ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + + + ή. Ο ριθμός ονομάζετι -οστός όρος ή γενικός όρος της σειράς κι το άθροισμ σ - οστό μερικό άθροισμ της σειράς. Γι τη σύγκλιση της σειράς δικρίνουμε τις πρκάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ s (στο ) τότε λέγετι ότι η σειρά συγκλίνει προς το s, ή ότι η σειρά έχει άθροισμ το s κι τούτο σημειώνετι με s. (ii) Αν lim σ + τότε λέγετι ότι η σειρά συγκλίνει κτ εκδοχή προς το +, ή πειρίζετι θετικά κι τούτο σημειώνετι με +. (iii) Αν lim σ τότε λέγετι ότι η σειρά συγκλίνει κτ εκδοχή προς το, ή πειρίζετι ρνητικά κι τούτο σημειώνετι με. (iv) Αν δεν υπάρχει το lim σ τότε λέγετι ότι η σειρά ποκλίνει. Σύμφων με τ πρπάνω, η σειρά ρνητικά, ή ν δεν συγκλίνει. δεν συγκλίνει ν πειρίζετι θετικά ή Πρδείγμτ. Γι τη σειρά είνι ( ) +
σ + + + + + + ( ) ( )( + ) ( + ) + + + + + + + + + +. + + Επιπλέον, είνι lim σ οπότε η σειρά θ συγκλίνει στο, δηλδή. ( + ). Γι τη σειρά είνι + + σ + + +. Επιπλέον, είνι lim σ +, οπότε η σειρά θ συγκλίνει κτ εκδοχή στο +, δηλδή. Γι τη σειρά ( ) είνι +. + σ + + +. Επιπλέον, είνι lim σ, οπότε η σειρά θ συγκλίνει κτ εκδοχή στο, δηλδή. Γι τη σειρά ( ) είνι οπότε δεν υπάρχει το lim σ ( )., ν περιττός σ 0, ν άρτιος στο κι επομένως η σειρά ποκλίνει.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Τηλεσκοπική σειρά Κάθε σειρά της μορφής P Q όπου P( ),Q είνι πολυώνυμ του, ονομάζετι τηλεσκοπική σειρά. Αποδεικνύετι ότι η τηλεσκοπική σειρά συγκλίνει ν κι μόνο ν η δι-φορά: βθμός Q βθμός P είνι μεγλύτερη του. Το άθροισμ μις συγκλίνουσς τηλεσκοπικής σειράς υπολογίζετι με νάλυση του γενικού όρου της σειράς σε πλά κλάσμτ.
. Γεωμετρική σειρά Κάθε σειρά της μορφής + + + + +, ή ονομάζετι γεωμετρική σειρά. Αποδεικνύετι ότι κάθε γεωμετρική σειρά συγκλίνει ν κι μόνο ν <, κι τότε. Μι ενδιφέρουσ γενίκευση της γεωμετρικής σειράς είνι η σειρά κ κ κ + + + + +, ή συγκλίνει ν κι μόνο ν <. Ειδικά γι κ, ισχύουν ντίστοιχ κι γι κάθε, με <. κ, ή 0, όπου κ, η οποί ποδεικνύετι ότι ( ) + ( ). Εκθετική σειρά Η σειρά + + + + +, ή 0!!! ( ), ή!! 0! ονομάζετι εκθετική σειρά κι συγκλίνει προς τον ριθμό e, δηλδή ισχύει ότι e.! Γενικότερ, ποδεικνύετι ότι x x x e! 0! γι κάθε x.. Αρμονική σειρά Η σειρά + + +, ή p p (όπου p ) p ονομάζετι ρμονική σειρά τάξης p. Αποδεικνύετι ότι μι ρμονική σειρά συγκλίνει ν p>, κι πειρίζετι θετικά ν p. Πρδείγμτ Οι ρμονικές σειρές κι συγκλίνουν, ενώ οι ρμονικές σειρές κι πειριζοντι θετικά. Το άθροισμ μις συγκλίνουσς ρμονικής σειράς υπολογίζετι με τη βοήθει μις σειράς Fourier. Γι πράδειγμ ισχύουν οι σχέσεις:
