κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

Σχετικά έγγραφα
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

Διαφορικές Εξισώσεις.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Διαφορικές Εξισώσεις.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. Προβλήματα Dirichlet και Poisson.

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

εξίσωση πρώτου βαθμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

2.1 (i) f(x)=x -3x+2 Η f(x) ορίζεται x R

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

Διαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

1 ης εργασίας ΕΟ Υποδειγματική λύση

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

Μαθηματικός Ορισμός Διδιάστατου Χώρου (R 2 )

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Παρασκευή 28 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) 3 x έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Οx. Σ Λ., τότε ισχύει

II. Συναρτήσεις. math-gr

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Transcript:

Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι περιττή, τότε u(0, ) = 0 για κάθε 1 1. β) Σωστό ή λάθος; Αν f(0) = 0, τότε u(0, ) = 0 για κάθε 1 1. Απάντηση: Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(, t) = X() Y (). Εισάγουμε στην ΜΔΕ του Laplace u = u t t και παίρνουμε X ()Y () = X()Y (). Αφού X() 0 και Y () 0, διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με τον όρο X() Y (), έχουμε X() X() = Y () Y (), όπου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του. Για να μπορεί να συμβεί αυτό θα πρέπει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή ποσότητα που την ονομάζουμε λ R. Οπότε η ΜΔΕ ανάγεται στην επίλυση των ΣΔΕ X () λx() = 0, Y (t) + λy () = 0. Από την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0, δίνουν ότι θα πρέπει X( 1) = 0, X(1) = 0, αντίστοιχα. Οπότε έχουμε το εξής πρόβλημα ιδιοτιμών X () λx() = 0, X( 1) = X(1) = 0. λ = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε A + B = 0, A + B = 0, συνεπώς A = Β = 0, οπότε δεν υπάρχει μη-τετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω 2 > 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A e ω + B e ω, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A e ω + B e ω = 0, Ae ω + B e ω = 0,

Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Όμως Δ = e 2 ω e 2 ω και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω = 0, άτοπο. Οπότε και σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B = 0, κι έτσι δεν υπάρχουν ιδιοτιμές κι ιδιολύσεις. λ = ω 2 < 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A cos ω + B sin ω, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A cos ω B sin ω = 0, A cos ω + B sin ω = 0. (22.1) Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Έχουμε ότι Δ = 2 cos ω sin ω = sin 2 ω, άρα θα πρέπει 2 ω = k π ή ισοδύναμα ω = k π και συνεπώς έχουμε τις ιδιοτιμές λ 2 k = k2 π 2, k = 4 1, 2, 3, Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : k = 2 n, άρτιος. Τότε ω = n π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (22.1) δίνει A = 0. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = n 2 π 2, X n () = sin(n π ), Από την άλλη η ΣΔΕ για την Y () για λ n = n 2 π 2 δίνει ότι Y () = Γ e n π + Δe n π. Η συνοριακή συνθήκη u(, 1) = 0 μας πληροφορεί ότι θα πρέπει Y (1) = 0, οπότε θα πρέπει οπότε Γ = Δ e 2 n π, Y () = Γ e n π + Δe n π = Δe 2 n π e n π + Δe n π = Δe n π (e n π(1 ) (e n π(1 ) ) = 2 Δ 1 2 e n π (e n π(1 ) (e n π(1 ) ) = 2Δe n π sinh (n π(1 )). Οπότε έχουμε τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n () = sinh (n π(1 )), (η σταθερή παραλείπεται αφού θα εμφανισθούν στο τέλος όταν θα πάρουμε άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων). Συνεπώς, οι ιδιολύσεις του προβλήματός μας σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (, ) = X n ()Y n () = sin(n π ) sinh (n π(1 )), k = 2 n 1, περιττός. Τότε ω = (n 1 2)π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (22.1) δίνει B = 0. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = ( n 1 2 2 ) π 2, X n () = cos [( n 1 2 ) π ],

Με όμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση βρίσκουμε ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n () είναι Y n () = sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], Συνεπώς οι ιδιολύσεις σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (, ) = cos [( n 1 2 ) π ] sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], Γράφουμε την λύση u(, ) σαν ένα άπειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων και των δυό περιπτώσεων κι έχουμε u(, ) = { A n sin(n π ) sinh (n π(1 )) + B n cos [( n 1 2 ) π ] sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ]} (22.2) όπου οι συντελεστές A n, B n προσδιορίζονται από την συνοριακή συνθήκη u(, 1) = f(). α) Παρατηρούμε ότι αν f( ) = f() είναι περιττή συνάρτηση τότε στην παραπάνω σειρά θα πρέπει B n = 0, και η λύση παίρνει την μορφή u(, ) = A n sin(n π ) sinh (n π(1 )), όπου προφανώς όταν = 0, έχουμε ότι u(0, ) = 0. Συνεπώς η πρόταση του α) ερωτήματος είναι αληθής. β) Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f() = η οποία είναι άρτια και f(0) = 0. Τότε στην λύση (22.2) θα πρέπει A n = 0 και υπολογίζοντας τους συντελεστές B n στην σειρά Fourier (ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούμενες πράξεις) βρίσκουμε ότι B n 0. Οπότε σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ότι u(0, ) = B n sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], n = 1, 2, 3 η οποία συνάρτηση δεν είναι μηδέν για κάθε 1 1. Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της λύσης με συνορική τιμή u(, 1) =, και δίπλα της δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης u(0, ). 0.15 u 0, 0.10 0.05 1.0 0.5 0.5 1.0 Σχήμα 1: Η λύση u(, ) Σχήμα 2: Η συνάρτηση u(0, ) Οπότε η πρόταση του ερωτήματος β) είναι λανθασμένη.

