Anliz I Josip Globevnik Mih Brojn 27. pril 2012
2
Predgovor Pred vmi je prv verzij skript z predmet Anliz 1, nmenjenih študentom univerzitetneg študij mtemtike n Univerzi v Ljubljni. Upv, d bodo skript študentom v pomoč, niso p mišljen kot ndomestilo z predvnj. Študentom mtemtike priporočv, d redno hodijo n predvnj, sj sv prepričn, d mhnje z rokmi, skknje pred tblo in dodtni komentrji običjno pripomorejo, d je n predvnjih snov rzložen bolje, izčrpneje in bolj rzumljivo kot v skriptih. P tudi vsko leto ne predvmo popolnom enko. Snov je predstvljen približno tko, kot je bil predvn v zdnjih letih. Vsebin predvnj je v skldu s predpisnim učnim nčrtom, nslnj p se tudi n predvnj profesorjev Ivn Vidv in Jožet Vrbc, ki st t predmet predvl v preteklosti. Zhvl jim gre z vse, kr smo se nučili od njiju. V skriptih je tudi nekj rešenih primerov nlog. Veliko več nlog bodo študenti nredili n vjh, kjer bodo dobili še ndljnje nloge z smostojno delo dom. Študentom priporočv, d redno hodijo n vje in z reševnjem nlog ndljujejo dom. Kljub temu, d je bilo grdivo pregledno, boste gotovo nšli v njem npke. Vesel bov, če nju boste nnje opozorili. Študentom želiv veliko veselj in uspeh pri študiju mtemtike in d bi, tko kot midv, uživli v njeni lepoti in notrnji skldnosti, in nič mnj v njeni uporbnosti. Zhvljujev se študentom, ki so nju opozorili n npke ob priprvi skript, še posebej Ninu Bšiću, Dejnu Širju in Tini Rihr. i
ii PREDGOVOR Josip Globevnik, Mih Brojn Ljubljn, oktober 2006.
iii Uporb teg grdiv v komercilne nmene ni dovoljen. josip.globevnik@fmf.uni-lj.si mih.brojn@gmil.com
iv PREDGOVOR
Kzlo Predgovor i 1 Števil 1 1.1 Nrvn števil N.......................... 1 1.2 Cel števil Z............................. 1 1.3 Rcionln števil Q......................... 2 1.4 Dedekindov ksiom, reln števil................. 8 1.4.1 Osnovni izrek o obstoju relnih števil........... 11 1.4.2 Posledice Dedekindoveg ksiom.............. 14 1.4.3 Intervli............................ 15 1.4.4 Decimlni ulomki....................... 15 1.5 Penovi ksiomi............................ 17 1.6 Absolutn vrednost.......................... 18 1.7 Kompleksn števil C........................ 21 1.7.1 Geometrijsk interpretcij kompleksneg števil..... 28 2 Zporedj 31 2.1 O množich in preslikvh...................... 31 2.2 Zporedj števil............................ 33 2.3 Steklišč zporedj......................... 35 2.4 Konvergentn zporedj....................... 36 2.5 Monoton zporedj......................... 41 2.6 Rčunnje z zporedji........................ 44 v
vi KAZALO 2.7 Zgornj in spodnj limit, limit +,............ 47 2.8 Definicij potence pri relnem eksponentu............. 51 2.9 Nekj posebnih zporedij...................... 58 2.10 Zporedj kompleksnih števil.................... 61 2.11 Pojem (neskončne) vrste....................... 63 3 Funkcije relne spremenljivke 65 3.1 Definicij funkcije, grf funkcije................... 65 3.2 Osnovne opercije s funkcijmi................... 68 3.2.1 Kompozitum funkcij, inverzn funkcij........... 68 3.2.2 Ndljnje opercije s funkcijmi.............. 70 3.3 Zveznost funkcije........................... 72 3.4 Enkomern zveznost........................ 77 3.5 Osnovne lstnosti zveznih funkcij.................. 80 3.6 Monotone zvezne funkcije...................... 83 3.7 Zveznost posebnih funkcij...................... 84 3.8 Limit funkcije............................ 87 4 Odvod 95 4.1 Definicij in rčunnje odvod................... 95 4.1.1 Geometrijski pomen odvod................. 96 4.1.2 Prvil z odvjnje..................... 99 4.1.3 Odvod kompozitum..................... 101 4.1.4 Odvodi elementrnih funkcij................ 102 4.2 Diferencibilnost in diferencil funkcije............... 109 4.3 Odvodi višjeg red......................... 112 4.4 Rolleov in Lgrngeev izrek..................... 114 4.5 Ekstremi funkcij........................... 118 4.5.1 Strtegij isknj ekstremov dne funkcije......... 119 4.6 Konveksnost in konkvnost funkcij................. 123 4.7 Skicirnje grf funkcije....................... 126 4.8 L Hospitlovi prvili......................... 129
KAZALO vii 4.9 Uporb odvod v geometriji v rvnini............... 134 4.9.1 Krtezične koordinte, polrne koordinte......... 134 4.9.2 Krivulje v rvnini...................... 136 5 Integrl 147 5.1 Nedoločeni integrl li primitivn funkcij............. 147 5.1.1 Nedoločeni integrl elementrnih funkcij.......... 149 5.1.2 Prvil z integrirnje.................... 150 5.1.3 Metode z rčunnje nekterih nedoločenih integrlov.. 153 5.2 Določeni integrl........................... 157 5.3 Drbouxove vsote........................... 161 5.4 Lstnosti določeneg integrl.................... 171 5.5 Določeni integrl kot funkcij zgornje meje............. 174 5.6 Osnovni izrek integrlneg rčun-leibnizev formul...... 178 5.7 Povprečje funkcije.......................... 181 5.8 Uvedb nove spremenljivke v določeni integrl........... 182 5.9 Izreki o povprečjih.......................... 186 5.10 Posplošeni integrli.......................... 189 5.10.1 Eulerjev Γ-funkcij..................... 198 5.10.2 Absolutn konvergenc integrl.............. 200 5.11 Uporb integrl v geometriji................... 200 5.11.1 Dolžin poti.......................... 200 5.12 Ploščine likov v rvnini....................... 210 5.12.1 Ploščin lik med grfom zveznih funkcij......... 210 5.12.2 Grfični pomen določeneg integrl............ 213 5.12.3 Ploščin izsek, ko je krivulj dn v polrnih koordinth 213 6 Vrste 217 6.1 Številske vrste............................. 217 6.2 Vrste z nenegtivnimi členi..................... 220 6.3 Vrste s členi poljubneg predznk, bsolutn konvergenc.... 229 6.4 O preureditvi vrste.......................... 230
viii KAZALO 6.5 Alternirjoče vrste.......................... 233 6.6 Množenje vrst............................. 234 6.6.1 Opomb o dvkrtnih vrsth................ 236 6.7 Funkcijsk zporedj in vrste.................... 236 6.7.1 Geometrijsk interpretcij enkomerne konvergence... 238 6.8 Integrirnje in odvjnje funkcijskih vrst.............. 241 6.9 Potenčne vrste............................ 243 7 Tylorjev formul in Tylorjev vrst 251 7.1 Tylorjev formul.......................... 251 7.2 Tylorjev vrst............................ 255 7.3 Tylorjeve vrste elementrnih funkcij................ 257 7.3.1 Eksponentn funkcij.................... 258 7.3.2 Trigonometrične funkcije................... 259 7.3.3 Logritemsk funkcij.................... 260 7.3.4 Binomsk vrst........................ 260 8 Metrični prostori 263 8.1 Definicij in osnovne lstnosti.................... 263 8.2 Zporedj točk v metričnih prostorih................ 271 8.3 Kompktne množice in kompktni prostori............ 274 8.4 Podprostori metričneg prostor.................. 278 8.5 Preslikve med metričnimi prostori................. 280 8.6 Bnchovo skrčitveno nčelo v polnih metričnih prostorih.... 283 8.7 Ndljnji primeri metričnih prostorov............... 287
Poglvje 1 Števil 1.1 Nrvn števil N Z nrvnimi števili štejemo. N množici nrvnih števil N = {1,2,3,...} st nrvno definirni rčunski operciji: + seštevnje, množenje. Prvimo, d je množic nrvnih števil zprt z seštevnje in množenje, sj st vsot+b in podukt b poljubnih nrvnih števil in b tudi nrvništevili. Nrvnih števil ne moremo poljubno odštevti, sj npr. 5 7 ni nrvno število. Množico nrvnih števil vložimo v množico celih števil. 1.2 Cel števil Z Rčunske opercije z množice nrvnih števil N rzširimo n množico celih števil Z. N množici celih števil Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} 1
2 POGLAVJE 1. ŠTEVILA definirmo tri rčunske opercije: + seštevnje, množenje, odštevnje. Prvimo, d je množic celih števil zprt z seštevnje, množenje in odštevnje, sj so vsot +b, podukt b in rzlik b poljubnih celih števil in b tudi cel števil. Celih števil ne moremo poljubno deliti, npr. sj 7/6 ni celo število. Množico celih števil vložimo v množico rcionlnih števil. 1.3 Rcionln števil Q Rcionln števil (ulomki) so kvocienti celih števil. { m } Q = n : m Z,n Z\{0} Pri tem bomo upoštevli, d kvocient /b in c/d predstvljt isto rcionlno število, kdr st celi števili d in bc enki, torej b = c d d = bc. V množici Q lhko seštevmo in množimo. Vsoto rcionlnih števil definirmo b + c d = d+cb, bd produkt rcionlnih števil p b c d = c bd. V ndljevnju bomo spoznli osnovne lstnosti rčunnj z rcionlnimi števili. Formulirli jih bomo tko, d bomo lhko iz njih izpeljli vse druge rčunske lstnosti. Zto jih bomo imenovli ksiomi. Aksiomi (i) Lstnosti seštevnj:
1.3. RACIONALNA ŠTEVILA Q 3 A1 socitivnost - Z poljubn tri števil, b, c velj: (+b)+c = +(b+c). A2 komuttivnost - Z poljubni števili, b velj: +b = b+. A3 enot z seštevnje - Obstj tkšno število 0, d z poljubno število velj: +0 =. A4 inverzni element (nsprotno število) - Z vsko število obstj nsprotno število, ki g oznčimo z, d velj: +( ) = 0. Trditev 1 Z dno število je nsprotno število eno smo. Dokz: Nj bo dno število. Denimo, d obstjt dve nsprotni števili b in c. Torej +b = 0 in +c = 0. Ker velj c+(+b) = c+0 A3 = c in c+(+b) A1 = (c+)+b A2 = (+c)+b = 0+b A2 = b+0 A3 = b, sledi, d je c = b. Torej je nsprotno število eno smo. Trditev 2 Iz enkosti + x = + y sledi x = y, tj. velj prvilo krjšnj.
