ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/, :5) (Προσωρινό αρχείο)
Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόπου mathmatica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathmatica http://www.mathmatica.gr/forum/viwtopic.php?f46&t554 Συνεργάστηκαν οι: Ανδρέας Βαρβεράκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαμίτσης, Τάσος Κοτρώνης, Βασίλης Μαυροφρύδης, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Γιώργος Ρίζος, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Κώστας Τηλέγραφος Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathmatica.gr
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f Μονάδες A. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο IR. Πότε η ευθεία y λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z β) Μια συνάρτηση f : A IR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν τότε f( ) f ( ) συν γ) Για κάθε IR IR { συν } ισχύει ( ε ϕ ) ημ δ) Ισχύει ότι: lim + ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ και f() f ( ), για κάθε ( δ, + δ). () Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f() f f() f f ( ) lim lim. + 3
Επομένως, f() f αν ( δ, ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f() f f () ( ) lim f() f αν (, + δ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f() f f. (3) ( ) lim + Έτσι, από τις () και (3) έχουμε f. Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. A. Η ευθεία y λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +,όταν A3. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ lim [ f () (λ + β)]. + ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΗ: Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i και w z 3i + z 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι z + 3i z 3i B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4. Να αποδείξετε ότι: z w z Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 B. ος τρόπος +, οπότε: Είναι z 3i z 3i z 3i z 3i + z+ 3i z 3i z + 3i. Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα. 4
ος τρόπος Έστω z + yi,,y IR Τότε z 3i + z+ 3i + y 3 i + y 3 i + y 3 + y 3 Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα. B. Για z 3i είναι: z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z + 3i z + 3i z 3i B3. ος τρόπος Είναι w z 3i+ z 3i+ z+ 3i z+ z. z3i Aν z + yi,,y IR, τότε: w z+ z + yi+ yi IR Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα, είναι: 3 y Κ ρ ος τρόπος w w z 3i + z 3i + z + 3i z + z R(z) IR. z3i w z 3i + z 3i z3i + z3i + Όμως w ΙR άρα w w 3 ος τρόπος w z 3i + z3i z 3i+ z 3i R(z 3i) R( + (y 3)i) R Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα, είναι: B4. ος τρόπος Είναι z w zz z z z z ος τρόπος w Είναι οπότε z w z 3 ος τρόπος z w zw z w z z+ z w+ w z w + w z Για z + yi, όπου,y IR, έχουμε: w και z w + yi + yi ( yi) yi z z. O y 5
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : ΙR IR, δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR, με f f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: για κάθε IR. ( f + f ) f + f Γ. Να αποδείξετε ότι f ln, IR Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα Μονάδες 8 Μονάδες 3 Μονάδες 7 π, Μονάδες 7 ΛΥΣΗ: Γ. Είναι: Για, έχουμε: Έστω g, IR ( f + f ) f + f f f f f + + ( f ) ( f ) f f + c, c IR () f f + c c, οπότε η () γράφεται: Η g() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με f f f g Η μονοτονία και τα ακρότατα της g() φαίνονται στον πίνακα: + g + g() Ó Ò και παρουσιάζει ελάχιστο στο το g, οπότε είναι g > για κάθε IR. 6
Είναι: Για η () γίνεται: f f ος τρόπος Είναι: Για, έχουμε: f f f ln + c, c IR () ln + c ln+ c c, οπότε: ln, IR ( f f ) f f + + f f + f f + ( ) f ( ) f + c, c IR () + c c, οπότε η () γράφεται: f f f Από γνωστή εφαρμογή ισχύει lnt t για κάθε t θετικό με την ισότητα μόνο όταν t. Θέτουμε t, IR και λαμβάνουμε: ln Είναι: f f ln( ) ln( ) + c, c IR f () Για η () γίνεται: f ( ) f ln( ), IR Γ. Η f() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με ln + c ln+ c c, οπότε: f, IR. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f() δίνονται στον πίνακα: + + + + f + f() Ó Ò H f είναι γν. φθίνουσα στο (,] και γν. αύξουσα στο [,+ ) Παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το f() 7
