XI Venemaa (1979) 1. Lend Kuule. Kosmoselaev massiga M = 12 liigub mööda ringorbiii ümber Kuu kõrgusel h = 100 km. Selleks e minna kuundumisorbiidile, lüliaakse lühikeseks ajaks sisse mooor. Düüsis väljalendavae gaaside kiirus on u = 10 4 m/s. Kuu raadius on R K = 1,7 10 3 km, vabalangemise kiirendus Kuu pinnal on g K = 1,7 m/s 2. O (a) C 90 o O (b) 1) Milline kogus küus on vaja kuluada selleks, e kui punkis lüliada korraks sisse mooor, siis laev kuunduks punkis [joonis (a)]? 2) Teise kuundumisvariandi kohasel anakse laevale punkis Kuu suunaline impulss selleks, e laeva rajekoor puuduaks Kuu pinda punkis C [joonis (b)]. Kui palju kulub sellisel juhul küus? 2. Kaalumine See oli lihne ülesanne rchimedese jõu koha niiskes ja kuivas õhus normaalrõhul. 3. Peegel Kuu peal Kuu pinna opiliseks uurimiseks kasuai rubiinlaseri impulsskiirgus lainepikkusel λ = 0,69 µm. Laseri kiir suunai peegeleleskoobi abil kuu poole, objekiivi diameeer D = 2,6 m. Kuu pinnale oli aseaud peegeldi, mis ööas valguskiir ose agasi suunava ideaalse peeglina diameeriga d = 20 cm. Peegeldunud valgus püüi kinni selle sama eleskoobi abil ning fokuseerii valgusandurile. 1) Millise äpsusega uli suunaa eleskoobi elg? 2) Milline osa laseri kiirgusenergias regisreerii anduril? Valguse hajumisega amosfääris ja eleskoobis mie arvesada. 3) Kas peegeldunud valgusimpulss oli nähav ka palja silmaga? Silma undlikkus lugeda võrdseks n = 100 valguskvandiga; laseri kiirguse ühe impulsi energia oli E = 1 J. 4) Hinnake, mimekordse võidu andis peegeldi kasuamine. Kuu pind peegeldab keskmisel α = 10% pealelangevas valguses; peegeldunud kiirgus jaoub üle ruuminurga 2π seradiaani. Kuu kaugus Maas L = 3,8 10 5 km. Silmaera läbimõõduks lugeda d 0 = 5 mm. Planck i konsan h = 6,6 10 34 J s. Kommenaar: Reaalsuses on hajumine amosfääris märksa olulisem fakor, kui 2,6 meerise diameeriga laserikiire difraksiooniline lahknemine; Hubble i kosmoseeleskoobi diameeer on umbes sama suur. Tema lahuusvõime on õepooles piiraud difraksiooniga ning see on mimeid kordi parem misahes maapealses eleskoobis XII ulgaaria (1981) 1. Kaseklaas vaakumis Kaseklaas massiga M asub vaakumis. Õhuke vahesein ( kolb ) massiga m jagab algsel kaseklaasi pooleks; kinnises pooles on n mooli üheaaomilis gaasi molaarmassiga M 0 emperauuril T. Vahesein lasakse vabaks ning a lendab ilma hõõrdumisea kaseklaasis välja. Seejärel voolab välja ka gaas. Milline on kaseklaasi lõppkiirus, kui alguses olid kõik asjad paigal? Gaasi impulssi enne vaheseina eemaldumis ja gaasi emperauuri muuus peale vaheseina eemaldumis mie arvesada; raskusjõudu pole. Kommenaar: ülesande eine pool on ebakorrekne, gaasi emperauur muuub paraamaul. melik lahendus vaales kolvi väljalendamise järgse olukorda molekulaarkineeika ja vaakumlähendus kasuades, kummaigi pole eksis viide vaakumlähenduse kasuaavusele. 2. Reosaa Nominaalpingele U 0 = 4,5 V mõeldud elekrilampi akisusega R 0 = 2 Ω oideakse akumulaaoril, mille elekromooorjõud E = 6 V ning siseakisus on ühisel väike. 1) Nominaalpinge saamiseks aheakse kasuada reosaai, mis on ühendaakse poensiomeerina. Kasuegurη ei ohi olla väiksem kuiη 0 = 0,6. Millis voolu I ma peaks kannaama akumulaaori ja reosaai ühendav juhe, e a oleks kasuaav kõigi ülaloodud ingimus rahuldavae reosaaide puhul? Millise akisusega R reosaadid on lubaavad? 2) Milline on kasueguri maksimaalne võimalik väärusη ma ja milline on sel juhul elekriskeem? 3. Raadioäh mere kohal sronoomiaobservaooriumi raadiolainee vasuvõja asub mere kaldal h = 2 m kõrgusel mere pinnas. Raadioäh kiirgab raadiolaineid lainepikkusega λ = 21 cm. Tähe kerkimisel horisondi kohale regisreeriakse ükseisele järgnevaid raadiokiirguse maksimume ja miinimume. Regisreeriud signaal on võrdeline selle raadiokiirguse komponendi inensiivsusega, mille elekrivälja vekor võngub vee pinnaga paralleelsel. 1) Leidke need ähe nurkkõrgused, mille korral regisreeriakse maksimume ja miinimume 2) Kas vaheul päras ähe kerkimis horisondi kohale hakkab signaal kasvam või kahanema? 3) Leidke signaali inensiivsuse suhe esimeses maksimumis ja sellele järgnevas miinimumis. Elekromagnelaine peegeldumisel vee pinnal suhuvad langeva ja peegeldunud laine elekrivälja ampliuudid E i ja E r vasaval valemile E r /E i = (n cosϕ)/(n + cosϕ), kus n on murdumisnäiaja ja ϕ on laine langemisnurk. Vee murdumisnäiaja lainepikkuse λ = 21 cm jaoks on n = 9. 4) Kas maksimumide ja miinimumide inensiivsuse suhe ähe õusmisel kasvab või kahaneb? Märkus: Ülesande lahendamisel lugeda mere pind asaseks. XIII Saksa LV (1982) 1. Luminessenslamp Luminessenslamp lüliaakse vooluvõrku nii, nagu näidaud joonisel. Võrgusagedus ν 0 = 50 Hz ja pinge U = 228,5V. Vooluugevus ahelas I = 0,60, pinge lambil U = 84 V, ballaspooli oomiline akisus R d = 26,3 Ω. Luminessenslampi võib vaadelda kui oomilis akisus. S Elavhõbeda aurud 1) Milline on pooli indukiivsus L? 2) Leidke pinge ja voolu vaheline faasinihe ϕ. 3) Milline akiivvõimsus eraldub ahelas? 4) Poolil on peale vooluugevuse piiramise äia veel üks ähis ülesanne. Milline see on ja seleage ema oimemehanismi. Vihje: Sarer S kujuab endas lülii, mis sulgub lambi sisse lüliamisel, kuid avaneb peagi ning jääb lambi põlemise ajal avauks. 5) Visandage lambi valgusvoo sõluvus ajas (kasuades kvaniaiivse skaalaga ajaelge). 6) Miks lamp põleb kogu aeg, kuigi ema osele rakendaud pinge muuub perioodilisel nulliks? 7) nud üüpi lampides on võimalik lüliada pooliga järjesikku kondensaaor mahuvusega C = 4,7 µf. Kuidas mõjuab kondensaaor lambi ööd? Milleks on ee nähud ema järjesikku lüliamise võimalus? 8) Uurige ruumi paiguaud demonsrasioonlambi spekri ning seleage spekrie erinevuse põhjus. Kommenaar: ruumis oli selline oru kujuline lamp, mille üks pool andis joonspekri, eine aga enamvähem pideva spekri.
2. Riidepuu Traadis riidepuu kõigub väikese ampliuudiga joonise asandis. Kahel esimesel juhumil on kolmnurga pikk külg horisonaalne. Kõigil kolmel juhumil on võnkeperioodid võrdsed. Kus asub massikese ja milline on võnkeperiood? 10cm 42cm Joonisel ei ole võimalik välja lugeda midagi muud peale nende mõõmee mis on kirjas. Muuhulgas ei ole eada, milline on massijaous raadis. 3. Õhupall Vaadelgem õhupalli, mille ruumala on konsanne, V = 1,1 m 3. Tema kesa mass m 0 = 0,187 kg; kesa ruumala on ühine. Pall sardib välisõhu emperauuri 1 = 20 C juures normaalrõhulp 0 = 1,013 10 5 Pa. Õhu ihedus nendel ingimusel on ρ 1 = 1,2 kg/m 3. 1) Milline peaks olema õhupalli sees oleva kuuma õhu emperauur 2, e pall saaks õhus vabal hõljuda? 2) Trossiga paigal hoiava õhupalli õhk on kuumuaud emperauurini 3 = 110 C. Leidke rossi pinge 3) Pallis olev avaus seoakse kinni. Seega emas oleva õhu ihedus edaspidi ei muuu. Kui kõrgele h õuseb pall, kui lugeda amosfäär isoermiliseks (P 0 on rõhk maapinnal)? Kommenaar: reaalsuses pole amosfäär kunagi isoermiline ja emperauuri langus kerkimisel ei saa ignoreerida. 4) Pall viiakse eelmises punkis leiud asakaalulises kõrguses h = 10 m kaugusele ning lasakse lahi. Kirjeldage kvaliaiivsel, kuidas a hakkab edaspidi liikuma. XIV Rumeenia (1983) 1. Osake jõuväljas Osake liigub piki posiiivse poolelge jõu F mõjul. Selle jõu projeksioon -eljele F sõlub koordinaadis nii, nagu näidaud joonisel (F y = F z = 0). Osakesele mõjub veel hõõrdejõud, mille moodul F h = 1,00 N. Koordinaaide alguspunkis asub risi -eljega absoluusel elasne plaa. Osake alusab eekonda punkis koordinaadiga 0 = 1,00 m kineeilise energiaga E k = 10,0 J. -10,0 F (N ) 0 0 1) valdage summaarne eepikkus, mille osake läbib enne peaumis. 2) Näidake graafilisel jõuväljas F asuva osakese poensiaalse energia sõluvus - koordinaadis. 3) Esiage kvaliaiivne graafik kiiruse projeksiooni v sõluvuse koha -koordinaadis 2. Resonans vooluahelas Vahelduvvoolu ahel koosneb ideaalsees induksioonipoolides L 1 = 10 mh, L 2 = 20 mh, kondensaaories C 1 = 10 nf, C 2 = 5 nf ja akis- L 2 C 1 L 1 R C 2 i 01 i 02 K is R = 100 kω. Suleud ahela puhul ei sõlu generaaori pool ekiaud vooluugevus sageduses (s.o. meil on egemis konsanse ampliuudiga voolu generaaoriga). 1) Leidke suhe ν M / ν, kus ν M on sagedus, mille korral ahelas eralduv võimsus on maksimaalne (P = P ma ) ja ν = ν + ν, kus ν + ja ν on sagedused, mille korral eralduv võimsus on võrdne poolega maksimaalses, P = P ma /2. Lülii lahuaakse ajahekel 0, kui vooluugevused poolides L 1 ja L 2 on vasaval i 01 = 0,1 ja i 02 = 0,2 (suunad on näidaud joonisel) ning kondensaaori C 1 pinge U 0 = 40 V. 2) Leidke elekromagneeilise vabavõnkumise sagedus ahelas L 1 C 1 C 2 L 2, 3) vooluugevus lõigus ja 4) voolu võnkumise ampliuud poolis L 1. Poolide L 1 ja L 2 vasasikune induksioon on ühine. 3. Murdumine prismas Kaks prisma nurkadega 1 = 60, ja 2 = 30 on kokku kleebiud nii nagu näha joonisel. Prismade murdumisnäiajad on n 1 = a 1 +b 1 /λ 2 ja n 2 = a 2 +b 2 /λ 2, kusa 1 = 1,1, b 1 = 10 5 nm 2, a 2 = 1,3, b 2 = 5 10 4 nm 2. D 1 n 1 n 2 2 1) Leida lainepikkus λ 0, mille puhul valgus ei murduks pinnal C, ükskõik millise langemisnurga all kiir pinnale D ka ei langeks. Samui leida sellele lainepikkusele vasavad murdumisnäiajad n 1 ja n 2. 2) Joonisage kiire käik prismade süseemis kolmel juhul, λ = λ viol < λ 0, λ = λ 0 ja λ = λ pun > λ 0 jaoks, kasuades kogu aeg ühe ja sama langemisnurka pinnale D. C 3) Leidke vähim võimalik nurk, mille võrra süseem saab kiir kalluada, kui lainepikkus on λ 0. 4) Leida lainepikkus, kui paralleelsel küljega DC sisenenud kiir väljub süseemis samui parallelsel küljega DC. 4. Foooni hajumine mimel elekronil Fooon lainepikkusega λ i hajus liikuval vabal elekronil: elekron peaus, aga foooni liikumissuund muuus θ = 60 võrra ja ema lainepikkuseks sai λ 0. Sama fooon hajus uuesi eisel paigalseisval vabal elekronil; hajumise ulemusena sai foooni lainepikkuseks λ f = 1,25 10 10 m ja foooni suund muuus veelkord θ = 60 võrra. Leida selle elekroni De roglie lainepikkus, mis liikus enne esimes hajumis. Teada on järgmised suurused: Planck i konsan h = 6,6 10 34 J s, elekroni seisumass m = 9,1 10 31 kg, valguse kiirus c = 3,0 10 8 m/s. XV Roosi (1984) 1. Miraaž 1) Joonisel on näidaud kiire käik läbi asaparalleelse läbipaisva plaadi, mille murdumisnäiaja sõlub kauguses alumises pinnas z. Näidaa, e n sinα = n sinβ. n n(z) n α β z z = 0 2) Oleage, e seisae asases kõrbes. Kauguses näee e midagi veeloigu sarnas. Kui e lähenee veele, siis liigub see nii, e kaugus eis on kogu aeg ligikaudu 250 m. Selgiage nähus! 3) rvuage maapinna emperauur T eelmise punki põhjal, kui eie silmad on 1,6 m kõrgusel