4 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Dokz: +x = +y +(+x) = +(+y) A1 ( ( )+ ) +x = ( ( )+ ) +y A2 ( +( ) ) +x = ( +( ) ) +y A4 0+x = 0+y A2 x+0 = y +0 A3 x = y Posledic 1 Velj enkost 0 = 0. Dokz: 0 + ( 0) A4 = 0, 0 + 0 A3 = 0, torej 0 + ( 0) = 0 + 0. Po prvilu krjšnj sledi 0 = 0. Rcionln števil lhko poljubno odštevmo. Nj bost in b dni rcionlni števili. Iščemo tkšen x, d velj: b+x =. Levi in desni strni zgornje enkosti prištejemo b. b+(b+x) = b+ A1 ( b+b)+x = b+ A2 ( b+( b) ) +x = b+ A4 0+x = b+ A2 x+0 = b+ A3 x = b+ A2 x = +( b) Če rešitev obstj, je to edin možn rešitev. Imenujemo jo tudi rzlik števil in b. Po nvdi oznčimo +( b) = b.
1.3. RACIONALNA ŠTEVILA Q 5 Poudriti želimo, d so vs do sedj nštet prvil posledic osnovnih prvil, tj. ksiomov A1 do A4. (ii) Lstnosti množenj: A5 socitivnost - Z poljubn tri števil, b, c velj: ( b) c = (b c). A6 komuttivnost - Z poljubni števili, b velj: b = b. A7 enot z množenje - Z poljubno število obstj tkšno število 1, d velj: 1 =. A8 inverzni element (recipročno število)- Vsko od 0 rzlično število im recipročno oz. obrtno število, tj. število, ki g oznčimo z 1 li 1/, ( 0), tko d velj: 1 = 1. Trditev 3 Z dno število je recipročno število eno smo. Dokz: Njbodnoštevilo, 0. Denimo, dobstjtdverecipročni števili, b in c. Torej b = 1 in c = 1. Ker velj in c ( b) = c 1 A7 = c c ( b) A5 = (c ) b A6 = ( c) b = 1 b A6 = b 1 A7 = b, sledi, d je c = b. Torej je recipročno število eno smo.
6 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Trditev 4 Če je 0, tedj iz enkosti x = y sledi x = y, tj. velj prvilo krjšnj. Dokz: x = y 1 ( x) = 1 ( y) A5 ( 1 ) x = ( 1 ) y A6 ( 1 ) x = ( 1 ) y A8 1 x = 1 y A6 x 1 = y 1 A7 x = y Trditev 5 Velj enkost 1 1 = 1. 1 A8 Dokz: 1 1 = 1, 1 1 A7 = 1, torej 1 1 1 = 1 1. Po prvilu krjšnj sledi 1 1 = 1. V množici rcionlnih števil Q lhko tudi delimo, tj. z dni števili, b, b 0, poiščemo tkšen x, d je x b =. Dobimo: x = b 1. Število x je torej kvocient in g oznčimo z b 1 = b = /b = : b. (iii) Ostle lstnosti: A9 Števili 1 in 0 st rzlični. 0 1 A10 distributivnost - Z poljubn tri števil, b, c velj: (+b) c = c+b c. Distributivnost povezuje seštevnje in množenje. Velj p tudi z odštevnje. ( b) c = c b c
1.3. RACIONALNA ŠTEVILA Q 7 V množici Q lhko torej izvjmo nslednje rčunske opercije: +,,, : ( 0). Množico števil, z ktere veljjo ksiomi A1 A10, imenujemo komuttiven obseg. Množic Q je torej komuttiven obseg. N osnovi do sedj nštetih ksiomov p ne moremo pokzti, d je število 1 večje od števil 0. Definirti mormo še urejenost (>,<,,...). A11 Če število 0, je ntnko eno od števil, pozitivno število. Pri tem je potrebno poudriti, d število 0 ni niti pozitivno niti negtivno število. Vsot in produkt pozitivnih števil st pozitivni števili. Množic pozitivnih števil je torej zprt z seštevnje in množenje. Sedj, ko immo pojem pozitivnosti, lhko vpeljemo urejenost. A12 Z števili in b bomo rekli, d je večje od b in pisli > b, če je rzlik b pozitivno število. V posebnem primeru rečemo: je pozitivno število ntnko tedj, ko velj: > 0. Pri tem omenimo, d z dni števili in b velj ntnko en od treh relcij: < b li = b li > b. Če velj > b li = b pišemo b oz. z < b li = b pišemo b. Relcij urejenosti je trnzitivn, torej iz > b in b > c sledi > c. To je posledic dejstv, d je vsot pozitivnih števil pozitivn. Trditev 6. i) če je > b tedj je +c > b+c ii) če je > b in c > 0 tedj je c > b c iii) če je > b > 0 in c > d > 0 tedj je c > bd
8 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Dokz: i) (+c) (b+c) = b > 0 ii) > b c > 0 A12 b > 0 A11 ( b) c > 0 c b c > 0 c > b c iii) > b, c > 0 c > d, b > 0 ii) c > b c ii) b c > b d trnz. c > b d V Q immo torej definirne nslednje rčunske opercije: +,,, : ( 0) in relcijo urejenosti. Množic števil Q je torej urejen komuttiven obseg. 1.4 Dedekindov ksiom, reln števil Še vedno smo v množici rcionlnih števil. Definicij 1 Množic števil A je nvzgor omejen, če obstj tkšno število, d je x, z vsk x A. Vskemu tkšnemu številu prvimo zgornj mej množice A. mej. Opomb: Če je množic nvzgor omejen, im neskončno mnogo zgornjih Z geometrijsko konstrukcijo lhko vsko rcionlno število predstvimo kot točno določeno točko n številski premici.
