Αναδιατάξεις Συναρτήσεων και Ανισότητες Faber-Krahn

Αναδιατάξεις Συναρτήσεων και Ανισότητες Faber-Krahn Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μπιτσούνη Βασιλική Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 14

Αναδιατάξεις Συναρτήσεων και Ανισότητες Faber-Krahn Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μπιτσούνη Βασιλική Επιβλέπων: Γεράσιμος Μπαρμπάτης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 14

Στην οικογένειά μου.

Περίληψη Στην εργασία αυτή, δίνουμε μια εισαγωγή στην θεωρία της συμμετρικοποίησης Schwarz και στην συνέχεια μελετάμε τις εφαρμογές της σε προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ειδικότερα, κατασκευάζουμε την συμμετρικοποίηση Schwarz μιας πραγματικής συνάρτησης u, ορισμένης σε ένα φραγμένο χωρίο R N. Η συμμετρικοποίηση Schwarz της u, που συμβολίζεται με u, είναι ορισμένη στην μπάλα με κέντρο της αρχή των αξόνων και όγκο ίσο με αυτόν του χωρίου, και κατασκευάζεται μέσω της φθίνουσας αναδιάταξης της u. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι για 1 p η συμμετρικοποίσηση Schwarz διατηρεί τις L p νόρμες, ενώ για τις L p νόρμες της κλίσης της u και της κλίσης της u αντίστοιχα, αποδεικνύεται η ανισότητα Pólya-Szegö: u L p ) u L p ). Βασικό εργαλείο για την απόδειξη της ανισότητας αυτής, και γενικότερα για όλη την εργασία, αποτελεί η ισοπεριμετρική ανισότητα. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με την ανισότητα Faber-Krahn σε ευκλείδειους χώρους. Αποδεικνύεται, λοιπόν, η ανισότητα Faber-Krahn, δηλαδή ότι από όλα τα σύνολα που έχουν τον ίδιο όγκο, η μπάλα, και μόνο αυτή, ελαχιστοποιεί την πρώτη ιδιοτιμή του τελεστή Laplace με συνοριακές συνθήκες Dirichlet: λ 1 ) λ 1 ). Επεκτείνουμε, τέλος, την έννοια της ανισότητας Faber-Krahn και σε πολλαπλότητες Riemann και αποδεικνύουμε ότι είναι ισοδύναμη με άλλες γνωστές συναρτησιακές ανισότητες, όπως η ανισότητα Nash. v

vi

Abstract In this Master thesis, we give an introduction to the theory of Schwarz symmetrization and study its applications in problems of partial differential equations. We first construct the Schwarz symmetrization of a real function u, defined on a bounded domain R N. The Schwarz symmetrization of u, denoted u, is defined on the open ball centered at the origin and having the same volume as and it is constructed by the decreasing rearrangement of u. Then we show that for 1 p the Schwarz symmetrization preserves the L p norms, while for the L p norms of the gradient of u and u respectively, the inequality Pólya- Szegö asserts: u Lp ) u Lp ). The crucial tool in proving this inequality, and generally) in this Master thesis, is the isoperimetric inequality. Then we deal with the Faber-Krahn inequality in Euclidean spaces. In particular, we prove the Faber-Krahn inequality, i.e. of all sets of given volume, the ball, and the ball alone, minimizes the first eigenvalue of the Laplace operator with Dirichlet boundary condition: λ 1 ) λ 1 ). Finally, we extend the Faber-Krahn inequality in Riemannian manifolds and prove that it is equivalent to other known functional inequalities, such as Nash inequality. vii

viii

Πρόλογος Το 1894, ο Lord Rayleigh διατύπωσε στην διατριβή του, η οποία αναφερόταν στην θεωρία του ήχου, κάποιες εικασίες σχετικά με την ταλάντωση ορισμένων ελαστικών σωμάτων. Συγκεκριμένα, ισχυρίστηκε ότι από όλες τις μεμβράνες που έχουν το ίδιο εμβαδόν, η κυκλική μεμβράνη έχει την ελάχιστη θεμελιώδη συχνότητα ταλάντωσης. Αυτό αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τους Faber και Krahn στο τέλος του πρώτου τετάρτου του εικοστού αιώνα. στόσο, από την αρχαιότητα ακόμη, είναι γνωστό από τη λύση του προβλήματος της Διδούς ότι από όλες τις κλειστές καμπύλες του επιπέδου που έχουν το ίδιο μήκος, ο κυκλικός δίσκος, και μόνο αυτός, περικλείει τη μέγιστη επιφάνεια. Αντίστροφα, από όλα τα επίπεδα χωρία που έχουν το ίδιο εμβαδόν, ο κυκλικός δίσκος, και μόνο αυτός, έχει την ελάχιστη περίμετρο. Ένα παράδειγμα του ισοπεριμετρικού αυτού προβλήματος, αποτελούν οι σαπουνόφουσκες, αφού για μία ποσότητα αέρα που διοχετεύεται σε αυτές, παίρνουν πάντα το σφαιρικό σχήμα, που έχει την ελάχιστη επιφάνεια. Αυτό συμβαίνει, διότι η σαπουνόφουσκα βρίσκεται σε θέση ισορροπίας όταν η δυναμική ενέργεια, που οφείλεται στην επιφανειακή τάση και είναι ανάλογη της επιφάνειας της σαπουνόφουσκας, είναι ελάχιστη. Η ίδια η φύση, λοιπόν, φαίνεται να επιλέγει την σφαιρική συμμετρία. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με τη θεωρία της συμμετρικοποίησης Schwarz, γνωστή και ως σφαιρικά συμμετρική και φθίνουσα αναδιάταξη συναρτήσεων, και την μελέτη εφαρμογών της πάνω σε συναρτησιακές ανισότητες και προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το Κεφάλαιο 1 είναι εισαγωγικό και παρουσιάζει, συνοπτικά, βασικά στοιχεία της Συναρτησιακής Ανάλυσης και της Διαφορικής Γεωμετρίας, καθώς και θεωρήματα που χρησιμοποιούνται στα επόμενα κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της αναδιάταξης μιας συνάρτησης και αναφέρονται βασικές ιδιότητες της. Σκοπός του κεφαλαίου είναι να δοθεί ο ορισμός της συμμετρικοποίηση Schwarz, και να αποδειχθούν κάποιες ιδιότητες και ανισότητες που ικανοποιεί, με βασικότερη την ανισότητα Hardy- Littlewood. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε κλασσικές ανισότητες του λογισμού μεταβολών. Ειδικότερα, δίνουμε αποδείξεις της ισοπεριμετρικής ανισότητας, καθώς και της ανισότητας Pólya-Szegö, ενώ αναφέρουμε συσχετισμούς με την ανισότητα Sobolev. Το κεφάλαιο αυτό κλείνει με την μελέτη εφαρμογών της συμμετρικοποίησης Schwarz σε προβλήματα συνοριακών τιμών για τον τελεστή Laplace. Μεταφέροντας, λοιπόν, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών, που ορίζεται σε ένα φραγμένο χωρίο R N, στο αντίστοιχο πρόβλημα συνοριακών τιμών, που ορίζεται στην μπάλα με κέντρο την αρχή των αξόνων και όγκο ίσο με αυτού του, μπορούμε να συγκρίνουμε την συμμετρικοποίηση Schwarz της λύσης του ix

x πρώτου προβλήματος με την λύση του δευτέρου μέσω του Θεωρήματος Talenti. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4, παρουσιάζεται η βασική ανισότητα αυτής της εργασίας, η ανισότητα Faber-Krahn. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με προβλήματα ιδιοτιμών για τον τελεστή Laplace με συνοριακές συνθήκες Dirichlet σε ένα φραγμένο χωρίο του R N, και αντίστοιχα, σε ένα σχετικά συμπαγές υποσύνολο μίας πολλαπλότητας Riemann. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η σύνδεση της ανισότητας Faber-Krahn με τον όγκο του χωρίου σε μία πολλαπλότητα Riemann, καθώς και η ισοδυναμία της με την υπερσυσταλτικότητα του πυρήνα θερμότητας. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή μου κο. Γεράσιμο Μπαρμπάτη για την επιλογή αυτού του ιδιαίτερα ενδιαφέροντος θέματος, και κυρίως για την πολύτιμη βοήθεια του, την υπομονή του, την στήριξη του και τον χρόνο που αφιέρωσε. Η συμβολή του σε αυτήν την εργασία υπήρξε καθοριστική και αναντικατάστατη. Οφείλω, επίσης, ένα μεγάλο ευχαριστώ στον Καθηγητή κο. Ιωάννη Στρατή, τόσο για την συμπαράσταση του όλο αυτό το διάστημα, όσο και την βοήθεια του στις μετέπειτα σπουδές μου. Θεωρώ υποχρέωση μου να ευχαριστήσω την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια κα Λεώνη Ευαγγελάτου- Δάλλα για τις συμβουλές της, καθώς και την τιμή που μου έκανε με την συμμετοχή της στην τριμελή επιτροπή αυτής της εργασίας. Θα ήμουν αγνώμων αν δεν ευχαριστούσα τους καθηγητές μου, καθώς και την Υπεύθυνη της Γραμματείας Μεταπτυχιακών Σπουδών, κα Ελισάβετ Λέκκα, για την ευγένεια και την βοήθεια που παρέχει σε όλους τους φοιτητές. Θέλω ακόμη να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον συνάδελφό μου Λευτέρη Καστή, για την φιλία και την στήριξη του τα τελευταία δύο χρόνια. Επίσης, θα ήθελα, να ευχαριστήσω τους συναδέλφους μου, και ιδιαίτερα τον Αριστείδη Αλευρομάγειρο για την βοήθεια του, καθώς και τις ευχάριστες στιγμές των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Τέλος, η εργασία αυτή δεν θα μπορούσε να είχε πραγματοποιηθεί χωρίς την υποστήριξη και την κατανόηση της οικογένειάς μου. Για τον λόγο αυτό θέλω να τους ευχαριστήσω για όλα αυτά τα χρόνια που πίστεψαν σε μένα και μου έδωσαν την ευκαιρία να πραγματοποιήσω τις σπουδές μου.