maapinnas. Teada on õhu murdumisnäiaja n väärus emperauuri T 0 = 15 C ja normaalse õhurõhu juures n 0 = 1,000276. Kõrgemal kui 1 m lugeda emperauur konsanseks ja võrdseks T 1 = 30 C-ga. Õhurõhk on normaalne (0,1013 MPa). Lugeda, e (n 1) on võrdeline molekulide ihedusega gaasis. 2. Seišid Mõnede järvede (avalisel pikkade ja kisase) puhul võib äheldada ebaavalis nähus mida nimeaakse seišiks: vaheevahel hakkab vesi neis võnkuma nagu ee assis siis, kui e kõnnie parasjagu üle oa, e viia see oa eises osas isuva külalise ee. Selle võnkumise modelleerimiseks kasuaakse äisnurkse vanni. Veeaseme kõrgus vannis on h ja vanni pikkus on L. Oleame, e alghekel on veepind horisonaali suhes väikese nurga all kaldus. Sellisel juhul hakkab vesi võnkuma nii, e veepind jääb enamvähem asaseks ja muudab üksnes oma kalle. Koosage vee liikumise mudel ja leidke võnkumise periood T. lgingimused on esiaud joonisel. Eeldada e h. lloodud abelies on anud eksperimenaalsel eel saadud perioodid erinevae vanni pikkuse ja vee sügavuse puhul. L = 479 mm h/mm 30 50 69 88 107 124 142 T /s 1,78 1,40 1,18 1,08 1,00 0,91 0,82 L = 143 mm h/mm 31 38 58 67 124 T /s 0,52 0,48 0,43 0,35 0,28 Võrrelge oma valemi eksperimendi ulemusega ja hinnake oma mudeli kasuaavus. Juuresole- 20 cm 15 10 5 0 20 15 10 5 0 val diagrammil on esiaud veeaseme sõluvus ajas kahe asula jaoks, mis asuvad Roosi järve Veern kallasel, üks järve ühes osas, eine eises osas. Järve pikkus on 123 m, keskmine sügavus 50 m. Milline on ajamasaap graafikul? Kommenaar: eks ei suuna opimaalsele lahenduseele, ses veepinna asaseks lugemises ulenev viga on suurem, kui see, mis uleks olulis lihsusus h L kasuades. 3. Elekrifiler Elekrifiler peab koosnema neljas komponendis, mis on ühendaud nii nagu joonisel. Vooluallika impedansi võib mie arvesada, akisus väljundil lugeda lõpmauks. Filer peab olema U in U ou 1 U ou /U in Logarimiline skaala ν 0 ν selline, e väljund- ja sisendpinge suhe U ou /U in sõluks sageduses nagu näidaud graafikul. Sagedusel ν 0 peavad U ou ja U in olema samas faasis. Filri ehiamiseks uleb eil valida neli komponeni järgnevais: kaks akisi akisusega 10 kω, kaks kondensaaorei mahuvusega 10 nf, kaks raudsüdamikua pooli indukiivsusega 160 mh (poolide akiivakisus on ühine). Leidke sagedus ν 0 ja suhe U ou /U in sellel sagedusel kõikvõimalike kombinasioonide jaoks. XVI Jugoslaavia (1985) 1. Raadioamaöör Noor kirglik raadioamaöör peab raadio eel side kahe üarlapsega, kes elavad erinevaes linnades. Tal on plaanis konsrueerida selline anenn, mille abil saaks rääkida neiuga, kes elab linnas nii, e side kvaliee oleks võimalikul hea, kuid e samal ajal linnaselav neiu ei saaks nende juu peal kuulaa. Ja oleks vaja, e linnas elava neiuga saaks samal viisil rääkida. nennide süseem koosneb kahes verikaalses anennis, mis kiirgavad ühesuguse inensiivsusega kõikides horisonaalsuundades. Määrake anennide vaheline kaugus r, anennide asandi ja põhjasuuna vaheline nurk ψ 0 ning anennide elekrilise signaalide vaheline faasinihe ϕ. nennide vaheline kaugus peab olema minimaalne. Leidke numbriline lahend sellise juhumi jaoks, kus noormees kasuab raadiosaaja sagedusel ν = 27 MHz ja anennide süseem aseseb Pororoži linnas. Noormees uuris kaardi abil välja, e põhjasuuna ning linna (Koper) vaheline nurk (s.o. asimuu) on ψ 1 = 72 0 ning linna (une) asimuu ψ 2 = 157 0. 2. Halli efek Pikas pooljuhivas maerjalis (InSb) risahuka kujulises klosis (a > b c) on vool I suunaud piki külge a. Klos asub magneväljas, mille induksioon on suunaud piki serva c. Voolukandjaeks InSb-s on elekronid, mis liiguvad elekriväljas E keskmise kiirusega v = ue (võrdeeguri u nimeaakse elekronide liikuvuseks). Magnevälja puhul on vaja arvesse võa Lorenzi jõudu ning seepäras ei ole elekrivool enam paralleelne elekriväljaga. Seda nähus nimeaakse Hall i efekiks. 1) Leidke elekrivälja vekori moodul ja suund klosis. 2) rvuage poensiaalide vahe klosi vasasahkude vahel serva b sihis. 3) Tuleage analüüiline avaldis eelmises punkis leiud pingevahe alaliskomponendi jaoks juhul, kui vooluugevus ja magneväli muuuvad vasaval seadusele I = I 0 sinω, = 0 sin(ω + ϕ). 4) Kavandage niisugune elekriskeem, mille abil oleks võimalik kasuada eelmise punki ulemus selleks, e mõõa elekriseadme pool vooluvõrgus arbiava akiivvõimsus. rvandmed: InSb puhul elekronide liikuvus u = 7,8 m 2 V 1 s 1 ja elekronide konsenrasioon n = 2,5 10 22 m 3 ; I = 1, = 0,1 T, b = 1,0cm, c = 1 mm. 3. Päikesesüseemis lahkumine Kosmilise uurimisprojeki jaoks kaaluakse järgmisi võimalusi kosmoselaeva saamiseks väljaspoole Päikese süseemi: (i) laevale anakse selline kiirus, milles piisab vaheuks lahkumiseks Päikese süseemis lähudes Maa orbiidil; (ii) laev läheneb ühele välisplaneeides, muudab ema raskusvälja abil liikumissuunda ja omandab seejuures kiiruse, milles piisab Päikese süseemis lahkumiseks. rvuuses võib lugeda, e laeva mõjuab ainul kas Päikese või vaadeldava planeedi raskusväli, sõluval selles, kumb on anud punkis ugevam. 1) leidke minimaalne kiirus v a ja ema suund Maa orbiaalkiiruse suhes, mis on vajalik projeki (i) realiseerimiseks! 2) Oleagem, e laev lennuai selles samas suunas, mille Te leidsie punki (1) jaoks, kuid eissuguse kiirusega. Leidke laeva kiirus Marsi orbiidiga lõikumise punkis, kirjuades avaldis nii kiiruse paralleel- kui ka riskomponendi jaoks (Marsi orbiidi sihi suhes). Eeldage seejuures, e Mars asub kaugel ja ema õmme pole vaja arvesada.
3) Oleagem, e laev läbis Marsi graviasioonivälja. Leidke laeva minimaalne vajalik sardikiirus Maa orbiidi juures selleks, e laev saaks väljuda Päikese süseemis peale Marsis eemaldumis! Soovius: Punki (1) põhjal eae Te laeva minimaalse kiirus ja opimaalse suunda Päikese süseemis lahkumiseks. Siduge see kiirus laeva kiiruse komponenidega enne Marsi graviasioonivälja sisenemis [s.o. punkis (2) leiud avaldisega]! 4) Leidke projekis (ii) saavuaud maksimaalne küuse kokkuhoid projekiga (i) võrreldes! Märkus: Võib lugeda, e kõik planeedid iirlevad ümber Päikese ühes asandis ja ühes suunas mööda ringorbiie. õhu akisus, Maa pöörlemis ja Maa graviasiooniväljas väljumiseks vajalikku energia mie arvesada. rvandmed: Maa orbiaalkiirus v 0 = 30 km/s, Maa ja Marsi orbiiide raadiuse suhe on 2/3. XVII Inglismaa (1986) 1. Difraksioonivõre Monokromaailise valguse asalaine lainepikkusega λ ja sagedusega ν langeb rissuunas kahele ühesugusele kisale pilule L ja M, mis asuvad ükseises kaugusel d (v joonis). Kummaski pilus normaali suhes nurga θ all lähuvad valguslained on kaugusel ja ajahekel määraud seosega y = a cos[2π(ν /λ)], kus ampliuud a on mõlema pilu jaoks ühesugune. Siinjuures on eeldaud, e d. d L M 1) Tõesage, e nende kahe laine resulanlaine θ θ ampliuudi võib leida kui kahe sellise vekori summa mooduli, mille ampliuudid on võrdsed a-ga ja mille orienasioon asandil on anud valguslainee faasidega. Konrollige geomeerilisel vekordiagrammi abil, e = 2a cosβ, kus β = (πdsinθ)/λ. 2) Kahekordne pilu asendaakse difraksioonivõrega, mis koosneb N ükseises võrdsel vahekaugusel d asuvas ühesuguses pilus. Kasuades ampliuudide vekoriaalse liimise meeodi näidake, e kõikide komponenvekorie algused ja lõpud asuvad ringjoonel raadiusega R = a/(2 sinβ), kus a on komponenvekorie moodul. Näidake, e resulanlaine ampliuud on a(sinnβ/ sinβ) ja leidke difraksioonivõrele langenud laine ning resulanlaine vaheline faasinihe. 3) Joonisage ühes ja samas eljesikus sin N β ja sin β graafikud sõluvuses β-s. Eraldi graafikul näidake, kuidas sõlub resulanlaine inensiivsus parameeris β. 4) Leidke peamaksimumide inensiivsus 5) Näidake, e peamaksimumide arv ei saa olla suurem kui (2d/λ) + 1. 6) Näidake, e kaks laine lainepikkusega λ ja λ + λ, kus λ λ, moodusavad sellised peamaksimumid, mis asuvad ükseises nurkkaugusel Θ = n λ/(d cos Θ), kus n = 0, ±1, ±2,... Leidke see vahekaugus naariumi spekri joone jaoks lainepikkusega λ = 589,0 nm ja λ + λ = 589,6 nm; n = 1 ja d = 1,2 10 6 m. 2. Seismilised lained Selle sajandi alguses pakui välja selline Maa ehiuse mudel, kus eeldai, e Maa kujuab endas kera raadiusega R, mida ümbriseb homogeenne isoroopne kõva koorik ja mille keskel on vedel uum raadiusega R c (v. joonis). Seismilise pikilainee kiirus on v p ja rislainee kiirus v S. Nende nn. p ja S lainee kiirused kooriku sees on igal pool ühesugused. Tuumas on pikilainee kiirus v cp ; rislained seal levida ei saa. Punkis E oimunud maavaärin ekiab seismilised lained, mis levivad läbi Maa ja regisreeriakse vaaleja pool; viimane saab aseada oma mõõeriisad suvalisse maapinna punki X. Olgu punkide E ja X vaheline nurkkaugus EOX = 2θ, kus O on Maa keskpunk. E R 2θ R c O 1) Tõesage, e lained, mis liiguvad ainul kooriku sees ning mööda sirge, jõuavad punkis E punki X ajaga = (2Rsinθ)/v, kui θ arccos(r c /R). Siinjuures uleb p-laine jaoks võa v = v p ja S- laine jaoks v = v S. 2) Kui punki X asukoh on selline, e θ > arccos(r c /R), siis seismiline p-laine jõuab vaalejani peale kahekordse murdumis uuma ja kooriku eralduspinnal. Joonisage sellise seismilise laine rajekoor ja uleage avaldis, mis seob nurka θ nurgaga i, mille all seismiline p-laine langeb kooriku ja uuma eralduspinnale 3) Kasuades eelmise punki ulemusi ja arvandmeid R = 6370 km, R c = 3470 km, v p = 10,85 km/s, joonisage kvaliaiivsel nurga θ sõluvuse graafik nurgas i. Kommeneerige millseid füüsikalisi nähusi põhjusab selline graafiku kuju Maakera eri punkides asuvae vaalejae jaoks. Joonisage graafik, kus on kujuaud p ja S lainee levikuaja sõluvus nurgas θ vahemikus 0 θ 90. X 4) Peale maavärina eeb vaaleja kindlaks, e S- laine jõuab p-laines 2 min 11 s võrra hiljem kohale. Kasuades eelmise punki ulemus, leidke vaaleja ja maavärina vaheline nurk EOX. 5) Punkis 4) mõõmisi soorianud vaaleja avasab, e mõni aeg peale S-laine saabumis jõuavad kohale veel kaks laine, kusjuures nende vaheline ajavahemik on 6 min 37 s. Selgiage seda nähus ja veenduge, e ulemus on kooskõlas eelmises punkis leiud nurga väärusega. 3. Kuulid ja vedrud Kolm osakes massiga m on ühendaud ükseisega vedrude abil, mille jäikus on k. Kuulid saavad liikuda ainul mööda ringjoon (v. joonis) lguses on süseem asakaalus. u 3 m k k 1) Iga kuulikes nihuaakse veidi asakaaluasendis kõrvale, vasaval u 1, u 2 ja u 3 võrra. Koosage kuulikese liikumisvõrrandid. Vedrude massiga mie arvesada. 2) Näidake, e süseem võib sooriada harmoonilisi võnkumisi vasaval seadusele u n = a n cos(ω) (n = 1,2 ja 3), kus a n ähisab konsanse ampliuudi ja ringsagedusel ω on kaks lubaava väärus ω 0 3 ja 0 ning ω 2 0 = k/m. 3) Vedrude ja kuulikese arvu eelpoolkirjeldaud süseemis suurendaakse N -ni. Koosage liikumisvõrrand n-nda (n = 1,2,...,N) kuulikese nihke jaoks. Näidake, e u n = a s sin(2πns/n + ϕ)cos(ω s ) m m u 2 u 1 k