1.4. DEDEKINDOV AKSIOM, REALNA ŠTEVILA 9 Definicij 2 Nj bo A nvzgor omejen množic števil. Njmnjšo (če obstj) od vseh zgornjih mej imenujemo ntnčn zgornj mej li supremum množice A. Torej je M ntnčn zgornj mej množice A, če hkrti velj: i) M je zgornj mej množice A, tj. x M z vsk x A. ii) če je c < M, c ni več zgornj mej, torej vsj z en y A velj c < y. Ntnčno zgornjo mejo oznčimo: sup A. Podobno definirmo nvzdol omejene množice in ntnčno spodnjo mejo oz. infimum. Oznk: inf A. Zgled: Nj bo A množic vseh nepozitivnih števil. Ntnčn zgornj mej je: supa = 0. Opomb: Supremum je lhko v A li p tudi ne. V zgornjem zgledu je. Zgled: Nj bo A množic vseh pozitivnih rcionlnih števil, kterih kvdrt je mnjši od 2, slik 1.1, tj. A = {x Q : x > 0,x 2 < 2}. i) Množic A je neprzn, tj. A, sj 1 A. ii) Pokžimo, d je množic A nvzor omejen. Z x A velj x 2 < 2 < 9. Število 3 je zgornj mej. Zgornj mej torej obstj. iii) Vsko pozitivno število, z ktereg velj 2 > 2, je zgornj mej z A. Če je x A, je x 2 < 2 < 2, torej x <. Nobeno pozitivno število, z ktereg velj 2 < 2, ni zgornj mej z A. Nj bo 2 < 2. Tedj je q = 2+2 +2 = + 2 2 +2 >
10 POGLAVJE 1. ŠTEVILA q 2 2 = 42 +8+4 2 +4+4 2 = 42 +8+4 2 2 8 8 (+2) 2 = 22 4 (+2) 2 = 2(2 2) (+2) 2 < 0. Torej je q 2 2 < 0 oz. q 2 < 2, torej q A. Vemo p, d je q >. Sledi, d ni zgornj mej. Če obstj ntnčn zgornj mej M z A, mor torej veljti M 2 = (supa) 2 = 2. Denimo, d je supa = M = m/n, kjer st m in n tuji si števili, tj. ulomek m/n je okrjšn. ( m ) 2 M 2 = = 2 m 2 = 2n 2 n Ker je m 2 = 2n 2, sledi, d je m sodo število, sj je kvdrt sodeg števil vedno sodo število. Potem je lev strn deljiv s 4. Zrdi enkosti je tudi desn strn deljiv s 4, kr p pomeni, d je tudi n sodo število. To p je v protislovju s predpostvko, d st m in n tuji si števili. Torej predpostvk M = m/n je npčn, tj. število 2 ni kvdrt nobeneg rcionlneg števil. Torej množic števil A nim ntnčne zgornje meje v Q. (Ntnčn zgornj mej je 2, ki p ni rcionlno število.) Slik 1.1: 2 ni rcionlno število Z mtemtično nlizo, ki bo uporbn v geometriji in fiziki, potrebujemo sistem števil, ki npolni vso številsko os. Zto k ksiomom A1-A12 dodmo še
1.4. DEDEKINDOV AKSIOM, REALNA ŠTEVILA 11 en ksiom, ki t pogoj izpolni. A13 Dedekindov ksiom - Vsk neprzn nvzgor omejen množic števil im ntnčno zgornjo mejo. Obseg rcionlnih števil torej ne izpolnjuje ksiom A13. Kkšn števil p izpolnjujejo tudi omenjeni ksiom, kko videti, d reln števil obstjjo, in kko jih konstruirti iz rcionlnih števil, bomo spoznli v ndljevnju. 1.4.1 Osnovni izrek o obstoju relnih števil Izrek 1 Obstj urejen komuttiven obseg števil R (tj. izpolnjuje A1 A12), ki izpolnjuje tudi ksiom A13 in vsebuje rcionln števil Q kot podobseg (tj. Q R in opercije seštevnj in množenj v R, uporbljen n Q, sovpd z že znnim seštevnjem in množenjem n Q). Pozitivn števil v R, ki so rcionln, so ntnko Q +. R imenujemo obseg relnih števil. Opomb: Konstrukcijo relnih števil n osnovi rcionlnih števil, ki jo bomo omenili, je prvi objvil nemški mtemtik Dedekind. Istočsno je drugčno konstrukcijo objvil Cntor. Dokz zgornjeg izrek bomo le skicirli. Idej o konstrukciji relnih števil sledi iz zgornjeg zgled. Recimo, d želimo n premici njti število, ktereg kvdrt je 2. D bi tko prišli do točke n številski osi, vs rcionln števil prerežemo n del, tj. tist, kterih kvdrt je mnjši od 2 in tist, kterih kvdrt je večji (li enk) 2, tj. n zgornji in spodnji rzred. Vsko relno število torej rzdeli številsko os (premico) n dv del. Ker mormo tkšen rez znti opisti le z rcionlnimi števili, bomo rez identificirli z množico vseh rcionlnih števil levo od rez: Definicij 3 Relno število je rez, ki rzdeli rcionln števil n dv rzred. Nj bo R množic rezov. Rez (oz. presek) je množic rcionlnih števil A Q, z ktero velj: i) A in A Q. ii) če je p A in q < p, potem je q A.
12 POGLAVJE 1. ŠTEVILA iii) če je p A, obstj tudi nek r A, d je p < r (tj. A ne vsebuje njvečjeg števil). Definicij 4 Vsot rezov A in B, A+B je množic vseh vsot oblike r+s, kjer je r A in s B, slik 1.2. A+B = {r+s : r A, s B} = C Rez 0 je množic vseh negtivnih rcionlnih števil. Slik 1.2: Vsot rezov A in B Opomb: Pokžimo, d je C rez. i) Nj bo r 0 A, s 0 B. Sledi r 0 +s 0 C in od tod C. Če r 1 / A, r 1 / B, velj, d je r 1 zgornj mej z A in z B. Torej iz x A : x < r 1 in y B : y < s 1 sledi: x+y C < r 1 +s 1 / C. ii) Nj bo c C in d < c. Tedj je c = r+s, r A, s B in d = c+(d c) = r }{{} A +(s+(d c)) C. }{{} B iii) Nj bo c C, tedj je c = r+s, r A, s B. r A r 2 A,r < r 2 s B s 2 B,s < s 2 r+s < r 2 +s 2 C Tko definirn opercij seštevnj rezov je torej dobro definirn. Diskusij: Pokzli smo, d je množic rezov R zprt z seštevnje. Enot z seštevnje je 0 = {x Q : x < 0}. Pri tem je A + 0 = A. Nsprotni
1.4. DEDEKINDOV AKSIOM, REALNA ŠTEVILA 13 element z seštevnje definirmo kot množico tistih p, z ktere obstj r > 0, d je p r / A, slik 1.3. Oznčimo g z A. Pri tem je A+( A) = 0. Slik 1.3: Nsprotni rez Rez A imenujemo pozitiven, tj. A > 0, če je rez 0 prv podmnožic rez A, tj. 0 A. ZrezA,B prvimo, dje A > B, čeje rezb prvpodmnožic rez A. Množenje pozitivnih rezov A, B definirmo tkole: Produkt AB je množic tkšnih p, d je p rs, z nek r A, s B, r > 0, s > 0. Množenje poljubnih rezov definirmo tkole: ( A) ( B), če je A < 0 in B < 0 ( ( A) B ), če je A < 0 in B > 0 A B = ( A ( B) ), če je A > 0 in B < 0 in A 0 = 0 A = 0. Pokžemo lhko, d je R zprt tudi z množenje. Enot z množenje je 1 = {x Q : x < 1}, pri tem je A 1 = A. Z rez A in B velj ntnko en od možnostia < B, A = B, A > B. Izkžese, d množicrezovs temi opercijmi izpolnjuje A1 do A12. Pokžimo še, d tko definirn množic R z opercijmi seštevnj in množenj ter urejenostjo zdošč ksiomu A13. Nj bo A neprzn in nvzgor omejen množic v R. Definirjmo C = A A A. Njprej pokžimo, d je C rez in C = supa. i) Ker je A, obstj A A. Ker je A C, tudi C. Po predpostvki je A nvzgor omejen. Torej obstj tkšen rez B, d je A B ( pri rezih pomeni ) z vsk A A. Tedj je C B, sj je vsk A vsebovn v B, ker je B zgornj mej. Ker je B rez, obstj r Q, d r / B, zto B Q in C Q. ii) Nj bo r C, C = A A A. Potem obstj nek A A, d je r A. Če je s < r, je s A, zto je tudi s C.
14 POGLAVJE 1. ŠTEVILA iii) Nj bo C rez, C = A A A, in r C. Potem obstj nek A A, d je r A. Če je s A in s > r, potem je s C. Sledi, d C izpolnjuje i), ii) in iii), torej je C res rez. Torej C = A A A in je rez. Po definiciji neenkosti pri rezih je A C, z vsk A A. Nj bo D < C. Tedj je D prv podmnožic množice C, tj. D C in D C. Tedj obstj s C, s / D. Ker je s C, je s A z nek A A. Ker je s / D, je D prv podmnožic množice A. Torej je D < A. Zto D ni več zgornj mej množice A. Pokzli smo, d je C zgornj mej in če g mlo zmnjšmo (n D), potem ni več zgornj mej. Torej je C njmnjš zgornj mej, tj. C = supa. 1.4.2 Posledice Dedekindoveg ksiom 1. Vsk nvzdol omejen množic relnih števil im ntnčno spodnjo mejo. 2. Množic celih števil Z ni nvzgor omejen. Dokz: Če bi bil, bi imel ntnčno zgornjo mejo M. Tedj M 1 ne bi mogl biti več zgornj mej. Potem bi obstjlo vsj eno celo število n > M 1. Sledi n+1 > M. Ker je n+1 Z, M ne more biti zgornj mej. Torej Z ni nvzgor omejen. 3. Z vsk R obstj b Z, d je < b. Dokz: Recimo, d obstj, d je > b z vsk b Z. Potem je zgornj mej od Z, kr je protislovje s točko 2. 4. Nj bost,b R poljubni pozitivni števili. Tedj obstj n N, d je n > b. (rhimedsk lstnost) Dokz: Po točki 3. obstj celo število n, d je n > b/. Torej je n > b.