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης................ 1 1. Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας.................. 6 Συμμετρικοποίηση 11.1 Η Φθίνουσα Αναδιάταξη....................... 11. Μερικές Ανισότητες Αναδιάταξης................. 1.3 Συμμετρικοποίηση Schwarz..................... 8.4 Παραλλαγές στο θέμα........................ 3 3 Συναρτησιακές Ανισότητες 35 3.1 Η Ισοπεριμετρική Ανισότητα.................... 35 3. Το Θεώρημα Pólya-Szegö...................... 41 3.3 Η Ανισότητα Sobolev......................... 5 3.4 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών.................. 55 4 Η Ανισότητα Faber-Krahn 63 4.1 Η Ανισότητα Faber-Krahn σε Ευκλείδειους Χώρους....... 63 4. Η Ανισότητα Faber-Krahn σε Πολλαπλότητες Riemann..... 7 Βιβλιογραφία 91 Ευρετήριο 93 xi

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Στο πρώτο κεφάλαιο θα δώσουμε συνοπτικά κάποιους βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης και της Διαφορικής Γεωμετρίας για διευκόλυνση του αναγνώστη. Για τον σκοπό αυτό δεν δίνουμε αποδείξεις και ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στην σχετική βιβλιογραφία που παρέχεται στο τέλος αυτής της εργασίας. 1.1 Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Έστω R N ένα ανοικτό σύνολο. Ορίζουμε C ) ως τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο, C k ) ως τον χώρο των συναρτήσεων που είναι k φορές συνεχώς παραγωγίσιμες στο και των οποίων οι παράγωγοι μέχρι αυτήν την τάξη έχουν συνεχή επέκταση στο, C ) = k C k ), C c ) ως τον χώρο των συναρτήσεων που ανήκουν στον C ) και των οποίων ο φορέας είναι ένα συμπαγές σύνολο που περιέχεται στο, Αν f C ), ο φορέας της f είναι το σύνολο: supp f = { : f x) }), C k c ) = C k C c ), C c ) = C C c ). Θα αναφέρουμε, τώρα, κάποια στοιχεία από τους χώρους L p ). Έστω dx το μέτρο Lebesgue στον R N. Θα συμβολίζουμε με L 1 ) των χώρο των ολοκληρώσιμων κατά Lebesgue) συναρτήσεων f στο, δηλαδή των συναρτήσεων για τις οποίες f L 1 ) = f x) dx <. Έστω 1 p <. Τότε L p ) = { f : R f p L 1 ) }, 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΓΗ με νόρμα Για p = ορίζουμε L ) = με νόρμα Τέλος, ορίζουμε { f : R f Lp ) = f x) p dx ) 1 p. } η f είναι μετρήσιμη και υπάρχει μία σταθερά C τετοια ώστε f x) C σχεδόν παντού στο f L ) = f = inf {C f x) C σ. π. στο }. L p loc ) = {f : R f Lp V), για κάθε V }. Ορισμός 1.1.1. Έστω u, υ L 1 loc ) και a = a 1,..., a N ) N N ένας πολυδείκτης διάνυσμα) με τάξη a = N i=1 a i. Για x = x 1,..., x N ) R N, ορίζουμε τον τελεστή D a := a 1 a x a 1 1 x a... a N x a. N N Λέμε ότι η συνάρτηση υ είναι η ασθενής παράγωγος a τάξης της u, και γράφουμε D a u = υ, αν ud a ϕdx = 1) a υϕdx, ϕ C c ). Ορισμός 1.1.. Αν ο k είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός, ορίζουμε τον χώρο Sobolev W k,p ), 1 p <, ως τον χώρο που αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις f : R, που ανήκουν στον L p ) και των οποίων οι ασθενείς παράγωγοι μέχρι τάξης k ανήκουν στον L p ). Ορίζουμε, τότε, τον χώρο W k,p ) ως την πλήρωση του χώρου C c στον W k,p ). Παρατήρηση 1.1.1. Θα συμβολίζουμε με H 1 ) = W 1, ), με νόρμα f H1 ) = και με H 1 ) = W1, ). [ u + ) N u x i dx Θεώρημα 1.1.1. Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης) Έστω χώρος μέτρου και f n ) μία ακολουθία συναρτήσεων στον L 1 ) που ικανοποιεί i) f n x) f x) σχεδόν παντού στο, ii) υπάρχει μία ακολουθία g L 1 ) τέτοια ώστε για κάθε n, f n x) g x) σχεδόν παντού στο. Τότε f L 1 ) και f n g 1. i=1 ] 1

1.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3 Θεώρημα 1.1.. Φασματικό Θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές) Έστω T B H) ένας συμπαγής και αυτοσυζυγής τελεστής σε έναν χώρο Hilbert H. Τότε, υπάρχει μια ορθοκανονική βάση του H, που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματα του T. Επίσης, αν η βάση αυτή γράφεται ως {ϕ n } {ψ n }, όπου {ψ n } Ker T) και {ϕ n } ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις μη μηδενικές ιδιοτιμές του T, Tϕ n = λ n ϕ n, λ n, όπου λ 1 λ..., τότε η ακολουθία λ n ) είτε είναι πεπερασμένη είτε συγκλίνει στο. Επίσης έχουμε T = λ n ϕ n ϕ n n όπου η σειρά συγκλίνει στον B H).) Τέλος, για το φάσμα του T ισχύει σ T) = {λ n } {}. Ορισμός 1.1.3. Μια οικογένεια τελεστών {E λ } λ R σε έναν χώρο Hilbert H, ονομάζεται φασματική ανάλυση της μονάδας αν πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: Ο τελεστής E λ είναι μια προβολή για κάθε λ R. Η απεικόνιση λ E λ είναι μονότονη, δηλαδή αν λ < λ, συνεπάγεται ότι Range E λ ) Range E λ ). Η απεικόνιση λ E λ είναι ισχυρά αριστερά συνεχής, δηλαδή αριστερά συνεχής ως προς την ισχυρή τοπολογία τελεστών και E λ H, καθώς λ και E λ I H, καθώς λ +. Έπεται, επομένως, ότι για κάθε x H, η συνάρτηση F λ) := E λ x είναι αύξουσα, αριστερά συνεχής και ισχύει μάλιστα F + ) = x F ) =, F + ) <, Λήμμα 1.1.1. Έστω ϕ λ) μία Borel συνάρτηση στο R. Αν τότε το ολοκλήρωμα + ϕ λ) d E λ x <, + ϕ λ) d E λ x, y) υπάρχει για κάθε y H και ορίζει ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησιακό του y. Άρα από το Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, υπάρχει ένα μοναδικό διάνυσμα, που συμβολίζεται με J ϕ x, το οποίο ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση J ϕ x, y) = + ϕ λ) d E λ x, y). 1.1)

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΓΗ Θεώρημα 1.1.3. Η απεικόνιση x J ϕ x είναι ένας γραμμικός τελεστής στον H με πεδίο ορισμού { + } domj ϕ := x H : ϕ λ) d E λ x <, που είναι ένα πυκνό γραμμικό υποσύνολο του H. Επιπλέον, ο τελεστής J ϕ είναι ένας αυτοσυζυγής τελεστής. Ακόμη, για κάθε x domj ϕ, J ϕ x = + ϕ λ) d E λ x. 1.) Μπορούμε, τώρα, να ορίσουμε το ολοκλήρωμα + ϕ λ) de λ ως + και χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό η σχέση 1.1) γίνεται + + ) ϕ λ) de λ x, y = ϕ λ) de λ =: J ϕ 1.3) ϕ λ) de λ x =: J ϕ x, + ϕ λ) d E λ x, y). 1.4) Αν το S είναι ένα Borel υποσύνολο του R και η ϕ είναι μία Borel συνάρτηση στο S, τότε ορίζουμε S ϕ λ) de λ := + όπου ϕ η μηδενική επέκταση της ϕ στο R. ϕ λ) de λ, Θεώρημα 1.1.4. Φασματικό Θεώρημα) Έστω A ένας αυτοσυζυγής τελεστής σε έναν πραγματικό χώρο Hilbert H. Τότε, υπάρχει μία μοναδική φασματική ανάλυση της μονάδας {E λ } στον H τέτοια ώστε να προκύπτει η ακόλουθη φασματική παραγοντοποίηση: A = + λde λ. Επιπλέον, για κάθε Borel συνάρτηση ϕ που μηδενίζεται στο φάσμα του τελεστή A, που θα συμβολίζουμε με speca, έχουμε + ϕ λ) de λ =. Ειδικότερα, από την τελευταία σχέση έπεται ότι A = λde λ. speca