π κι 6 π. 90. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ. Αν μι σειρά συγκλίνει, τότε η κολουθί ( ) είνι μηδενική. σ Πργμτικά, ν είνι η κολουθί των μερικών θροισμάτων της σειράς με lim σ s τότε είνι lim lim σ σ lim σ lim σ s s 0. Το ντίστροφο της ιδιότητς υτής δεν ισχύει. Γι πράδειγμ, η κολουθί είνι μηδενική, ενώ η ρμονική σειρά πειρίζετι θετικά. Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι γι την πόδειξη της μη σύγκλισης ορισμένων σειρών. Έτσι η σειρά δεν συγκλίνει, διότι lim 0. + + *. Μι σειρά συγκλίνει ν κι μόνο ν γι κάθε ε > 0 υπάρχει με m i < ε γι κάθε * με i + m, 0 < m. Η πόδειξη της ιδιότητς υτής είνι άμεση εφρμογή του κριτήριου σύγκλισης του Cauchy γι την κολουθί ( σ ) των μερικών θροισμάτων. Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι γι την πόδειξη της σύγκλισης ορισμένων σειρών γι τις οποίες είνι δύσκολο ν ευρεθεί το lim σ.. Αν κι β β όπου,β, τότε γι κάθε κ,λ. ( ) κ + λβ κ + λβ. Αν, όπου, κι η σειρά β δεν συγκλίνει, τότε η σειρά ( β + ) δεν συγκλίνει. 0
Ειδικά ν β + (ντ. ), τότε ( + β) + (ντ. ).. Αν β + (ντ. ), τότε ( + β) + (ντ. ). Πρέπει ν τονισθεί ότι ν δύο σειρές δεν συγκλίνουν, τότε υτό δεν συνεπάγετι ότι η σειρά + β δεν συγκλίνει. Γι πράδειγμ, ν κι β τότε +,, β ( ) β, λλά ( + β) 0.. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Σε πολλές εφρμογές προυσιάζοντι σειρές των οποίων το άθροισμ δεν μπορεί ν υπολογισθεί με τη βοήθει του ορισμού της σύγκλισης. Στις περιπτώσεις υτές, χρησιμοποιούντι ορισμέν κριτήρι με τη βοήθει των οποίων ποδεικνύετι η ύπρξη του θροίσμτος της σειράς ώστε στη συνέχει ν λμβάνετι ως προσέγγιση της τιμής του το άθροισμ ορισμένων όρων της σειράς. ο Κριτήριο σύγκρισης Ι Γι δύο σειρές, β, με τ πρκάτω: (i) Αν β <+ τότε <+. (ii) Αν + τότε β +. * 0 β γι κάθε 0, όπου 0, ισχύουν ο Κριτήριο σύγκρισης ΙΙ (Ορικό κριτήριο σύγκρισης) * Γι δύο σειρές, β με 0, 0 < β γι κάθε κι ισχύουν τ πρκάτω: (i) Αν 0, + τότε οι σειρές είνι της υτής φύσης. (ii) Αν 0 κι β <+ τότε (iii) Αν + κι β + τότε < +. +. lim β, ο Κριτήριο πηλίκων (D Alembert) Γι μι σειρά, με 0 γι κάθε *, κι
ισχύουν τ πρκάτω: + limif, (i) Αν < τότε η σειρά συγκλίνει πολύτως. (ii) Αν > τότε η σειρά δεν συγκλίνει. + limsup Πρέπει ν τονισθεί ότι ότν, το κριτήριο πηλίκων δεν δίδει πάντηση γι τη σύγκλιση της σειράς.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ ) Ν βρεθούν τ θροίσμτ των σειρών:, β) ( )( + + )( + ). ( + )( + ) ΛΥΣΗ ) Θέτουμε A B Γ + + ( + )( + )( + ) + + + ( Α+ Β+ Γ) + ( Α + Β + Γ) + ( 6Α + Β + Γ) Α+ Β+ Γ 0 Α + Β + Γ 6Α + Β + Γ 0 Το σύστημ (σ) δίδει { } Α, Β, Γ Άρ ο γενικός όρος της σειράς είνι + ( + )( + )( + ) + + + (σ) () Εφρμόζοντς τη σχέση () γι τις πρώτες τιμές της μετβλητής, προκύπτουν οι σχέσεις: +, +, +, 6 +, + +, + + +. + + + Αθροίζοντς τις πρπάνω σχέσεις κτά μέλη, προκύπτει ότι