1.4. DEDEKINDOV AKSIOM, REALNA ŠTEVILA 15 5. Nj bo > 0. Obstj n N, d je 1/n <. Dokz: Po točki 3. obstj n > 1/, torej 1/n <. 1.4.3 Intervli Definicij 5 Nj bost,b R tkšn, d je < b. Množico vseh x R med in b imenujemo intervl. Pri tem ločimo: i) odprt intervl (,b) = {x : x >,x < b}, ii) zprt intervl - odsek [,b] = {x : x,x b}, iii) polzprt oz. polodprt intervl [,b) = {x : x,x < b} oz. (,b] = {x : x >,x b}. Definicij 6 Nj bo ε > 0. Tedj intervl ( ε,+ε) imenujemo ε-okolic števil, slik 1.4. Slik 1.4: ε okolic števil 1.4.4 Decimlni ulomki Vsko relno število je mogoče zpisti kot (končni li) neskončni decimlni ulomek. Nj bo x > 0, x R in nj bo n njvečje celo število, ki ne preseg števil x. Tedj je x [n,n+1). Po 3. posledici Dedekindovegksiom tkšno
16 POGLAVJE 1. ŠTEVILA število obstj. Intervl [n, n + 1) rzdelimo n deset delov. Poiščemo njvečje število n 1 tko, d velj n+ n 1 10 1 x. Možnosti je deset, tj. n 1 {0,1,...,9}. Tko dobljeni intervl [n 1,n 1 + 1) rzdelimo n deset delov. Poiščemo njvečje število n 2 tko, d velj n+ n 1 10 1 + n 2 10 2 x. Možnosti je deset, tj. n 2 {0,1,...,9}. Tko ndljujemo. Izrek 2 Nj bo A množic števil {n,n+ n1 n1 10,n+ 10 + n2 10,...,n+ n1 2 10 + n2 10 + 2...+ n k 10 k,...}. Tedj je x = supa. Dokz: Število x je ntnčn zgornj mej množice A, če je x zgornj mej in ni nobene mnjše. ) po definiciji števil iz A je vsko mnjše li enko x. Torej je x zgornj mej. b) S protislovjem: denimo, d obstj y < x, d je tudi y zgornj mej. Nj bo Potem je z 1 10 k x y < 1 10 k 1. z = n 0 + n 1 10 + n 2 10 2 +...+ n k 1 10 k 1 + n k 10 k x z = n k+1 1 +... < 10k+1 10 k, kr pomeni y > z oz. y < z. Potem y ni zgornj mej, kr je v protislovju z zčetno predpostvko, d y je zgornj mej. Po nvdi zpišemo ozirom x = n,n 1 n 2 n 3... x = n+ n 1 10 + n 2 100 +.... Kj pomeni desn strn, še ne poznmo. Spoznli bomo pozneje. Posledic 2 Rcionln števil so gost povsod v R. To pomeni, d med poljubnim rzličnim relnim številom (če st še tko blizu) njdemo rcionln števil.
1.5. PEANOVI AKSIOMI 17 Dokz: Nj bo < b in x = ( + b)/2, potem velj < x < b. Rzvijmo x v neskončni decimlni ulomek. Nj bodo x 0,x 1,x 2,... zporedni decimlni približki z x. A = {x 0,x 1,x 2,...} Vemo: x = supa. Ker je x ntnčn zgornj mej množice A in < x, obstj x m A, d je x m >. Torej je < x m x < b oz. < x m < b. Nšli smo rcionlno število x m, ki je med in b. Če si rcionln števil predstvljmo kot točke n številski premici, tedj reln števil npolnijo vso premico. D n premici nič ne mnjk, je torej vsebin Dedekindoveg ksiom. Definicij 7 Reln števil, ki niso rcionln, tj. R \ Q, imenujemo ircionln števil. Reln števil, ki so rešitve kkšne lgebrične enčbe 0 + 1 x+...+ n x n = 0, pri čemer so j Q, j {0,1,...,n} rcionln števil, imenujemo lgebričn števil. Tkšno število je npr. 2. Vs rcionln števil so lgebričn. Reln števil, ki niso lgebričn, imenujemo trnscendentn števil, npr. π, e... 1.5 Penovi ksiomi V ksiomih P1 P5 je itlijnski mtemtik Peno formulirl osnovne lstnosti nrvnih števil. P1 1 je nrvno število. P2 Vskemu nrvnemu številu n sledi ntnko določeno nrvno število, ki g imenujemo nslednik števil n in g oznčimo z n +. P3 Iz n m sledi n + m +. P4 Ševilo 1 ni nslednik nobeneg nrvneg števil.
18 POGLAVJE 1. ŠTEVILA P5 Vsk množic nrvnih števil, ki vsebuje 1 in je v njej s številom n vedno tudi n +, vsebuje vs nrvn števil. (ksiom o popolni (mtemtični) indukciji) A N 1 A n A n + A A = N Smo s pomočjo Penovih ksiomov je mogoče v nrvn števil vpeljti operciji seštevnj in množenj z lstnostmi, ki jih poznmo. Zgled: Ogledli si bomo, kko s pomočjo P1-P5 seštevmo in množimo. Nj bo p N. p+1 = p +, p+2 = (p+1) +, p+3 = (p+2) +,...,p+k +1 = (p+k) + Vemo, kj pomeni številu p prišteti število 1. Če vemo, kj pomeni prišteti k, znmo prišteti tudi k +1. Iz P5 sledi, d znmo prišteti poljubno število. Zelo podobno vpeljemo množenje. Nj bo p N. p 1 = p, p 2 = p+p, p 3 = (p+p)+p,...,p (k +1) = p k +p Vemo, kj pomeni zmnožiti število p s številom 1. Če vemo kj pomeni zmnožiti s k, znmo zmnožiti tudi s k+1. Iz P5 sledi, d znmo k zmnožiti s poljubnim številom. Nrvn števil N vložimo v Z, Z v Q in iz Q z rezi konstruirmo R. Torej je mogoče reln števil konstruirti, če z osnovo vzmemo N z lstnostmi P1-P5. 1.6 Absolutn vrednost Definicij 8 Če je x R, je x, če je x 0 x = x, če je x 0.
1.6. ABSOLUTNA VREDNOST 19 Nenegtivno število x imenujemo bsolutn vrednost števil x. Pri tem velj: i) x 0 ii) x = 0 x = 0 iii) x = x iv) x x x v) n številski premici je x rzdlj od x do 0. Trditev 7 Z poljubni relni števili in b velj +b + b, tj. tko imenovn trikotnišk neenkost. Dokz: Če je vsj eno od števil in b enko 0, velj enčj. Če st in b isteg predznk, tj. ob st pozitivn li ob st negtivn, tudi velj enčj. Če p st in b rzličneg predznk, npr. > 0 in b < 0, p velj: = in b = b, torej + b = b. Od tod sledi, d je + b = b li + b = b, odvisno od teg, ktero od števil b oz. b je nenegtivno. Ker je + b b in tudi + b b, je v obeh primerih +b + b. Trditev 8 Z poljubni relni števili in b velj: b = b. Dokz: Dokz sledi iz definicije bsolutne vrednosti. Posledic 3 Če so 0, 1, 2,..., n reln števil, je 0 + 1 + 2 +...+ n 0 + 1 + 2 +...+ n.