1.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 5 Ο τελεστής A συμπίπτει με τον τελεστή J ϕ, όπως ορίστηκε στη σχέση 1.3), με συνάρτηση ϕ λ) λ ή γενικότερα με οποιαδήποτε συνάρτηση ϕ λ) που είναι ίση με λ στο σύνολο speca. Για κάθε Borel συνάρτηση ϕ ορισμένη στο speca, ορίζουμε τον τελεστή ϕ A) θέτοντας ϕ A) = J ϕ, δηλαδή ϕ A) := ϕ λ) de λ, και domϕ A) := speca { } x H : ϕ λ) d E λ x <. speca Άρα, ο τελεστής ϕ A) είναι αυτοσυζυγής. Από τη σχέση 1.4) έπεται ότι για κάθε x domϕ A) και y H έχουμε ϕ A) x, y) = ϕ λ) d E λ x, y). speca Επιπλέον, από τη σχέση 1.) συνεπάγεται ότι για κάθε x domϕ A), ϕ A) x = ϕ λ) d E λ x. speca Ειδικότερα, αν η συνάρτηση ϕ είναι φραγμένη στο speca, τότε ο τελεστής ϕ A) είναι φραγμένος και ϕ A) x sup ϕ. speca Θεώρημα 1.1.5. Ascoli-Arzelá) Υποθέτουμε ότι η f n ) n=1 είναι μία ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων ορισμένων στον R N, τέτοιων ώστε f n x) M n = 1,..., x R N) για κάποια σταθερά M και ότι οι {f n } n=1 είναι ισοσυνεχείς, δηλαδή για κάθε ϵ >, υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε x y < δ συνεπάγεται ότι f n x) f n y) < ϵ, για x, y R N, k = 1,... Τότε, υπάρχει μία υπακολουθία f nk ) k=1 {f n} k=1 και μία συνεχής συνάρτηση f, τέτοια ώστε f nk f ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του R N. Θεώρημα 1.1.6. Rellich Kondrachov ) Έστω ένα φραγμένο χωρίο με λείο σύνορο. Έστω 1 p <, p = W 1,p ) L q ), pn N p. Τότε για κάθε 1 q < p. Η εμφύτευση είναι συμπαγής. Παρατηρούμε ότι αφού p > p και p καθώς p N, έχουμε ειδικότερα W 1,p ) L p ), για κάθε 1 p. Παρατηρούμε επίσης ότι W 1,p ) L p ), ακόμη και αν δεν υποθέσουμε ότι το έχει λείο σύνορο.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΓΗ Θεώρημα 1.1.7. Eberlein Šmulian ) Ένα υποσύνολο ενός χώρου Banach είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν είναι ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές κάθε ακολουθία του υποσυνόλου έχει μία υπακολουθία που συγκλίνει ασθενώς στο υποσύνολο αυτό). Ορισμός 1.1.4. Έστω E R N. Για r >, ορίζουμε E r = { x R N d x, E) < r }, όπου d x, E) = inf { x y y E} η απόσταση του x από το E. Έστω k ένας ακέραιος τέτοιος ώστε 1 k N 1. Ορίζουμε M k E) = lim inf r E ω N k r N k. Το M k ονομάζεται k διάστατο περιεχόμενο Minkowski. Θεώρημα 1.1.8. Sard) Έστω f: R n R m μία C k συνάρτηση, όπου k max{n m+1, 1}. Έστω X το σύνολο των κρίσιμων σημείων της f, δηλαδή το σύνολο των σημείων x R n για τα οποία ο Ιακωβιανός πίνακας της f έχει rank < m. Τότε, η εικόνα f X) έχει μέτρο Lebesgue) μηδέν στον R N. 1. Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας Έστω M μία N διάστατη πολλαπλότητα Riemann και X M) το σύνολο των διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων. Μια μετρική Riemann g στην M είναι μία απεικόνιση, : X M) X M) C M) η οποία είναι διγραμμική, συμμετρική, θετικά ορισμένη και μετρήσιμη με την εξής έννοια: αν ξ, η X M) και m M, τότε η απεικόνιση m ξ, η m) είναι μετρήσιμη. Το ζεύγος M,, ) καλείται μετρήσιμη)πολλαπλότητα Riemann. Παρατήρηση 1..1. Τα διανυσματικά πεδία ορίζονται ως απεικονίσεις ξ : C M) C M) τέτοιες ώστε ξ fg) = f ξg) + g ξf) για κάθε f, g C M), και γράφονται σε τοπικές συντεταγμένες ως ξ = N ξ i i. i=1 Έστω U, x) ένας χάρτης και 1,..., N τα αντίστοιχα διανυσματικά πεδία στο U. Ορίζουμε τις συναρτήσεις g ij C U) ως g ij := i, j. Έπεται ότι για κάθε m U ο πίνακας g ij m)) ij είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Συμβολίζουμε με g = det g ij ) και g ij) = g ij ) 1.

1.. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΜΕΤΡΙΑΣ 7 Έστω T M, m) ο εφαπτόμενος χώρος της M στο m. Από τον ορισμό της μετρικής Riemann, προκύπτει ότι για κάθε m M, η απεικόνιση, : X M) X M) R : ξ, η) ξ, η m) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο T M, m), που σε τοπικές συντεταγμένες δίνεται από τη σχέση ξ, η m = N g ij m) ξ i m) η j m). i,j=1 Είναι γνωστό από τη γεωμετρία Riemann ότι η κλίση μιας συνάρτησης f C M), που συμβολίζεται με gradf ή f, ορίζεται ως gradf = N g ij i f) j, i,j=1 το οποίο είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον εφαπτόμενο χώρο. Αντίστοιχα ορίζουμε την απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου ξ X M), που συμβολίζεται με divξ C M), ως divξ = 1 N ) j gξj. g Ορισμός 1..1. Ο τελεστής Laplace ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση j=1 : C M) C M) : f div gradf), f C M), ενώ αν U, x) χάρτης στην M, τότε παίρνει τη μορφή f = 1 g N i,j=1 i gg ij j f ). Παρατήρηση 1... Ο τελεστής Laplace είναι καλά ορισμένος, με την έννοια ότι δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που θα επιλέξουμε. Έστω M μια πολλαπλότητα Riemann και U, x) χάρτης στην M. Αν f : U R μια μετρήσιμη συνάρτηση, τότε ορίζουμε το ολοκλήρωμα fdv = f x 1 ) g x 1 dx, U xu) όπου dx το μέτρο Lebesgue του R N. Η μέθοδος αλλαγής μεταβλητής μας εξασφαλίζει ότι το ολοκλήρωμα αυτό είναι καλά ορισμένο στις τομές των χαρτών. Για να ορίσουμε το μέτρο καθολικά στην πολλαπλότητα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις διαμερίσεις της μονάδας. Θεώρημα 1..1. Έστω ξ X M) διανυσματικό πεδίο στην M με συμπαγή φορέα. Τότε divξ dv =. M

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΓΗ Θεώρημα 1... Green) Έστω f, h C M) συναρτήσεις, τέτοιες ώστε τουλάχιστον μία εκ των δύο να έχει συμπαγή φορέα. Τότε h f dv = gradf, gradh dv = f h dv. M M Ορισμός 1... Έστω ξ ένα διανυσματικό πεδίο τέτοιο ώστε ξ L 1 loc M). Θα λέμε ότι το διανυσματικό πεδίο ξ είναι η ασθενής κλίση μιας συνάρτησης u L 1 loc M), και θα συμβολίζουμε με ξ = u, αν για κάθε η X M) με συμπαγή φορέα, ισχύει η σχέση u divη dv = ξ, η dv. M Πρόταση 1..1. Έστω M μια πολλαπλότητα Riemann. Τότε για κάθε Lipschitz συνεχή συνάρτηση f C M) υπάρχει η ασθενής της κλίση f, η οποία είναι L διανυσματικό πεδίο της M και όπου L f) η σταθερά Lipschitz της f. M f L L f), 1.5) Ορισμός 1..3. Έστω 1 p <. Ορίζουμε τον χώρο Sobolev W 1,p M), ως τον χώρο που αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις u L p M) για τις οποίες υπάρχει η ασθενής κλίση u και μάλιστα u L p M). Ορίζουμε τη νόρμα του χώρου W 1,p M) ως εξής [ u 1,p := u p + u p ) dv M M ] 1 p. Αντίστοιχα με τον R N, ο χώρος W 1,p M) είναι η κλειστή θήκη του Cc M) στον W 1,p M) και συμβολίζουμε H 1 M) := W 1, M) και H 1 M) := W1, M). Θεώρημα 1..3. Για κάθε θετικά ορισμένο, αυτοσυζυγή τελεστή L σε έναν χώρο Hilbert H, η ημιομάδα e Lt ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες i) Για κάθε t, ο τελεστής e Lt είναι ένας φραγμένος αυτοσυζυγής τελεστής και e Lt 1. ii) Η οικογένεια { e Lt} ικανοποιεί την ταυτότητα ημιομάδας e Lt e Ls = e Lt+s), για κάθε t, s. iii) Η απεικόνιση t e Lt είναι ισχυρά συνεχής, δηλαδή συνεχής ως προς την ισχυρή τοπολογία τελεστών, στο διάστημα [, + ). Δηλαδή, για κάθε t και f H e Lt f e Lt f H, καθώς t t. Ειδικότερα, για κάθε f H, lim t + e Lt f = f.