σ + + + + + + + + +. + + Άρ, lim σ. ( + )( + )( + ) β) ος Τρόπος Θέτουμε Το σύστημ (σ ) δίδει A B Γ + + ( + )( + ) + + ( A+ B+ Γ) + ( A+ B+ Γ) + Α Α+ Β+ Γ 0 Α + Β+ Γ 0 Α { } Α, Β, Γ. 6 (σ ) Άρ ο γενικός όρος της σειράς είνι + () ( + )( + ) + 6 + Εφρμόζοντς τη σχέση () γι τις πρώτες τιμές της μετβλητής, προκύπτουν οι σχέσεις: +, 6 +, 6 +, 6 6 +, 6 7 +, 6 +, 6 + +, 6 + + + 6 + Αθροίζοντς τις πρπάνω σχέσεις κτά μέλη, προκύπτει ότι
Άρ, σ + + + + + + + + 6 + 6 + + 6 + 7 + +. 6 + 6 + 6 + 7 lim σ. ( + )( + ) 6 ος Τρόπος Ο γενικός όρος της σειράς γράφετι + ( + ) ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + )( + ) + + + ( )( ) ( )( )( ) + + + + + ( β β ) + ( γ γ+ ) όπου β κι γ. ( + ) ( + )( + ) Από τη σχέση () προκύπτει ότι σ i i ( βi βi+ ) ( γi γi+ ) i i ( β β+ ) ( γ γ+ ) β+ + γ +. 6 Άρ, lim σ + + 7 limβ + lim γ 6 7. 6 + + ()
ΑΣΚΗΣΗ (i) Ν ποδειχθούν οι τύποι:, (ii) γι κάθε με <.. ( ) ΛΥΣΗ (i) Επειδή σ + + + +, προκύπτει ότι lim σ lim, φού γι < ισχύει lim 0. (ii) Έστω σ + + + + () οπότε σ + + + () Με φίρεση κτά μέλη των σχέσεων () κι (), προκύπτει ότι ( σ ) + + +... + οπότε β σ ( ) όπου β ( ) +. Επειδή β + + + lim lim β ( ) <, + () προκύπτει ότι limβ 0 κι επομένως, πό τη σχέση () θ είνι lim σ. ( ) ΑΣΚΗΣΗ ) Ν ευρεθούν τ θροίσμτ των σειρών: + + +, β). + ( + ) ΛΥΣΗ
) Η δοσμένη σειρά γράφετι + + () Είνι όμως, () Απο τις σχέσεις () κι (), προκύπτει ότι +. β) Ο γενικός όρος της δοσμένης σειράς γράφετι + + + ( ) + ( ) + +, oπότε + + + + () + + Είνι όμως, () Επειδή ( + ) + σ + + +, + + θ είνι lim σ () + Από τις σχέσεις (), () κι (), προκύπτει ότι + +. + ( + ) ΑΣΚΗΣΗ ) γ) Ν βρεθούν τ θροίσμτ των σειρών: + +, β)! 0.! 0,! 0 ΛΥΣΗ Θέτουμε
+ +, β, γ.!!! Προκειμένου ν ευρεθεί το άθροισμ των τριών υτών σειρών, χρησιμοποιούντι οι πράξεις των σειρών κι ο γνωστός τύπος x x e, γι κάθε x. 0! Πργμτικά, είνι: ) β) γ) + + + +!!!! + +!! 0! ( ) + + e+ e! + + e!! + e+e! e + 6e 9e. (( ) + )! ( )! ( )! 0 0 0 0 0 ( ) + ( ) + ( )! + +!!! + +!!! + +! 0! + e!! + + e ( ) +! 0! + + e 0! 0! e + e + e e.! ( )! ( ) +! + ( )! ( )! 0
ΑΣΚΗΣΗ + ( )! ( )! + ( )! ( )! +!! 0 0 6! 0 6e. ) Ν μελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: + 6 + +, β), γ) + 7 + + 0 +. ΛΥΣΗ ) Επειδή + 6 + 6, + 7 + * γι κάθε κι < +, πό το κριτήριο σύγκρισης Ι προκύπτει ότι + 6 < +, + 7 + δηλδή η δοσμένη σειρά συγκλίνει. β) Επειδή + + 0 0 *, γι κάθε + + κι +, πό το κριτήριο σύγκρισης Ι προκύπτει ότι + + +, + 0 δηλδή η δοσμένη σειρά πειρίζετι θετικά. γ) Επειδή + + + + + + + + * γι κάθε κι