(n = 1,2,...,N) on selle võrrandisüseemi lahendiks eeldusel, e ringsagedus ω s = 2ω 0 sin(sπ/n), kus s võib omada väärusi 1,2,...,N; ϕ on suvaline faas ja a s indeksis n miesõluv konsan. Milline on lubaavae sageduse diapasoon sellise ahela jaoks, mis koosneb lõpmaus arvus kuulikeses? 4) Leidke suhe u n /u n+1 sellise juhumi jaoks kus N 1 ja (i) ringsagedus on väike; (ii) ringsagedus omab maksimaalse lubaava väärus ω = ω ma. Illusreerige joonise abil, kuidas paiknevad osakesed ahelas mingil ajahekel kummalgi juhul. 5) üks osake asendai hulga kergema osakesega, m m. Hinnake, milliseid olulisi muudausi võib oodaa ringsageduse jaoumises. Kirjeldage kvaliaiivsel sagedusspekri sellise juhumi jaoks, kus kerged ja rasked kuulikesed massidega m ja m on ükseisega vaheldumisi, kasuades seejuures ära vasus eelmisele küsimusele. XVIII Saksa DV (1987) 1. Vihmapilv Üle mäeaheliku voolab adiabaailisel õhk, mis on niiske (v. joonis). Meeoroloogiajaamad M 0 ja M 3 mõõdavad õhurõhuks p 0 = 100 kpa, jaam M 2 aga p 2 = 70 kpa. Õhu emperauur punkis M 0 on 0 = +20 C. Õhumassi kerkides algab M 0 M 1 M 2 M 3 rõhu p 0 = 84,5 KPa juures pilvede moodusumine. Edasi kulub õhumassil mäeharjani ( jaamani M 2 ) jõudmiseks aega 1500 s ning lõppkokkuvões sadeneb igas kilogrammis õhus sademee (vihma) näol välja m = 2,45 g ve. Iga ruumeeri kohal on sellis niiske õhku, kus oimub vee kondenseerumine kokku 2000 kg. 1) Leidke õhu emperauur T 1 pilvede alumise piiri juures. 2) Millisel kõrgusel h 1 jaamas M 0 asub pilvede alumine piir, kui eeldada, e õhu ihedus väheneb kõrguse kasvades lineaarsel? 3) Milline on emperauur T 3 mäe harja juures? 4) Milline sademeehulk pindalaühiku koha sajab maha kolme unni jooksul? Vasus andke veekihi paksusena millimeeries. Kondenseerumisingimused lugeda ühesuguseks üle kogu mäenõlva, punkis M 1 kuni punkini M 2. 5) Milline on õhuemperauur eisel pool mäeahelikku jaamas M 3? Mille pooles erineb õhu olek jaamas M 3 ema olekus jaamas M 0? Juhnööre ja arvandmeid. Õhku võib vaadelda ideaalse gaasina; veeauru mõju õhu ihedusele ja erisoojusele ning aurusumissoojuse sõluvus emperauuris ignoreerida. Temperauurid leida äpsusega 1 K, pilvede alumise piiri kõrgus 10 m, sademee hulk 0,1 mm. Õhu erisoojus meid huviavas emperauurivahemikus on c p = 1005 J/(kg K); õhu ihedus jaama M 0 juures rõhul p 0 ja emperauuril 0 on ρ 0 = 1,189 Kg/m 3 ; vee aurusumissoojus pilvede piirkonnas on q V = 2500 kj/kg; adiabaadinäiaja γ = c p /c V = 1,4; vabalangemiskiirendus g = 9,81 m/s 2. 2. Elekronkimp magneväljas Punkallikas P saab kiirendava pinge U 0 oimel alguse elekronide kimp; elekronid alusavad liikumis ringikujulise (oroidaalse) pooli (oroidi) pool ekiaud magneväljas jõujoone sihis (v. joonis). Oleagem, e elekronide kimbu lahknemisnurk 2α 0 on häsi väike (α 0 1). Punk P asub oroidi keskraadiusel R. Magneilise induksiooni moodul lugeda oroidi sees konsanseks; elekronide omavahelise elekrosaailise vasasmõjuga mie arvesada. R 2α 0 1) Selleks, e elekronid saaksid liikuda piki oroidi pool ekiaud magnevälja jõujooni, uleb lisada väline homogeenne magneväli 1. Milline see väli peaks olema? Rehkendused ehke sellise elekroni jaoks, mis liigub piki oroidi keskraadius R. 2) Milline peaks olema oroidi pool ekiaud magneväli, e elekronide kimp fokuseeruks neljas ükseises nurga π/2 kaugusel asuvas punkis (v. joonis)? Juhnöör: magnevälja jõujoone kõveruses ingiud muudausi elekronide rajeooris võib siinjuures mie arvesada. 3) Kui poleks välis magnevälja 1, siis väljuks elekronide kimp oroidi sisemuses oroidi asandi suhes rissihilise riivi (s.o. nullis erineva keskmise kiiruse) õu. Mis suunas oimub riiv? Näidake, e radiaalsihiline eemaldumus raadiuses R jääb lõplikuks. Juhnöör: kasuage energia ja impulsimomendi jäävus; elekronide kimbu lahknemisega mie arvesada. rvandmeid: U 0 = 3 kv, R = 50 mm. 3. Laineus LC-ahelas Mööda lõpmau pikka LC-ahela (v. joonis) saavad levida sinusoidaalsed pinge ja vooluugevuse lained. Seejuures on iga kahe naaberkondensaaori klemmidel olev pinge alai nihuaud ühe ja sama faasivahe ϕ võrra. 1) Leidke faasivahe ϕ sõluvus suuruses L, C ja C L l C L P l C võnkumise ringsageduses ω. 2) Leidke, millise kiirusega levivad lained, kui ahela iga elemendi pikkus on l. 3) Millise võnkumise puhul ei sõlu lainee leviku kiirus peaaegu üldse ringsageduses ω? Milline on see kiirus? 4) Leidke lihne mehaaniline mudel, mis oleks kirjeldaav äpsel samade võrrandiega, mis anud elekriline skeemgi. Põhjendage vasus võrrandie abil. Kasulikke valemeid: cosα cosβ = 2 sin α+β 2 sin α β 2 sinα sinβ = 2 cos α+β 2 sin α β 2 XIX usria (1988) 1. Kiiruse määramine Doppleri efeki abil Fooonie kiirgumis- ja neeldumisprosessid on pöörduvad ning seeõu võib peale foooni neeldumis aaomis oimuda ema sponaanne kiirgumine (fluoressens). See nähus on leidnud kasuamis osakese deekeerimisel ja idenifiseerimisel ning aomaarsee osakese kiirusspekroskoopias. Idealiseeriud eksperimenaalseadmes [v. joonis (a)] liiguvad osakesed (mimekordsel ioniseeriud ioonid) kiirusega v laserikiirele vasupidises suunas. Laseri lainepikkus λ on reguleeriav. Seisvae osakese v = 0 ergasamiseks sobib lainepikkus λ 0 = 600 nm. Doppleri seaduses uleneval peab liikuvae osakese ergasamiseks seadma laseri uuele lainepikkusele λ(v). Ioonide kiirusspeker on koondunud vahemikku v 1 = 0 kuni v 2 = 6000 m/s, v. joonis (b). reguleeriav laser (a) fluoressens deekor v ioone kiirusvahemiku koha v 5000 10000 (b) kiirus (m/s) 1) Millise vahemikus võib olla laseri kiirguse lainepikkus, e ergasada osakesi? Esiage neelaavae fooonie arvu kvaliaiivne sõluvus la-
seri lainepikkuses. Lähuge seejuures mierelaivislikus Doppleri efeki valemis. Täpsemaes rehkenduses uleks kasuada Doppleri efeki relaivislikku avaldis ν = ν (1 + v c )/(1 v c ). Hinnake mierelaivisliku valemi kasuamises ingiud viga. 2) Ioone võib enne ergasamis kiirendada elekriväljas kasuades poensiaalide vahe U. Leidke kiirusspekri laiuse v sõluvus kiirendavas pinges U. Kas see laius suureneb või väheneb pinge U kasvades? 3) Uuriakse ioone, mille laengu ja massi suhe q/m = 4 10 6 C/kg ning millel on kaks ergasamise lainepikkus λ 1 = 600 nm ja λ 2 = λ 1 + 10 3 nm. Näidake, e Doppleri efekis ingiud spekri laienemise õu sulavad ergasavad lainepikkusvahemikud kokku. Kas ioonide kiirendamise abil oleks võimalik saavuada olukord, kus ergasavae lainepikkuse jaoks on kaks selgel erisuva vahemikku? Kui vasus on jaaav, siis milline peaks olema kiirendav pinge U? 2. Mawelli keas Homogeenne silindriline keas, mille mass M = 0,40 kg, raadius R = 0,060 m ja paksus d = 0,010 m on ripuaud üles kahe ühesuguse kerge niidi abil, mis on kinniaud kea kese läbiva võlli külge, eine eisel pool keas. Võlli raadius on r = 0,0030 m ja ema massiga võib mie arvesada. Kea pööramise eel keriakse võllile H = 1,0 m pikkune jupp s võll ϕ niidis. Keas viiakse sellisesse asendisse, e niidid on pingul ja verikaalsed. Seejärel lasakse keas lahi ning a hakkab niii maha kerides allapoole vajuma, läbib kõige madalama asendi ning ronib niii uuesi peale kerides üles agasi. Vasake järgmisele küsimusele eeldades, e nöör on nii pikk, e kogu liikumise välel võib lugeda a äiesi verikaalseks. Märkus: Võrreldes algeksiga on sooviuslikku lähendus parandanud JK. 1) Milline on kea masskeskme kiirus sel hekel, kui masskese on läbinud vahemaa s (s < H)? 2) Millise kulgliikumisenergia omandab keas peale vahemaa s = 0,50 m läbimis? Miu korda erineb see pöördliikumisenergias? 3) Milline on niiide pinge laskumise ajal? 4) Leidke kea nurkkiiruse sõluvus pöördenurgas ϕ (v. joonis) selle ajavahemiku jaoks, mil kogu nöör on võllil maha keriud. Leidke sama ajavahemiku jaoks laboraoorses riskoordinaadisikus massikeskme koordinaaide ja kiiruse komponenide sõluvus nurgas ϕ. 5) Nii kakeb siis, kui pinge emas saavuab vääruse T ma = 10 N. Milline on maksimaalne niidi kerimispikkus H ma, mille puhul niidid kea järgneva liikumise jooksul ei kake? 3. Rekombineerumine gaaslahendusplasmas Kõrge emperauuriga gaaslahendusplasmas on osa Z proooniga aaomies(z 1)-kordsel ioniseeriud. Tähisagem selliseid nn. vesinikusarnaseid aaomeid sümboliga (Z 1)+. 1) Vaaleme juhumi, mil iooni (Z 1)+ ainus elekron on põhiolekus. Sellises olekus võib elekroni ja uuma vahemaa kauguse ruudu keskvääruse r0 2 leida kui elekroni koordinaaide määramause ruuude ( ) 2, ( y) 2 ja ( z) 2 summa. naloogsel võib leida elekroni impulsi ruudu keskvääruse P0 2 komponenide määramause ruuude ( P ) 2, ( P y ) 2 ja ( P z ) 2 summana. Millis võrraus rahuldab korruis P0 2 r0? 2 2) Ioon (Z 1)+ võib haaraa eise elekroni ja ise seejuures kiiraa foooni. Kirjuage võrrandid, mis määravad selle kiirguse sageduse (arvuusi pole vaja läbi viia). 3) Leidke iooni (Z 1)+ siseenergia lähudes fakis, e põhiolekus omab see minimaalse võimalikku väärus. Kasuage seejuures järgmisi lähendusi: (a) poensiaalne energia on määraud punkis (1) leiud kaugusega r = r 0 ; (b) kineeiline energia avaldage impulsi keskmise ruudu P0 2 abil kasuades ligikaudse seos P0 2 r0 2 = h 2. 4) Leidke sama meeodi abil nn. rekombineerumisprosessi ulemusel moodusuva osakese (Z 2)+ energia põhiolekus. Tähisagu r 1 ja r 1 elekronide kaugusi uumas, mis on määraud sarnasel r 0 -ga punkis (3). Elekronide omavahelise kauguse võib võa võrdseks (r 1 + r 2 )-ga ning kummagi elekroni puhul võib rakendada määramausprinsiipi: P1 2r2 1 = P 2 2r2 2 = h2. Soovius: kasuage asjaolu, e kahe elekroniga iooni energia minimaalne siis, kui r 1 = r 2. 