1.. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΜΕΤΡΙΑΣ 9 iv) Για κάθε f H και t >, έχουμε το e Lt f doml και όπου d η παράγωγος στον H. dt d e Lt f ) = L e Lt f ), dt Λήμμα 1..1. Έστω ψ n t)) μία ακολουθία συναρτήσεων στον C R) τέτοιων ώστε ψ n ) = και sup n Υποθέτουμε ότι για κάποιες συναρτήσεις ψ t) και ϕ t) στον R, sup ψ n t) <. 1.6) t R ψ n t) ψ t) και ψ n t) ϕ t) για κάθε t R. 1.7) Τότε, για κάθε u H 1 M), η συνάρτηση ψ u) ανήκει επίσης στον H1 M) και ψ u) = ϕ u) u. 1.8) Παράδειγμα 1..1. Έστω u μια συνάρτηση στον C M) H 1 M). Για κάθε a >, ορίζουμε U a = {x M : u x) > a}. Τότε, u a) + H 1 U a). Λήμμα 1... Έστω u μια μη αρνητική συνάρτηση στον H 1 M). Τότε, υπάρχει μία ακολουθία u n ) μη αρνητικών συναρτήσεων στον C M) τέτοιων ώστε u n u στον H 1 M), καθώς n. Λήμμα 1..3. Αν με H 1 c M) συμβολίζουμε τον χώρο των συναρτήσεων που ανήκουν στον H 1 M) και έχουν συμπαγή φορέα, τότε H 1 c M) H 1 M).

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΓΗ

Κεφάλαιο Συμμετρικοποίηση.1 Η Φθίνουσα Αναδιάταξη Έστω E R N ένα φραγμένο μετρήσιμο κατά Lebesgue) χωρίο. Συμβολίζουμε το Ν-διάστατο μέτρο Lebesgue) του ως E. Θεωρούμε μια πραγματική συνάρτηση, ορισμένη σε ένα τέτοιο χωρίο. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να κατασκευάσουμε μια συνάρτηση που σχετίζεται με αυτήν και ορίζεται στην μπάλα με κέντρο την αρχή των αξόνων και μέτρο ίσο με του E. Για να ορίσουμε τη συνάρτηση αυτή, θα πρέπει πρώτα να κατασκευάσουμε τη μονοδιάστατη φθίνουσα αναδιάταξη της. Ορισμός.1.1. Έστω R N ένα φραγμένο μετρήσιμο σύνολο και u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Για t R, το σύνολο στάθμης {u > t} ορίζεται ως {u > t} = {x u x) > t}. Τα σύνολα {u < t}, {u t}, {u = t} και ούτω καθεξής, ορίζονται ανάλογα. Τότε η συνάρτηση κατανομής της u δίνεται από τον τύπο µ u t) = {u > t}. Η συνάρτηση αυτή είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς t και για t ess sup u), έχουμε µ u t) =, ενώ για t ess inf u), έχουμε µ u t) =. Συνεπώς, το πεδίο τιμών της µ u t) είναι το διάστημα [, ]. Ορισμός.1.. Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε η μονοδιάστατη) φθίνουσα αναδιάταξη της u, που συμβολίζεται με u #, ορίζεται στο διάστημα [, ] ως εξής } u # ) = ess sup u).1) u # s) = inf {t µ u t) < s}, s >. Η u # είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης κατανομής σχεδόν σε όλο 11

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ το. στόσο, αφού η συνάρτηση µ u t) είναι φθίνουσα, μπορεί να έχει άλματα ασυνέχειας. Αν το t είναι ένα σημείο ασυνέχειας, τότε η u # ορίζεται στο διάστημα [µ u t+), µ u t )] ως t. Παράδειγμα.1.1. Έστω =, ) R. Ορίζουμε τη συνάρτηση u : R ως εξής + x, x 1 1, 1 x u x) = 1 + x, x.5 x,.5 x. 1.5 1 1.5 Έστω t R. Αν x 1, x τα άκρα του διαστήματος {u > t}, τότε η συνάρτηση κατανομής µ u t) = {u > t} = x 1, x ). Άρα Για t < 1 } + x 1 = t x 1 = t µ u t) = t) t ) = 4 t x = t x = t Για 1 t < 1.5 } 1 + x 1 = t x 1 = t 1 µ u t) = t) t 1) = 3 t x = t x = t Για t 1.5 µ u t) =.

.1. Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ 13 Παρατηρούμε ότι η µ u t) είναι ασυνεχής στο 1 και συνεχής στο 1.5, άρα 4 t, t < 1 µ u t) = 3 t, 1 t 1.5., t 1.5 και η γραφική παράσταση της µ u t) είναι 4 3 1 1 1.5 H συνάρτηση u # ορίζεται στο διάστημα [, ] = [, 4] και υπολογίζεται ως εξής: Στο διάστημα [1, 1.5] έχουμε µ u t) < s 3 t < s t > 3 s, άρα u # s) = inf {t µ u t) < s} = 3 s. Στο διάστημα [, 1] έχουμε µ u t) < s 4 t < s t > 4 s, άρα u # s) = 4 s. Στο σημείο t = 1 έχουμε ασυνέχεια για την µ u t),άρα η u # παίρνει την τιμή 1 στο διάστημα [µ u 1 + ), µ u 1 )] = [1, ].

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Η u # : [, 4] R είναι συνεχής στο διάστημα [, 4], συνεπώς προκύπτει 3 s, s 1 u # s) = 1, 1 s. 4 s, s 4 και η γραφική παράσταση της u # είναι 1.5 1 1 3 4 Παράδειγμα.1.. Έστω ο δακτύλιος { x R < R 1 < x < R } και u : R η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο R u x) = x ). Για να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση u # πρέπει πρώτα να βρούμε τη συνάρτηση κατανομής µ u t) = {u > t}. Έχουμε R u x) > t x ) > t x < R t. Για να είναι καλά ορισμένη η συνάρτηση µ u t) πρέπει να ισχύει Άρα < R 1 < x R 1 < x. µ u t) = {x u x) > t} = { x R 1 < x < R t }, δηλαδή ψάχνουμε το εμβαδόν του δακτυλίου μεταξύ των κύκλων με κέντρο το μηδέν και ακτίνες R 1 και R t αντίστοιχα. Συνεπώς µ u t) = R t R 1) π.

.1. Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ 15 Κατασκευάζουμε τώρα την φθίνουσα αναδιάταξη της u µ u t) < s R R 1 t ) π < s R R 1 s π < t t > 1 R R 1 s ) π. Άρα u # s) = inf {t µ u t) < s} u # s) = 1 R R 1 s ) π. Πρόταση.1.1. Έστω u : R όπου R N φραγμένο χωρίο. Τότε η u # είναι φθίνουσα και αριστερά συνεχής συνάρτηση. Απόδειξη. i) Έστω s 1 < s. Τότε αν {u > t} < s 1 συνεπάγεται ότι {u > t} < s. Άρα {t µ u t) < s 1 } {t µ u t) < s }. Άρα από τον ορισμό της u # προκύπτει ότι u # s 1 ) u # s ). ii) Έστω s, ). Από το ορισμό της u # και τον ορισμό του infimum, για κάθε ϵ >, υπάρχει t R τέτοιο ώστε u # s) t u # s) + ϵ και µ u t) < s. Επιλέγουμε h > τέτοιο ώστε µ u t) < s h < s. Τότε, για όλα τα < h h, έχουμε µ u t) < s h < s και αφού η u # είναι φθίνουσα, έχουμε από τον ορισμό της u # s) u # s h ) t < u # s) + ϵ. Άρα αποδείξαμε ότι η u # είναι αριστερά συνεχής. Πρόταση.1.. Η απεικόνιση u u # είναι αύξουσα, δηλαδή αν u υ, όπου u και υ πραγματικές συναρτήσεις στο, τότε u # υ # Απόδειξη. Αφού u υ, έχουμε ότι {u > t} {υ > t}. Άρα {u > t} {υ > t}. Αν {υ > t} < s, τότε {u > t} < s, επομένως έχουμε {t {υ > t} < s} {t {u > t} < s} και το αποτέλεσμα έπεται από τον ορισμό της συνάρτησης αναδιάταξης. Ορισμός.1.3. Δύο πραγματικές συναρτήσεις με πιθανόν διαφορετικό πεδίο ορισμού) ονομάζονται ισομετρήσιμες αν έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Οι ισομετρήσιμες συναρτήσεις θεωρούνται αναδιάταξη η μία της άλλης. Πρόταση.1.3. Οι συναρτήσεις u : R και u # : [, ] R είναι ισομετρήσιμες, δηλαδή για κάθε t, {u > t} = { u # > t }..) Απόδειξη. Αν u # s) > t, τότε από τον ορισμό της u # έχουμε ότι inf {t {u > t} < s} > t,συνεπώς {u > t} s. Άρα { s u # s) > t } {s {u > t} s}.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Αφού η u # είναι φθίνουσα,έχουμε { u # > t } = sup { s u # s) > t } {u > t}..3) Από την άλλη πλευρά, έστω { u # t } = s. Αφού η συνάρτηση u # είναι αριστερά συνεχής και φθίνουσα, συνεπάγεται ότι u # = t. Τότε, από τον ορισμό της u #, προκύπτει ότι {u > t} s. Άρα {u > t} { u # t }..4) Εφαρμόζοντας τις σχέσεις.3) και.4) για t + h στη θέση του t, προκύπτει { u # > t + h } {u > t + h} { u # t + h }. Παίρνοντας το όριο καθώς h, έχουμε που αποδεικνύει την.). { u # > t } {u > t} { u # > t } Πόρισμα.1.1. Με τους συμβολισμούς που έχουμε ορίσει, έχουμε {u > t} = { u # > t }. {u t} = { u # t }. {u < t} = { u # < t }. {u t} = { u # t }..5) Απόδειξη. Η πρώτη σχέση έχει ήδη αποδειχθεί. Για τη δεύτερη σχέση θεωρούμε τα σύνολα { A n = u > t 1 }, n 1. n Τότε, είναι γνωστό ότι για κάθε φθίνουσα ακολουθία συνόλων A n ) n 1 ισχύει A n = lim A n. n n=1 Άρα, χρησιμοποιώντας την πρώτη σχέση έχουμε { {u t} = u > t n} 1 { = lim n u > t 1 = n} n=1 { = lim n u # > t n} 1 { = u # > t 1 n} = { u # t }. n=1 Επομένως, αφού αποδείξαμε τη δεύτερη σχέση προκύπτει {u < t} = {u t} = { u # t } = { u # < t }. Αντίστοιχα για την τελευταία σχέση έχουμε {u t} = {u > t} = { u # > t } = { u # t }.