20 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Dokz: Po trditvi velj: 0 + 1 0 + 1, torej posledic velj z n = 1. Denimo, d posledic velj z n. Tedj je po trikotniški neenkosti 0 + 1 +...+ n + n+1 = ( 0 + 1 +...+ n )+ n+1 0 + 1 +...+ n + n+1 0 + 1 +...+ n + n+1 Torej posledic velj z n + 1. Po principu mtemtične indukcije je posledic dokzn. Posledic 4 Z vski relni števili,b je b + b. Dokz: b = +( b) + b = + b Posledic 5 i) ii) b +b b b Dokz: i) = +b b +b + b ( ) b +b b = b+ b+ + ( ) b +b Iz ( ) in ( ) sledi b +b
1.7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA C 21 ii) Dokz sledi iz i). Zgled: Poišči množico rešitev neenčbe 1 x 1 < 1. 2. Z x 1 < 0 je 1+x 1 < 1 x < 1 1 < x < 1 R 2 = ( 1,1) 1. Z x 1 0 je 1 x+1 < 1 2 x < 1 1 < 2 x < 1 3 < x < 1 1 < x < 3 R 1 = (1,3) Množicrešitevzgornjeneenčbeje R = R 1 R 2 = ( 1,1) (1,3). Grfično rešitev njdemo n sliki 1.5. Slik 1.5: Grfičn rešitev neenčbe 1 x 1 < 1 1.7 Kompleksn števil C Rdi bi rešili enčbo oblike x 2 = z vsko relno število, ne smo z 0. Zto mormo obseg relnih števil rzširiti. Definicij 9 Kompleksno število je pr relnih števil, b v predpisnem vrstnem redu (, b), tj. urejen pr relnih števil (, b). Množico kompleksnih števil
22 POGLAVJE 1. ŠTEVILA oznčujemo s C. Množic kompleksnih števil je R R. Vpeljimo nslednje rčunske opercije: Definicij 10 Vsoto in produkt kompleksnih števil (, b) in (c, d) zpišemo (,b)+(c,d) = (+c,b+d) (,b) (c,d) = (c bd,d+bc). Opomb: Kompleksni števili (,b) in (c,d) st enki, tj. (,b) = (c,d), ntnko tedj, ko je = c in b = d. Izrek 3 Množic kompleksnih števil z vsoto in produktom kot zgorj in elementom (0,0) kot enoto z seštevnje ter (1,0) kot enoto z množenje je obseg. Dokz: A1 x = (,b), y = (c,d) in z = (e,f). (x+y)+z = ( (,b)+(c,d) ) +z = (+c,b+d)+(e,f) = (+c+e,b+d+f) = (,b)+(c+e,d+f) = (,b)+ ( (c,d)+(e,f) ) = x+(y +z) A2... A3 x = (,b) x+0 = (,b)+(0,0) = (+0,b+0) = (,b) A4 x = (,b) oz. x = (, b)
1.7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA C 23 A5 (x y) z = ( (,b) (c,d) ) (e,f) = (c bd,d+bc) (e,f) = (ce bde (df +bcf),cf bdf +de+bce) = ( (ce df) b(cf +de),(cf +de)+b(ce df) ) = (,b) (ce df,de+cf) = (,b) ((c,d) (e,f) ) = x (y z) A6... A7 x 1 = (,b) (1,0) = (,b) A8 x = (,b) (0,0) 2 +b 2 > 0 x 1 = 1 ( ) x = b 2 +b 2, 2 +b 2 ( x x 1 2 = 2 +b 2 b2 b 2 +b 2, 2 +b 2 + b ) 2 +b 2 = (1,0) A9 (1,0) (0,0) A10... Ker velj (,0)+(b,0) = (+b,0) (,0) (b,0) = (b,0), enčimo kompleksn števil oblike (, 0) z relnimi števili. Definicij 11 Število i = (0,1) je imginrn enot. Pri tem je i 2 = (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1.
24 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Kompleksno število lhko zto pišemo: x = (,b) = (,0) (1,0)+(b,0) (0,1) = +ib, torej x := +ib. Definicij 12 Če st in b relni števili in z = +bi, potem je = Rez relni del kompleksneg števil in b = Imz je imginrni del kompleksneg števil z. Poleg teg vpeljemo še konjugirno kompleksno število številu z, tj. z = ib. Pri tem z = z z = 2 +b 2 = (Rez) 2 +(Imz) 2. z imenujemo bsolutn vrednost kompleksneg števil z. Trditev 9 Če je z,w C, potem velj: 1. z +w = z +w, 2. z w = z w, 3. Rez = z +z 2 in Imz = z z. 2i Dokz: Nj bo z = +ib, z = ib, w = c+id, w = c id
1.7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA C 25 1. z +w = (+ib)+(c+id) = +c+i(b+d) z +w = +c i(b+d) z +w = ( ib)+(c id) = +c i(b+d) 2. z w = (+ib)(c+id) = c+id+ibc bd = (c bd)+i(d+bc) z w = (c bd) i(d+bc) z w = ( ib)(c id) = (c bd) i(d+bc) 3. z +z = +ib+ ib = 2 = Rez = z +z 2 z z = +ib +ib = 2ib b = Imz = z z 2i Trditev 10 Nj bost z, w kompleksni števili. Tedj je: 1. z > 0 rzen, ko je z = 0, 2. z = z, 3. z w = z w,
26 POGLAVJE 1. ŠTEVILA 4. Rez z, Imz z, 5. z +w z + w. Dokz: 1. z = z z = (+ib)( ib) = 2 +b 2 > 0 2. z = z z = ( ib)(+ib) = 2 +b 2 = z 3. z w = (+ib)(c+id) = c+id+ibc bd = c bd+i(d+bc) (c bd+i(d+bc) )( ) z w = c bd i(d+bc) = (c bd) 2 +(d+bc) 2 = 2 c 2 2bcd+b 2 d 2 + 2 d 2 +2bcd+b 2 c 2 = ( 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) z w = (+ib)( ib) (c+id)(c id) = 2 +b 2 c 2 +d 2 = ( 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )
1.7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA C 27 4. z = (Rez) 2 +(Imz) 2 (Rez) 2 +0 = Re(z) z = (Rez) 2 +(Imz) 2 0+(Imz) 2 = Im(z) 5. ( ) Rez = z +z 2 ( ) w z = w z = w z z +w 2 = (z +w) (z +w) = (z +w) (z +w) = z z +w z +w z +w w ( ) = z 2 + w 2 +2Re(w z) w z +w z Re(wz) = 2 ( ) w z +w z = 2 ( z + w ) 2 = z 2 +2 z w + w 2 = z 2 +2 z w + w 2 = z 2 + w 2 +2 w z Od tod in točke 4. sledi z +w z + w. Posledic 6 z +w z w z w z w
28 POGLAVJE 1. ŠTEVILA Dokz: Iz z = (z +w) w z +w + w w = (w+z) z z +w + z sledi z w z +w w z z +w in od tod z w z +w. Podobno pokžemo še z w z w 1.7.1 Geometrijsk interpretcij kompleksneg števil V kompleksni rvnini pr (,b) C ponzorimo s točko. Nj bo z = + ib. Oznčimo r = z in ϑ kot med relno osjo in dljico, ki povezuje koordintno izhodišče in točko (, b), slik 1.6. Slik 1.6: Geometrijsk interpretcij kompleksneg števil Iz geometrije n sliki 1.6 sledi: = Rez = z cosϑ = rcosϑ, b = Imz = z sinϑ = rsinϑ.
1.7. KOMPLEKSNA ŠTEVILA C 29 Kot ϑ imenujemo rgument kompleksneg števil. Oznk je rgz = ϑ. Kot ϑ je določen le do celeg mnogokrtnik 2π ntnčno. Običjno izberemo ϑ tko, d je 0 ϑ < 2π. Kompleksno število z = +ib tedj zpišemo kot z = z cosϑ+i z sinϑ = z (cosϑ+isinϑ) Temu zpisu prvimo polrni zpis kompleksneg števil. Oglejmo si, kko izgled produkt dveh kompleksnih števil v polrnem zpisu. Nj bo z = z (cosα+isinα) in w = w (cosβ +isinβ). Tedj je zw = z w (cosα+isinα)(cosβ +isinβ) = z w ( (cosαcosβ sinαsinβ)+i(sinαcosβ +cosαsinβ) ) Ker je po dicijskih izrekih z kotne funkcije cosαcosβ sinαsinβ = cos(α+β) sinαcosβ +cosαsinβ = sin(α+β), je torej zw = z w ( cos(α+β)+isin(α+β) ). V posebnem primeru je torej (cosα+isinα)(cosβ +isinβ) = cos(α+β)+isin(α+β), od koder sledi t.i. de Moivreov formul (cosα+isinα) n = cosnα+isinnα, ki velj z vsk kot α in vsko nrvno število n. Če je n nrvno število, števil z, ki rešujejo enčbo z n = 1,
30 POGLAVJE 1. ŠTEVILA imenujemo n-te korene enote. Z uporbo de Moivreove formule vidimo, d so to števil cos k2π n +isin k2π n, k {0,1,...,n 1}, tj. točke n krožnici {z : z = 1}, ki so oglišč prvilneg n-kotnik, ktereg eno oglišče je v točki (1,0).
