Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4α' Τελικόςχρόνοςt f «ελεύθερος»0τελικήτιμήxt f ) «ελεύθερη»:ασυσχετιστα' Ηεύρεσητουακροτάτουσυνάρτηση)γίνεταιμετηνεπίλυσητηςΔιαφ.Εξισ... Εξίσωση'Euler'...καιοισταθερέςολοκληρώσεωςθαπροκύψουναπότηνικανοποίησητων... Οριακές'Συνθήκες' Δηλαδη KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 48
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4b' Τελικόςχρόνοςt f «ελεύθερος»0τελικήτιμήxt f ) «ελεύθερη»:συσχετιzomena' π.χ.τοπρόβλημαμετη«κινούμενησελήνη» ΗεύρεσητουακροτάτουγίνεταιμετηνεπίλυσητηςΔιαφορικήςΕξισώσεως... Εξίσωση'Euler'...καιοισταθερέςολοκληρώσεωςθαπροκύψουναπότηνικανοποίησητων... Οριακές'Συνθήκες' Οσυσχετισμόςτελικήςτιμήςκαιτελικούχρόνουείναιτηςμορφής KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 49
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4b' Παράδειγμα:Ναευρεθείησυνάρτησηxt)πουείναιακρότατοτου συναρτησιακού.καιξεκινάαπότηναρχήτωναξόνων καικαταλήγειστηνκαμπύλη Λύση:Euler ' ' ' ' KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 50
Ακρότατα'Συναρτησιακών'πολλών' Συναρτήσεων' Θέλουμεναβρούμετηναναγκαίασυνθήκηπουπρέπειναικανοποιείταιαπόένα ακρότατοτουσυναρτησιακού όπου οαρχικόςχρόνοςt 0 καιαρχικήτιμήxt 0 )=x 0 είναικαθορισμένακαι οτελικόςχρόνοςt f καιτελικήτιμήxt f )=x f είναι«ελέυθερα»ακαθόριστα). Όπωςκαιγιατηπερίπτωσημίαςσυνάρτησης,απότηνολικημεταβολήΔJx) οδηγούμαστεστηνπρώτημεταβολήδjx)καιεφαρμόζονταςτοακρογωνιαίο' Θεώρημα'Λογισμού'των'Μεταβολών... T T T
Ακρότατα'Συναρτησιακών'πολλών' Συναρτήσεων' g x, g Νασημειωθείότιστιςπροηγούμενεςκαιεπόμενες)σχέσειςταείναιnT!x διάστατα'διανύσματα. Αποδεικνύεταιότιηπαραπάνωσχέση,καιστηνn0διάστατηπερίπτωση,οδηγεί στιςαντίστοιχεςn+1'σχέσεις Εξίσωση'Euler' T Οριακές'Συνθήκες' T Όπωςκαιστημονοδιάστατη,ανάλογαμετιςτελικέςοριακέςσυνθήκεςοι παραπάνωσχέσειςεξειδικεύονταιόπωςφαίνονταιστονεπόμενοπίνακα: KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 52
Ακρότατα'Συναρτησιακών' πολλών'συναρτήσεων' T T +' KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 53
Παράδειγμα:'καθορισμένα'οριακά' σημεία' Example4.302KIRK Example4.303KIRK KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 54
Παράδειγμα:'καθορισμένα'οριακά' σημεία'συνεχ.)' Example4.302KIRK Example4.303KIRK KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 55
Παράδειγμα:'Ελεύθερα'μερικώς)' οριακά'σημεία' Example4.302KIRK Example4.303KIRK KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 56
Παράδειγμα:'Ελεύθερα'μερικώς)' οριακά'σημεία'συνεχ.)' E Example4.303KIRK KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 57
Παράδειγμα:'Ελεύθερα'μερικώς)' οριακά'σημεία'συνεχ.)' Since c 3 =0 KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 58
Ασκήσεις'εξάσκησης'για'το'σπίτι' c KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 59
Παράδειγμα' late KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 60
Παράδειγμα' late Τ g!x t=t f =2 = 0 KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 61