5) Milline on Z väärus, kui rekombinasiooni ulemusel kiirgub fooon ringsagedusega ω 0 = 2,5 10 17 s 1? Mis iooniga on egemis? Märkus: vaadelge üksnes põhiolekus iooni rekombineerumis liikumau elekroniga. Kommenaar: viimane küsimus pole päris korrekne, ses eelmises punkides leiud põhioleku energia avaldis on hinnang ja mie äpne arvuus; ema äpsus pole piisav uumaarvu Z leidmiseks. XX Poola (1989) 1. Keemine Vedelikud ja omavahel ei segune. Küllasunud auru rõhk p i (i =,) nende kohal vasab piisava äpsusega valemile ln(p i /p 0 ) = a i /T + b i, kus p 0 on amosfääri normaalrõhk, T on auru absoluune emperauur ning a i ja b i on vedeliku omaduses sõluvad konsadid. Suhe p i /p 0, i =, egelikud väärused emperauuride 40 C ja 90 C jaoks on esiaud abelis. T ( C) p /p 0 p /p 0 40 0,248 0,07278 90 1,476 0,6918 1) Leidke vedelike ja keemisemperauurid. 2) Vedelikud ja valai nõusse, kus nad kihisusid nii, nagu näidaud joonisel. Vedelikku p 0 C 2 1 kaab õhuke mieaurusuva vedeliku C kih, mis ei lahusu ei -s ega -s.vedelike ja molaarmassid gaasilises olekus suhuvad nagu g = M /M = 8. lgsel oli mõlema vedelikku ühepalju, m = 100 g kumbagi. Vedelikusamba kõrgus ja nede ihedus on sellised, e kõikjal anumas võib rõhu lugeda võrdseks välisrõhuga p 0. Seda segu hakaakse aeglasel ja ühlasel kuumuama. Skemaailisel on vedeliku emperauuri sõluvus ajas τ esiaud graafikul. Leidke emperauurid 1 ja 2 ühe kraadilise äpsusega. Millised on vedelike massid ajahekel τ 1? Märkus: Eeldaakse, e vaadeldavae vedelike aurud alluvad piisava äpsusega Daloni seadusele ning kuni küllasunud auru rõhuni võib neid lugeda ideaalseeks gaasideks. 2. Kolm keha Kolm maeriaalse punki P 1, P 2 ja P 3, mis ei leba ühel sirgel ja mille massid on m 1, m 2 ja m 3 on ükseisega graviasioonilises vasasmõjus ja ei ole mõjusaud eises kehades. Tähisagu σ sirge, mis läheb läbi selle süseemi massikese ja on risi kolmnurga P 1 P 2 P 3 asandiga. Milliseid ingimusi peavad rahuldama selle kolmnurga küljepikkused P 1 P 2 = a 12, P 1 P 3 = a 13, P 2 P 3 = a 23 ja süseemi pöörlemise nurkkiirus ω, e komnurga P 1 P 2 P 3 kuju jääks muuumauks, s.o. e a pöörleks ümber elje σ nagu kõva keha? τ 1 τ
3. Elekronmikroskoop Uurige võimalus ehiada magneilise juhimisega elekronmikroskoop, mille kiirendav pinge on U = 511kV, ümber prooonmikroskoobiks pingega U. Selleks vasake järgmisele küsimusele. 1) Peale kiirendamis saub elekron piirkonda, kus on liikumaue poolide L 1, L 2,..., L n pool loodud miehomogeenne magneväli. Vooluugevused poolides on vasaval i 1, i 2,..., i n. Elekron liigub selles magneväljas mingi rajekoori T mööda. Millised peaksid olema uued vooluugevusedi 1, i 2,..., i n, e prooon mida kiirendai pingega U liiguks äpsel sama rajekoori T mööda? Juhnöör: Leidke ingimus, mille korral mõlema rajekoori kirjeldavad võrrandid oleksid ühesugused. Võie kasuada alljärgneva valemi ( P on osakese impulss): P P d = 1 dp 2 2 d = 1 dp 2 2 d. 2) Miu korda suureneb või väheneb sellise mikroskoobi lahuusvõime (s.o. kahe punki selline minimaalne vahekaugus, mille puhul need punkid on veel erisaavad), kui elekronide kimp asendada prooonie kimbuga? Eeldada, e mikroskoobi lahuusvõime on määraud ainul maeeria lainelise omadusega. Enne kiirendamis lugeda elekronide ja prooonie kiirus nulliks. Osakese enda magnemomendi vasasmõju välise magneväljaga mie arvesada; osakese liikumise õu genereeriava elekromagneilise kiirguse võib samui ähele panemaa jäa. Märkus: Füüsikas kasuaakse sageli energia mõõühikuna elkronvoli (ev) ja selles uleaud ühikuid (kev, MeV); 1eV on selline energia, mille omandab elekron läbides poensiaalide vahe 1V. Oma arvuuses kasuage selliseid väärusi: elekroni seisuenergia E e = m e c 2 = 511 kev, proooni seisuenergia E p = m p c 2 = 938 MeV. XXI Holland (1990) 1. Röngenkiirguse difraksioon krisallis Uurigem röngenkiirguse difraksiooni äisnurksel krisallvõrel [joonis (a)]. Langegu monokromaailine laine risi kahemõõmelisele võrele ning kujuagu see võre endas ükseisega risi asesevae pilude süseemi, kus pilude vaheline kaugus on ühes sihis d 1 ja eises d 2. Olgu pilude arv ühes sihis N 1 ja eises N 2. Difraksiooni pili jälgiakse ekraanil, mis asub võres kaugusel L N 1 d 1,N 2 d 2. 1) Leidke peamaksimumide asukoh ja laius ekraanil (maksimumi laiuseks nimeaakse naabermiinimumide vahelis kaugus). 2) Edasi vaaleme õhukes plaai kuubilises krisallvõres, mille mõõmed on N 0 a N 0 a N 1 a, kus N 1 N 0. Krisall on kalluaud piki z-elge langeva röngeni kiirguse suhes väikese nurga θ võrra [v. joonis (b)]. Ekraani kaugus krisallis L N 0 a. Leidke maksimumide asukohad ja laiused ekraanil sõluvuses nurgas θ 1. Milles väljendub asjaolu, e N 1 N 0? Y Kiirgus N 1 a θ N 0 a N 0 a 3) Difraksioonipili võib inerpreeerida ka lähudes raggi eoorias. Seejuures eeldaakse, e kiirgus peegeldub võre aaomi asandiel. X Z Peegeldunud kiire inerferens loobki difraksioonipildi. Tõesage, e selline peegeldumine (nn. raggi peegeldumine) annab maksimumide jaoks samasugused väärused nagu leidsime punkis 2). 4) Nn. pulbri meeodi korral suunaakse kiirgus suurele hulgale pisikesele krisallikesele pulbri koosisosadele. Röngenikiirguse hajumisel kaaliumkloriidi pulbril moodusub fooplaadil, mis asub kaugusel L = 0,1 m selline konsenrilise rõngase süseem, nagu näidaud joonisel. Kõige väiksema rõnga raadius on R = 0,053 m. Langeva kiirguse lainepikkus λ = 0,15 nm. Kaaliumkloriidi krisallvõre on kuubiline, nagu näidaud joonisel (a). Kaaliumi ja kloori ioonid on peaaegu ühesuurused ja neid võib vaadelda kui ühesuguseid hajuavaid senreid. Leidke kaaliumi kahe naaberiooni vaheline kaugus. 2. Eksperimendid Maa magneosfääris 1991 a mais viidi kosmoselaev lanis ringorbiidile mis lebab Maa ekvaoriaalasandis. Mingil hekel laseb kosmoselaev välja saelliidi S, mis on kinniaud kosmoselaeva külge jäiga varda abil. Varda pikkus on L ja mass on ühine. Olgu α nurk, mille moodusab varras Maa ja lanise keskpunke ühendava joonega (v. joonis). Saellii S asub samui ekvaoriaalasandis ja ema mass on hulga väiksem lanise massis; L on hulga väiksem orbiidi raadiuses. v 1) Leidke millis()e α väärus()e korral säiliab süseem oma asendi Maa suhes (s.o. nurk α ei muuu). α L S 2) Uurige eelmises punkis leiud asakaaluasendeid sabiilsuse seisukohas. 3) Kui anda sellisele süseemile väike õuge ema sabiilses asakaaluasendis, siis ekkivad võnkumised. Leidke ekvaoriaalasandis oimuvae võngee periood. 4) Joonisel on näidaud Maa magneväli, mis on risi pildi asandiga. Varda orbiaalses liikumises ingiuna ekib ema ose vahele poensiaalide vahe. ümbrisev keskkond (magneosfäär) kujuab endas hõrendaud ioniseeriud gaasi, mis on väga suure elekrijuhivusega. Konakplaaide abil, mis asuvad lanise ja S-i pinnal, on varras ühendaud magneosfääriga. Selle ulemusena ekib emas vool. Kuhu poole on suunaud see vool? 5) Tiirlemisperiood ümber Maa on T = 5,4 10 3 s, varda pikkus L = 2,0 10 4 m, Maa magnevälja induksioon = 5,0 10 5 T, lanise mass M = 100. Varda külge ühendaakse vooluallikas, mis asub lanise sees ja hoiab alal voolu I = 0,1, mis on vasupidine esialgsega. Kui kaua uleb hoida seda voolu, e muua lanise orbiidi kõrgus 10 meeri võrra? Lugeda, e nurk α = 0. Mie arvesada magneosfääris oimuvae voolude mõjuga. 3. Pöörlev neuronäh Millisekundilised pulsarid on sellised kiirgusallikad, mis kiirgavad väga lühikesi impulsse perioodiga ühes kuni mõne millisekundini. Kiirgus asub raadiodiapasoonis ja hea raadiolainevasuvõjaga saab püüda üksikuid impulsse ja määraa suure äpsusega nende periood. Need raadioimpulsid genereeriakse erilis üüpi ähede, nn. neuronähede pinnal. Viimased on häsi suure ihedusega ähed, mis pöörlevad kiiresi ümber oma elje. Nende mass on umbes sama suur kui Päikesel, kuid raadius on vaid mõnikümmend kilomeeri. Kiire pöörlemise õu on äh veidi lapiku kujuga. Olgu r p ähe pinna kaugus ema keskpunkis pooluse kohal ja r e ekvaa-
oril. Defineerigem ähe lapikuse ase järgmisel: ε = (r e r p )/r p. Vaadelgem neuronähe, mille mass on 2,0 10 30 kg, keskmine raadius on 1,0 10 4 m ja pöörlemisperiood on 2,0 10 2 s. 1) Leidke ähe lapikuse ase. Graviasiooni konsan on 6,67 10 11 N m 2 kg 2. 2) Energia kadude õu ähe pöörlemiskiirus asapisi kahaneb; seega kahaneb ka lapikus. Kuid ähe kaab kõva koorik, mis ujub vedela uuma kohal. eg-ajal oimuvad koorikus väringud, mis viivad ema kuju hüppelisele muuumisele. On ehud kindlaks, e sellise väringu ajal ja peale seda kooriku pöörlemiskiirus muuub. ω 314,164 314,163 314,162 314,161 314,160 314,159 ω 1 ω 0 ω 2 See muuus on oodud graafikul kooriku nurkkiiruse (rad/s) sõluvusena ajas. Kasuades seda graafiku, leidke vedela uuma raadius. Eeldada, e uuma ja kooriku ihedused on ühesugused; uuma kuju muuumis mie arvesada. XXII Kuuba (1991) 1. Homogeense keha põrkamine Joonisel on kujuaud homogeenne kõvas elasses maerjalis kera raadiusega R. lghekel on h θ ω 0 θ αh palli massikese paigal, kuid keha pöörleb ümber horisonaalelje nurkkiirusega ω 0 ; madalaima punki kõrgus maapinnas on h. Pall lasakse lahi ja a kukub graviasioonivälja mõjul maha, põrkub horisonaalpinnal ning kerkib agasi kõrgusele, mis moodusab ema esialgses kõrguses murdosa α. Õhuakisusega mie arvesada, palli ja põranda deformasioon põrke ajal lugeda ühiseks. Palli ja põranda vaheline liughõõrdeegur on µ, palli mass on m ja raskuskiirendus g; kera inersimomendi jaoks kasuage valemi I = 2mR 2 /5. 1) Tehkem eeldus, e palli pind libises põranda suhes kogu põrke välel. Leidke (i) põrkesuuna ja verikaali vaheline nurk θ; (ii) esimese ja eise põrke vahel läbiud horisonaalsuunaline vahemaa; (iii) eelpoolehud eelduse kehimiseks vajalik minimaalne ω 0 väärus. 2) Eeldagem sedapuhku, e libisemine peaus enne põrke lõppu. Vasake eelmise punki küsimusele (i) ja (ii). 3) Kasuades punkide 1) ja 2) ulemusi, skiseerige anθ sõluvuse graafik nurkkiiruses ω 0. 