Τις ασκήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές της Γ Γυμνασίου των σχολείων μας και ο συντονιστής Μαθηματικών.

Τις ασκήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές της Γ Γυμνασίου των σχολείων μας και ο συντονιστής Μαθηματικών.

Ερωτήσεις «Σωστού - Λάθους» 1) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: ( ) ( ) 3 3 ) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: ( ) ( ) 3) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: ( ) 4) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β ώστε να ισχύει: ( ) 5) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: ( ) 3 3 3 3 3 6) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: ( ) ( ) 7) Για όλους τους πραγματικούς α, β, γ ισχύει : ( ) 8) Για όλους τους πραγματικούς α, β, γ ισχύει : ( ) 9) Ισχύει ότι 3 445 0 10) Ο αριθμός 77 769 είναι πολλαπλάσιο του 3. 11) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β, γ ώστε να ισχύει 1 1) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β ώστε να ισχύει: ( ) 4 4 13) Ο αριθμός 10.000 00 16 4 είναι τετράγωνο κάποιου ακεραίου. 14) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει : ( 1) 1 ( ) 15) Οι αριθμοί 5 και 5 είναι αντίστροφοι. 16) Οι αριθμοί 7.( 5 ).( 3 ) και 1 ( 5 )( 3 ) είναι 7 Σελίδα

αντίστροφοι. 17) Για όλους τους πραγματικούς α, β, x ισχύει : 4x ( x)( x) 18) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει : 1 ( 1)( 1) 19) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει : 1 ( 1)( 1) 0) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει : ( ) ( ) (4 ) 16 1) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β για τους οποίους να ισχύει : ( 3) 0 ) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β για τους οποίους να ισχύει : 8 3) Μπορούμε να βρούμε πραγματικούς α, β, γ για τους οποίους να ισχύει : ( )( ) 4 4) Τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 349 7 είναι μηδέν. 5) Ισχύει ότι για κάθε πραγματικό α : 3 ( )( 3)( )( 3)( 8) ( 4)( 9) Σελίδα 3

Θέματα ανάπτυξης Παρατήρηση: Η φράση :«Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση» σημαίνει : «Να μετατρέψετε την παράσταση σε γινόμενο παραγόντων, ώστε κάθε μη αριθμητικός παράγοντας να μην αναλύεται περαιτέρω σε γινόμενο άλλων παραγόντων». Προφανώς εξαιρούμε τον αριθμό 1, εφόσον 1 για κάθε α. 1) Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ) Να αποδειχτεί ότι για όλους τους πραγματικούς α, x, y ισχύει: i. ii. 3 3 3 3 3 3 3 iii.x y 3 (x y ) 3x y x y xy α + - 4(α +1) + 6α - 4 α -1 + α - = 0 4( 1) 6 4 1 0 3 3) Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό α ισχύει : (α )(α )(α 4α 4)(α 4α 4) [(α )(α )] 4 3 4) Αν είναι A 3 και B 3, τότε: Α) Να αποδείξετε ότι AB 1. Β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 5) Να συμπληρώσετε τα κενά, ώστε να προκύψουν ισότητες οι οποίες να αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες έχουν νόημα οι παραστάσεις : i. (3x 7y)......... ii. x......... 7 iii.......... 3 9 iv....... 5 v.... 9 5...... Σελίδα 4

vi. 3 (...)......... 7 vii. 3 3...... 8 6...... 4 4 viii. x 3 x 3 x 3 x 3...... Σημείωση: Στις ii, iv και v να εξετάσετε αν υπάρχουν και άλλοι τρόποι συμπλήρωσης, εκτός από αυτόν που επιλέξατε. Επίσης, κάθε φορά που κάποια μεταβλητή ή αλγεβρική παράσταση εμφανίζεται σε παρονομαστή, θεωρείται μη μηδενική. 6) Να αποδείξετε ότι : i) Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει: 3 3 3 (α β) 3(α β) (α β) 3(α β) (α β) (α β) 8β ii) Για όλους τους πραγματικούς x, y ισχύει: 3 3 3 (4x 3y) 3(4x 3y) (4x 3y) 3(4x 3y) (4x 3y) (4x 3y) 16y iii) Για όλους τους πραγματικούς κ, λ ισχύει: (κ λ 1) 3(κ λ 1) (κ λ 1) 3(κ λ 1) (κ λ 1) (κ λ 1) 8λ iv) 3 3 3 3 3 4 3 5 4 34 5 5 1 7) i) Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς α, β, γ ισχύει: 4 ii) Να αποδείξετε, χωρίς να κουραστείτε κάνοντας πράξεις, ότι για οποιονδήποτε αριθμό 51 49 49 51 4 γ ισχύει: 8) Γνωρίζουμε ότι, για οποιουσδήποτε πραγματικούς α, β, οι, δεν μπορεί να είναι αρνητικοί αριθμοί, οπότε η μοναδική περίπτωση να ισχύει 0 είναι αν 0 και β 0. Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση να αποδείξετε τα εξής : i) Αν για τους πραγματικούς α, β ισχύει ii) Αν για τους πραγματικούς α, β ισχύει: 1 0, τότε 0 και β 1 0, τότε 1 και β=1 iii) Αν x y 4x y, όπου,,x,y πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι x και y. 9) i) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: ii) Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε: x 1 y 3 x y x 6y 10 x y x 6y 10 0 Σελίδα 5

10) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις i. 3 3 ii. 5x 9y 5x 9y iii. iv. 3 z z z 1 Δ 3xβ10ωy 5βω6 yx v. y y y 3 y vi. vii. viii. ix. x. xi. 8 4 8 6 3 45x y 30x y 60x y Z x 4x 4 y x 4x y y 3 6 3 4 x 8x y 6y 7 ( ) 9 ( ) (3 ) ( 3 ) 4 16 11) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση 0 5 1) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) A (α 1) 4α 1 ii) B (α 1) 4α 1 (α ) 13) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y για τους οποίους ισχύει : 3 3 x xy x yx y y 0. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι αντίθετοι.. 14) Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x,y με x y για τους οποίους ισχύει: x 1 x y 1 y. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι αντίστροφοι. 15) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y,με x y,για τους οποίους ισχύει : x x y y. i) Να αποδείξετε ότι : x y 1. ii) Αν 3 3 x x y x y x y y να αποδείξετε ότι: 0. Σελίδα 6