Πρόβλημα 23. Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών τύπου Dirichlet για την εξίσωση του Laplace u + u = 0 στον κυκλικό τομέα T = {0 < θ < π /4, 0 < r < 1} με u(r, 0) = u(r, π /4) = 0, u(1, θ) = sin 4θ. θ = π 4 r = 1 Απάντηση: θ = 0 Επειδή οι συνοριακές τιμές μας δίνονται πάνω σε κυκλικό τομέα ενδείκνυται να μετασχηματίσουμε την ΜΔΕ του Laplace u + u = 0 από τις Καρτεσιανές συντεταγμένες (, ) στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) με = r cos θ, = r sin θ, ή r = 2 + 2, θ = tan 1, και να εφαρμόσουμε την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών στις (r, θ). Γνωρίζουμε ότι η ΜΔΕ του Laplace στις (r, θ) μεταβλητές είναι u r r + 1 r u r + 1 r 2 u θ θ = 0. Αναζητούμε λύσεις της μορφής u(r, θ) = R(r) Θ(θ) και εισάγοντας στην παραπάνω ΜΔΕ βρίσκουμε ότι θα πρέπει r 2 R (r) + rr (r) R(r) = Θ (θ) Θ(θ) = λ. Επιβάλλοντας και τις συνοριακές συνθήκες u(r, 0) = 0, u(r, π ) = 0 έχουμε το εξής πρόβλημα 4 ιδιοτιμών Θ (θ) + λθ(θ) = 0, Θ(0) = Θ( π 4 ) = 0. λ = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι Θ(θ) = A θ + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι A = B = 0, οπότε δεν υπάρχει μητετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω 2 < 0, (ω > 0). Επειδή η συνάρτηση Θ(θ) είναι περιοδική, αφού η μεταβλητή θ είναι γωνία, κι επειδή σε αυτήν την περίπτωση έχουμε εκθετικές λύσεις οι οποίες δεν είναι περιοδικές συναρτήσεις, δεν μπορεί να αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις. λ = ω 2 > 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση Θ(θ) = A cos ω θ + B sin ω θ, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A = 0, B sin ( ωπ 4 ) = 0.

δηλαδή A = 0, και ω = 4 n,. Άρα έχουμε τις ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ = 16 n 2, Θ n (θ) = sin(4 n θ), Από την άλλη, για λ = 16 n 2, η ΣΔΕ τύπου Euler για την R(r) έχει την γενική λύση r 2 R (r) + rr (r) 16n 2 R(r) = 0, R(r) = Γ r 4 n + Δr 4 n. Από την συνοριακή συνθήκη u(r, 0) = 0 για r = 0 έχουμε ότι θα πρέπει u(0, 0) = 0, οπότε ο όρος με r 4 n που απειρίζεται όταν r 0 δεν πρέπει να υπάρχει και συνεπώς θα πρέπει Δ = 0. Οπότε έχουμε αντίστoιχες ιδιοσυναρτήσεις R n (r) = r 4 n. Συνολικά, οι ιδιολύσεις του προβλήματος είναι u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ) = r 4 n sin(4nθ), Γράφουμε την λύση σαν ένα άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων και έχουμε u(r, θ) = A n r 4 n sin(4nθ), όπου οι συντελεστές A n θα προσδιορισθούν από την συνοριακή συνθήκη u(1, θ) = sin(4 θ), δηλαδή u(1, θ) = A n sin(4nθ) = sin(4 θ), Η παραπάνω σειρά Fourier είναι ήδη αναπτυγμένη σε μια σειρά ημιτόνων όπου θα πρέπει A n = 0 για n 4,, και A 4 = 1. Οπότε u(r, θ) = r 4 sin(4 θ), η οποία χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα sin(4 θ) = 4 cos 3 θ sin θ 4 cos θ sin 3 θ, στις Καρτεσιανές συντεταγμένες (, ) παίρνει την μορφή u(, ) = 4 3 4 3. Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της λύσης.

Πρόβλημα 24. Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0 στην ημιάπειρη λωρίδα u(, 1) = 0 με συνορικές τιμές Λ = {0 < <, 0 < < 1}, u (0, ) = 1 u(, 0) = 0 u(, 0) = u(, 1) = 0, u (0, ) = 1, lim u(, ) = 0. Πρόβλημα 25. α) Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0, στον ημιδίσκο Ω = {(, ) R 2, 2 + 2 < 1, > 0}, με συνορικές τιμές στο σύνορο Ω u(, 0) = 0, 1 1, Ω Ω u(, ) = 3, 2 + 2 = 1, > 0 β) Ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της u(, ) στο Ω Ω; Πρόβλημα 26. α) Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0, στον ημιδίσκο Ω = {(, ) R 2, 2 + 2 < 1, > 0}, Ω με συνορικές τιμές στο σύνορο Ω u(0, ) = 0, 1 1, u(, ) = 2, 2 + 2 = 1, > 0. β) Ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της u(, ) στο Ω Ω; Ω