Poglvje 2 Zporedj 2.1 O množich in preslikvh Definicij 13 Nj bost A in B množici. Preslikv iz množice A v množico B je prvilo, ki vskemu elementu iz množice A priredi ntnko določen element množice B. Pri tem pišemo f : A B f : f() Prvimo, d je f preslikv z A v B. Pri tem imenujemo množico A definicijsko območje preslikve f, množico vseh elementov oblike f(), ko preteče A, p zlogo vrednosti preslikve f. Definicijsko območje oznčimo tudi z D(f), torej D(f) = A, zlogo vrednosti p z R(f), torej R(f) = {f() : A}. Definicij 14 Nj bost A in B množici in f : A B preslikv. Če je E A, oznčimo z f(e) množico vseh elementov iz B, oblike f(), E. Množici f(e) prvimo slik množice E s preslikvo f. Definicij 15 Če je E B, je f 1 (E) množic vseh tkšnih A, d je f() E. f 1 (E) imenujemo prslik množice E pri preslikvi f oz. inverzn slik. 31
32 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Definicij 16 Nj bo f preslikv z A v B. f(a) je zlog vrednosti preslikve f. Če velj f(a) = B, prvimo, d je f surjektivn preslikv in pišemo f : A B. Prvimo, d je f injektivn, če iz x,y A, x y sledi f(x) f(y). To oznčimo z f : A B Preslikv, ki je hkrti surjektivn in injektivn, se imenuje bijektivn oz. obrtno enoličn preslikv. Oznk f : A B Če je f : A B bijektivn, potem zrdi surjektivnosti z vsk b B obstj tkšen A, d f() = b. Zrdi injektivnosti je tkšen element en sm. N t nčin lhko definirmo preslikvo z B v A, ki elementu b B priredi ntnko določen element A, d je f() = b. Tko definirn preslikv se imenuje inverzn preslikv bijektivne preslikve f. Oznčimo jo z f 1. Z A in b B in bijektivno prelikvo f torej velj: f : A B, f() = b, f 1 : B A, f 1 (b) =. Definicij 17 Nj bost f : A B in g : B C preslikvi. Kompozicij oz. kompozitum preslikve f s preslikvo g je preslikv g f : A C, definirn s predpisom (g f)() = g ( f() ). Omenimo še identično preslikvo oz. identiteto. id A : A A id A () =, z vse A.
2.2. ZAPOREDJA ŠTEVIL 33 Zgled: Nj bo f : A B bijekcij in f 1 : B A njen inverzn preslikv. Tedj velj: f f 1 = id B, f 1 f = id A. Definicij 18 Množici A in B st ekvipolentni oz. enko močni, če obstj bijektivn preslikv f : A B. Tedj prvimo tudi, d imt isto krdinlno število. Definicij 19 Množic je števn, če je končn li števno neskončn. Končn množic je množic, ki im končno mnogo elementov. Števnoneskončn množic je množic, ki je ekvipolentn množici N. Neskočn množic, ki nim iste moči kot N, p je neštevn množic. Izrek 4 Končni množici st ekvipolentni ntnko tedj, ko imt isto število elementov. Opomb: Množice N, Z in Q so števne množice (obstj bijekcij), medtem ko R ni števn množic. 2.2 Zporedj števil Definicij 20 Zporedje relnih števil je preslikv iz N v R. f : N R. Običjno zpišemo f(n) = n Zporedje običjno podjmo tko, d člene zporedj zpišemo eneg z drugim: 1, 2, 3,..., včsih p tko, d zpišemo { n } n=1. Število n imenujemo n-ti člen zporedj.
34 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Zgled: 1. n = n, 1 = 1, 2 = 2,... 2. n = ( 1) n, 1 = 1, 2 = 1,... 3. n, n je sodo n = 1/n, n je liho 1 = 1/1, 2 = 2, 3 = 1/3,... 4. Zporedje lhko podmo tudi rekurzivno, tj. tko, d povemo, kko se n-ti člen zporedj izrž s predhodnimi členi. Poseben primer tko podneg zporedj je t.i. Fibonccijevo zporedje, ki je podno z 1 = 2 = 1, n+2 = n+1 + n, (n N). Zporedje je torej 1,1,2,3,5,.... Definicij 21 Zporedje { n } n=1 je nvzgor omejeno, če je zlog vrednosti preslikve n n, n N, nvzgor omejen, tj., če obstj tkšen M R, d je n M z vsk n N. Podobno je definirno nvzdol omejeno zporedje. Definicij 22 Ntnčn zgornj mej zporedj { n } n=1, ki je nvzgor omejeno, oznčimo jo s sup n = b, je ntnčn zgornj mej množice vseh n. Torej je b = sup n, če je i) n b z vse n N, ii) Z vsk c < b obstj vsj en n 0, d je n0 > c. Definicij 23 Nj bo dno zporedje 1, 2, 3,... in zporedje nrvnih števil n 1,n 2,n 3,..., d velj n 1 < n 2 < n 3 <.... Zporedje n1, n2, n3,... tedj imenujemo podzporedje zporedj 1, 2, 3,....
2.3. STEKALIŠČA ZAPOREDJA 35 2.3 Steklišč zporedj Definicij 24 Število imenujemo steklišče zporedj { n} n=1, če v vski (torej še tko mjhni) okolici števil leži neskončno mnogo členov zporedj. Z drugimi besedmi: je steklišče { n } n=1, če z vsk ε > 0 velj n < ε z neskončno mnogo n-jev. Slik 2.1: ε-okolic števil Opomb: Besed steklišče mord ni bil njbolj posrečeno izbrn, ker bi ns mord nvedl n npčen sklep, d mor biti steklišče eno smo. Ko prvimo v okolici U leži neskončno mnogo členov zporedj { n } n=1, s tem povemo, d je n U z neskončno mnogo indeksov n. Ti členi med seboj niso nujno rzlični. Zporedje 0,0,0,..., kjer je n = 0 z vse n, im steklišče 0. Izrek 5 Če vsk (še tko mjhn) okolic števil vsebuje nek člen zporedj { n } n=1, n, potem je steklišče zporedj. Dokz: Nj bo ε > 0. Po predpostvki obstj tkšen člen zporedj n1, d velj: n1, n1 < ε. Po predpostvki obstj tkšen člen zporedj n2, d velj: n2, n2 < n1 < ε. Člene teg zporedj dobimo induktivno. Denimo, d že immo člene n1, n2,..., nm, z ktere velj 0 < nm <... < n2 < n1 < ε. Po predpostvki obstj tkšen člen zporedj nm+1, d velj: nm+1, nm+1 < nm <... < n1 < ε.
36 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Izrek 6 Vsko n obe strni omejeno (n krtko: omejeno) zporedje { n } n=1 im vsj eno steklišče. Dokz: Nj bo zporedje { n } n=1 omejeno, m nek njegov spodnj mej in M njegov ntnčn zgornj mej. Nj bo U množic vseh tistih u R, d je neenkost n < u izpolnjen z njveč končno mnogo členov zporedj { n } n=1, tj., d je levo od u njveč končno mnogo členov zporedj (torej lhko tudi z nobeneg). Množic U ni przn, ker vsebuje m. Zporedje je nvzgor omejeno, torej je nvzgor omejen tudi U. Množic U je torej neprzn in nvzgor omejen. Po Dedekindovem ksiomu im ntnčno zgornjo mejo, ki jo oznčimo z = supu. Če je b U, iz lstnosti množice U sledi, d so vs števil mnjš od b tudi v U. Vs števil, mnjš od, so torej v množici U. Nj bo ε > 0. Ker je ε 2 v množici U, + ε 2 p ni v njej, je n številski premici levo od ε 2 končno število členov zporedj, levo od + ε 2 p jih je neskončno. Torej jih je neskončno tudi n intervlu ( ε 2, + ε 2 ), ki vsebuje vse člene od ε 2 do + ε 2. Ker to velj z vsk ε > 0, je res steklišče. 2.4 Konvergentn zporedj Definicij 25 Zporedje { n } n=1 konvergir proti številu, če v vski (še tko mjhni) okolici števil ležijo vsi členi zporedj od nekeg nprej, tj., če z vsk ε > 0 obstj tkšen n 0 N, d velj n < ε z vsk n n 0. Če zporedje konvergir, prvimo, d je zporedje konvergentno. Število, h kteremu zporedje konvergir, imenujemo limit zporedj, in pišemo = lim n n. Zporedje, ki ne konvergir, imenujemo divergentno zporedje in prvimo, d divergir. Zgled:
2.4. KONVERGENTNA ZAPOREDJA 37 1. zporedje n = ( 1) n divergir 2. zporedje n = ( 1) n 1 n konvergir k 0, torej lim n ( 1) n 1 n = 0. Dokz: Nj bo ε > 0. n 0 < ε ( 1)n1 n < ε 1 n < ε Vemo, d obstj n 0 N, d je 1 n 0 < ε, torej z vsk n n 0 velj: 1 n 1 n 0 < ε, od koder sledi, d z vsk n n 0 velj n 0 < ε. Zpomnimo si, d je vsk limit zporedj tudi steklišče zporedj. Steklišče p ni nujno limit, tudi če je eno smo. Zgled: Oglejmo si zporedje: n, n je sodo n = 1/n, n je liho, s členi 1 1,2, 1 3,4, 1 5,6... Steklišče je eno smo, tj. 0, zporedje p ni konvergentno. Trditev 11 Če zporedje konvergir, im ntnko eno limito. Dokz. Denimo, d im zporedje { n } n=1 dve limiti. lim n =, n lim n = b, b. n Nj bo ε = b 4 > 0. Tedj je ε > 0 in okolici ( ε,+ε) in (b ε,b+ε) st disjunktni, tj. ( ε,+ε) (b ε,b+ε) =.
