ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΗΤΙ ΘΕ. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f(x)+g(x)) f (x)g (x), για κάθε xr ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0a; ονάδες. ν ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής σε κλάσεις, τι ονομάζουμε πλάτος μιας κλάσης; ονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν f :RR και g:rr παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύει (f(g(x))) f (g(x))g (x), για κάθε xr. β) ία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x,xδ, με xx ισχύει f(x)f(x). γ) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων δ) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι P(AB)P(A)P(B)P(AB). ε) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο στο διπλανό σχήμα αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο BA. ονάδες 0
ΠΝΤΗΣΗ A. Σχολικό βιβλίο σελ. A. Σχολικό βιβλίο σελ. A. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 A. α. Σ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Λ ΘΕ Β ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές xi και οι αντίστοιχες συχνότητες vi που προέκυψαν από παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ. xi vi 5 Β. Για τις παρατηρήσεις αυτές να υπολογιστούν : α. η μέση τιμή x (μονάδες 6) β. η διάμεσος δ (μονάδες 5) γ. η διακύμανση s. (μονάδες 7) ονάδες 8 Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παραπάνω παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. ονάδες 7 ΠΝΤΗΣΗ xi vi Ni xivi xi x (xi x ) (xi x ) vi 8 5 5 0 0 5 5 5 Σύνολο 0 0 50 Β. α. xivi i 0 x v 0 β. t t6 5 δ 5, όπως προκύπτει από τη στήλη Νi (αθροιστικών συχνοτήτων) του παραπάνω πίνακα.
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Άλλος τρόπος: Διατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά:,,,,, 5, 5, 5, 5, Το πλήθος τους είναι άρτιος αριθμός, άρα: t t6 5 δ 5 (xi x) vi i 50 γ. s 5 v 0 Β. Είναι s 5 s 5 και x s 5 CV 5 5 x 0 500 6 0 6 00 Άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές. ΘΕ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x)x x, xr. Γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. ονάδες 6 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f()). ονάδες 7 Γ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία (ε) του ερωτήματος Γ τέμνει τους άξονες x x και y y. ονάδες f(x) Γ. Να υπολογίσετε το όριο lim x x ονάδες 8 ΠΝΤΗΣΗ f(x) x x, xr Γ. f (x) x, xr f (x)0 x0 x f (x)0 x0 x
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Το πρόσημο της f (x), η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. x f'(x) f H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 και είναι ίσο με f( ) Γ. Έστω (ε) η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (, f()) (ε): y f ()xβ f () f() A(ε) οπότε ισχύει f()β 6β β άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι (ε):yx Γ. Έστω Β(0, y) το σημείο τομής της ε με τον y y και Γ(x, 0) το σημείο τομής της ε με τον x x. B(ε) άρα y0 y B(0, ) Γ(ε) άρα 0x x Γ(,0) f(x) x x x x x x Γ. lim lim lim x x x x x (x ) x x x lim x (x ) ΘΕ Δ x x(x ) lim lim x x x x (x ) x x x x Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μία άσπρη, μία μαύρη και μία κόκκινη. άνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία άλλη μια φορά. Δ. Να κατασκευάσετε το δενδροδιάγραμμα που περιγράφει το παραπάνω πείραμα (μονάδες ) και να γράψετε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. (μονάδες ) ονάδες 5 Δ. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: : «η δεύτερη μπάλα που θα εξαχθεί να είναι μαύρη» 5 x
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Β: «να εξαχθούν δυο μπάλες διαφορετικού χρώματος». ονάδες 6 Δ. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω του προηγούμενου πειράματος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και, Β είναι τα ενδεχόμενα του ερωτήματος Δ. α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:, Β, Β, Β. (μονάδες 8) β. ν Γ είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω, το οποίο είναι ασυμβίβαστο τόσο με το ενδεχόμενο A όσο και με το ενδεχόμενο B, να υπολογίσετε ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει η πιθανότητα Ρ(Γ). (μονάδες 6) ονάδες ΠΝΤΗΣΗ Δ. : Άσπρη, : αύρη, : όκκινη η Λήψη η Λήψη ρχή Ω{,,,,,,,, } Δ. {,, } Β{,,,,, } Δ. α. Είναι Ν(Ω), Ν() και Ν(Β)6 α τρόπος N(A) P(A) N(Ω) P(A ) P(A) P(A ) 6
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 β τρόπος {,,,,, }, άρα P(A ) AB{AM, KM} N(AB) N(A B) P(AB) N(Ω) α τρόπος AB{MM} N(AB) N(A B) P(AB) N(Ω) β τρόπος: Ρ(Β)Ρ()Ρ(Β) α τρόπος Β,,, Ν(Β) Ν(Β ) Ρ(Β ) Ν(Ω) β τρόπος: Ρ(Β)Ρ(Β)Ρ(Β) Ν(Β) Ν(Ω) 6 N(A') N(Ω) 6 β. Πρέπει Γ και ΓΒ Άρα Γ (Β),. Συνεπώς Γ ή Γ ή Γ ή, Γ. Οι πιθανότητες των παραπάνω ενδεχομένων είναι αντίστοιχα: Ρ(Γ)0 ή Ρ(Γ) ή Ρ(Γ) ή Ρ(Γ) Συνεπώς, η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει η Ρ(Γ) είναι. ΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Το κύριο χαρακτηριστικό των σημερινών θεμάτων είναι ότι εξετάζουν βασικές γνώσεις από όλα τα κεφάλαια της ύλης με τρόπο διακριτό χωρίς συνδυασμό δεδομένων. Τα ερωτήματα είναι διατυπωμένα με σαφήνεια και στηρίζονται στην ασκησιολογία του σχολικού βιβλίου. 7