2. Relaivislik ruu Suur hulk ühisel väikese raadiusega kuulikesi liigub mööda ruudukujulis raami, mille küljepikkus on L. Kõik kuulikesed kannavad ühesugus laengu q ja liiguvad ühesuguse kiirusega u. Raamiga seoud süseemis on kahe naaberkuuli vaheline kaugus konsanne ja võrdne a-ga. Kuulikesed on seaud raamile nagu helmed kaelakeele, kusjuures L on hulga suurem a-s., v. joonis. Miejuhivas maerjalis raam kannab ühlasel piki raai jaounud laengu. Traadi kogulaeng on võrdne ja vasasmärgiline kuulikese kogulaenguga. Vaadelgem siuasiooni, kus raam liigub paralleelsel küljega (v. joonis) läbi ühlase elekrivälja. Elekrivälja ugevus on E ning a on risi raami kiirusvekoriga, kuid moodusab nurga θ raami asandiga. Vões D v u u E θ C arvesse relaivislikud efekid, leidke järgmise suuruse väärused laboraoorses süseemis, kus raam liigub kiirusega v: 1) a, a C, a CD ja a D kuulikese vahelised kaugused raami iga vasava külje peal; 2) Q, Q C, Q CD ja Q D iga raami külje kogulaeng (mis kujuab endas raadi laengu ja kuulikese laengu summa); 3) elekrilise jõudude pool loodud pöördemomen M, mis püüab pööraa raamis ja kuulikeses moodusaud süseemi; 4) elekrivälja ja raami ning kuulikese süseemi vasasmõjus ingiud energia W. Vasused uleb avaldada nende suuruse abil, mis on anud ülesande ingimuses. Märkus: Isoleeriud objeki elekrilaeng ei sõlu süseemis, milles mõõmisi eosaakse. Elekromagneilises kiirguses ingiud efeke mie arvesada. Mõned erirelaiivsuseooria valemid. Liikugu aussüseem S kiirusega V eise aussüseemi S suhes. Olgu eljed kahes süseemis ükseisega paralleelsed ja langegu koordinaaide alguspunk kahes süseemis kokku ajahekel = 0. Olgu kiirus V suunaud piki -elje posiiivse suunda. Relaivislik kiiruse liimine: kui osakese kiirus süseemis S on u ja see on suunaud piki -elge, siis ema kiirus süseemis S u L a u = (u + V )/[1 + u V/c 2 ]. Relaivislik lühenemine: Kui ese on süseemis S paigal ja ema sealne -elje sihiline pikkus on L 0, siis süseemis S mõõdab vaaleja ema pikkuseks L = L 0 1 V 2 /c 2 u 3. aomie jahuamine laseriga Selleks, e uurida suure äpsusega isoleeriud aaomie omadusi, uleb neid hoida uurimise ajal peaaegu liikumauena. Hiljui leiuai selle arvis uus meeod, mida nimeaakse laseriga jahuamiseks. Selle illusreerimiseks on järgmine ülesanne. Vaakumkambris valusaakse häsi kollimeeriud 23 Na aaomie kimpu (mis on saadud aurusamise eel emperauuril T = 10 3 K) ose koaksiaalsel suunaud suure inensiivsusega laseri kiirega (v. joonis). Laseri sagedus on valiud 10 3 K Na sellisel, e fooonid neelduvad resonansel aaomiel, mille kiirus on v 0. Kui valgus neeldub, ergasakse need aaomid esimesele energianivoole, mille keskmine enrgia väärus on E ja mille laius on Γ [joonis (b)]. Sellise prosessi puhul E+Γ/2 E Γ/2 hν v 1 Na 23 v 1 ϕ (b) 0 (c) aaomi kiiruse muu on v = v 1 v 0. Kui aaom naaseb energia põhinivoole, kiirgab a foooni, nii e a kiirus muuub jälle, v = v 1 v 1 võrra. Seejuures kaldub a kõrvale nurga ϕ võrra [joonis (c)]. Niisugune neeldumise ja kiirgamise jada kordub mimeid kordi seni kuni aaomi kiirus on muuunud sellise kiiruse v võrra, e resonansi ingimus θ
pole enam äideud. Seejärel on vaja muua laseri sagedus, e hoida alal resonansi ingimus. aomid, mis liiguvad nüüd juba uue kiirusega, pidurdaakse jällegi. Prosess jäkub seni, kuni osade aaomie kiirus on lähenenud nullile. Esimeses lähenduses võime ignoreerida kõikide eise aaomiega oimuvae prosessidega, peale fooonie neeldumise ja kiirgamise. Peale selle võib eeldada, e laseri kiirgus on sedavõrd inensiivne, e aaomid veedavad vaid ühisel väikese osa ajas oma energia põhinivool. 1) Leidke laserikiirguse sagedus, mis oleks resonansis aaomiega, mille kineeiline energia on kollimaaori läbinud aaomie keskmine. Samui leidke kiiruse vähenemine v 1 peale esimes neeldumis. 2) Punkis (1) leiud laserikiirgus on resonansis aaomiega, mille kiirused lebavad vahemikus laiusega v 0. Leidke see laius. 3) Kui aaom kiirgab valgus, kaldub a nurga ϕ võrra kõrvale oma esialgses liikumissuunas. Leidke see nurk. 4) Leidke maksimaalne kiiruse vähenemine v anud laseri sageduse jaoks. 5) Milline on ligikaudne neeldumise-kiirgamise arv, mis on vajalik selleks, e viia aaomi kiirus ema esialgsel väärusel v 0 fakilisel nullini? 6) Leidke vaadeldava prosessi peale kuluv aeg ja vahemaa S, mille aaom läbib aja jooksul. rvandmed: E = 3,36 10 19 J, Γ = 7,0 10 27 J, c = 3 10 8 m/s, m p = 1,67 10 27 kg, h = 6,62 10 34 J s, k = 1,38 10 23 J/K. Siin c on valguse kiirus, h Plancki konsan, k olzmanni konsan ja m p proooni mass. XXIII Soome (1992) 1. Pöörlev ehiskaaslane Vaaleme Maa ehiskaaslas, mis iirleb ekvaoriaalasandis ringorbiidil. Tehiskaaslane koosneb massia senraalses kehas (punk P ) ja neljas perifeerses kehas massidega m, mis on kinniaud P külge pikkade peenikese venimaue niiidega pikkusega r. Kõik viis keha P ja -d asuvad ekvaaori asandis ja pöörlevad samas asapinnas. Neli radiaalniii on ühendaud omavahel peenikese niiidega nii, e nurgad radiaalniiide vahel on muuumaud ja võrdsed 90 -ga (v. joonis). Viimai nimeaud niiide ülesandeks on ära hoida kehade võnkliikumis, mis muidu muudaks liikumise analüüsi äärmisel keerukaks. Seega pöörlevad kõik kehad kinnisähede süseemis sama nurkkiirusega ω ümber senraalse keha P ja niiide võrgusik käiub jäiga kehana. Teil uleb analüüsida küsimusi üldjuhul pööraes ähelepanu kõikvõimalikele erijuhudele ja andes numbrilised vasused küsimusele (1) ja (2). r 90 0 P R Re 1) Leidke jõud, millega radiaalnii mõjub kehale kui ema ja punki P kohavekorid r ja R (v. joonis) on (i) paralleelsed ja samasuunalised; (ii) paralleelsed ja vasassuunalised; (iii) risi olevad. Need asendid vasavad ligikaudu jõudude suurimaele ja vähimaele väärusele. 2) Kõikides kehades asuvad radiaalniiidega ühendaud ühesugused masinad, mida käiviab Päikese energia. Iga selline masin õmbab niii sisse lühikese ajavahemiku jooksul, millal niidile mõjub suurim jõud ja laseb välja agasi lühikese ajavahemiku jooksul, millal niidile mõjub vähim jõud. Niii õmmaakse sisse ja lasakse välja 1% ema keskmises pikkuses. Pikema ajavahemiku jooksul niidi keskmine pikkus ei muuu. Milline on ühe masina keskmine (neo-)võimsus keskmisauna üle ehiskaaslase ühe pöörde? Neovõimsus on defineeriud järgmisel: (öö, mida masin eeb niii sisse õmmaes miinus öö, mida nii eeb masinas välja ulles) jagaud ühe pöörde ajaga. 3) nalüüsige muuusi ehiskaaslase liikumises, mis on põhjusaud masinae öös. Uurige allpoolkirjeldaud abelis oodud muuuse võimalikkus. Esiage vasused samas abelis. Numbrilised vasused anda järgmise olukorra jaoks: senraalse keha orbiidi raadius R = R e + 500 km; Radiaalniiide keskmine pikkus r = 100 km, seega on ehiskaaslase süseemi diameeer 200 km; mass m = 1000 kg; algsel pöörlevad neli keha ähede suhes ümber senraalse keha P kiirusega 10 pööre unnis; orbiiide ja senraalse keha masse ei ole vaja arvesada. Soovius: vaadelge mõlemaid võimalikke pöörlemissuundi ( ω > 0 ja ω < 0). Täpseid lahendusi ei ole vaja esiada. Tulemused äpsusega 5% on äielikul aksepeeriavad. Ärge võke arvesse Kuu ja Päikese graviasioonilis mõju. rvandmed: Maa raadius ekvaaoril R e = 6378 km, Maa mass M e = 9,97 10 24 kg, graviasioonikonsan G = 6,673 10 11 m 3 /kg s 2. Vasused esiage abelis, mille ulpadeks on füüsikaline suurus, kasvab kui, kahaneb kui, ei muuu ja ei muuu kunagi ning ridadeks ehiskaaslase orbiaalkiirus, ehiskaaslase orbiidi raadius, ehiskaaslase nurkkiirus ω ja ehiskaaslase graviasiooniline poensiaalne energia. Esiage need võrduse või võrrause kujul (või vajadusel lühifraasidena). Kas ehiskaaslane võib õusa kõrgemale orbiidile masinae öö ulemusena? Jah (... ), Ei (... ) Kas ehiskaaslane võib õusa suvalise kõrgusega orbiidile lahkudes prakilisel Maa graviasioonliise mõju piirkonnas? Miks? Vasus:... 2. Lineaarse molekuli pikiliikumine Selles ülesandes analüüsiakse lineaarse molekuli pikiliikumis, s. liikumis molekuli elje sihis. Molekuli pöördliikumis ja paindumis ei vaadelda. Molekul koosneb N aaomis, mille massid on vasaval m 1, m 2,..., m N. Iga aaom on seoud oma lähimae naabriega keemilise sidemega. Iga sellis side käsileakse Hooke i seadusele alluva massia vedruna. Iga vedru iseloomusab ema jäikus k 1, k 2,..., k N 1. Selline molekul on kujuaud joonisel. Ülesande lahendamiseks on eada järgmised asjaolud: lineaarse molekuli vabad pikivõnkumised kujuavad endas võnkliikumise (mida nimeaakse normaalvõnkumiseks ehk normaalmoodideks) superposisiooni; normaalmoodis võnguvad kõik aaomid harmoonilisel ühesuguse sagedusega ja läbivad üheaegsel asakaaluasendi. k 1 k 2 (a) m N-1 m N m 1 m 2 (b) m m (c) m m m 1) Tähisagu i i-nda aaomi nihe ema asakaaluasendis. Väljendage igale aaomile mõjuv jõud F i nihee 1, 2,..., N ja vedrude jäikuse k 1, k 2,..., k N 1 funksioonina. Milline seos kehib jõudude F 1, F 2,..., F N. vahel. Kasuades seda seos, uleage seos nihee 1, 2,..., N vahel ja selgiage selle seose füüsikalis sisu. 2) nalüüsige kaheaaomilise molekuli [joonis (b)] liikumis Olgu aaomie massid m a ja m b ning sideme jäikus k. Tuleage avaldised aaomiele ja mõjuvae jõudude jaoks. Määrake molekuli võimalikud liikumised ja neile vasavae võnkumise sagedused, selgiage ulemus. Kuidas on võimalik, e aaomid võnguvad sama sagedusega, kuigi nende massid on erinevad? 3) nalüüsige kolmeaaomilise molekuli 2 [joonis (c)] liikumis. Väljendage igale aaomile mõjuv aasav jõud funksioonina aaomie nihees. Leidke molekuli võimalikud liikumised ja määrake vasavad sagedused. 4) CO 2 molekuli kahe pikivõnkumismoodi sagedused on vasaval 3,998 10 13 Hz ja 7,042
