτηση g έχει ελάχιστο στο = το οποίο είναι εσωτερικό σημεό του R και η g είναι παραγωγίσιμη στο R (ως αποτέλεσμα πράξεων και σύνθεσης παραγωγίσιμψων συναρτήσεων στο R με: g ( = F( F ( F ( F( + F( F (, ÎR Επομένως από το Θεώρημα του Frmat θα έχουμε: g ( = Û F( F ( F ( F( + F( F ( = ή F( F ( = Þ F( = ( F ( = f ( = 3¹ Άρα είναι: F ( = f ( Û F( = f( + c, Î R Για = Þ F( = f( + cþ = 3+ cþ c= 3 Επομένως: 3 F( f( 3, = = + ÎR ΘΕΜΑ Δ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ( f( = ( f:, + R για την οποία ισχύουν: f( + f + 4 = n+ + +, για κάθε > Δ. Να αποδείξετε ότι : f( = n + Δ. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : f ( έχει μια μόνο ρίζα στο διάστημα (, =ò f (nt dt t Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης ( æ h f ö = ç, >, τον άξονα και τις ευθείες è ø =, =. Δ5. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g ( f ( =, > Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Αν η ευθεία = λ, λ > τέμνει τις C f, Cg στα σημεία A και B αντίστοιχα, τότε να βρείτε : i. την ελάχιστη τιμή των αποστάσεων (Α λ, Β λ. ii. τα όρια : ( Ελ im + λ+ και λ + ( im Ελ λ+ όπου Ε( λ είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑλΒ λ και Ο η αρχή των αξόνων. ΛΥΣΗ Δ. Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα: + ( + = + + + Û ( f ( f 4 n <=>( ( ( n f ( f( + f + 4 = n+ + + Û + = + Ûf( + = n+ + c για = έχουμε: f ( + = n+ + cû + = + + cû c= Άρα: Δ. Η συνάρτηση f( n f( + = n+ Û f( = n+ = + είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + με: f ( = + και επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα. Παρατηρούμε ότι: Έχουμε: f ( = <, > f ( = + = f ( ( > Þ f < f Þ f ( < < Þ f ( > f ( Þ f ( >, + (ως Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
+ f ( + f ( γν.αύξουσα γν.φθίνουσα Μονοτονία f η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], + γνησίως φθίνουσα στο [ Ακρότατα: η f παρουσιάζει για = μέγιστο το f(= Εναλλακτικά ος τρόπος (για τον υπολογισμό του ακροτάτου. Για κάθε > εχουμε: n (Ι και ³ Û (ΙΙ Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (Ι και (ΙΙ έχουμε: n n f( f( f( Û + + Û Û για κάθε >. Επομένως η f παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο, το f ( = Δ3. Είναι: Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: Για την f ισχύουν: f ( f = ( n t ò dt Û f ( = éf ( n t ù ë û = f ( f ( t Είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+ Είναι παραγωγίσιμη στο (, (ως παραγωγίσιμη στο (,+ αφού για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού, υπάρχει Î(, τέτοιο, ώστε: f ( o = f ( f ( Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Η ρίζα o είναι μοναδική στο διάστημα (, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και. Εναλλακτικά: ος τρόπος: Θεωρούμε την συνάρτηση: L ( = f ( + f ( f ( για την οποία ισχύουν: είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+ ( f ( f ( f ( f ( f ( L = + = + > f διότι f ( f ( f ( f ( < Þ > Þ > 3 L ( = f ( + f ( f ( = + n + = n< Από το Θ.Bozano υπάρχει Î(, τέτοιο, ώστε: L ( o = Û f ( o + f ( f ( Û f ( ( ( o = f f Η ρίζα o είναι μοναδική στο διάστημα (, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και. Εναλλακτικά: 3 ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση: ( K ( = f ( f ( f ( Για την f ισχύουν: Είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+ Είναι παραγωγίσιμη στο (, (ως παραγωγίσιμη στο (,+ k ( = f ( f (, k ( = f ( f ( από το Θ.Ro έχουμε : υπάρχει Î(, τέτοιο, ώστε: ( k o = Û f ( o + f ( f ( Û f ( ( ( o = f f Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 3
Η ρίζα o είναι μοναδική στο διάστημα (, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και. Δ4. Η f παρουσιάζει για = μέγιστο το f( άρα: ( ( Þ f ( < f f Επομένως : f æ ö æ giatί giak άq ö ç < ç > > èø è ø æö æö æö h( = f f f ç = ç = ç èø èø èø για κάθε é ù Î, êë úû το εμβαδόν του χωρίου ισούται με : ò ( E= h d = ò ( n u ò u+ u du = æö f d ç = èø u= æö f d ç = òf u du = èø ò ( æ ö ç + = è ø u ç u u n u u du ò 4 5 Δ5. Η f παρουσιάζει για = μέγιστο το f( άρα: i Η απόσταση των (A λ,β λ είναι: ( ( Þ f ( < f f ( AB = f ( g( = f ( = f ( =f ( και γράφεται ως συνάρτηση του λ, d( = f( d ( = f (, d ( ³ Û f ( Û ³ λ + d ( λ + d (λ γν.φθίνουσα γν.αύξουσα άρα η ελάχιστη τιμή είναι d( ( f ( ii E ( = f ( = im E + ( f ( ( = + = AB = = ( n + im = + + æ n ö ç + im è ø = + + Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 4
æ ö æn im ö ç ç + = ( + =+ + è + ø è ø γιατί : n DLH.. im = ( n im + + ( DLH.. im = im ( + + ( æ ö im ç = + + è ø im + = im = + im = + = im = + =+ ( ( n + ( E n im = im = +.. im = + + + + + + + im = im + + = + + = = DLH Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρουμελιώτης Αντώνης, καθηγητής Μαθηματικών Λύσεις προσομοίωσης 7Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου 5