.1. Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ 17 Πόρισμα.1.. Αν u και u L p ) για 1 p, τότε u # L p, )) και u p, = u # p,, )..6) Απόδειξη. Αν p =, τότε από τον ορισμό της αναδιάταξης έχουμε ότι και u # ) = ess sup u) u # ) = ess inf u), συνεπώς η u # είναι φραγμένη. Επιπλέον, αφού η u # : [, ] R R είναι φθίνουσα, τότε είναι μετρήσιμη. Άρα u # L, )). Έχουμε τότε Έστω τώρα 1 p <, τότε u #,, ) = u # ) = ess sup u) = u,. u p p, = = u x) p dx = ux) ) ux) t p ) dt dx pt p 1 dtdx = και με εφαρμογή του Θεωρήματος Fubini προκύπτει u p p, = Αντίστοιχα για την u # έχουμε u # p p,, ) = χ {u>t} x) pt p 1 dxdt = p u # x) p dx = p χ {u>t} x) pt p 1 dtdx t p 1 µ u t) dt. t p 1 µ u # t) dt. Αφού οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Συνεπώς αν τότε µ u t) = µ u # t) = µ t) u p p, = p t p 1 µ t) dt = u # p p,, ). Άρα αποδείξαμε την σχέση.6). Το αποτέλεσμα ισχύει και χωρίς τη συνθήκη u. Θεώρημα.1.1. Έστω u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση και F : R R μια μη αρνητική Borel μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε F u x)) dx = F u # s) ) ds..7)

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Απόδειξη. Έστω E = [t, ] και F ξ) = χ E ξ),όπου χ E η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου E. Τότε F u x)) dx = χ {u t} x) dx = {u t} = { u # t } = χ {u# t} s) ds = F u # s) ) ds. Ομοίως, το αποτέλεσμα ισχύει για F = χ E, όπου E οποιοδήποτε διάστημα. Συνεπώς ισχύει για οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο και οποιοδήποτε σύνολο Borel, αφού η F είναι Borel μετρήσιμη. Επομένως, το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε μη αρνητική απλή συνάρτηση. Αφού F είναι μια οποιαδήποτε μη αρνητική Borel μετρήσιμη συνάρτηση, από γνωστό Θεώρημα προσέγγισης μετρήσιμης συνάρτησης από απλές μετρήσιμες συναρτήσεις), μπορεί να εκφραστεί ως όριο μιας αύξουσας ακολουθίας F n ) μη αρνητικών απλών συναρτήσεων τέτοιων ώστε όπου η σύγκλιση είναι κατά σημείο. Άρα, για κάθε n έχουμε αντίστοιχα F n u x)) dx = lim F n = F, n F n u # s) ) ds. Παίρνουμε, τώρα, το όριο καθώς το n και έχουμε από το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης F u x)) dx = lim F n u x)) dx n = lim n = F n u # s) ) ds F u # s) ) ds. Πόρισμα.1.3. Έστω F : R R μια Borel συνάρτηση και u : R μια συνάρτηση τέτοια ώστε F u) L 1 ). Τότε F u #) L 1, )) και ισχύει η σχέση.7). Απόδειξη. Γράφουμε την F = F + F, όπου F + = max {F, } και F = max { F, }. Οι συναρτήσεις F + και F είναι μη αρνητικές. Επιπλέον, για κάθε F : X R ισχύει F u x)) dµ = F + u x)) dµ F u x)) dµ. X X X Αφού η F είναι Borel συνάρτηση, τότε και οι F +, F είναι Borel συναρτήσεις και συνεπώς ικανοποιούν την σχέση.7),δηλαδή F + u x)) dx = F + u # s) ) ds.8)

.1. Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ 19 και F u x)) dx = Αφού F u) L 1 ), έχουμε ότι F + u x)) dx < και F u x)) dx <, άρα αφαιρώντας την σχέση.9) από την.8) προκύπτει F u # s) ) ds = F u # s) ) ds..9) F u x)) dx <. Άρα F u #) L 1, )) και αποδείχθηκε το ζητούμενο. Πόρισμα.1.4. Έστω u L p ) για 1 p. Τότε u # L p, )) και οι αντίστοιχες L p νόρμες είναι ίσες. Απόδειξη. Η περίπτωση p = έχει αποδειχθεί στο Πόρισμα.1.. Για 1 p < θεωρούμε τη συνάρτηση F : R R, όπου F t) = t p. Η F είναι μια μη αρνητική Borel συνάρτηση, ως συνεχής. Άρα από το Θεώρημα.1.1 έχουμε F u x)) dx = και αφού u L p ), τότε F u # s) ) ds και άρα u # L p, )). Επομένως, από τη σχέση.1) έχουμε u # s) p ds <. u x) p dx = u p p, = u# p p,, ) u p, = u # p,, ). u # s) p ds,.1) Παρατήρηση.1.1. Αφού η απόδειξη του Θεωρήματος.1.1, καθώς και των Πορισμάτων, βασίζονται στο γεγονός ότι οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, τα αποτελέσματα θα ισχύουν και για άλλες αναδιατάξεις. Λήμμα.1.1. Έστω u : [, l] R μια φθίνουσα συνάρτηση. Τότε u = u #. Απόδειξη. Αν t < u s), δηλαδή s {u > t}, τότε αφού η u είναι φθίνουσα, [, s] {u > t} {u > t} s µ u t) s και αφού οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, έχουμε { u # > t } s. Άρα από τον ορισμό προκύπτει t u # s). Άρα u # s) u s).11)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ για κάθε s [, l]. Έστω τώρα s ένα σημείο ασυνέχειας της u. Αφού η u είναι φθίνουσα ισχύει ότι {u > u s h)} [, s h] {u > u s h)} s h < s, για h >. Για να δείξουμε τώρα την αντίθετη φορά της ανισότητας.11), παρατηρούμε ότι από τον ορισμό της φθίνουσας αναδιάταξης ισχύει ότι u # s) t. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι t u s h). Έστω αντίθετα ότι t > u s h), τότε αφού η µ u t) είναι φθίνουσα, έχουμε µ u t) µ u u s h)). Όμως, µ u u s h)) < s µ u t) που είναι άτοπο. Άρα, ισχύει t u s h) και έχουμε ότι u # s) u s h) και παίρνοντας το όριο καθώς h, προκύπτει λόγω συνέχειας της u στο s ότι Επομένως από τις σχέσεις.11) και 1.1) έχουμε ότι u # s) u s)..1) u s) = u # s) σε όλα τα σημεία συνέχειας της u και αφού η u είναι μονότονη, το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της είναι το πολύ αριθμήσιμο. Άρα το αποτέλεσμα αποδείχθηκε. Πρόταση.1.4. Έστω ψ : R R μια αύξουσα συνάρτηση και u : R, όπου R n φραγμένο χωρίο. Τότε σχεδόν παντού στο. ψ u #) = ψ u)) #.13) Απόδειξη. Βήμα 1. Αν v, w : [, l] R είναι ισομετρήσιμες και φθίνουσες συναρτήσεις, τότε µ v t) = µ w t) και συνεπώς από τον ορισμό της φθίνουσας αναδιάταξης θα ισχύει v # = w #. Επιπλέον, από το προηγούμενο Λήμμα έπεται ότι v = v # και w = w # σ.π.. Άρα v = w σ.π.. Βήμα. Αρκεί να δείξουμε ότι οι ψ u #) και ψ u)) # είναι ισομετρήσιμες και φθίνουσες στο διάστημα [, ], τότε η.13) έπεται από το Βήμα 1. Η ψ u)) # είναι φθίνουσα από τον ορισμό της αναδιάταξης. Αφού η u # είναι φθίνουσα και η ψ αύξουσα, τότε η ψ u #) είναι φθίνουσα ως σύνθεση. Επιπλέον, η συνάρτηση ψ u) και η αναδιάταξη της ψ u)) # είναι ισομετρήσιμες, συνεπώς προκύπτει { ψ u #) > t } = χ {ψu # )>t} s) ds = χ {ψu)>t} x) dx { = {ψ u) > t} = ψ u)) # > t}, όπου η ισότητα των δύο ολοκληρωμάτων προκύπτει από το Θεώρημα.1.1, αφού η συνάρτηση s χ {ψ>t} είναι μια μη αρνητική Borel συνάρτηση. Πόρισμα.1.5. Αν u : R, έχουμε u + ) # = u #) +

.. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ 1 Απόδειξη. Η συνάρτηση ψ = ) + = max {, } είναι αύξουσα. Άρα, από την Πρόταση.1.4 έχουμε u + ) # = u # ) +. Παρατήρηση.1.. Εύκολα αποδεικνύεται ότι, αν c R, τότε ισχύει v + c) # = v # + c. στόσο, δεν ισχύει γενικά το ίδιο για δύο συναρτήσεις v, w : R, δηλαδή οι v + w) # και v # + w # δεν είναι γενικά ίσες.. Μερικές Ανισότητες Αναδιάταξης Πρόταση..1. Έστω p = 1 ή. Τότε για f, g L p ), f # g # p,, ) f g p,.14) Απόδειξη. Έστω p =. Τότε, αφού f, g L ), σχεδόν για κάθε x, έχουμε f x) g x) f g,. Άρα f x) f g, g x) f x) + f g,. Αφού η νόρμα είναι ένας αριθμός, έχουμε από Παρατήρηση.1., ότι και αντίστοιχα f f g, ) # = f # f g, f + f g, ) # = f # + f g,. Επιπλέον, αφού f x) f g, g x), από την Πρόταση.1. λόγω μονοτονίας της απεικόνισης u u # ) προκύπτει f f g, ) # g # f # f g, g #, αντίστοιχα f # + f g, g #. Άρα f # s) f g, g # s) f # s) + f g,, απ όπου προκύπτει άμεσα η ζητούμενη σχέση. Έστω p = 1. Θέτουμε h = max {f, g}. Τότε, αφού f h και g h, έχουμε πάλι από την Πρόταση.1. ότι f # h # και g # h #. Με χρήση της τριγωνικής ανισότητας ισχύει f # g # f # h # + h # g # = h # f #) + h # g #) = h # f # g #.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ και αφού είδαμε ότι οι L p νόρμες είναι ίσες στην αναδιάταξη, έχουμε f # s) g # s) ds = = h # s) f # s) g # s) ) ds h x) f x) g x)) dx f x) g x) dx, όπου η τελευταία ισότητα προέκυψε από τη σχέση h x) = Αποδείξαμε, επομένως, ότι f x) + g x) + f x) g x). f # g # 1,, ) f # g # 1,. Θεώρημα..1. Έστω 1 p. Τότε η απεικόνιση u u # είναι συνεχής από τον L p ) στον L p, )). Απόδειξη. Αν p = 1 ή p =, το αποτέλεσμα έπεται από την προηγούμενη Πρόταση. Έστω 1 < p <. Θεωρούμε την ακολουθία u n ) στον L p ), για την οποία έχουμε ότι u n u στον L p ). Αφού το είναι φραγμένο χωρίο, προκύπτει από την ανισότητα Hölder ότι u n u στον L 1 ) επίσης, και αφού η απεικόνιση u u # είναι συνεχής στον L 1, έχουμε ότι u # n u # στον L 1, )). Επομένως υπάρχει υπακολουθία ) u # n k τέτοια ώστε u # nk u # σ.π. Επιπλέον, από την Πρόταση.1. έχουμε u # n k p,, ) = u nk p, u p, = u # p,, ). Άρα η υπακολουθία ) u # n k είναι φραγμένη, συνεπώς προκύπτει από το Πόρισμα του Θεωρήματος Κυριαρχημένης Σύγκλισης ότι u # n k u # και στον L p, )). Αφού το όριο είναι ανεξάρτητο από την υπακολουθία, συνεπάγεται ότι ολόκληρη η ακολουθία u n) # συγκλίνει στην u # στον χώρο L p, )) και η απόδειξη είναι πλήρης. Πρόταση... Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u : R μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Αν E ένα μετρήσιμο σύνολο, τότε E u x) dx Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν E u E ) # = u # [, E ] σ.π. στο. Απόδειξη. Έστω v = u E. Αν s [, E ] και {u > t} < s, τότε {v > t} = {u > t} E < s. u # s) ds..15)

.. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ 3 Άρα {t {u > t} < s} {t {v > t} < s}, και από τον ορισμό της φθίνουσας αναδιάταξης ισχύει v # s) u # s). Ολοκληρώνοντας τώρα στο E προκύπτει E u x) dx = E v x) dx = E v # s) ds E u # s) ds,.16) που είναι η ζητούμενη σχέση. Αν ισχύει η ισότητα στην σχέση.15), τότε έχουμε ισότητα σε όλη την σχέση.16), που συμβαίνει αν και μόνο αν v # = u # σ.π στο E, δηλαδή αν και μόνο αν u E ) # = u # [, E ] σ.π. στο. Λήμμα..1. Έστω u : R και t R. Ορίζουμε τα εξής σύνολα E t = {x u x) > t} F t = {x u x) t} = \ E t και τη συνάρτηση b : R R ως { χ Et x), αν t b t, x) = χ Ft x), αν t <. Τότε Απόδειξη. Αν u x), τότε + Αν u x) <, τότε + u x) = + b t, x) dt = χ Ft x) dt + b t, x) dt = χ Ft x) dt + b t, x) dt..17) + + χ Et x) dt = ux) dt = u x). χ Et x) dt = dt = u x). ux) Λήμμα... Έστω f, g : R, όπου g μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο. Αν a f b + με a R, τότε f x) g x) dx = a g x) dx + b a g x) dx {f>t} ) dt..18) Απόδειξη. Αν a, τότε f. Ορίζουμε E t = {f > t}, συνεπώς από το προηγούμενο Λήμμα έχουμε f x) = b χ Et x) dt.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Πολλαπλασιάζοντας με g x) και ολοκληρώνοντας ως προς t στο έχουμε από το Θεώρημα Fubini f x) g x) dx = g x) b και αφού a f b + προκύπτει f x) g x) dx = a = a χ Et x) dtdx = g x) dxdt + g x) dx + b a b b a {f>t} g x) χ Et x) dxdt E t g x) dxdt g x) dxdt. Αν a <, τότε ορίζουμε τη συνάρτηση f = f a. Άρα αφού a f b +, τότε f b a και έχουμε όπως προηγουμένως f x) = Συνεπώς, προκύπτει όπως και πριν f x) g x) dx = b a f x) a) g x) dx = b a b a χ { f>t} x) dt. g x) χ { f>t} x) dxdt = {f>t+a} g x) dxdt b a και κάνοντας την αντικατάσταση t + a = s προκύπτει που είναι το ζητούμενο. f x) g x) dx a g x) dx = b a {f>s} {f>t+a} g x) dxds, g x) dxdt Παρατήρηση..1. Αντίστοιχα αν b R και a f b, ισχύει ότι b ) f x) g x) dt = b g x) dt g x) dx dt. a {f t} Αποδεικνύεται όπως και πριν παίρνοντας τώρα f x) = a χ E t x) dt. Θεώρημα... Hardy-Littlewood ) Έστω f L p ) και g L q ), όπου 1 p + 1 = 1, 1 p, q. Τότε q f x) g x) dx f # s) g # s) ds..19) Απόδειξη. Υποθέτουμε αρχικά ότι f L ) L p ). Έστω a και b πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a f b. Έχοντας δείξει ότι οι νόρμες διατηρούνται σε όλο το πεδίο ορισμού, αλλά όχι απαραίτητα στα μετρήσιμα υποσύνολα του

.. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ 5 Πρόταση..), προκύπτει εφαρμόζοντας το προηγούμενο Λήμμα για τις συναρτήσεις u και u # ότι b f x) g x) dx = a g x) dx + g x) dxdt = a a = a = g # s) ds + g # s) ds + g # s) ds + a {f>t} b a {f>t} b {f>t} a b {f # >t} a f # s) g # s) ds, g x) dxdt g # s) dsdt g # s) dsdt που είναι το ζητούμενο. Αν 1 p <, τότε για f L p ), g L q ) υπάρχουν ακολουθίες f n ), g n ) L ), με sup f n < και sup g n <, τέτοιες ώστε n n και f n f στον L p ) g n g στον L q ). Αφού η απεικόνιση u u # είναι συνεχής από τον L p ) στον L p, )) για 1 p, ισχύει ότι και f # n f # στον L p, )) g # n g # στον L q, )). Τότε, με χρήση της ανισότητας Hölder έχουμε f n g n fg) dx = f n g n + f n g f n g fg) dx = f n g n g) dx + f n f) gdx f n g n g 1 + f n f p g q καθώς n. Άρα f n g n fg στον L 1 ). Αντίστοιχα αποδεικνύουμε ότι f # ng # n f # g # στον L 1, )) και αφού f n x) g n x) dx f # n s) g # n s) ds, τότε f x) g x) dx f # s) g # s) ds. Παρατήρηση... Για κάθε συνάρτηση u : R, παρατηρούμε ότι { 1, x {u > t} χ {u>t} x) =, x / {u > t}