10 13 Hz. Leidke C O sideme jäikuse numbriline väärus. Kui häsi kirjeldab keemilise sidemee srukuuri jaoks kasuaud lähendus reaalse molekuli võnkliikumisi? Süsiniku aaomi suheline aaommass on 12 ja hapniku aaomil 16. aommassi ühik m 0 = 1,660 10 27 kg. 3. Tehiskaaslane päikesevalguses Selles ülesandes käsileakse probleemi ehiskaaslase emperauuris.tehiskaaslase kere on kera läbimõõduga 1 m, mille kõikides punkides on ühesugune emperauur. Kogu kera pind on kaeud ühesuguse kaemaerjaliga. Tehiskaaslane asub kosmoses Maa läheduses, aga mie ema varjus. Päikese pinna kui absoluusel musa keha pinna emperauur T = 6000 K, Päikese raadius on R = 6,96 10 8 m. Maa ja Päikese vaheline kaugus on L = 1,5 10 11 m. Tehiskaaslane kuumeneb Päikese valguses emperauurini, kus ema kui absoluusel musa keha kiirgus asakaalusab neelaava päikesevalguse võimsuse. bsoluusel musa keha pinnaühiku pool kiiraav võimsus on anud Sefan-olzmanni seadusega P = σt 4, kus universaalkonsan σ = 5,67 10 8 W m 2 K 4. Esimeses lähenduses võib eeldada, e Päike ja ehiskaaslane neelavad kogu neile langeva elekromagneilise kiirguse. 1) Leia avaldis ehiskaaslase emperauuri jaoks ja hinnang selle arvulisele väärusele. Temperauuril T oleva absoluussel musa keha kiirgusspeker u(t, f) on kirjeldaav Planck i kiirgusseadusega u(t,f)df = 8πk4 T 4 η 3 dη c 3 h 3 e η 1, kus udf on elekromagneilise kiirguse energia ihedus sagedusinervallis (f, f + df) ja η = hf/kt. Konsanide väärused on järgmised: Planck i konsan h = 6,6 10 34 J s, valguse kiirus vaakumis c = 3,0 10 8 m/s ja olzmanni konsan k = 1,4 10 23 J/K. bsoluusel musa keha speker, inegreeriuna üle kõikide sageduse ja kiirguse suundade annab ühikulise pinna kiirguse koguvõimsuse P = σt 4, s.. ülaloodud Sefan-olzmanni seaduse (σ = 2π 5 k 4 /15c 2 h 3 ). Lisaud joonisel on kujuaud normaliseeriud speker c 3 h 3 u(t,f)/8πk 4 T 4 kui parameeri η funksioon. 3 3 c h u(t,f)/8πk 4 T 4 1,6 1,2 0,8 0,4 0 2 4 6 8 η=hf/kt 2) Paljudes rakenduses on vaja hoida ehiskaaslas nii külmana kui võimalik. Tehiskaaslase jahuamiseks kasuavad insenerid peegeldava kaemaerjali, mis peegeldab valgus eaud piirsageduses suuremael sagedusel aga ei akisa soojuskiirguse väljapääsu selles sageduses väiksemael sagedusel. Vasaku see piirsagedus hf/k väärusele 1200 K. Hinnake, milline on nüüd ehiskaaslase emperauur. Soovius: Täpse vasus ei nõua. Seepäras ärge eosage keerukaid inegreerimisi, vaid kasuage lähendusi, kus võimalik. Teada on järgmise inegraali väärus: η 3 dη 0 e η 1 = π4 15. Funksiooni η 3 /(e η 1) maksimum on ligikaudu väärusel η 2,82. Väikese η vääruse korral võib kasuada eksponenfunksiooni reaksarenduse kahe esimes liige: e η 1 + η. 3) Tehiskaaslasel on väljaulauvad päikesepaarei paneelid, mis oodavad elekrienergia. Reaalsuses moodusab elekriseadmee pool soojuseks muundaav energia ehiskaaslase sisemuses äiendava soojusallika. Milline oleks punkis (2) kirjeldaud ehiskaaslase emperauur siis, kui seesmise soojusallika võimsus on 1 kw. 4) Tooja reklaamib spesiaalse kaemaerjali järgmisel: See maerjal peegeldab agasi enam kui 90% kogu pealelangevas kiirguses (nii nähava kui ka infrapunas valgus), kuid kiirgab kõikidel sagedusel (nii nähava kui infrapunas valgus) nii nagu eeb seda absoluusel mus keha, eemaldades niiviisi palju soojus. Seega hoiab meie kaemaerjal ehiskaaslase nii külmana kui võimalik. Kas selline kaemaerjal võib eksiseerida? Põhjenda vasus. 5) Millised omadused peaksid olema kaemaerjalil, e emaga kaeud sfääriline keha, mis sarnaneb siinvaadeldud ehiskaaslasega, kuumeneks emperauurini, mis üleab punkis (1) leiud vääruse XXIV meerika (1993) 1. mosfäärieleker Elekrosaailises vaaepunkis võib Maa pinda vaadelda hea juhina. Ta kannab kogulaengu Q 0 ja keskmis laengu pindihedus σ 0. 1) Ilusa ilmaga on Maa pinna läheduses allapoole suunaud elekriväli ugevusega E 0 ligikaudu 150 V/m. Leia Maa laengu pindihedus ja Maa pinna kogulaeng. 2) llapoole suunaud elekrivälja ugevus kahaneb kõrgusega ja on 100 m kõrgusel umbes 100 V/m. rvua amosfääri 1 m 3 keskmine kogulaeng Maa pinna ja 100 m kõrguse vahel. 3) Punkis (2) arvuaud kogulaeng uleneb egelikul peaaegu võrdses arvus posiiivsel ja negaiivsel ühekordsel laeud ioonides ühikruumalas (n + ja n ). Maa pinna lähedal ilusa ilma korral n + n 6 10 8 m 3. Need ioonid liiguvad verikaalse elekrivälja mõjul. Nende kiirus on võrdeline välja ugevusega: v 1,5 10 4 E, kus v ühikuks on m/s ja E ühikuks on V/m. Kui kaua võaks aega ioonide liikumine amosfääris, e neuraliseerida pool Maa pindlaengus, kui puuduvad muud prosessid (näieks välk), mis seda aasavad? 4) Üks moodus amosfääri elekrivälja ja seega ka σ 0 mõõmiseks on esiaud joonisel. Paar pin- E 0 r 1 90 0 r 2 Pöörlev keas Fikseeriud kvandrandid Võimendi nases isoleeriud aga omavahel ühendaud meallkvadrani asesevad ühlasel pöörleva maandaud kea all, millesse on ehud kaks kvadrandikujulis väljalõige. ( Joonisel on kea ja kvadranide vahekaugus liialdaud nende aseuse näiamiseks.) Kaks korda iga äispöörde jooksul on isoleeriud kvadrandid väljale äielikul avaud ja siis (1/4 perioodi hiljem) äielikul ekraneeriud. Olgu T pöörlemisperiood ja r 1 ja r 2 kvadranide sisemine ja väline raadius nii nagu näidaud joonisel. Olgu = 0 ajahek, millal isoleeriud kvadrandid on äielikul ekraneeriud. Tuleage avaldis isoleeriud kvadranide ülapinnal induseeriud kogulaengu jaoks aja funksioonina = 0 ja = T/2 vahel ja skiseerige see sõluvus graafilisel. [Ioonide voolu mõju amosfääris võib anud juhul mie arvesada.] 5) Punkis (4) kirjeldaud seade on ühendaud võimendajaga, mille sisendvooluring on ekviva-
Võimendi sisendklemmid C V() R lenne paralleelsel ühendaud kondensaaoriga mahuvusega C ja akisusega väärusega R. (Kvadranide süseemi mahuvus võib C-ga võrreldes mie arvesada.) Skiseerige graafilisel punkide M ja N vahelise pinge V sõluvus aja funksioonina kea ühe äispöörde jooksul vaheul päras seda kui keas on pandud pöörlema perioodiga T juhudel kui (i) T = T a CR; (ii) T = T b CR. [Oleame, e C ja R väärused on fikseeriud ja ainul T muuub siuasioonide (i) ja (ii) vahel.] Tuleage avaldis suhe V a /V b ligikaudse vääruse jaoks, kus V a ja V b on V () maksimaalväärused vasaval juhudel (i) ja (ii). 6) Olgu E = 150 V/m, r 1 = 1 cm, r 2 = 7 cm, C = 0,01 µf, R = 20 MΩ ja kea pöörlemiskiirus 50 pööre sekundis. Milline on siis V ligikaudne suurim väärus ühe pöörde jooksul? 2. Laserkiire ekiaud jõudude mõju läbipaisvale prismale Tugeva laserkiire murdumine väikeses läbipaisvaes objekides võib ekiada viimasele mõjuvaid märkimisväärseid jõude. Tõdemaks, e see on nii, vaaleme väikes kolmnurkse klaasis prisma ipunurgaga = π 2α, aluse pikkusega 2h ja laiusega w. Prisma murdumisnäiaja on n ja ihedus ρ. Olgu prisma aseaud -elje sihis horisonaalsel levivasse laserkiirde. (Kogu selles ülesandes eeldaakse, e prisma ei pöörle, s.. e a alus on alai paralleelne yz-asandiga, kolmnurksed ahud paralleelsed y-asandiga ja ipunurk on sihiud vasu laserkiir nagu näidaud joonisel (a). Ümbriseva õhu murdumisnäi- (b) y 0 (a) laserikiir α α (c) 2h y α w y α θ α 2h aja n air = 1. Prisma ahud on kaeud peegeldumisvasase kaeega, mis väldivad igasugused peegeldused. Laserkiire inensiivsus on konsanne ema laiuse ulauses z-elje sihis, aga kahaneb lineaarsel kaugusega y -eljes, omades maksimaalsel väärus I 0 punkis y = 0 ja kahanedes nullini y = ±4h korral [joonis (b)]. [Inensiivsus on võimsus ühikulise pinna koha, näieks ühikues Wm 2.] 1) Kirjuage võrrandid, milles saab avaldada nurgaθ [joonis (c)] α ja n kaudu kui laserkiir langeb prisma ülemisele ahule. 2) valdage I 0, θ, h, w ja y 0 kaudu prismale laserkiire pool mõjuva jõu - ja y-komponendid, kui prisma ipp on nihuaud -eljes kaugusele y 0 ( y 0 < 3h). Esiage graafilisel jõu horisonaal- ja verikaalkomponenide väärused verikaalnihke y 0 funksioonidena. 3) Olgu laserkiire laius z-elje sihis 1 mm ja paksus ( y-elje sihis) 80 mm. Prisma iseloomusavad väärused α = 30, h = 10 mm, n = 1,5, w = 1 mm ja ρ = 2,5 g cm 3. Millis laseri võimsus (vaides) on vaja, e asakaalusada z prismale (y-elje sihis) mõjuva raskusjõudu kui prisma ipp aseseb y 0 = h/2 (= 5 mm) võrra allpool laserkiire elge? 4) Kirjeldaud kase korraakse kaaluuse ingimuses [prisma ja laserkiire mõõmed on samad, mis punkis (3)]. Laseri võimsus I 0 = 10 8 W m 2. Milline on ekkivae võnkumise periood, kui prisma nihuai kaugusele y = h/20 laserkiire eljes ja lasi seejärel lahi? 3. Elekronide kimp Kiirendav pinge V 0 ekiab ühlase paralleelse elekronide kimbu. Elekronid mööduvad peenikeses pikas posiiivsel laeud vaskraadis, mis on risi elekronide liikumise esialgsele sihiga (v. joonis). Tähisagu b elekroni möödumiskaugus raadis siis, kui raa ei oleks laeud. Elekronid liiguvad kaugusel L ( b) raadi aga asesevale ekraanile (vaalusasandile) v. joonis. Nii kimbu laius kui raadi pikkus võib vaadelda lõpmauena sihis, mis on risi joonise asandiga. b rvandmed: raadi raadiusr 0 = 10 6 m, b suurim väärus b ma = 10 4 m, elekrilaeng raadi ühikulise pikkuse koha q linear = 4,4 10 11 C/m, kiirendav pinge V 0 = 2 10 4 V, kaugus raadis vaalusekraanini L = 0,3 m. Märkus: järgnevae küsimuse 2-4 jaoks kasuage sobivaid lähendusi, mis võimaldavad saada analüüilisi ja numbrilisi lahendusi. 1) rvuage raadi pool ekiaud elekrivälja ugevus E. Skiseerige E suurus funksioonina kauguses raadi eljes. 2) Kasuades klassikalis füüsika leidke elekroni nurkkõrvalekalle. Tehke seda parameeri b väärusel, millisel elekron ei põrka vasu raai. Tähisagu θ final (väikes) nurka elekroni esialgse kiiruse ja kiiruse vahel, millis a omab vaaluspinnani jõudmisel. Leidke θ final. L 3) rvuage ja skiseerige klassikalises füüsikas johuv põrgee (s.. inensiivsuse) jaous ekraanil. 4) Kvanfüüsika ennusab olulis erinevus inensiivsuse jaouses võrreldes klassikalise pildiga. Skiseerige kvaneoorias ulenev pil ja kirjeldage seda kvaniaiivsel. XXV Hiina (1994) 1. Relaivislik osake Erirelaiivsuseoorias on seos vaba osakese energia E ja impulsi p vahel anud valemiga E = p 2 c 2 + m 2 0 c4 = mc 2, kus m 0 on osakese seisumass. Kui sellisele osakasele mõjub konservaiivne jõud, siis ema koguenergia kineeilise energia p 2 c 2 + m 2 0 c4 ja poensiaalse energia summa on jääv. Kui osakese energia on väga suur, võib ema seisuenergia mie arvesada (sellis osakes kusuakse ulrarelaivislikuks). Võib juhuda, e lühikese ajavahemike välel on osakese ulrarelaivislikkuse ingimus rikuud; anud ülesandes sellise ajavahemike uurimis ei nõua. 1) Vaaleme väga suure energiaga osakese (mille seisuenergia võib mie arvesada) ühesihilis liikumis sellise senraalse õmbejõu mõjul, mille absoluuväärus f on konsanne kõikjal peale koordinaaide alguspunki, kus a võrdub nulliga. sesegu osakene ajahekel = 0 koordinaaide alguspunkis ja olgu ema algimpulss p 0. Kirjeldage graafilisel osakese liikumis, esiades nii impulsi p sõluvus ruumikoordinaadis, kui ka koordinaadi sõluvus ajas, ja seda vähemal ühe liikumisperioodi jooksul. valdage pöördepunkide koordinaadid suuruse p, ja f kaudu ning näidake noole abil, mis suunas kulgeb prosess (p, )-diagrammil! Kasuage vasuselehe 1 [ühi leh (-) ning (p-) elgedega]! 2) Meson on osakene, mis koosneb kahes kvargis. Mesoni seisumass M on võrdne kahes kvargis koosneva süseemi koguenergiaga mis