38 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Če je x ( ε,+ε), je x b = x + b b x > b ε = 3 4 b > 1 4 b. Od tod sledi x / (b ε,b + ε). Ker je limit zporedj { n } n=1, obstj n 0 N, d z n n 0 velj: n < ε. Torej n b < ε velj kvečjemu z končno mnogo indeksov. Kr p vodi v protislovje z dejstvom, d je b limit zporedj. Sledi torej = b, kr pomeni: če limit obstj, je en sm. Zgled: Ugotovi,odkteregčlensevsičlenizporedj n = 1/2 n 1 rzlikujejo od limite z mnj kot ε = 10 2. Limitl=lim n n = lim n 1/2 n 1 = 0. Njtimormotkšenn 0 N, d je neenkost n l < ε izpolnjen z vskn n 0. Sedj n l < ε pomeni 1 0 2n 1 < 10 2, 1 2 n 1 < 10 2, 2 n 1 > 100, n 1 > log100 log2, n > 1+ log100 log2 7,7. Ker je pomeni, d z n 0 = 8 velj 1+ log100 log2 7,7, n 0 > 1+ log100 log2 in torej z vsk n n 0 velj n > 1+ log100 log2,
2.4. KONVERGENTNA ZAPOREDJA 39 torej n 0 < ε = 10 2. Sledi, d se od osmeg člen nprej vsi členi nšeg zporedj rzlikujejo od limite z mnj kot 10 2. Opomb: Če zporedje { n} n=1 konvergir k, včsih prvimo, d gre n proti, ko gre n čez vse meje. Seved p to ne pomeni, d je z vsk n člen n+1 bližje, kot člen n. Nrvno vpršnje je, li je mogoče smo s členi zporedj (ne d bi omenili limito) povedti, kdj je zporedje konvergentno. N to vpršnje odgovori izrek 7. Definicij 26 Zporedje { n } n=1 izpolnjuje Cuchyjev pogoj, če zvsk ε > 0 obstj tkšen n 0 N, d je n m < ε z poljubn n,m n 0. Opomb: Zgornje pomeni, d st si dovolj pozn člen poljubno blizu. Zporedje, ki zdošč Cuchyjevemu pogoju, je vedno omejeno. Zporedju, ki izpolnjuje Cuchyjev pogoj, včsih krtko prvimo Cuchyjevo zporedje. Izrek 7 Zporedje { n } n=1 izpolnjuje Cuchyjev pogoj. relnih števil je konvergentno ntnko tedj, ko Dokz: ( ) Zporedje konvergentno Cuchyjev pogoj. Nj bo { n } n=1 konvergentno zporedje. Nj bo ε > 0 in = lim n n. Tedj obstj n 0 N, d z vsk n n 0 velj: n < ε 2. Nj bost m,n n 0. Tedj velj: n m = ( n ) ( m ) n + m < ε 2 + ε 2 = ε. Z vsk ε > 0 smo torej nšli n 0, d je n m < ε z poljubn n,m n 0. Zporedje torej izpolnjuje Cuchyjev pogoj. ( ) Cuchyjev pogoj zporedje konvergentno. Nj zporedje { n } n=1 zdošč Cuchyjevemu pogoju. Tedj je zporedje omejeno. Z ε 0 = 1 obstj
40 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA n 0 N, d z n,m n 0 velj n m < 1. V posebnem primeru velj n n0 < 1. Zto vsi členi zporedj od člen n0 nprej ležijo n intervlu ( n0 1, n0 +1). Izven teg intervl jih je le končno mnogo, tj. n 0 1 členov. Potem je zporedje res n obe strni omejeno. Torej im vsj eno steklišče. Pokzti mormo še, d je steklišče eno smo in d je to steklišče limit. Denimo, d im { n } n=1 dve steklišči in b, b. Nj bo b = l. Slik 2.2: Steklišči zporedj Ker je steklišče, v okolici ( l/3,+l/3) leži neskončno mnogo členov zporedj. Ker je b steklišče, tudi v okolici (b l/3,b + l/3) leži neskončno mnogo členov zporedj. Torej v obeh okolich ležijo členi zporedj s poljubno visokimi indeksi. Ker je zporedje Cuchyjevo, obstj tkšen n 0 N, d z poljubn m,n n 0 velj, d je n m < l/3. Vemo že, d lhko njdemo m n 0, d bo m ( l/3,+l/3) in n (b l/3,b+l/3). Tedj velj n m = (b ) ( m ) (b n ) b m b n l l 3 l 3 = l 3, protislovje. Dokzli smo torej, d je steklišče eno smo. Oznčimo g z. Pokzti mormo smo še, d je to število tudi limit zporedj. Nj bo ε > 0 poljubno mjhno. Pokžimo, d leži izven okolice ( ε,+ε) njveč končno mnogo členov. Če bi bilo nmreč zunj te okolice neskončno mnogo členov, bi lhko nšli podzporedje n1, n2, n3,..., d bi bili vsi členi teg podzporedj zunj intervl ( ε, + ε), tj. nk ε. Tkšno podzporedje p je omejeno, sj izpolnjuje Cuchyjev pogoj. Zto im vsj eno steklišče, ki je seved hkrti tudi steklišče prvotneg zporedj { n } n=1. Ker z vse člene nk velj nk ε, sledi, d je c ε, od koder sledi
2.5. MONOTONA ZAPOREDJA 41 c. To pomeni, d im zporedje še eno steklišče, c, ki p je rzlično od. Vemo p, d tkšneg steklišč ni. Protislovje pokže, d je izven okolice ( ε, + ε) njveč končno členov zporedj { n } n=1, kr pomeni, d so od nekeg dovolj pozneg člen nprej vsi v omenjenem intervlu. Torej z vsk ε > 0 obstj n 0 N, tko d z n n 0 velj: n < ε, kr pomeni, d je limit zporedj { n } n=1. Trditev 12 Vsko omejeno zporedje, ki im eno smo steklišče, je konvergentno. To edino steklišče je limit zporedj. Dokz: Sledi iz dokz prejšnjeg izrek. Trditev 13 Vsko konvergentno zporedje je omejeno in im ntnko eno steklišče, ki je tudi limit zporedj. Dokz: Sledi iz dokz prejšnjeg izrek. Opomb: Če zporedje ni omejeno in im eno smo steklišče, ni konvergentno. Zgled: Še enkrt si oglejmo zporedje: n, n je sodo n = 1/n, n je liho, torej zporedje 1 1,2, 1 3,4, 1 5,6... Steklišče je eno smo, tj. 0, zporedje p ni omejeno, torej ni konvergentno. 2.5 Monoton zporedj Definicij 27 Zporedje { n } n=1 je nrščjoče, če je n n+1 z vsk n N in je pdjoče, če je n n+1 z vsk n N. Zporedje { n } n=1 je strogo nrščjoče, če je n < n+1 z vsk n N in strogo podjoče zporedje, če je n > n+1 z vsk n N.
42 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Zgled: 1. Zporedje n = n je strogo nrščjoče. 2. Zporedje n = 1/n je strogo pdjoče. Izrek 8 Nrščjoče zporedje { n } n=1 je konvergentno ntnko tedj, ko je nvzgor omejeno. V tem primeru je njegov limit enk ntnčni zgornji meji, lim n = sup n =. n Dokz: Nj bo = sup n in ε > 0 poljuben. Ker ε ni več zgornj mej zporedj, obstj n 0 N, d velj ε < n0. Ker je zporedje nrščjoče in ker je njegov zgornj mej, velj z n n 0 nslednj neenkost ε < n < +ε. Torej z n n 0 velj n < ε. Ker je bil ε poljubno mjhen, sledi, d zporedje konvergir k. Izrek 9 Pdjoče zporedje { n } n=1 je konvergentno ntnko tedj, ko je nvzdol omejeno. Dokz: je nlogen dokzu prejšnjeg izrek. Izrek 10 Nj bo [ n,b n ] zporedje vloženih zprtih intervlov, tj. [ n+1,b n+1 ] [ n,b n ] n N. Nj zporedje njihovih dolžin konvergir k 0, tj. lim (b n n ) = 0. n Tedj obstj ntnko eno število c, ki je vsebovno v vseh intervlih, tj. c [ n,b n ] z vsk n ozirom {c} = n=1 [ n,b n ].