< +, πό το κριτήριο σύγκρισης Ι προκύπτει ότι + < +, δηλδή η δοσμένη σειρά συγκλίνει. ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν μελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: + ), β) + + 6 γ) tg. ( l + + ), ΛΥΣΗ ) Επειδή κι + lim + + 6 + lim + + 6 <+, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι + + + 6 < +. β) Επειδή ( l + + ) lim ( l x + x + ) lim x + x 6 ( ) l x + x + lim x + ( x ) 6 6 6 x+ x lim 0 x + ( x + x+ ) κι <+, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι ( l + + ) < +. γ) Επειδή
tg tg tg x lim lim lim x 0 x ( tg x) lim lim x 0 x 0 x cos x κι +, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι tg +. ΑΣΚΗΣΗ 7 ) Ν μελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: + π, β) si, γ) ( + ) arctg +. ΛΥΣΗ ) Επειδή + ( + ) + lim lim + κι +, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι + +. ( + ) β) Επειδή π si si x lim πlim π x 0 x κι <+, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι π si < +. γ) Επειδή arctg arctg lim + lim + lim + + arctgx ( arctg x) lim lim x 0 x x 0 x
κι lim + x 0 x +, πό το κριτήριο σύγκρισης ΙΙ προκύπτει ότι arctg + +. ΑΣΚΗΣΗ 8 ) Ν μελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: +!, β), γ). + e ΛΥΣΗ ) Θέτουμε +, οπότε ( + ) + ( + ) + + limsup lim + ( + ) + ( + ) lim + <. Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά + συγκλίνει. β) Θέτουμε οπότε ( + )! β+ limif lim + + β! + + ( + )! lim lim ( + ) + (! ) lim( + ) +>. β ( )!, + Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά ( )! +
δεν συγκλίνει, οπότε γ) Θέτουμε οπότε γ ( + ) ( + ) + limsup lim e γ e ( )! + + γ, e + e lim + + e lim 0 0<. + e Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά e συγκλίνει πολύτως. ΑΣΚΗΣΗ 9 ) γ) Ν μελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: +, β), + π. si ΛΥΣΗ ) Θέτουμε + +, οπότε + + + + + limsup lim lim + + + + + + lim lim + + 0 + + 0 0+ + 0 <.
Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά + + συγκλίνει. β) Θέτουμε, οπότε + + + limif lim lim + ( + )! ( )!( ) lim! + + ( )!!! ( + )( + ) lim ( + )( + ) >. Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά δεν συγκλίνει, οπότε +. γ) Θέτουμε οπότε + π si + + limsup lim π si π si π si + π + lim π si π
si x lim x 0 x lim z 0 z si z <. Τότε, πό το κριτήριο πηλίκων προκύπτει ότι η σειρά π si συγκλίνει.