on jagaud c 2 -ga. Vaaleme seisva mesoni ühemõõmelis mudeli, milles kaks kvarki liiguvad piki -elge ja õmbavad ükseis konsanse absoluuväärusega jõuga. Eeldaakse, e kvargid võivad eineeis vabal läbida. Kvarkide suureenergialise liikumise analüüsil võib nende seisumasse mie arvesada. jahekel = 0 asesevad mõlemad kvargid punkis = 0. Esiage graafilisel kumbagi kvargi liikumine, nii (, ) kui ka (p, )-diagrammil! valdage pöördepunkide koordinaadid M ja f kaudu, näidake prosessi kulgemise suund (p, )-diagrammil ning määrake kahe kvargi suurim vahekaugus! Kasuage vasuselehe 2 [leh kolme eljesikuga: ( 1, 2 -), (p 1-1 ) ja (p 2-2 )]! 3) Tähisame punkis (2) kasuaud aussüseemi S-ga; laboraoorne aussüseem S liigub -elje negaiivses suunas konsanse kiirusega V = 0,6c. Koordinaadid neis aussüseemides on valiud sellisel, e ajahekel = = 0 langeb punk = 0 aussüseemis S kokku punkiga = 0 aussüseemis S. Esiage kumbagi kvargi liikumine graafilisel (, ) diagrammil, avaldage pöördepunkide koordinaadid M, f ja c kaudu ja leidke kahe kvargi maksimaalne vahekaugus laboraoorses aussüseemis S. Kasuage vasuselehe 3 [( 1, 2-) eljesikuga]! Osakese koordinaadid aussüseemides S ja S on seoud Lorenzi eisendusega = γ( + βc) = γ( + β/c); siinjuures β = V/c ja γ = 1/ 1 β 2 ning V on aussüseemi S kiirus aussüseemi S suhes. Olgu mesoni seisuenergia Mc 2 = 140 MeV ja kiirus laboraoorse aussüseemi S suhes 0,60c. Määrake mesoni energia E laboraoorses aussüseemis. 2. Ülijuhiv magne Ülijuhivad magneid on labories laialdasel kasuusel. Tavaline ülijuhiv magne kujuab endas ülijuhivas raadis solenoidi. Ülijuhiva magnei suurepärane omadus on, e a ekiab ugeva magnevälja ilma mingi energiakaoa, mida võiks põhjusada Joule iline kuumenemine: ülijuhiva raadi elekriakisus muuub nulliks, kui magne aseaakse üleni vedelase heeliumisse, mille emperauur on 4,2 K. Harilikul on selline magne varusaud spesiaalse konsruksiooniga ülijuhiva lüliiga v. joonis (a). Lülii akisus on konrolliav: ülijuhivas olekus on r = 0, normaalses olekus r = r n. Kui akisi on ülijuhivas olekus, võib magnei kasuada auonoomses režiimis, kusjuures magneis ja ülijuhivas lüliis ringleb miesumbuv vool. uonoomne režiim võimaldab väga sabiilse magnevälja alalhoidmis väga pika aja välel, kusjuures oieallikas on välja lüliaud. Ülijuhiva lülii deaile ei ole joonisel (a) esiaud. Harilikul on selleks lühike ülijuhiva raadi ükk, mille ümber on mähiud küekeha ja mis on vedelas heeliumis piisaval isoleeriud. Soojenemisel ülijuhiva raadi emperauur õuseb ja a läheb üle normaaljuhivusega olekusse. Takisuse r n väärus on harilikul mõned oomid, selles ülesandes võkem selleks 5 Ω. Ülijuhiva magnei indukiivsus sõlub ema mõõmees; olgu joonisel (a) kujuaud magnei indukiivsus 10 H. Summaarse vooluugevus I saab muua muudeava akisusega akisi R abil. K Toieallika lülii E Toieallikas R I Ülijuhiv lülii Ülijuhiv magne Muudeav akisus I 2 r=0 või r=r n I 1 Punkiirjoonega ümbriseud osa asub vedela heeliumiga äideud vannis 1) Oleagem, e koguvoolu I ja ülijuhiva lülii akisus r muudeakse sellisel viisil, e nende sõluvus ajas vasab joonisel (b-i) ja (b-ii) kujuaule. lghekel olid voolud I 1 ja I 2, mis kulgevad I 0 I 0 /2 r n r I0 I 1 I 0 /2 I0 I 0 /2 I I 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (b-ii) (b-i) (b-iii) (b-iv) vasaval läbi magnei ja läbi lülii, võrdsed [joonis (b-iii) ja (b-iv)]. Kuidas muuuvad need voolud ajavahemikul 1 kuni 4? Vasus visandage joonisele (b-iii) ja (b-iv). 2) Oleagem, e ajahekel = 0 lüliaakse sisse oieallika lülii K 1 ja e sellel hekel r = 0, I 1 = 0, R = 7,5 Ω ning koguvool I = 0,5. Edaspidi hoiakse lülii K ühendauna, akisus r aga muudaakse nii, nagu näidaud joonisel (c-ii). Visandage I, I 1 ja I 2 ajalised sõluvused joonisele (c-i), (c-iii) ja (c-iv). 0,5 r n 0,5 0,5 I r I 1 I 2 1 2 3 min 1 2 3 min 1 1 2 3 min 2 3 min (c) 3) Ülijuhiv lülii alub oma normaaljuhivas olekus üksnes sellis voolu, mis on väiksem kui 0,5 ; suuremael vooludel põleb a läbi. Oleagem, e ülijuhiva magnei kasuaakse auonoomses režiimis, s.. I = 0, ja e ajavahemiku = 0 kuni = 3 min jooksul I 1 = i 1 (näieks 20 ) ning I 2 = i 1 [v. joonis (d)]. Oleagem, e eksperimendi peaamiseks on vaja viia magnei läbiv vool võrdseks nulliga. Kuidas Te seda 20 r n 20 20-20 I r I 1 I 2 r 3 6 9 12 min 3 6 9 12 min (d) 3 6 9 12 min 3 6 9 12 min eeksie? Ilmsel kulub Teil selleks miu erioperasioonilis sammu. Visandage E, r, I 1 ja I 2 vasavad muuused joonisel (d). 30 20 r n 30 20 30 20-20 -30 I r I 1 I 2 3 6 9 12 15 min 3 6 9 12 15 min (e) 3 6 9 12 15 min 3 6 9 12 15 min 4) Magnei kasuai auonoomses režiimis konsanse vooluugevuse 20 juures [ = 0 kuni = 3 min, joonis (e)]. Kuidas Te viiksie a üle sellisesse auonoomsesse režiimi, kus vooluugevus on 30? Vasus visandage joonisel (e). 3. Kease põrge hõõrdumisega Homogeenne keas massiga m ja raadiusega R liigub kulgeval kiirusega V asasel horisonaalsel pinnal, -y asandil, -elje sihis, kusjuures ema kaugus -eljes on b. Ta põrkub paigalseisva homogeense keaga, millel on sama b v y
mass ja paksus kuid mille raadius on R ja mis aseseb koordinaaide alguspunkis. Eeldaakse, e põrke lõpul on kease kokkupuuuvae punkide kiirused suunas, mis on risi nende senreid ühendava sirgega, võrdsed. Samui eeldaakse, e kease suhelise kiiruse absoluuväärus sihis, mis ühendab nende keskpunke, on sama enne ja päras põrge. 1) valdage kiiruse - ja y-komponendid päras põrge V, V ja V y suuruse m, R, R, V ja b kaudu! 2) valdage kea kineeiline energia E ja kea kineeiline energia E peale põrge suuruse m, R, R, ja b kaudu! XXVI usraalia (1995) 1. Graviasiooniline punanihe ja ähe massi määramine 1) (3 punki) Fooon sagedusega f omab efekiivse inerse massi m, mis on määraud ema energiaga. Eeldame, e foooni graviasiooniline mass on võrdne a inerse massiga. Järelikul kaoab ähe pinnal kiiraud fooon ähe graviasiooniväljas väljumisel energia. Näia, e foooni sageduse nihe f ema eemaldumisel ähe pinnal lõpmausse on eeldusel f f anud avaldisega f/f GM/Rc 2, kus G on graviasioonikonsan, R ähe raadius, c valguse kiirus ja M ähe mass. Seega on võimalik leida suurel kaugusel asuva ähe jaoks suhe M/R, kui mõõa ema spekris mingi unud spekrijoone punanihe. 2) (12 punki) Mehiamaa kosmoselaev on läheaud eesmärgiga mõõa meie galakikas asuva ähe mass M ja raadius R. Kosmoselaeva radiaalsel lähenemisel ähele jälgiakse foooneid, mis on kiiraud ähe pinnal. Seda ehakse uurides fooonie resonanse neeldumis kosmoselaeval asuvas kasekambris ekiaud He + ioonide joas. Resonanne neeldumine oimub vaid siis, kui He + ioonidele on anud selline ähesuunaline kiirus, mis kompenseerib äpsel fooonie punanihke. He + ioonide voo kiirus mõõdeakse ähe suhes, kusjuures resonansele neeldumisele vasav väärus v = βc regisreeriakse funksioonina kauguses d ähe lähima punkini. Eksperimenaalandmed on esiaud järgmises abelis. β ( 10 5 ) 3,352 3,279 3,195 3,077 2,955 d ( 10 8 m) 38,90 19,98 13,32 8,99 6.67 Määraa kõiki abelis oodud andmeid kasuades sooviaval graafilisel ähe mass ja raadius. Mõõmise ebaäpsuses ingiud viga ei ole vaja hinnaa. 3) Määramaks suurusi R ja M kirjeldaud eksperimenides, võeakse harilikul arvesse kiirgava aaomi agasilöögis ingiud parandus. [Soojusliikumine põhjusab kiirgusjoone laienemis, kuid a ei nihua nende maksimume. Seeõu võime lugeda, e soojuslikud efekid ei mõjua ulemus]. (i) (4 punki) Olgu E energiae vahe aaomi kahe energeeilise nivoo vahel siis kui aaom on paigal. Oleame, e algsel liikumau aaom kiirgab foooni ja saab seejuures agasilöögi. Leidke kiiraud foooni energia hf relaivislik avaldis, esiades see funksioonina E-s ja algolekus oleva aaomi seisumassis m 0. (ii) (1 punk) Hinnake numbrilisel agasilöögis ingiud sageduse nihe ( f/f) recoil juhumi jaoks, kui on egemis He + ioonidega. Teie vasus peaks osuuma hulga väiksemaks punkis (2) leiud graviasioonilises punanihkes. ndmed: Valguse kiirus c = 3,0 10 8 m/s, He iooni seisuenergia m 0 c 2 = 4 938 MeV, ohri energia E n = 13,6Z 2 n 2 (ev), graviasioonikonsan G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2. 2. Heli levik Sissejuhaus. Heli leviku kiirus ookeanis muuub sõluval sügavuses, emperauuris ja soolsuses. Järgnev joonis (a) näiab helikiiruse c sõluvus sügavuses z juhul, kui kiirus omandab minimaalse vääruse c 0 mingis ookeani pinna ja merepõhja vahelises punkis. Mugavuse päras on sügavuse nullpunkiks z = 0 võeud helikiiruse miinimumile vasav sügavus, seega ookeani pinnal on z = z s ja ookeani põhjas z = z b. Ülalpool nivood z = 0 on c anud valemiga c = c 0 + bz, allpool nivood z = 0 on c anud valemiga c = c 0 bz. Seega on mõlemal juhul helikiiruse gradiendi absoluuväärus b = dc/dz ühesugune ja konsanne, s.. ei sõlu sügavuses. Joonisel (b) on esiaud ookeani verikaalne lõige z- asandis, kus on horisonaalsih. Helikiiruse sõluvus sügavuses c(z) on kõikjal ühesugune ning ema graafik on esiaud joonisel (a). Punkis z = 0, = 0 asub heliallikas S. Eraldagem selle allika kiirguses kisa helikiire, mis väljub allikas S nurga θ 0 all, nii nagu näidaud joonisel (b). Seeõu, e helikiirus sõlub sügavuses z, hakkab helikiir murduma ja järelikul ema kaldenurk θ muuub piki kiire rajekoori. z z z S 0 -z b (a) c = c 0 + bz c 0c = c0 bz c z S 0 -z b θ 0 (b) θ X H 1) (6 punki) Näidake, e allikas S väljuva ja z- asandis lebava rajekoori algusosa kujuab endas ringjoonelis kaar, mille raadius R on anud valemiga R = c 0 /(b sinθ 0 ), eeldades e 0 < θ 0 < π/2. 2) (3 punki) Tulea avaldis nurga θ 0 sellise minimaalse vääruse jaoks, mille puhul ülemisse poolasandisse suunaud kiir saab veel levida ilma merepinnal peegeldumaa. Vasus esia funsioonina suuruses z s, c 0 ja b. 3) (4 punki) Joonisel b on kujuaud heli vasuvõja H, mis asub punkis koordinaaidega z = 0, = X. Tulea avaldis niisuguse θ 0 vääruse jada jaoks, mille puhul allikas S lähuv helikiir jõuab vasuvõjasse H. Vasus esia funsioonina suuruses b, c 0 ja X. Eelda seejuures, e z s ja z b on piisaval suured välisamaks helikiire mere pinnal ja põhjas peegeldumise võimalusi. 4) (2 punki) Leia nurga θ 0 neli väikseima väärus, mille korral allikas S väljunud heli jõuab vasuvõjasse H juhul kui X = 10 000 m, c 0 = 1 500 m/s, b = 0,02000 s 1. 5) (5 punki) Tulea avaldis aja jaoks, mis kulub heli levikuks allikas S vasuvõjasse H piki kiir, millele vasab punkis (3) uleaud vähim nurga θ 0 väärus. Leia selle aja numbriline väärus, kasuades punkis (4) oodud andmeid. rvuuses võib osuuda kasulikuks järgmine valem d sin = lnan Leia aeg, mis kulub ose piki sirge z = 0 levival helikiirel selleks, e jõuda allikas S vasuvõjasse H. Kumb kahes kiires jõuab esimesena vasuvõjasse, kas see mis sardib nurga θ 0 = π/2 all, või see, mille lähenurk θ 0 on võrdne väikseimaga punkis (4) leiues? 3. Silindriline poi 1) (3 punki) Ujuvpoi koosneb kerges maerjalis valmisaud silindris ja selle külge kinniaud homogeenses jäigas vardas. Varras on risi silindri eljega ja kinniaud silindri keskele. Silindri raadius on a ja pikkus l, ema maerjali ihedus on d. Varda mass on võrdne silindri massiga ja pikkus silindri diameeriga. Varda maerjali ihedus on suurem merevee iheduses ρ, milles poi ujub. Leia poi asakaaluolekus ema ujumissügavus iseloomusav nurk α (v. joonis) iheduse suhe d/ρ funksioonina. Varda ruumala mie arvesada. 2) (4 punki) Kui poi on mingi jõu mõjul viidud alghekeks verikaalsihis pikkuse z võrra sügavamale oma asakaaluasendis, siis mõjub alle resulaiivne üleslükkejõud. Verikaalsihis mõjuva