2.5. MONOTONA ZAPOREDJA 43 Slik 2.3: Zporedje vloženih intervlov Dokz: Iz [ n+1,b n+1 ] [ n,b n ] sledi n n+1 b n+1 b n. Zporedje { n } n=1 je torej nrščjoče, medtem ko je zporedje {b n} n=1 pdjoče. Velj tudi n b n, zvskn N. Torejje sup n infb n. Kerje lim n b n n = 0, sledi, d je sup n = infb n. Če oznčimo c = sup n = infb n, je torej {c} = n=1 [ n,b n ]. Zgled: Oglejmo si zporedje vloženih intervlov [ n,b n ], pri čemer je n = 1 2/n in b n = 1+1/n. Prvi intervl je [ 1,2], drugi intervl je [0,3/2] itn. Velj in c = 1. lim n 1+ 1 (1 n n) 2 = lim n 3 n = 0 Spomnimo se, d podzporedje zporedj { n } n=1 imenujemo vsko zporedje oblike n1, n2,..., kjer so n 1 < n 2 < n 3 <... strogo nrščjoči indeksi. Neposredno iz definicije konvergence sledi, d konvergentno zporedje ostne konvergentno, če mu odvzmemo li dodmo končno mnogo členov. Vsko podzporedje konvergentneg zporedj je konvergentno in im isto limito kot prvotno zporedje: Trditev 14 Nj bo lim n n =, tedj je lim k nk = z vsko podzporedje { nk } k=1. Dokz: Nj bo ε > 0. Ker je lim n n =, obstj n 0 N, d je z vsk n n 0 izpolnjen neenčb n < ε. Ker je nk podzporedje, obstj k 0 N, d je iz n k0 n 0 sledi nk < ε z vsk k k 0. Pri tem je n k n k0 n 0. Izrek 11 Nj bo { n } n=1 zporedje. Število c R je steklišče zporedj { n } n=1 ntnko tedj, ko obstj podzporedje, ki konvergir k c.
44 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Dokz: ( ) Nj obstj podzporedje { nk } k=1, ki konvergir k c. Nj bo ε > 0. Potem obstj nek k 0 N, d z vsk k k 0 velj, d je nk c < ε. Torej v okolici (c ε,c+ε) leži neskončno mnogo členov zporedj. Torej je c res steklišče. ( ) Nj bo c steklišče zporedj { n } n=1. Rdi bi nšli podzporedje, ki konvergir k c. Nj bo U n = (c 1/n,c + 1/n). U 1 je okolic točke c. V U 1 leži neskončno mnogo členov zporedj, torej obstj n1 U 1. U 2 je spet okolic točke c. V U 2 leži neskončno mnogo členov zporedj, torej obstj n2 U 2, n 2 > n 1. Induktivno sklepmonprej,...denimo, d žepoznmo n1, n2,..., nk, z nj U j, z j {1,2,...,k}, n 1 < n 2 <... < n k. V okolici U k+1 leži neskončno mnogo členov zporedj (ker je c steklišče). Torej obstj nk+1 U k+1, n k+1 > n k. Dobili smo podzporedje { nk } k=1. Pokžimo še, d je lim n nk = c. Nj bo ε > 0. Potem obstjtkšen k 0 N, d je 1/k 0 < ε, iz česr nprej sledi U k0 (c ε,c+ε). Torej (c 1/k 0,c+1/k 0 ) (c ε,c+ε). Nj bo k k 0. nk U k U k0 (c ε,c+ε), iz česr sledi nk c < ε. Posledic 7 Vsko omejeno zporedje im konvergentno podzporedje. 2.6 Rčunnje z zporedji Izrek 12 Nj bost { n } n=1 in {b n} n=1 konvergentni zporedji. Tedj konvergirjo tudi zporedj: i) 1 +b 1, 2 +b 2,... ii) 1 b 1, 2 b 2,... iii) 1 b 1, 2 b 2,... poleg teg velj še lim ( n +b n ) = lim n + lim b n n n n lim ( n b n ) = lim n lim b n n n n lim n ( n b n ) = lim n n lim n b n
2.6. RAČUNANJE Z ZAPOREDJI 45 Dokz: i)zporedji{ n } n=1 in{b n} n=1 stkonvergentni. Njbolim n n = in lim n b n = b. Želimo pokzti, d je lim n ( n +b n ) = +b. Nj bo ε > 0. Tedj obstj n 1 N, d z n n 1 velj, d je n < ε/2. Prv tko obstj n 2 N, d z n n 2 velj, d je b n b < ε/2. Oglejmo si rzliko n +b n (+b) = ( n )+(b n b) n + b n b. Nj bo n 0 = mx{n 1,n 2 } in n n 0. Tedj je tudi n n 1 in n n 2, zto sledi n +b n (+b) < ε/2+ε/2 = ε ii) podobno kot v primeru i). iii)njbolim n n = inlim n b n = b. Rdibipokzli,djelim n ( n b n ) = b. Ocenimo n b n b = n b n n b+ n b b n b n b + b n = ( ) Nj bo ε > 0. Ker je zporedje { n } n=1 konvergentno, je omejeno, torej obstj M <, d je n M z vse n N. Ker je lim n n = in lim n b n = b, obstj n 0 N, d z vse n n 0 velj n < ε 2 ( M + b ), b ε n b < 2 ( M + b ). Torej je ( ) M b n b + b n ε M 2 ( M + b ) + b ε 2 ( M + b ) ε 2 + ε 2 = ε. Torej z vsk ε > 0 lhko njdemo n 0, d je n b n b < ε z vse n n 0, kr pomeni, d je lim n n b n = b.
46 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA Posledic 8 Če zporedje { n} n=1 konvergir in je λ R, tedj tudi zporedje {λ n } n=1 konvergir in velj lim λ n = λ lim n n n Dokz: Sledi iz iii) prejšnjeg izrek, če vzmemo b n = λ, (n N). Z indukcijo lhko prejšnj prvil posplošimo n poljubno končno število sumndov li fktorjev. Izrek 13 Nj zporedje { n } n=1 konvergir in nj bo n 0 z vsk n N. Nj z limito = lim n n tudi velj, d je 0. Tedj konvergir zporedje {1/ n } n=1 in je lim n 1 n = 1 lim = 1 n. n Dokz: Ker zporedje { n } n=1 konvergir k, 0, od nekeg n 0 nprej vsi členi n ležijo v intervlu ( /2, + /2). T intervl se ne sek z intervlom ( /2, /2). N intervlu ( /2, /2) torej lhko leži njveč končno mnogo členov n, ki so po nši predpostvki vsi rzlični od 0. To p pomeni, d obstj η > 0, d n intervlu ( η,η) ni nobeneg člen zporedj { n } n=1, torej n η z vse n N. Nj bo ε > 0. Ker { n } n=1 konvergir k, obstj n 0 N, d je n < ηε z vse n n 0. Če je torej n n 0, sledi 1 1 n = n n n η < ηε η = ε. Ker je bil ε > 0 poljuben, to pomeni, d je lim n 1/ n = 1/. Posledic 9 Če st zporedji { n} n=1 in {b n} n=1 konvergentni, pri čemer so vsi b n 0 in lim n b n 0, tedj konvergir tudi zporedje 1 b 1, 2 b 2,...
2.7. ZGORNJA IN SPODNJA LIMITA, LIMITA +, 47 in velj: Dokz: Sledi iz prejšnjih izrekov: lim n n n lim = n b n lim b. n n n lim = lim n b n 1 n n b n 1 = lim n lim n n b n = lim 1 n n lim n b n = lim n n lim n b n. Zgled: Oglejmo si nslednjo limito. 2n 3 +n 2 lim n n 3 +n 2 +3 = lim 2+ 1 n 2 2 n 3 n 1+ 1 n + 3 n 3 = lim ( ) n 2+ 1 n 2 ( 2 n 3 lim n 1+ 1 n + ) 3 n 3 = lim n 2+lim n 1 n 2 lim n 2 n 3 lim n 1+lim n 1 n +lim n 3 n 3 = 2+0 0 1+0+0 = 2 2.7 Zgornj in spodnj limit, limit +, Definicij 28 Prvimo, d zporedje konvergir k +, če z vsk A R obstj tkšen n 0 N, d je n > A z vse n n 0. V tem primeru pišemo: lim n = +. n Podobno definirmo konvergenco k. Tkšn zporedj ne štejemo z konvergentn. Izrz: konvergir k + oz. konvergir k rzumemo kot eno smo besedo. Če velj lim n n =