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ επομένως η φθίνουσα αναδιάταξη της θα δίνεται από τον τύπο χ{u>t} ) # s) = {1, s [, {u > t} ], s / [, {u > t} ]. Αντίστοιχα {1, s { u # > t } χ {u # >t} s) =, s / { u # > t } και αφού η u # είναι φθίνουσα συνάρτηση { u # > t } = [, { u # > t } ] = [, {u > t} ], άρα χ{u>t} ) # s) = χ{u# >t} s). Παράδειγμα..1. Αν u, v : R, τότε αποδεικνύεται ότι Πράγματι, αφού u x) χ {v t} x) dx χ {v t} = 1 χ {v>t}, u # s) χ {v# t} s) ds. τότε από το Θεώρημα.. Hardy-Littlewood) και το γεγονός ότι οι νόρμες διατηρούνται στην αναδιάταξη έχουμε u x) χ {v t} x) dx = u x) dx u x) χ {v>t} x) dx = = u # s) ds u # s) ds u # s) χ {v # t} s) ds. u # s) χ # {v>t} s) ds u # s) χ {v # >t} s) ds όπου η δεύτερη ισότητα έπεται από την προηγούμενη Παρατήρηση. Θεώρημα..3. Έστω f, g L p ), όπου 1 < p <. Τότε f # g # p,, ) f g p,..) Απόδειξη. Έστω J t) = t p. Ορίζουμε {, αν t J + t) = t p, αν t > και J t) = { t p, αν t, αν t >

.. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ 7 έτσι ώστε J = J + + J. Αφού οι συναρτήσεις J + και J είναι κυρτές και παραγωγίσιμες, έχουμε ότι J + f x) g x)) = fx) gx) Ολοκληρώνοντας στο προκύπτει J + f x) g x)) dx = J + f x) t) dt = + + και με εφαρμογή του Θεωρήματος Fubini έχουμε και αντίστοιχα J + f x) g x)) dx = + J + f x) t) χ {g t} x) dt. J + f x) t) χ {g t} x) dtdx.1) J + f x) t) χ {g t} x) dxdt.) J + f # s) g # s) ) ds = + J + f # s) t ) χ {g# t} s) dsdt..3) Αφού η J + είναι κυρτή, συνεπάγεται ότι η J είναι αύξουσα J ). Άρα από την Πρόταση.1.4 και την Παρατήρηση.1., έχουμε J + f x) t) ) ) # s) = J + f x) t) # s) = J + f # s) t ). Συνεπώς, από το Παράδειγμα..1, προκύπτει ότι J + f x) t) χ {g t} x) dx Άρα από τις σχέσεις.) και.3) συμπεραίνουμε ότι J + f x) g x)) dx J + f # s) t ) χ {g# t} s) ds. J + f # s) g # s) ) ds..4) Εναλλάσσοντας τώρα τον ρόλο των f και g στην σχέση.1), προκύπτει J + g x) f x)) = gx) Τότε, η σχέση.) γίνεται J + g x) f x)) dx = J + g x) t) dt = + fx) + και αντίστοιχα η σχέση.3) γίνεται J + g x) t) χ {f t} x) dt. J + g x) t) χ {f t} x) dxdt. J + g # s) f # s) ) ds = + J + t f # s) ) χ {f # t} s) dsdt.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Συνεπώς, όμοια με πριν έχουμε J + g x) f x)) dx J + g # s) f # s) ) ds. Όμως J + t) = J t), άρα η παραπάνω σχέση γράφεται J f x) g x)) dx J f # s) g # s) ) ds..5) Άρα προσθέτοντας τις σχέσεις.4) και.5) προκύπτει το ζητούμενο..3 Συμμετρικοποίηση Schwarz Δοθέντος ενός μετρήσιμου υποσυνόλου E R N πεπερασμένου μέτρου, θα συμβολίζουμε με E στο εξής, την ανοικτή μπάλα με κέντρο την αρχή των αξόνων και μέτρο ίδιο με το μέτρο του E, δηλαδή E = E. Αν x R N ένα διάνυσμα, τότε συμβολίζουμε με x την Ευκλείδεια νόρμα του. Τέλος, θα συμβολίζουμε με ω N, τον όγκο της μοναδιαίας μπάλας στον R N. Ορισμός.3.1. Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε, η συμμετρικοποίση Schwarz ή σφαιρικά συμμετρική και φθίνουσα αναδιάταξη της είναι η συνάρτηση u : R που ορίζεται ως u x) = u # ω N x N), x. Παρατήρηση.3.1. Από τον ορισμό της συμμετρικοποίσης Schwarz εύκολα παρατηρούμε ότι η u είναι ακτινικά συμμετρική αν x = y, τότε u # ω N x N) = u # ω N y N) u x) = u y) και φθίνουσα ως προς x συνάρτηση, διότι αν x y,τότε αφού η u # είναι φθίνουσα, u # ω N x N) u # ω N y N) u x) u y) Παράδειγμα.3.1. Για τον όγκο της μοναδιαίας μπάλας ω N στον R N, έχουμε B 1) = { x 1,..., x N ) : x 1 + + x N 1 } = { x 1,..., x N ) : 1 x 1 1, x + + x N 1 x } 1 = { x 1, x) : x 1 + + x N 1 }, όπου x = x,..., x N ), τότε ω N = = B1) 1 dx 1... dx N = 1 1 ω N 1 1 ) N 1 x1 ) d xdx 1 x B 1 x 1 dx 1

.3. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ SCHWARZ 9 και θέτοντας x 1 = t dx 1 = 1 dt, έχουμε t ω N = ω N 1 1 t 1 1 t) N 1 dt 1 = ω N 1 B, N + 1 ) = ω N 1 Γ 1 ) Γ N+1 ) Γ N + 1), όπου B x, y) η συνάρτηση Βήτα και Γ s) η συνάρτηση Γάμμα. Επομένως από τον αναδρομικό τύπο του ω N, προκύπτει ω N = π n Γ N + 1). Πρόταση.3.1. Έστω u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση και u : R η συμμετρικοποίση Schwarz της, τότε u x) dx = u # s) ds. Απόδειξη. Έστω β N το n-1)-διάστατο εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας στον R N. Θα δείξουμε πρώτα ότι β N = Nω N. Έχουμε 1 1 1 ω N = dx = ds x) dr = B r) dr = β N r N 1 dr = 1 N β N. B1) Br) Επομένως, αν R η ακτίνα της μπάλας, τότε u x) dx = u # ω N x N) R dx = = = R R και θέτοντας s = ω N r N dr = u x) dx = που είναι το ζητούμενο. u # ω N r N) B r) dr = u # ω N r N) Nω N r N 1 dr, ωn R N Br) R 1 ds, προκύπτει Nω N rn 1 u # s) ds = u # ω N r N) ds x) dr u # ω N r N) β N r N 1 dr u # s) ds = u # s) ds, Παρατήρηση.3.. Αποδεικνύεται αντίστοιχα ότι οι συναρτήσεις u και u είναι ισομετρήσιμες {u > t} = χ {u >t} x) dx = χ {u# >t} x) dx R = = χ {u# >t} r) Nω N r N 1 dr = χ {u>t} x) dx = {u > t}. χ {u# >t} s) ds

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Παρατήρηση.3.3. Η απόδειξη της προηγούμενης Πρότασης βασίστηκε στον ορισμό της μπάλας R N και τις ιδιότητες της. Συνεπώς, αν E ένα μετρήσιμο υποσύνολο, τότε ισχύει E u x) dx = u # s) ds E και από την Πρόταση.. προκύπτει τελικά ότι u x) dx u x) dx, E E με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν u E ) = u E. Παρατήρηση.3.4. Αφού οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, τότε αποδεικνύουμε όμοια με το Θεώρημα.1.1 οι αποδείξεις του βασίζονται στο γεγονός ότι ως ισομετρήσιμες έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής) ότι αν F : R R μια Borel μετρήσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε είτε F, είτε F u) L 1 ), τότε F u x)) dx = F u # s) ) ds = F u x)) dx Αν u L p ) για 1 p, τότε προκύπτει από την παραπάνω σχέση, όμοια με την απόδειξη του Πορίσματος.1.4, ότι u L p ),u # L p, )) και u p, = u # p,, ) = u p,. Παρατήρηση.3.5. Αν η ψ : R R είναι μια αύξουσα συνάρτηση, τότε ψ u ) = ψ u)) σχεδόν παντού στο. Η απόδειξη είναι αντίστοιχη της απόδειξης της Πρότασης.1.4. Παρατήρηση.3.6. Αντίστοιχα με το Θεώρημα..3, αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση u u είναι συστολή από τον L p ) στον L p ) για 1 p. Πόρισμα.3.1. Hardy-Littlewood ) Έστω f L p ) και g L q ), όπου 1 p + 1 = 1, 1 p, q. Τότε q f x) g x) dx f s) g s) ds..6) Απόδειξη. Όμοια με την Πρόταση.3.1 έχουμε ότι αν R η ακτίνα της μπάλας, τότε f s) g s) ds = f # ω N x N) g # ω N x N) dx R = f # ω N r N) g # ω N r N) ds x) dr = R Br) f # ω N r N) g # ω N r N) Nω N r N 1 dr,