Γ3. Είναι + f, IR ( ) Έστω g() +. Η g() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με g + ( ) Η μονοτονία και τα ακρότατα της g() δίνονται στον πίνακα: + + + + g + g() Ò Ó Άρα g() g() g() Η g() έχει ολικό μέγιστο στο το g() >. Είναι Επειδή lim g() lim. + + + lim, lim θα είναι lim g() + + + lim g() lim lim Είναι. Ισχύουν οι προϋποθέσεις του κανόνα D L' Hospital για τις συναρτήσεις y και y, lim g lim οπότε Οπότε για τη g() στο (,] ισχύει: g (,] ( lim g( ), g (, ], διάστημα στο οποίο ανήκει το, οπότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g και είναι μοναδικό, λόγω της μονοτονίας της g(). Ομοίως στο [, + ) είναι: g, [ + ) ( limg,g (,], + διάστημα στο οποίο ανήκει το, οπότε υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε g και είναι μοναδικό, λόγω της μονοτονίας της g(). 8
Επειδή δίνεται στον πίνακα: > για κάθε IR, λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της g() το πρόσημο της f + g() + + f + + Σ.Κ. Σ.Κ. Άρα η f έχει δύο μοναδικά σημεία καμπής. Γ4. Έστω g() n συν π Η g είναι συνεχής στο, Είναι g() συν < π π π π και g n f >, αφού η f είναι συνεχής και έχει ολικό ελάχιστο στο το f(). π ξ, τέτοιο ώστε g ξ Οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει Επειδή: Είναι: ( ) g() n συν + ημ f () + ημ π f > για > και ημ> για, π οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα για,, οπότε είναι και η ρίζα είναι μοναδική. Σχόλιο: Μία διαφορετική αντιμετώπιση για το πρόσημο του π g είναι από τον δεύτερο τρόπο στο Γ. Συγκεκριμένα έχουμε δείξει ότι: ln με την ισότητα στο μόνο στο άρα στο π π είναι π π g n > 9
ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:ir IRοι οποίες για κάθε IR ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f() > και g() > ii) iii) t f ( + ) g t t g f t ( + ) dt dt Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο IR και ότι f() g() για κάθε IR Δ. Να αποδείξετε ότι: Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: f ln f lim f, IR Μονάδες 9 Μονάδες 4 Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συ νάρτησης F t dt f, τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση. Μονάδες 7 ΛΥΣΗ: Δ. Είναι: g t g t t t f() dt f () dt ( + ) ( + ) Θέτω u + t t u, οπότε du dt Για t είναι u και για t είναι u Οπότε: f t u u u dt du du du + g( + t) g(u) g(u) g(u) u u Η h(u) είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών, άρα η g(u) dt παραγωγίσιμη. g(u)
Τότε η f() είναι παραγωγίσιμη με Όμοια βρίσκουμε και ότι g, f () f. g() ος τρόπος άρα: f () g( ) f() g () g() c, c IR f f() g g() f () g f() f() Για είναι f () και ομοίως g() άρα f() g() c c, οπότε f() g(). ος τρόπος άρα: ( ( f )) ( ) ( f ) f () g f g f () g( ) f() g f() g f g ln () ln g() ln () ln g() + c, c IR f() Για είναι () οπότε f() g(). f και ομοίως g() άρα ln f() ln g() + c, c IR c, Δ. Αφού f() g(), είναι: Για είναι ( ) f f f f + () () () c, c IR f () + c c άρα f () και αφού f() > θα είναι f(). Δ3. ος τρόπος ln f() ln lim lim lim f Θέτουμε y,οπότε ειναι lim y lim. Τότε: Είναι lim y y +, lim y. y. ln f() lim lim lim lim f y y y y y y
Εφαρμόζουμε τον κανόνα d L' Hospital, και έχουμε: y y ( ) lim lim y y y ος τρόπος Είναι με και lim +, lim lim lim lim άρα από κανόνα d L' Hospital έχουμε lim ln f lim lim f lnf lim lim lim f Δ.4 Το εμβαδό είναι E ος τρόπος F(t)dt Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο IR με παράγωγο ( ) IR. Επομένως η F είναι γνησίως αύξουσα, οπότε με < είναι F() < F(). Επειδή F() στο διάστημα [,], το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι : F () f(t )dt f > για κάθε E [ F(t)dt] F()d [ F()] + F ()d [ F() ] + d F() + F() + d + ος τρόπος Είναι. Έχουμε f (t ) > συνεπώς f (t )dt > άρα F() <. Επειδή F() στο διάστημα [,], το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι :
3 ος τρόπος E [ F(t)dt] F()d [ F()] + F ()d [ F() ] + d F() + F() + d + Ισχύει ότι > και για έχουμε ότι t dt οπότε ( ) t t t t dt d ( ) d E dt d dt d dt d + t dt έτσι θα έχουμε ότι: 3