Παράδειγμα' late g x t),!x t),t ) g!x Τ!x t=t f = 0 x t ) f = z f = 5 KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 62
Βέλτιστος'Έλεγχος'μέσω'Λογισμού'των' ) Μεταβολών' Εστωσύστημαμεt!x t) = a x t),u t),t 0, xt 0 )καθορισμένα.ζητείταιηεύρεση κατάλληληςσυνάρτησηςελέγχουu*t)που,παράγονταςτητροχιάx*t)μέσωτης παραπάνωδετουσυστήματος,αντιστοιχείσεακρότατητιμήτουσυναρτησιακού Στοσυναρτησιακό, τοολοκλήρωμααντιστοιχείστηνδιαδικασίατηςπορείαςτουσυστήματοςμεταξύ[t 0, t f ]ενώ ησυνάρτησηhxt f ), t f ) εξαρτάταιμόνοαπότηντελικήκατάστασηκαιχρόνο. Ποιέςείναιοιαντιστοιχεςσυνθηκεςπουμαςοδηγούνστηνεύρεσητου ακροτάτου? Παρατηρούμεότι οπότετοσυναρτησιακόγίνεται Επειδήτοhxt 0 ), t 0 ) είναιανεξάρτητοτηςβελτιστοποίησηςεξαρτάταιμόνοαπό ταxt 0 ), t 0 πουείναιπροκαθορισμένα)μπορούμεναασχοληθούμεμετηνεύρεση ακροτάτωνγιατο Ανδε,εφαρμόσουμετον«κανόνα%της%αλυσίδας» KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 63
Βέλτιστος'Έλεγχος'μέσω'Λογισμού'των' Μεταβολών' ΟιΔΕ'του'συστήματος'εισάγονταιωςισοτικοί'περιορισμοί'μέσωτωνπολ/στών+ Lagrange+πουάν«δομηθούν»μετημορφήτουδιανύσματος T ως p t) = p 1 t) p 2 t)! p n t) Ορίζοντας Καταλήγουμεστογνώριμο)πρόβλημαευρεσηακροτάτωνγιατοσυναρτησιακό Aνακολουθήσουμετηγνωστήτακτικήεύρεσηςολικήςκαιπρωτηςμεταβολήςμε βασητιςμεταβολέςκαιότιδενεμφανίζονταιταστοέχουμε δ x,δ!x,δu,δ p!u,!p g a + KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 64 ) + +
Βέλτιστος'Έλεγχος'μέσω'Λογισμού'των' Μεταβολών' + + + ΑνληφθείυπόψηημορφήτηςκαιτοΑκρογωνιαίο'Θεώρημα'Λογισμού' g a των'μεταβολώνλαμβάνουμεμίασειράαπόεξισώσειςαλγεβρικέςκαι διαφορικές)πουπρέπειναικανοποιούνταεπιζητούμεναακρότατα.δηλαδη Εξισώσεις'κατάστασης' KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 65 ) Εξισώσεις'«Συγκατάστασης»'CoTstate'Equafons)' Εξισώσεις'Ελέγχου' Οριακές'Εξισώσεις' KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 65
Βέλτιστος'Έλεγχος'μέσω'Λογισμού'των' Μεταβολών' ΑνστaπαραπάνωεισάγουμετηνέννοιατηνΧαμιλτονιανήςήΣυνάρτησης' Pontryagin' Οιπροηγούμενεςεξισώσειςγίνονται Εξισώσεις'κατάστασης' Εξισώσεις'«Συγκατάστασης»'CoTstate'Equafons)' Εξισώσεις'Βελτίστου'Ελέγχου' Οριακές'Εξισώσεις' Όπωςκαιστηπροηγούμενηθεώρησηβελτιστοποίησησυναρτησιακούχωρίς ισοτικούςπεριορισμούς),ανάλογαμετιςτελικέςοριακέςσυνθήκες,οιπαραπάνω σχέσειςεξειδικεύονταιόπωςφαίνονταιστονεπόμενοπίνακα: KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 66
Βέλτιστος'Έλεγχος' μέσω'λογισμού'των' Μεταβολών' Αντικατάστασηστις Οριακές'Εξισώσεις' 3. 4. 5. KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 67
ΠαράδειγμαT1' Ξ Solufon' u t) = p 2 t) KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 68
ΠαράδειγμαT1' Solufon' KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 69
ΠαράδειγμαT1' ΕξισώσειςΚαταστασης,x0)=0ΕξισώσειςΣυγκατάστασης: Solufon' h x x 2 )) p 2) = 0 p 2 ) = x 2) 5 2 T KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 70
