ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς p Αν η ρητή συνάρτηση f ( ( είναι µη γνήσια (δηλ ο βαθµός του αριθµητή p( είναι µεγαλύτερος ή ίσος του βαθµού του παρονοµαστή q(, τότε εκτελώντας τη διαίρεση του p( µε το q( βρίσκουµε ένα πηλίκο π ( και ένα υπόλοιπο υ ( έχουµε και συνεπώς p( q( π ( υ ( ή p( υ( π (, υ( όπου είναι γνήσια ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( είναι µικρότερος του βαθµού του q( Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η ολοκλήρωση µιας µη γνήσιας ρητής συνάρτησης ανάγεται σε ολοκλήρωση ενός υ( πολυωνύµου π ( και µιας γνήσιας ρητής συνάρτησης Επειδή η ολοκλήρωση ενός πολυωνύµου π ( είναι πολύ απλή θα επιστήσουµε την προσοχή υ( µας στην ολοκλήρωση µιας γνήσιας ρητής συνάρτησης Από τη Άλγεβρα είναι γνωστό ότι κάθε πολυώνυµο q( βαθµού n µε συντελεστές an R µπορεί να αναλυθεί σε πεπερασµένο γινόµενο γραµµικών και δευτεροβάθµιων παραγόντων Ένας γραµµικός παράγων είναι της µορφής ( a ή ( a k, ενώ ένας δευτεροβάθµιος παράγων είναι της µορφής ( a b c ή a b c µ, µε ( b ac < 0 και k,µ,,, Για την ανάλυση του πολυωνύµου σε γινόµενο παραγόντων βρίσκουµε τις ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης q( 0 Οι ρίζες ρ i, i,,, n της εξίσωσης µπορεί να είναι ( πραγµατικές απλές ( πραγµατικές πολλαπλότητας k i, i,,, n ( µιγαδικές απλές ( µιγαδικές πολλαπλότητας µ i, i,,, n ( συνδυασµός των περιπτώσεων (, (, (, ( Εποµένως στην ανάλυση του πολυωνύµου σε γινόµενο παραγόντων ( Κάποιοι γραµµικοί όροι εµφανίζονται µία φορά και είναι της µορφής ρ i ( Κάποιοι γραµµικοί όροι εµφανίζονται περισσότερες από µία φορά και είναι της µορφής ( ρ i k i
( Κάποιοι δευτεροβάθµιοι όροι εµφανίζονται µία φορά και είναι της µορφής ( a b c ( Κάποιοι δευτεροβάθµιοι όροι εµφανίζονται περισσότερες από µία φορά και είναι της µορφής ( a b c µ i Η γενικότερη περίπτωση είναι το πολυώνυµο να έχει ρίζες πραγµατικές απλές, πραγµατικές πολλαπλότητας k, µιγαδικές απλές και µιγαδικές πολλαπλότητας µ Τότε, το λαµβάνει για παράδειγµα τη µορφή q( ( ρ ( ρ k ( a b c ( a b c µ, όπου b a c < 0, b a c < 0 και κ µ n υ( Έτσι η ρητή συνάρτηση γράφεται υ( A B B Bκ D ρ ρ ( ρ ( ρ E Z E Z Eϖ Zµ a b c ( a b c ( a b c κ a b c µ µ µ µ Από την τελευταία σχέση, αφού πρώτα µετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα, αθροίζουµε τους αριθµητές των οµωνύµων κλασµάτων του ου µέλους και εξισώνουµε το αλγεβρικό αυτό άθροισµα µε το υ ( Από την εξίσωση αυτή προκύπτει ένα σύστηµα n εξισώσεων µε n αγνώστους τους συντελεστές A, B, B,, B,, D, E, Z,, E, Z κ µ µ Περιληπτικά λοιπόν, για την επίλυση ενός ολοκληρώµατος της µορφής p( Ι εξής εργαζόµαστε ως p( (α Εξετάζουµε αν η ρητή συνάρτηση είναι γνήσια, δηλαδή αν βαθµ p( βαθµ q( Αν όχι, τότε κάνουµε τη διαίρεση και έχουµε p( υ( π ( (b Βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης q( 0 (c Tρέπουµε το q( σε γινόµενο γραµµικών και δευτεροβάθµιων παραγόντων υ( (d Γράφουµε τη ρητή συνάρτηση ως άθροισµα κλασµάτων της µορφής A B B Bκ D E Z κ ρ ρ ( ρ ( ρ a b c a b c E Z E ϖ Zµ µ ( a b c ( a b c µ µ µ (e Υπολογίζουµε τους συντελεστές A, B, B,, B,, D, E, Z,, E, Z κ µ µ
