Ασκήσεις στις παράγουσες

Παράγουσες βασικών συναρτήσεων Ασκήσεις στις παράγουσες Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης f()= και μετά να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,) Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:,>0 i) f ii) f 4 iii) f iv) f Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f, 0 iii), 0, f ii) 4 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f, 0 iii) f, 0, ii) iv) 5 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: f 6 f, 0, ( ), 0 f 6 7 f, 0 i) ii) iii) iv) f f, 0, v) f vii) f 6, 0 vi) f f viii) f Παράγουσες συναρτήσεων με εφαρμογή των κανόνων παραγώγισης 6 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ln ii) f iv) f ln, 0 v) f 4, 0, 0, 0, iii), 0 vi) f f

7 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: f f i) ii) iii) f ln iv) f, 0 v) f, 0 vi) f 8 Να βρείτε την συνάρτηση f για την οποία ισχύει : ln i) f με >0 και f()= ii) f ( ) και f(0)=0 iii) ( ln ) f, και f(0)= Παράγουσες σύνθετων συναρτήσεων 9 Να βρείτε την συνάρτηση f για την οποία ισχύει : i) f 5 και f (0) ii) f με < και f()=- iii) f,με (, ) και f(4)= iv) f,με f(0)=ln+ 0 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f 4 4 4 iii) f v) f ii) 68, 0 iv) f f vi) f vii) f viii) f i), 0, ) f f Παράγουσες συνάρτησης σε διαστήματα Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f i), 0, και f(0)= ii) iii) f, 0 και f () ln, 0 4, 0 f 0 και f()=f ()=

Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:, 0, 0 i) f ii) f, 0, 0 iii) f f 4 iv) Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:, 0 i) f, 0 ii) f 4 Να βρείτε συνάρτηση f : R R,όταν η Cf δέχεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της M(,f()) με κλίση 4 5 Να βρείτε συνάρτηση f : ( ) M(,f()) με κλίση για κάθε και διέρχεται από το σημείο M, 0, R,όταν η C f δέχεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της και διέρχεται από το σημείο M, 6 Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει: και γραφική του παράσταση διέρχεται από το σημείο M, f 8 7 Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο M 9,50 και η εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο A, f έχει κλίση 4 8 Να βρείτε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: 4 6, και η γραφική της παράσταση έχει στο σημείο f 5 M, κλίση 9 Να βρείτε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f( ) f, 0 Αν lim και f()=-να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 0 Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: και f(0)=0 f R f ( ) ( ), Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f 8 44 Να βρείτε συνάρτηση f σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: και f 4

4ln i) f, f, 0 ii) f 4 5, f f iii) f f 6, f 0 iv) f, f Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, 0, ln f f ln f και f i) Να βρεθεί ο τύπος της f ii) Να υπολογιστεί lim 4 Να υπολογίσετε τα, f 6 4 f για την οποία ισχύει ώστε η συνάρτηση F να είναι παράγουσα της Γενικές ασκήσεις 5 Αν οι συναρτήσεις F και G είναι αρχικές των συναρτήσεων f, δείξετε ότι και η συνάρτηση F G είναι αρχική της h f g g αντίστοιχα, να 6 Δίνεται άρτια και συνεχής συνάρτηση f : Να αποδείξετε ότι η παράγουσα F της f, είναι περιττή συνάρτηση με δεδομένο ότι F(0)=0 7 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : Να βρείτε την αρχική συνάρτηση F της f στο R,για την οποία ισχύουν: F(0) 0 και F( ) f(),για κάθε Στη συνέχεια, να βρείτε τη συνάρτηση f 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : Να βρείτε την παράγουσα F της f στο R,για την οποία ισχύουν: F (0) και ( ) f ( ) F( ),για κάθε 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : με f(0)= και F μία αρχική της f στο R,για την οποία ισχύει: f ( ), R Nα βρείτε τη συνάρτηση f F( ) 0 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : και F μία αρχική της f στο RΑν f()= και f F για κάθε, τότε να βρείτε τον τύπο της f 5

Δίνεται συνεχής συνάρτηση : f με παράγουσα F Αν F f f F για κάθε, τότε: i) να αποδείξετε ότι F ii) η συνάρτηση g F F (0) 0 και είναι σταθερή στο και να βρείτε τη τιμή της iii) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη iv) να βρείτε την f Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : με παράγουσα F για την οποία ισχύει: F F F για κάθε Να αποδείξετε ότι f 0 Δίνεται η συνάρτηση f :(0, ),η οποία είναι φορές παραγωγίσιμη στο (0, ) και για κάθε >0 ισχύει: f ( ) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0=π και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(,συν) i) Να βρείτε τον τύπο της f ii) Να εξετάσετε αν η Cg,όπου g()=f()-συν έχει πλάγια ασύμπτωτη 4 Έστω F αρχική της f, Να αποδείξετε ότι lim F 5 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: όπου F, G αντίστοιχα οι παράγουσες τους Αν F G f g για κάθε και F 0, να βρείτε τις συναρτήσεις f,g 6 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 0, με παράγουσα F για την οποία ισχύει F F i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο, ώστε: f F F ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο, ώστε: f 7 Δίνεται η συνάρτηση f, 0 0 και F μία παράγουσα της f στο (0, ) με F()=0 i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση F ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση F ως προς τα κοίλα και να δείξετε ότι για κάθε > 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και F μία παράγουσα της f στο R με F()=0 i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση F ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα ii) Να δείξετε ότι η F είναι κυρτή και στη συνέχεια να δείξετε ότι: F( ) F( ) F( ) για κάθε R 6