.3. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ SCHWARZ 31 όπου αλλαγή μεταβλητής s = ω N r N γίνεται f s) g s) ds = = = ωn R N f # s) g # s) ds f # s) g # s) ds f # s) g # s) ds και από το Θεώρημα.1. προκύπτει τελικά η ζητούμενη ανισότητα. Παράδειγμα.3.. Έστω =.) R και u : R η συνάρτηση που ορίστηκε στο Παράδειγμα.1.1. Τότε, αφού = έχουμε =, ) και η συνάρτηση u : R, που ορίζεται ως u x) = u # ω N x N), είναι συμμετρική ως προς το, επομένως είναι μια άρτια συνάρτηση. Επιπλέον οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, άρα έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Τότε έχουμε Στο διάστημα [1, 1.5] έχουμε µ u t) < x 3 t < x t > 3 x, και 1 < 3 x < 1.5 < x <.5. Στο διάστημα [, 1] έχουμε µ u t) < x 4 t < x t > x, και < x < 1 1 < x <. Στο [ σημείο t = 1 έχουμε αντίστοιχα με πριν ότι u x) = 1 στο διάστημα µu 1 + ), µ u 1 ] ) = [.5, 1]. Άρα 3 u x) = u x, t.5 x) = 1,.5 t 1 x, 1 s. και η γραφική παράσταση της u είναι

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ 1.5 1 1.5 1.4 Παραλλαγές στο θέμα Ορισμός.4.1. Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Η μονοδιάστατη) αύξουσα αναδιάταξη της u, που συμβολίζεται με u #, ορίζεται στο διάστημα [, ] ως } u # ) = ess sup u) u # s) = inf {t {u < t} > s}, s [, ). Όπως και προηγουμένως, η u # είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης m t) = {u < t} σχεδόν σε όλο το. Επιπλέον, είναι αύξουσα αφού αν s 1 < s, τότε από τη σχέση {u < t} > s συνεπάγεται ότι {u < t} > s 1. Άρα {t {u < t} > s } {t {u < t} > s 1 } και από τον ορισμό της u # προκύπτει ότι u # s 1 ) u # s ) Πρόταση.4.1. Η απεικόνιση u u # είναι αύξουσα. Απόδειξη. Έστω ότι u v, τότε {v < t} {u < t}. Συνεπώς, {v < t} {u < t}. Αν {v < t} > s, τότε {u < t} > s, επομένως έχουμε {t {v < t} > s} {t {u < t} > s}. Άρα από τον ορισμό της αύξουσας αναδιάταξης προκύπτει ότι u # v #. Παρατήρηση.4.1. Όμοια με την απόδειξη της Πρότασης.1.3, προκύπτει ότι {u < t} = { u # < t }, δηλαδή οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες.

.4. ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΜΑ 33 Παράδειγμα.4.1. Έστω u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Θα δείξουμε ότι ισχύει u # s) = u # s). Από τον ορισμό της φθίνουσας αναδιάταξης έχουμε u # s) = inf {t {u > t} < s} = inf {t {u t} < s} = inf {t {u t} > s}. Εφαρμόζοντας για t + h στην θέση του t, έχουμε u # s) = inf {t + h {u t + h} > s} και παίρνοντας το όριο καθώς h, προκύπτει u # s) = inf {t {u < t} > s} = u # s). Πρόταση.4.. Έστω u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε u # = u) #. Απόδειξη. Οι συναρτήσεις u και u # είναι ισομετρήσιμες, συνεπώς και οι u και u # αντίστοιχα για τις u και u # ), άρα έχουμε { u # > t } = {u > t} = { u < t} = { u) # < t} = { u) # > t}. Αφού οι u # και u) # είναι φθίνουσες και ισομετρήσιμες, είναι ίσες σχεδόν παντού στο. Παρατήρηση.4.. Προφανώς ανάλογα αποδεικνύεται ότι u # = u) #. Πόρισμα.4.1. Hardy-Littlewood) Έστω f L p ) και g L q ), όπου f x) g x) dx ) 1 + p ) 1 = 1. Τότε q f # s) g # s) ds. Απόδειξη. Από το Θεώρημα.., για τις συναρτήσεις f L p ) και g L q ), και την προηγούμενη πρόταση έχουμε f x) g x) dx και το ζητούμενο έπεται. f # ) s) g # s) ds = f # s) g # s) ds Ορισμός.4.. Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u : R μια μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε η σφαιρικά συμμετρική και αύξουσα αναδιάταξη της u ορίζεται στο ως u x) = u # ωn x N), x.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Παράδειγμα.4.. Έστω =, ) R, θα υπολογίσουμε τις συναρτήσεις u # και u, όταν η u είναι η συνάρτηση που έχει δοθεί στο Παράδειγμα.1.1. Αφού = 4, έχουμε από το Παράδειγμα.4.1 ότι u # s) = u # s), άρα s, s u # s) = 1, s 3 s 1, 3 s 4 και η γραφική παράσταση της u # είναι 1.5 1 1 3 4 Αντίστοιχα με την u προηγουμένως, θα υπολογίσουμε την u, που ορίζεται ως x, t 1 u x) = u x) = 1, 1 t 1.5 x 1., 1.5 s και η γραφική παράσταση της u είναι 1.5 1 1 1 1.5 Παρατήρηση.4.3. Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα ασχοληθούμε μόνο με την περίπτωση που οι συναρτήσεις ορίζονται σε φραγμένο χωρίο. Για μη φραγμένα χωρία υπάρχει σχετική αναφορά βλ. [1])

Κεφάλαιο 3 Συναρτησιακές Ανισότητες 3.1 Η Ισοπεριμετρική Ανισότητα Στην παράγραφο αυτή θα αποδείξουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα. Η ανισότητα αυτή, στον R, επιλύει ένα αρχαίο πρόβλημα του λογισμού μεταβολών, γνωστό ως Το πρόβλημα της Διδούς: Από όλες τις απλές, κλειστές καμπύλες του επιπέδου με δοσμένο μήκος, ποιά είναι η κλειστή καμπύλη που περικλείει τη μέγιστη επιφάνεια για δεδομένη περίμετρομήκος της καμπύλης); Η λύση του προβλήματος αυτού είναι ότι ο κυκλικός δίσκος, και μόνο αυτός, περικλείει το μέγιστο εμβαδόν. Ισοδύναμα, από όλα τα απλά συνεκτικά χωρία του επιπέδου με δοσμένο εμβαδόν, o κυκλικός δίσκος, και μόνο αυτός, έχει την ελάχιστη περίμετρο. Γενικεύοντας το πρόβλημα αυτό στον R N, εισάγουμε τον ορισμό της περιμέτρου de Giorgi. Η περίμετρος de Giorgi Έστω R N ένα ανοικτό σύνολο και E ένα μετρήσιμο σύνολο. Η περίμετρος de Giorgi του E ως προς, που συμβολίζεται με P E), ορίζεται ως η ολική μεταβολή της χαρακτηριστικής συνάρτηση χ E του E, δηλαδή { } χe, Φ P E) = sup : Φ Cc )) N, Φ Φ { } 3.1) div Φ) dx E = sup : Φ Cc )) N, Φ Φ όπου Φ = max x N ) ϕ i x), Φ = ϕ 1,..., ϕ N ). i=1 Παρατήρηση 3.1.1. Θα μπορούσαμε να ερμηνεύσουμε το P E) ως το εμβαδόν της επιφάνειας του E, που εμπεριέχεται στο και στο οποίο μπορούμε να ορίσουμε ένα κάθετο διάνυσμα σε αυτήν. Αν το είναι φραγμένο με λείο σύνορο, τότε από το Θεώρημα Απόκλισης έχουμε div Φ) dx = Φ νdσ, 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ όπου το ν είναι το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα του και P R N ) θα είναι το εμβαδόν της επιφάνειας. Πρόταση 3.1.1. Για την περίμετρο de Giorgi ισχύουν οι ιδιότητες i) P E) = P \ E). ii) Αν E, τότε P E) P E). Απόδειξη. i) Αποδεικνύεται εύκολα για Φ Cc )) N εφαρμόζοντας το Θεώρημα Απόκλισης div Φ) dx = div Φ) dx div Φ) dx \E = = E Φ νdσ div Φ) dx E div Φ) dx και παίρνοντας το supremum για όλες αυτές τις Φ. ii) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της περιμέτρου de Giorgi, αφού για μεγαλύτερο σύνορο χωρίου, θα είναι μεγαλύτερη η τιμή του supremum. Ορισμός 3.1.1. Έστω R N ένα φραγμένο χωρίο και u C 1 ). Το κατώτερο σύνολο επαφής της u είναι το σύνολο που ορίζεται ως S u) = {x u y) u x) + u x) y x), για κάθε y }. 3.) Δηλαδή, το κατώτερο σύνολο επαφής είναι το σύνολο όλων των σημείων του τέτοιων ώστε το γράφημα της u να βρίσκεται όλο πάνω από το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο x, u x)). Θεωρούμε επιπλέον ότι η συνάρτηση u C ), με D u) x) να είναι ο Εσσιανός πίνακας των δευτέρων μερικών παραγώγων της u. Τότε, αν x S u) και t αρκετά μικρό έτσι ώστε x + tξ, για όλα τα ξ R N, προκύπτει από το Ανάπτυγμα Taylor ότι u x + tξ) = u x) + t u x) ξ + t D u x) ξ ξ + o t ) και αφού x S u), έχουμε t D u x) ξ ξ + o t ). Διαιρώντας την προηγούμενη σχέση με t και παίρνοντας το όριο καθώς t προκύπτει D u x) ξ ξ. Επομένως, ο Εσσιανός πίνακας της u είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος πίνακας στο S u). Θεωρούμε τώρα ένα επίπεδο με ένα διάνυσμα m R N, που βρίσκεται κάτω από την συνάρτηση u, τέτοιο ώστε το διάνυσμα m, 1) R N+1 να είναι κάθετο στο γράφημα της u και να κινείται παράλληλα στο εαυτό E