υ( υ( (f Ολοκληρώνουµε την ρητή συνάρτηση π ( αντικαθιστώντας την µε το άθροισµα κλασµάτων που έχουµε υπολογίσει από τις (d και (e Σηµείωση Αν η ρητή συνάρτηση ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ p( είναι γνήσια, τότε παραλείπουµε το βήµα (α Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα, ( ( 9 ( (,, 6, ( (, ( ( Λύση (α Επειδή η ρητή συνάρτηση µε το είναι µη γνήσια, διαιρούµε το 9 6 υπόλοιπο 7 6 πηλίκο Συνεπώς, 7 6 (b 0 ( 0 Το πολυώνυµο έχει τρεις απλές ρίζες ρ 0, ρ, ρ (c (d ( ( 7 6 A B A( ( B( ( ( ( (e A( ( B( ( 7 6 O υπολογισµός των σταθερών A, B, γίνεται µε δύο τρόπους ος τρόπος
Στην τελευταία εξίσωση θέτουµε 0,,, οπότε για 0 A, για B 7 6 0, για 8 ος τρόπος Εκτελώντας τις αλγεβρικές πράξεις στο πρώτο µέλος της εξίσωσης (e προκύπτει ένα πολυώνυµο ου βαθµού µε συντελεστές τις A, B, Εξισώνοντας τους οµοβάθµιους συντελεστές του ου και ου µέλους της εξίσωσης (e προκύπτει ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους A, B, Από τη λύση του συστήµατος αυτού βρίσκουµε τους A, B, ( A B( ( 7 6, ( A B ( A B A 7 6, A A B 7 A B 6 B A B 6 A A B B 0 B 6 (f ( ( ln ( ( ln c Τα βήµατα (α, (b, (c ισχύουν A (d ( ( B ( A( B( ( ( ( ( (e ( A( B( ( ( για A 6
για για A B 7 B 6 (f ( ( 6 6 ( 6 ln 6 ln c ( ( 9 ( ( 9 A B 9 A( 9 B( ( A( 9 B( ( ( ( 9 A για 0 9A για A B για A B ( ( 9 9 ln 0 8 9 ln ( 9 8 9 9 ln ln( 9 8 ( ln ln( 9 8 ln ln( 9 arctan c 8 ( ( A B D E (
( A( B ( ( D E ( A( B ( ( D E για 0 A για B D E B D E για B D E B D E για 0 B 0 D E 0 B 0 D E για 0 B 0 D E 0 B 0 D E Το παραπάνω σύστηµα γράφεται A A B D B B D 6 0 B D E D 0B D E E 0 To ολοκλήρωµα γράφεται ( ( ( ( ( ln ln( ( c Επειδή η ρητή συνάρτηση είναι µη γνήσια διαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρονοµαστή ( ( 6υπόλοιπο χ πηλίκο 6 Έτσι, ( ( ( ( 6 H γνήσια ρητή παράσταση γράφεται ( (
6 A B ( ( A( B( ( ( Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ( A B ( A B A 6 Για την εύρεση των συντελεστών A, B, λύνουµε το σύστηµα A B 0 A 8 A B B 8 A 6 Συνεπώς τo ολοκλήρωµα γράφεται ( ( 8 ( 8 ( 8ln ( ( 8ln 6 8ln ln( ( 8ln ln( ( 8ln ln( arctan ( c ( ( ( ( Επειδή η ρητή συνάρτηση είναι µη γνήσια διαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρονοµαστή ( Έτσι, υπόλοιπο πηλίκο
( H γνήσια ρητή παράσταση ( ( ( A B D γράφεται Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ( A ( A B D ( A B B A B D λύνουµε το σύστηµα Για την εύρεση των συντελεστών,,, A A A B D B A B 0 B D Συνεπώς τo ολοκλήρωµα 6 γράφεται ( 6 ln 6 ( 7 ln 7 ln ln( ( 7 ln ln( ( 7 ln ln( arctan ( c ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα (, (απ, (απ ( ln( c c ln ln( arctan
6 (, (απ, (απ ( ( 9, (απ (απ ln c ln( ln( 9 arctan c ln arctan c ln c