ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο θετικό και ii. 0 = iii. = με ακέραιο θετικό και 0 -v v, α υ =0 iv. Επειδή i 4 = έχουμε 4ρ+υ 4 ρ υ υ i, α υ = i =i =(i ) i =i = -, α υ = -i, α υ =3 v. Για α φέρουμε έα πηλίκο μιγαδικώ στη μορφή α+βi πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παροομαστή με τη συζυγή παράσταση του παροομαστή. vi. Σε αφαιρέσεις που υπάρχου ίσες και μεγάλες δυάμεις συχά βγάζουμε κοιό παράγοτα το i π.χ. (α+βi) = i ( α + αi β) =i ( +β) =i (- αi+β) i vii. Παρατηρούμε ότι (+i) = + i + i = i (-i) = - i + i = -i i Παράδειγμα : Α i = i-3 α δείξετε ότι Re( ) = 8-5 Παράδειγμα : ΜΕΘΟΔΟΣ Να δείξετε ότι 4 4 [[((+ i) - i) + i] - i] = Για α υπολογίσουμε τη τετραγωική ρίζα εός μιγαδικού α+βi 0, βρίσκουμε το = x+yi με x,y ώστε x -y =α =α + βi x -y +xyi=α + βi Λύουμε μετά το σύστημα. xy = β Παράδειγμα : Να βρείτε τη τετραγωική ρίζα του μιγαδικού 3+4ι [ ± i] Παράδειγμα : Να βρείτε τη τετραγωική ρίζα του μιγαδικού w = (-+i) 3 -i 3 [ ± ( 5+ + i 5 )]
ΜΕΘΟΔΟΣ 3 Για α βρούμε το συζυγή εός μιγαδικού Φέρουμε το μιγαδικό στη μορφή = α+βi οπότε ο συζυγής είαι ο =α-βi Βρίσκουμε το συζυγή με τη βοήθεια τω ιδιοτήτω:. + + +...+ = + + +...+ με 3 3 ή.... =... με 3 3 3. α =α με α 4. =() 5. ( )=, 0 6. ( )=, 0 7. () = Παράδειγμα : Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού Παράδειγμα : Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού -i 3-i = + -i +i ( - i)(5 + i) = -4i [ = + i ] [ 6 47 = + i] 7 7 ΜΕΘΟΔΟΣ 4 Α θέλουμε α δείξουμε ότι ο μιγαδικός : το φέρουμε στη μορφή α+βi και δείχουμε ότι Im()=β=0 ή = δηλαδή θα δείξουμε ότι ο είαι ίσος με το συζυγή του. Παράδειγμα : Α 4-5i 4 + 5i = και = α δείξετε ότι ο + 8 + i 8- i -i +i Παράδειγμα :Να βρείτε τους για τους οποίους ισχύει R, -i. [=yi] ΜΕΘΟΔΟΣ 5 Α θέλουμε α δείξουμε ότι ο μιγαδικός I : το φέρουμε στη μορφή α+βi και δείχουμε ότι Re() = 0 ή I =- δηλαδή θα δείξουμε ότι ο είαι ατίθετος του συζυγή του. Παράδειγμα : Να βρείτε το x ώστε ο = (x+i)(-xi) α είαι φαταστικός [x=0] Παράδειγμα : Να βρείτε το α ώστε ο w = α ++αi +αi α είαι φαταστικός [αδύατη]
ΜΕΘΟΔΟΣ 6 Για α βρούμε το μέτρο εός μιγαδικού Φέρουμε το μιγαδικό στη μορφή = α+βi οπότε : ή Βρίσκουμε το μέτρο με τη βοήθεια τω ιδιοτήτω:. ==-=- = α +β. =,... =... 3. = = με 0 4. 5. = με 0 Παράδειγμα : Να υπολογίσετε το μέτρο του αριθμού 00 98 (+ i) (6 + i)-(- i) (3 - i) = [ = ] (+ i) (3-7i) + (- i) (0- i) 96 94 Παράδειγμα : Να υπολογίσετε τα μέτρα τω μιγαδικώ: α. 4 ( 3+i) +i = β. i(- 3i) ( ) = [α. 7 3 (- i) 3 β. 5 ] ΜΕΘΟΔΟΣ 7 Για τη απόδειξη μιας ισότητας ή αισότητας που περιέχου μιγαδικούς : χρησιμοποιούμε το τύπο = α + β ή τη βασική ιδιότητα = Α στη σχέση δε υπάρχου τετράγωα μέτρω, υψώουμε στο τετράγωο και τα δύο μέλη για α τα δημιουργήσουμε. Παράδειγμα : Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό ισχύει Re() + Im() Παράδειγμα :Για τους, α δείξετε ότι α. + + - = + β. - (+ )(+ ) Παράδειγμα 3 : Α ισχύει +6 =4+ α δείξετε ότι = 4