9 Δίνεται f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F η παράγουσα της f στο R,που ικανοποιούν τις σχέσεις : F(0)=0, f (0) F( ) f ( ) ( ) f ( ) 0 i) Να βρείτε την F ii) Να δείξετε ότι η F έχει ένα ακριβώς τοπικό ακρότατο 40 Δίνεται f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F η παράγουσα της f στο R,για την οποία ισχύει : F( ) f ( ) f ( ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,) 4 Δίνεται f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα Αν F μία παράγουσα της f στο R,να λύσετε την εξίσωση ( F ) F() F( ) F( ) 4 Δίνεται f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μία παράγουσα της f στο R με F(0)=0Να δείξετε ότι υπάρχει (0,) ώστε iii) η f είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της 7 F( ) ( )f( ) 4 Δίνεται f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μία παράγουσα της f στο R 4 για την οποία ισχύει : F( ) F(4 ) 0 4 0, R Να δείξετε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,5) 44 Έστω f : μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μία παράγουσα της f στο R με F( ) 0, R Aν για κάθε R ισχύει F() F( ), να λύσετε την εξίσωση f()=0 45 Δίνεται η συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής και F μία αρχική της f στο R i) Αν η F δεν είναι αντιστρέψιμη,να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 R τέτοιο ώστε f( 0 ) 0 ii) Αν η F είναι άρτια,να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα 46 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : με παράγουσα F για την οποία ισχύει: 4 f, 4 i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία η συνάρτηση g() = F()-4 ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y = 4 το πολύ σ ένα σημείο iii) Να υπολογίσετε το όριο lim F F 47 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0, με παράγουσα F για την οποία ισχύει: f F 4 για κάθε 0 και F Να αποδείξετε ότι i) F 0 για κάθε 0, ii) F F 4, 0

48 Έστω f : μία συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί τις συνθήκες : f()=, f( ) 0 για κάθε R και f ( ),για κάθε R Έστω επιπλέον η συνάρτηση F η οποία είναι μία αρχική της f με F()=0 i) Να λύσετε την ανίσωση ii) Να βρείτε το F( )( ) lim ( ) 4 F 9 F( ) F( 6) για κάθε 0, Προβλήματα 49 Η αξία ενός φορητού υπολογιστή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου με ρυθμό ανάλογο της τιμής του Αν η τιμή του σήμερα είναι και μετά από χρόνια 80, να βρεθεί η συνάρτηση που δίνει την τιμή του υπολογιστή μετά από t χρόνια (δίνεται ln,6 0,47 ) 50 Ο αριθμός Qt μιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται σε συνάρτηση του χρόνου t σε ώρες και αυξάνεται με ρυθμό ανάλογο προς τον αριθμό των βακτηριδίων Αν ο αριθμός των βακτηριδίων μετά από 5 ώρες είναι διπλάσιος του αρχικού, να βρεθεί σε πόσες ώρες θα πενταπλασιαστεί; ln 5 ( Δίνεται, ln ) 5 Ένα εργοστάσιο έχει διαπιστώσει ότι για την μηνιαία παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος έχει οριακό κόστος 6 ευρώ i) Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της μηνιαίας παραγωγής μονάδων προϊόντος, αν είναι γνωστό ότι τα πάγια μηνιαία έξοδα του εργοστασίου είναι 0000 ii) Πόσο κοστίζει η παραγωγή 0 προϊόντων το μήνα; 5 Ο πληθυσμός t 0,0 8000 άτομα t 5 P t της Ραφήνας από το 000 και μετά αυξάνεται ανά έτος με ρυθμό t άτομα, Να βρείτε τον πληθυσμό της Ραφήνας αν είναι γνωστό ότι το 000 είχε πληθυσμό 5 Μια τυπογραφική μηχανή, σε χρόνο t ημερών, εκτυπώνει ποσότητα f t βιβλίων με ρυθμό f t 50 t Να βρείτε τον αριθμό των βιβλίων που παράγονται σ ένα χρόνο (00 5 εργάσιμες ημέρες) καθώς και τη μέση ημερήσια παραγωγή 8