. iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică.. Vibraţii libere Vibraţiile libere ale uei ructuri au loc atuci câd ructura ee scoasă di poziţia de echilibru atic şi lăsată să vibreze liber fără vreo forţă diamică perturbatoare. Vibraţiile libere au loc după ce cauza care a scos ructura di area de repaus a îcetat...1. Vibraţii libere eamortizate Mişcarea uui siem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) ee descrisă de ecuaţia (.6): mu + cu + ku = p( t). Î cazul vibraţiilor libere eamortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t) =, la fel şi amortizarea (c = ). Afel, ecuaţia de mişcare devie: mu + ku = (.16) Vibraţiile libere apar ca urmare a scoaterii siemului di echilibru, pri aplicarea masei uei deplasări iiţiale u () sau a uei viteze iiţiale u () la timpul zero, defiit ca şi timpul î care ee iiţiată mişcarea: u = u() u = u () (.17) Folosid metoda clasică de rezolvare, soluţia ecuaţiei difereţiale omogee (.16) folosid codiţiile iiţiale (.17) ee: ude s-a folosit otaţia u() u( t) = u()cosωt + siωt ω (.18) ω = k m (.19) Ecuaţia (.18) ee reprezetată î Figura.11, di care se poate observa că siemul efectuează o mişcare oscilatorie faţă de poziţia de echilibru atic şi că valoarea deplasării ee aceeaşi la fiecare π ω secude. Ace tip de mişcare poartă deumirea de mişcare armoică simplă. Porţiuea a-b-c-d-e a curbei deplasaretimp descrie u ciclu complet de mişcare armoică a siemului. i poziţia de echilibru atic la puctul a, masa se deplasează î ses pozitiv, atigâd deplasarea pozitivă maximă u o î puctul b, momet î care viteza ee egală cu zero şi deplasarea îcepe să scadă, atigâd poziţia de echilibru atic î puctul c, câd viteza devie maximă, afel îcât masa cotiuă să se deplaseze î ses egativ, atigâd deplasarea miimă u o î puctul d, momet î care viteza ee di ou egală cu zero iar deplasarea îcepe să scadă di ou, pâă câd masa ajuge î poziţia de echilibru atic e. Timpul î care u siem cu u sigur grad de libertate diamică efectuează u ciclu complet de oscilaţii libere eamortizate se umeşte perioadă proprie de vibraţie, se otează cu T şi se măsoară î secude. Relaţia ditre aceaa şi frecveţa circulară proprie (sau pulsaţia proprie de vibraţie), care se măsoară î radiai pe secudă ee: π T = (.) ω Frecveţa proprie de vibraţie f reprezită umărul de oscilaţii complete pe care îl efectuează siemul îtr-o secudă, se măsoară î Hz şi ee dată de următoarele relaţii: f f 1 = (.1) T ω = (.) π Proprietăţile de vibraţie proprie ω, T şi f depid doar de masa şi rigiditatea ructurii, coform ecuaţiilor (.19) la (.1). Odată cu creşterea rigidităţii uei ructuri perioada proprie de vibraţie va scădea, iar frecveţa proprie de vibraţie va creşte. Î mod similar, creşterea masei uei ructuri coduce la creşterea perioadei proprii de vibraţie şi scăderea frecveţei proprii de vibraţie. Termeul "propriu" folosit î 11
iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ defiiţiile ω, T şi f se referă la faptul că aceea sut proprietăţi ale siemului, depizâd doar de caracteriicile aceuia. Figura.11. Vibraţii libere eamortizate ale uui siem liiar elaic SGL (Chopra, 1). Frecveţa circulară proprie ω, frecveţa proprie de vibraţie exprimate îtr-o formă alterativă pri: f şi perioada proprie de vibraţie T pot fi g 1 g δ ω = f = T = π (.3) δ π δ g ude δ = mg k, iar g ee acceleraţia gravitaţioală. Valoarea δ reprezită deformarea elaică a uui siem SGL atuci câd asupra aceuia acţioează o forţă atică egală cu mg. eplasarea siemului SGL variază ître valoarea maximă u şi cea miimă u. Valoarea u se umeşte amplitudiea mişcării oscilatorii şi ee dată de: u ( ) u = u( ) + ω Amplitudiea oscilaţiilor depide de deplasarea iiţială u ( ) şi viteza iiţială ( ) proprietăţile ructurii ( ω ).... Vibraţii libere amortizate (.4) u, precum şi de Mişcarea uui siem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) ee descrisă de ecuaţia (.6): mu + cu + ku = p( t). Î cazul vibraţiilor libere amortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t)=, afel îcât ecuaţia de mişcare (.6) mu + cu + ku = p( t) devie: Împărţid ecuaţia (.5) cu m obţiem: mu + cu + ku = (.5) u + u + u = (.6) ξω ω ude ω = k m, coform defiiţiei aterioare şi c c ξ = = (.7) mω ccr 1
. iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică Ne vom referi la valoarea k ccr = mω = km = (.8) ω pri coeficietul de amortizare critică, iar ξ ee fracţiuea di amortizare critică. Coeficietul de amortizare c ee o măsură a eergiei disipate de siem îtr-u ciclu de oscilaţii libere. Pe de altă parte, fracţiuea di amortizarea critică ξ ee o măsură adimesioală a amortizării, proprie uui siem şi care depide iclusiv de masa şi rigiditatea aceuia. Tipuri de mişcare Î Figura.1 sut prezetate deformaţiile u(t) ale uor sieme SGL supuse uei deplasări iiţiale u() petru trei valori ale ξ. acă c = c cr sau ξ = 1, siemul revie la poziţia de echilibru atic fără a efectua vreo oscilaţie. acă c > c cr sau ξ > 1, siemul revie la poziţia de echilibru atic fără a efectua vreo oscilaţie, la fel ca î cazul ξ = 1, dar mai let. acă c < c cr sau ξ < 1, siemul oscilează faţă de poziţia de echilibru atic cu amplitudii care scad î timp. Figura.1. Oscilaţii libere ale uor sieme cu amortizare subcritică, critică şi supracritică (Chopra, 1) Coeficietul c cr se umeşte coeficiet de amortizare critică deoarece aceaa ee valoarea cea mai mică a coeficietului de amortizare care preîtâmpiă complet oscilaţiile. Acea delimitează zoa ditre mişcarea oscilatorie şi cea eoscilatorie. Majoritatea ructurilor igiereşti (clădiri, poduri, baraje, ructuri marie, etc.) sut caracterizate de o amortizare subcritică (c < c cr ), cu fracţiui di amortizarea critică sub.1. e aceea, î cotiuare e vom referi doar la ace tip de sieme, î cotextul igieriei civile exiâd puţie raţiui petru udiul diamicii ructurilor cu amortizare critică (c = c cr ) sau a celor cu amortizare supracritică (c > c cr ). Sieme cu amortizare subcritică Soluţia ecuaţiei (.5) ţiâd cot de codiţiile iiţiale (.17) petru sieme cu c<c cr sau ξ < 1 ee: ude s-a folosit otaţia: u() () t u u( t) e ξω + ξω = u()cosωt + siωt ω (.9) = 1 (.3) ω ω ξ Se poate observa că îlocuid ξ = î ecuaţia (.9), aceaa se reduce la ecuaţia (.18), ce caracterizează sieme eamortizate. Ecuaţia (.9) reprezetâd oscilaţiile libere ale uui siem SGL cu o amortizare.5 ξ = sau 5% ee prezetată î Figura.13. Petru comparaţie ee iclusă şi reprezetarea oscilaţiilor uui siem SGL care 13
iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ efectuează oscilaţii libere eamortizate. Oscilaţiile libere sut iiţiate de aceeaşi deplasare iiţială u () şi viteză iiţială u (). i ecuaţia (.9) şi Figura.13 se poate observa că frecveţa circulară a oscilaţiilor amortizate ee ω şi că aceaa depide de frecveţa circulară proprie a oscilaţiilor libere eamortizate ω pri itermediul relaţiei (.3). Î mod similar, perioada vibraţiilor amortizate T = π ω depide de perioada proprie a oscilaţiilor eamortizate T pri relaţia: T = T 1 ξ (.31) Figura.13. Comparaţie ître oscilaţii libere amortizate şi eamortizate (Chopra, 1). Î timp ce amplitudiea oscilaţiilor eamortizate ee aceeaşi î toate ciclurile, amplitudiea mişcării amortizate scade cu fiecare ciclu de oscilaţie. Ecuaţia (.9) idică faptul că amplitudiea mişcării amortizate scade expoeţial cu timpul. Îfăşurătoarea mişcării de oscilaţii amortizate ee ± ρe ξω t, ude: ( ) u + ξωu() ρ = u( ) + ω (.3) Amortizarea are ca efect reducerea frecveţei circulare de la ω la ω şi lugirea perioadei de vibraţie de la T la T. Ace efect ee eglijabil petru fracţiui di amortizarea critică sub % (vezi Figura.14), domeiu care iclude majoritatea ructurilor igiereşti. Efectul mai importat al amortizării ee cel asupra ratei de ateuare a oscilaţiilor libere, efect exemplificat î Figura.15. Figura.14. Efectul amortizării asupra perioadei proprii de vibraţie (Chopra, 1). 14
. iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura.15. Oscilaţii libere petru patru ivele ale amortizării: ξ = %, 5%,1% şi % Ateuarea mişcării Î cele ce urmează ee aalizată relaţia ître raportul ditre două vârfuri succesive ale mişcării de oscilaţie amortizată şi fracţiuea di amortizarea critică. Raportul ditre valoarea deplasării la timpul t şi cea care ee îregirată după o perioadă T ee idepedetă de t. Ace raport poate fi determiat di ecuaţia (.9): Folosid ecuaţiile (.31) şi (.) obţiem: u( t) = exp u( t + T ) ( ξω T ) u( t) πξ = exp u( t + T ) 1 ξ (.33) (.34) Ecuaţiile (.33) şi (.34) reprezită î acelaşi timp şi raportul ditre vârfurile succesive ale mişcării oscilatorii (vezi Figura.16) ui u i + 1, deoarece acee vârfuri au loc la itervale de timp egale cu T : ui u i+ 1 = exp πξ 1 ξ Logaritmul atural al aceui raport se umeşte decremet logaritmic şi ee otat pri δ : ui δ = l = u i+ 1 πξ 1 ξ (.35) (.36) Petru valori mici ale fracţiuii di amortizarea critică, 1 ξ 1, ceea ce coduce la relaţia aproximativă: δ πζ (.37) Figura.16. Vârfurile uei mişcări oscilatorii amortizate (Chopra, 1). 15
iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ Î Figura.17 sut idicate relaţiile exacte şi aproximative ître decremetul logaritmic δ şi fracţiuea de amortizare critică ξ. Se poate cocluzioa că relaţia (.37) ee valabilă petru ξ <., caz care acoperă majoritatea situaţiilor practice. Î cazurile î care ateuarea mişcării se produce let, datorită uei amortizări mici a ructurii, ee utilă determiarea decremetului logaritmic pe baza uor vârfuri aflate la câteva perioade. Pe durata a j oscilaţii amplitudiea mişcării se dimiuează de la u 1 la u 1+j. Ace raport ee dat de: u u u u u u u u u u 1 1 3 j = = 1+ j 3 4 1+ j e jδ e ude: ( j) ( u1 u1 + j ) δ = 1 l πξ (.38) Figura.17. Relaţia exactă şi cea aproximativă ître decremetul logaritmic şi fracţiuea de amortizare critică, (Chopra, 1). Îcercări de vibraţii libere amortizate Petru ructuri igiereşti practice, determiarea aalitică a fracţiuii di amortizarea critică ξ u ee posibilă, de aceea aceaă proprietate se determiă experimetal. Îcercările experimetale de oscilaţii libere amortizate pe ructuri reale reprezită ua ditre modalităţile de determiare practică a amortizării. Petru sieme cu o amortizare mică, fracţiuea di amortizarea critică poate fi determiată di relaţiile: 1 ui 1 u i ξ = l sau ξ = l π j u π j u i+ j i+ j (.39) Prima ditre acee relaţii ee echivaletă cu ecuaţia (.38), iar cea de-a doua ee o relaţie similară, fiid exprimată î termei de acceleraţie (mai uşor de îregirat experimetal decât deplasările), şi care poate fi demorată a fi adevărată petru ructuri slab amortizate..3. Vibraţii forţate Forţele diamice care pot fi aplicate ructurilor igiereşti au diverse forme. Î ace capitol vor fi aalizate două clase de acţiui diamice. Prima ditre aceea reprezită forţele care variază arbitrar î timp, spre exemplu cele de tip treaptă şi şoc. Cea de-a doua categorie de acţiui diamice sut forţele armoice şi periodice, care pot să apară, spre exemplu, ca urmare a fucţioării uor dispozitive rotative amplasate. 16
. iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică.3.1. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă şi rampă Spre deosebire de forţele perturbatoare armoice, răspusul diamic sub acţiuea uor forţe de tip treaptă, rampă sau impuls ee iflueţat îtr-o măsură foarte mică de amortizarea siemului. e aceea, răspusul diamic î acee di urmă cazuri va fi demorat î pricipal pe baza vibraţiilor eamortizate. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă O forţă de tip treaptă ee exemplificată î Figura.18a şi ee defiită de următoarea relaţie: p( t ) = p t (.4) Folosid itegrala uhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui siem SGL eamortizat se obţie: ude ( ) p π t u( t) = ( u ) ( 1 cosω ) 1 cos t = k T u = p k ee deformaţia atică sub acţiuea forţei p. (.41) Figura.18. U siem SGL (a), forţa de tip treaptă (b), răspusul diamic (c), Chopra, 1. eplasarea ormalizată u( t) ( u ) î raport cu timpul ormalizat t T ee reprezetată î Figura.18c. Se poate observa că siemul oscilează faţă de o ouă poziţie de echilibru, deplasată cu ( u ) faţă de poziţia iiţială u =. eplasarea maximă poate fi obţiută egalâd cu zero derivata ecuaţiei (.41) î raport cu timpul, ceea ce coduce la ω siω =. Aceaă ecuaţie are soluţia: t ω t = jπ sau j t = T (.4) eplasarea maximă corespude uor valori impare ale lui j, î timp ce valorile pare coduc la deplasări miime. Amplitudiea deplasării se obţie di ecuaţia (.41), îlocuid î aceaa valorile t di relaţia (.4): u ( u ) 17 = (.43) Rezultat care idică faptul că o forţă de tip treaptă aplicată diamic produce o deplasare care ee de două ori mai mare decât deplasarea datorată aceleiaşi forţe aplicată atic. Răspusul uui siem amortizat sub acţiuea forţei de tip treaptă poate fi obţiut evaluâd itegrala uhamel petru vibraţii amortizate, ceea ce coduce la: ξω ξ u( t) = ( u ) 1 t e cosωt + siωt 1 ξ (.44) Răspusul diamic al siemului amortizat ee reprezetat î Figura.18 cu liii îtrerupte petru două valori ale fracţiuii di amortizarea critică. Efectul amortizării ee o depăşire mai mică a mişcării faţă de
iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ poziţia atică şi o descreştere î timp a vibraţiilor. Valoarea amortizării cotrolează mărimea depăşirii şi rata cu care scad amplitudiile vibraţiilor. upă u timp suficiet de mare, vibraţiile îcetează, fapt care reprezită adiul aţioar. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip rampă O forţă de tip rampă ee exemplificată î Figura.19a şi ee defiită de următoarea relaţie: t p( t ) = p t (.45) t Folosid itegrala uhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui siem SGL eamortizat se obţie: ude ( ) t siωt t T si π t T u( t) = ( u ) ( ) = u tr ωtr T tr π tr T u = p k ee deformaţia atică sub acţiuea forţei p. r (.46) Ecuaţia (.46) ee reprezetată grafic î Figura.19c petru t r /T =.5, împreuă cu deformaţia atică î mometul t: ( ) p t t u ( t) = ( u ) k = t (.47) Se poate observa că siemul diamic oscilează cu perioada T faţă de poziţia de echilibru atic. r (a) (b) (c) Figura.19. U siem SGL (a), forţa de tip rampă (b), răspusul diamic şi cel atic (c), Chopra, 1. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă cu creştere fiită eoarece î realitate o forţă u poate fi aplicată iataeu, prezită iteres aaliza răspusului diamic al uei forţe care are o creştere fiită t r, dar rămâe coată după atigerea aceei valori. O afel de forţă ee exemplificată î Figura.a: ( ) p t ( ) p t tr t t = p t tr r (.48) Aceaă acţiue diamică are două faze: faza de rampă şi faza coată. Expresia deplasării î faza de rampă ee cea idetică relaţiei (.46): t siωt u( t) = ( u ) t t tr ωtr iar răspusul î faza coată poate fi determiat îlocuid relaţia (.48) î ecuaţia (.15): r (.49) 18
. iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică 1 u( t) = ( u ) 1 siω t siω ( t t ) t t r r ωtr (.5) (a) (b) Figura.. U siem SGL (a), forţa de tip treaptă cu creştere fiită (b), Chopra, 1. Figura.1. Răspusul diamic şi cel atic al uui siem SGL sub acţiuea uei forţe tip treaptă cu creştere fiită (Chopra, 1). eplasarea ormalizată u( t) ( u ) ee o fucţie de timpul ormalizat t T, deoarece ωt π ( t T ) Aceaă fucţie depide doar raportul t r /T, deoarece ω t π ( t T ) r r =. = şi u separat de t r şi T. Aceaă ecuaţie ee reprezetată î Figura.1 petru câteva valori ale raportului t r /T ditre timpul de creştere a 19
iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ forţei şi perioada proprie a siemului, împreuă cu răspusul atic ( ) ( ) u t = p t k. Acee rezultate permit următoarele observaţii: Î timpul creşterii forţei (faza de rampă) siemul oscilează faţă de poziţia de echilibru atic cu perioada proprie de vibraţie T Petru zoa de forţă coată (faza coată) siemul se comportă similar, oscilâd faţă de poziţia de echilibru atic cu perioada proprie de vibraţie T u t =, siemul u oscilează î timpul fazei de acă viteza ee egală cu zero la fialul fazei de rampă ( ) forţă coată Petru valori mici ale raportului t r /T (timpi mici de creştere a forţei) răspusul ee similar cu cel datorat uei forţe de tip treaptă (vezi Figura.c) Petru valori mari ale raportului t r /T răspusul diamic ee apropiat de poziţia de echilibru atic, ceea ce semifică u efect diamic scăzut. r