ΜΕΘΟΔΟΣ 8 μ * Ότα δίεται η f() = g() με μ,, τότε παίρουμε τα μέτρα τω δύο μελώ της σχέσης και χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες τω μέτρω. Παράδειγμα : Α ο w επαληθεύει τη (w + ) = w α δείξετε ότι Re(w) = - +i 3 Παράδειγμα : Να δείξετε ότι η εξίσωση(+ i) = με N*, C δε έχει 3+i πραγματική λύση. [Υποθέτουμε ότι =ρ. Παίρουμε μέτρα και ρ=0 η οποία οδηγεί σε άτοπο τη σχέση ] ΜΕΘΟΔΟΣ 9 Για α βρούμε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή του μέτρου μια ς παράστασης με μιγαδικούς, γράφουμε τη παράσταση ως άθροισμα ή διαφορά δύο μιγαδικώ αάλογα με τα δεδομέα του προβλήματος και εφαρμόζουμε τη σχέση - ± + ή Χρησιμοποιούμε τη γεωμετρική παράσταση μιγαδικώ στο επίπεδο. =4 Παράδειγμα : Α με α βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f() = + 8-6i και για ποια τιμή του συμβαίει αυτό. +6-3i 7 [Μέγιστη τιμή η f() =4 ότα 6 = i ] 5 5 Παράδειγμα : Α με α βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του αριθμού - + 3i [ Το Μ() είαι σε κυκλικό δίσκο Κ(-6,3) και ρ=7. Ο - + 3i είαι η απόσταση ΛΜ όπου ΜΕΘΟΔΟΣ 0 Λ(,-3) 3 - + 3i 7 ] Για α παραστήσουμε στο μιγαδικό επίπεδο τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύου κάποιες σχέσεις με μέτρα τότε χρησιμοποιούμε ότι ο αριθμός - είαι ίσος με τη απόσταση τω σημείω Μ, Μ που είαι οι εικόες τω, ατίστοιχα. Παράδειγμα : Στο μιγαδικό επίπεδο α παραστήσετε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει: < -3-i <5[Δακτύλιος με κέτρο Κ9,) και ακτίες και 4 ] Παράδειγμα : Στο μιγαδικό επίπεδο α παραστήσετε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει: -5 = +5 +7 [Υπόδειξη: Ορισμός υπερβολής x y = ] 499 499 ( ) ( ) 04 4
ΜΕΘΟΔΟΣ Α = x+yi μιγαδικός και θέλουμε α βρούμε το γεωμετρικό τόπο στο οποίο κιείται η εικόα του Μ(x,y) ώστε ο ω=f() α έχει κάποια ιδιότητα τότε χρησιμοποιώτας αυτή τη ιδιότητα κάουμε πράξεις και ύστερα ατικαθιστούμε το με x+yi και βρίσκουμε τις σχέσεις μεταξύ x και y που καθορίζου το γεωμετρικό τόπο. Μπορούμε επίσης πρώτα α κάουμε ατικατάσταση του με x+yi και ύστερα πράξεις. Παράδειγμα : Έστω ο μιγαδικός = x+yi με x,y0r και y 0. Α ω = α - δείξετε ότι ο γ.τ. τω Μ(x,y) είαι μια υπερβολή της οποίας έχου ( x ) εξαιρεθεί οι κορυφές. [ 3 y = ] ( ) ( ) 3 3 Παράδειγμα : Α για το μιγαδικό = x+yi με x,y0r και y 0 ισχύει - =+ α δείξετε ότι η εικόα του Μ(x,y) κιείται σε κύκλο του οποίου α βρείτε το κέτρο και τη ακτία. Αήκει στο παραπάω κύκλο η 5 4 5 εικόα του μιγαδικού w = - + i ; [ Κ (,0) και ρ= 4 3 3 3 3 ] ΜΕΘΟΔΟΣ Α = x+yi μιγαδικός για το οποίο ισχύει = f(α)+g(α)i και θέλουμε α βρούμε το γεωμετρικό τόπο στο οποίο κιείται η εικόα του Μ(x,y) τότε βρίσκουμε σχέση που συδέει τα x,y χωρίς τη παράμετρο α. Η σχέση βρίσκεται με απαλοιφή του α από τις εξισώσεις x = f(α), y = g(α). Α η α είαι γωία χρησιμοποιούμε τους τύπους ημ α+συ α=, +εφ α = και άλλες. συ α Παράδειγμα : Δίεται η εξίσωση συ θ - ημθ+ συ θ = 0. Έστω η εικόα στο μιγαδικό επίπεδο εκείης της ρίζας της εξίσωσης της οποίας το φαταστικό μέρος είαι αρητικό. π π Α θ α δείξετε ότι το Μ κιείται σε μια υπερβολή. [ Δ= =-4συ θ, = εφθ ± i. συθ>0 = x+ yi με x = εφθ και y = i συθ συθ ή χ =.. y =...και επειδή+ εφ θ = y x = δηλ ισοσκελής υπερβολή. ] συ θ ΜΕΘΟΔΟΣ 3 Α οι w = x+yi, = κ+λi συδέοται με κάποια σχέση και γωρίζουμε τη γραμμή c στη οποία κιείται η εικόα Ρ(κ,λ) του τότε για α βρούμε το γ.τ. τω εικόω Μ(x,y) του w θα βρίσκουμε τα κ,λ συαρτήσει τω x,y. Στη συέχεια ατικαθιστούμε τα κ,λ στη εξίσωση της c και βρίσκουμε σχέση αάμεσα στα x,y που καθορίζου το γ.τ. τω Μ(x,y). Παράδειγμα : Α οι μιγαδικοί w = x+yi, = κ+λi συδέοται με τη - w= και η + εικόα του Ρ του κιείται στο κύκλο με εξίσωση κ +λ = 4, α βρείτε τη γραμμή στη οποία κιείται η εικόα Μ του w.