ΠαράδειγμαT2' Αναζητουμετονβέλτιστοσχεδιασμότου προφυλακτήρακατάτησύγκρουση Θεωρούμεωςείσοδοτηδύναμηαπότοπροφυλακτήρακαιτομοντελλο: x 1 = y x 2 =!y Μεyτηνμετατόπισηαπότηστιγμήτηςπροσκρουσηςκαιμετά.Οιλειτουργικές προδιαγραφέςείναι: Ηέννοιατου«βελτιστου»υλοποιείταιμέσωελαχιστοποίησηςενόςκριτηρίου t f =1 λειτουργικήςαπόδoσης ΛΥΣΗ:Οιεξισώσειςκατάστασης t i = 0 t f = 1 yt i ) = 0, y t i ) = 4 yt f ) = free, y t f ) = 0 J = 1 2!x 1 = x 2!x 2 = F m = u οπότεωςείσοδοςuελήφθηηαναμονάδαμάζαςδύναμηκαιτοκριτήριο 1 λειτουργικήςαπόδωσηςγίνεται J u t i =0!!y 2 t) dt ) = 1 2 u2 t 0 ) dt KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 71
ΠαράδειγμαT2' ΘεωρούμετηνΧαμιλτονιανή ΗεξίσωσηΒελτίστουΕλέγχουείναιοπότε u x,u, p Οιεξισώσειςσυγκατάστασης Οιεξισώσειςκατάστασηςείναι Οιοριακέςσυνθήκεςείναι t=0: x 1 0 t=1: x 2 1 H x,u, p) = 1 2 u2 + p 1 x 2 + p 2 u H u = H ) = 0 = u + p 2 u = p 2!p 1 = H = 0 p 1 t) = c 1 x 1!p 2 = H = p 1 = c 1 p 2 x 2 ) = 0 c 4 = 0 x 2 0) = 4 c 3 = 4 ) = 0 c 2 + c 3 = 0 c 2 = 4 x 1 1) : free h x 1 p 1!x 2 = H = p 2 = c 1 t c 2 x 2 p 2 H = H x,u, p ) = 1 2 p 2 t) = c 1 t + c 2 ) 2 + p 1 x 2 t) = c 1 2 t 2 c 2 t + c 3!x 1 = H = x 2 = c 1 p 1 2 t 2 c 2 t + c 3 x 1 t) = c 1 6 t 3 c 2 2 t 2 + c 3 t + c 4 )) p 1 1) = 0 p 1 1) = 0 c 1 = 0 x 1 x 1 t) = 2t 2 + 4t x 2 t t ) = 4t + 4 ) = 0 p 2 t) = 4 u t) = p 2 t) = 4 KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 72
ΠαράδειγμαT2' Στοσχήμαφαίνονται: Οιβέλτιστεςαποκρίσειςκαι Οέλεγχος Απόκατασκευαστικήςσκοπιάςείναισημαντικόναδιερευνηθείανοαπαιτούμενος «σταθερόςέλεγχος»δύναμηαντίστασης)μπορείναυλοποιηθείμεπαθητικήή είναιαπαραίτητηηενεργητικήδιάταξη. KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 73
ΠαράδειγμαT3' Σεορισμένεςπεριπτωσεις,πουέχουμεμειώσειςτηςγωνιακήςταχυτητας γεννητριών,θέλουμενατηνεπαναφέρουμεστονελάχιστοδυνατόχρόνοστην επιθυμητήγωνιακήταχύτητα,προσέχονταςταυτόχροναναμηασκήθειαπότομα μεγάληροπήστηνάτρακτοτουρότορα.τοσύστημαπεριγράφεταιαπότην: T = B ω + J dω dt ΑνΒ = J = 1,ηκατάστασηx = ω καιηείσοδοςu = T,τότε: Οριακέςσυνθήκεςαπλουστευμένηπερίπτωση)x0) = 0καιxt f ) = 10,t f :free Επιθυμούμε:!x = x + u Ημετάβασηx0) = 0 xt f ) = 10ναγίνειστονελάχιστοδυνατόχρόνοt f,και ταυτόχροναναμηασκήθειαπότομαμεγάληροπήστηνάτρακτοτουρότοραδηλαδήνα διατηρηθείηαπόλυτητιμήτηςεπιτάχυνσηςσεχαμηλάεπίπεδα.!ω =!x = x + u ΕπομένωςμπορούμεναυιοθετήσουμεέναΔείκτηΛειτουργικήςΑπόδωσης J u) = γ t f + 1 2 t f 0 u x) 2 dt όπουγ«επιβάλλει»τησχετικήβαρύτηταμεταξύτων2«επιθυμιών»μας. KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 74
ΠαράδειγμαT3' ΛΥΣΗ: 1 H x,u, p = ) u x )2 + p u x ) ΘεωρούμετηνΧαμιλτονιανή H H 2 Eξίσ.ΒελτίστουΕλέγχου:οπότε = x,u, p ) = 0 = u x + p u = x p u u 1 2 H = H x,u, p ) = p ) 2 Εξισ.Συγκατάστασης: H! = p = 0 p t ) = c1 x Εξισ.βέλτιστηςτροχιάς)κατάστασης: H x! = = p = c1 x t ) = c1 t + c0 p Οιοριακέςσυνθήκεςείναι h x t ),t ) t t=0: x 0 ) = 0 c0 = 0 x t ) = c1 t t f : free H + γ t=1: x t f = 10 c1 t f = 10 ) f ) tf f 2 1 = 0 p ) + γ = 0 c1 = ± 2γ 2 t Γιαναλάβουμεχρόνοtfθετικόπρέπειc1 < 0,επομένως c1 = 2γ f x t ) = 2γ t p t ) = 2γ u t ) = x t ) p t ) = 2γ t + 1) KostasJ.Kyriakopoulos0Σ.Α.Ε.ΙΙ 75