1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω T h T l α jõu oimel hakab poi selles sihis asakaaluasendi ümber üles-alla võnkuma. Määraa sellise verikaalse võnkumise sagedus, avaldades a ujumissügavusnurga α, raskuskiirenduse g ja raadiuse a kaudu. Eeldada, e poi liikumises ingiud vee liikumise mõju poi dünaamikale on kirjeldaav poi efekiivse massi suurenemisega 1/3 võrra. Võib eeldada, e a ei ole väike. 3) (8 punki) valdage poi pöördvõnkumise sagedus suuruse g ja a kaudu. Vee liikumis ja viskoossus mie arvesada, pöördenurk lugeda väikeseks. Võie kasuada sellis lähendus, mille korral loeakse, e poi pöördvõnkumine oimub ümber silindri horisonaalelje. 4) (5 punki) Poi sisaldab undlikke kiirendusandureid, mis võivad mõõa ema verikaalsihilis ja pöördliikumis ning edasada seda eave raadio eel kaldale. Suhelisel rahulikus vees määrai poi verikaalvõnkumise perioodiks ligikaudu 1 s ja pöördvõnkumise perioodiks ligikaudu 1,5 s. Näia selle informasiooni põhjal, e ujumissügavusnurk α on ligikaudu 90 ja hinda poi silindri raadius ja kogumass, kui on eada, e silindri pikkus l võrdub ema raadiusega a. [Võke ρ = 1000 kg m 3 ja g = 9,8 m s 2.] XXVII Norra (1996) 1. Varia (Selle ülesande viis osa ei ole omavahel seoud) 1) (1 punk) Viis akisi akisusega 1 Ω on ühendaud nii nagu näidaud joonisel. Ühendus- θ juhmee (pidevad sirgjooned joonisel) akisus pole vaja arvesada. Määraa punkide ja vaheline akisus R. 2) (1,5 punki) Suusaja alusab laskumis punkis mäenõlval ja liigub alla pööreea ja pidurdamaa. Hõõrdeegur on µ. Kui suusaaja peaub punkis, on a horisonaalsihis liikunud edasi vahemaa s võrra. Milline on punkide ja kõrguse vahe h? Suusaaja kiirus on väike, nii e nõlva kõveruses ingiud äiendava rõhumisjõudu suusaaja ja lume vahel pole vaja arvesada. rvesada pole vaja ka õhuhõõre ja hõõrdeeguri sõluvus kiiruses. s 3) (2 punki) Soojuslikul isoleeriud mealliükki soojendaakse amosfäärirõhul elekrivoolu abil sellisel viisil, e emal eralduv elekriline võimsus on ajas konsanne ja võrdne P -ga. Selle agajärjel kasvab mealli absoluune emperauur ajas seaduse T() = T 0 [1 + a( 0 )] 1/4 kohasel, kus a, 0 ja T 0 on konsandid. Määraa mealli soojusmahuvus C p (T) (anud kases kasuaud emperauurivahemiku jaoks sõlub see emperauuris). 4) (1,5 punki) bsoluusel musa kuuma asapinda hoiakse konsansel emperauuril T h. Temaga on paralleelne eine absoluusel mus asapind, mida hoiakse madalamal konsansel emperauuril T l. Plaaide vahel on vaakuum. Selleks, e vähendada kiirguses ingiud soojusvoogu soojal asapinnal külmale asapinnale kasuaakse ekraani, mis koosneb kahes ükseisega paralleelses ja ükseises soojuslikul isoleeriud absoluusel musas plaadis. See ekraan aseaakse kuuma ja külma plaadi vahele, paralleelesena nii sooja kui külma asapinnaga. Teaud aja päras ekib süseemis sasionaarne olek. Millise koefisiendi võrra kahandab ekraan soojusvoogu külma ja sooja asapinna vahel? Pindade lõplikes mõõmees ingiud ääreefeke mie arvesada. 5) (4 punki) Kahes väga pikas sirgjoonelises ja eineeises isoleeriud, mie-magneilises maerjalis valmisaud elekrijuhis C + ja C voolab elekrivool ugevusega I; esimeses neis on voolu suund z-elje posiiivses suunas, eises negaiivses suunas. Juhide rislõiked ( joonisel hallid alad) on piiraud -y asandis ringjoonega, mille diameeer on D ja mille keskpunkide vahekaugus on D/2. Kummagi juhi rislõike pindala on seega ( 1 12 π + 8 1 3)D 2. Vool kummaski juhis on ühlasel jaounud üle kogu rislõike. Leia magneväli (, y) juhide vahele jäävas ruumiosas. y C + C - 2. Koaksiaalne diood magneväljas Ruum kahe koaksiaalse silindrikujulise elekrijuhi vahel on õhus ühjaks pumbaud. Sisemise silindri raadius on a, välise silindri sisemine raadius on b, nii nagu näidaud joonisel. Välisele silindrile, mida nimeaakse anoodiks, võib anda seesmise silindri suhes posiivse poensiaali V. Silindrievahelises ruumis on saailine homogeenne magneväli, mis on paralleelne silindrie eljega. Silindriele induseeriud laenguid b pole vaja arvesada. Uurigem sellise elekronide liikumis (elekroni seisumass on m ja laeng e), mis eralduvad sisemise silindri pinnal. 1) (1 punk) Vaadelgem esmal juhu, mil poensiaal V on olemas, kuid = 0. Elekron vabaneb seesmise silindri pinnal ühise algkiirusega. Määraa elekroni kiirus v anoodile jõudmise hekel. nda vasused nii mierelaivisliku kui ka relaivisliku juhu jaoks. Selle ülesande ülejäänud osades on piisav mierelaivislik käsilus. 2) (2 punki) Edasi vaadelgem juhu, mil V = 0, kuid on olemas homogeenne magneväli. Olgu elekroni algkiirus sisemise silindri pinnal radiaalsuunaline ja võrdne v 0 -ga. Kui magneväli on ugevam eaud kriiilises vääruses c, siis elekron ei jõua anoodile. Skiseeri elekroni rajekoor juhul, kui on veidi suurem c -s. Leia avaldis c jaoks. Edaspidi eeldame, e on olemas nii poensiaal V kui ka homogeenne magneväli. 3) (3 punki) Magnevälja pool anakse elekronile nullis erinev pöördimpulss L, mis on arvuaud silindri elje suhes. Leia avaldis pöördimpulsi muuumise kiiruse dl/d jaoks. Näia, e selles avaldises järeldub, e kombinasioon L ker 2 on elekroni liikumise jooksul jääv suurus; r ähisab elekroni kaugus silindri eljes ja k on eaud dimensioonia arv. Leidke k väärus. 4) (1 punk) Vaaleme sellise elekroni liikumis, mis vabaneb seesmise silindri pinnal ühisel väikese algkiirusega ja mis ei jõua anoodile, vaid pöördub agasi peale maksimaalse eemaldumis kauguseni r m silindri eljes. valda elekroni a
kiirus v selles punkis, kus a kaugus silindri eljes on kõige suurem, kauguse r m kaudu. 5) (1 punk) Magnevälja võib kasuada anoodile jõudvaes elekronides põhjusaud voolu reguleerimiseks. Kui on suurem eaud kriiilises vääruses c, siis elekron, mis sardib sisemise silindri pinnal ühisel väikese algkiirusega, ei jõua anoodile. Leidke c väärus. 6) (2 punki) Kui elekronid vabanevad seesmise silindri pinnal viimase kuumuamise agajärjel, siis üldjuhul on neil seesmise silindri pinnal nullis erinev algkiirus. Olgu v algkiiruse - sihiline komponen, v r raadiuse sihiline komponen ja v ϕ asimuaalne (s. raadiuse ja -ga orogonaalne) komponen. Leidke magnevälja kriiiline (anoodile jõudmise mões) väärus c ka selle siuasiooni jaoks. 3. Tõusud ja mõõnad Selles ülesandes uurime me õusu ja mõõna kõrgus Maa-pealses avaookeanis lihsusaud mudeli abil. Probleemi lihsusamiseks eeme järgmised eeldused: (i) loeme, e Maa ja Kuu moodusavad isoleeriud süseemi; (ii) Maa ja Kuu vaheline kaugus on konsanne; (iii) Maa on äielikul kaeud ookeaniga; (iv) dünaamilisi efeke, mis on ingiud vee liikumises ja Maa pöörlemises ümber oma elje võib mie arvesaa; (v) Maa graviasioonilise õmbejõu jaoks võib kasuada samasugus avaldis nagu siis, kui kogu Maa mass oleks koondunud Maa keskpunki. nud on järgmised arvandmed: Maa mass: M = 5,98 10 24 kg; Kuu mass: M m = 7,3 10 22 kg; Maa raadius: R = 6,37 10 6 m; kaugus Maa ja Kuu keskpunkide vahel: L = 3,84 10 8 m; graviasioonikonsan: G = 6,67 10 11 m 3 kg 1 s 2. 1) (2 punki) Kuu ja Maa iirlevad nurkkiirusega ω ümber nende ühise masskeskme C. Kui kaugel on C Maa keskpunkis? (Tähisa see kaugus ähega l). Leia ω numbriline väärus. Kasuame nüüd aussüseemi, mis pöörleb r ϕ Maa Kuule koos Maa keskpunki ja Kuuga punki C ümber. Selles aussüseemis vaadelduna on Maad kava vee pinna kuju ajas muuumau. Tasandi P puhul, mis läbib punki C ja on risi pöörlemiseljega, võib Maad kava vee pinnal oleva punkmassi asukoha kirjeldada polaarkoordinaaide r ja ϕ abil, nii nagu näidaud joonisel; r ähisab kaugus Maa keskpunkis. Uurigem Maad kava vee pinna kuju r(ϕ) = R + h(ϕ) asandis P. 2) (3 punki) Vaaleme punkmassi massiga m vee pinnal asandis P. Meie aussüseemis mõjuvad alle senrifugaaljõud ning Kuu ja Maa graviasioonijõud. Esia avaldis neis kolmes jõus põhjusaud poensiaalse energia jaoks. Märkus: Iga jõud F(r), mis on radiaalne mingi koordinaaide alguspunki suhes, on esiaav sfäärilisel sümmeerilise poensiaalse energia V (r) uleisena: F(r) = V (r) 3) (5 punki) Leia loodees ingiud veepinna kerkimuse h(ϕ) jaoks ligikaudne avaldis, kasuades seejuures anud suurusi M, M m, jne. Kui suur on selle mudeli põhjal õusu ja mõõna kõrguse vahe meeries? Märkus: Võib kasuada ligikaudse võrdus (1 + a 2 2a cosθ) 1/2 1 + a cosθ + 1 2 a2 (cos 2 θ 1), mis kehib kui a on hulga väiksem ühes. Kasua oma lahenduses lihsusavaid lähendusi kus iganes kohane. XXVIII Kanada (1997) 1. Võrdelisusseadused 1) (1,5 punki) Väike mass ripub massiu ideaalse vedru osas ja võngub üles-alla omavõnkesagedusega f. Vedru lõigaakse äpsel poole lühemaks ja sinna osa ripuaakse sama mass. Milline on uus omavõnkesagedus f? 2) (2 punki) Vesiniku aaomi raadius ema põhiolekus on a 0 = 0,0529 nm (see on nn. ohri raadius). Milline on müüon-vesiniku aaomi raadius a (see on niisugune aaom, kus ema elekron on asendaud samasugus laengu kandva kuid 207 korda raskema müüoniga)? rvuuses võie lugeda, e proooni mass on hulga suurem nii elekroni kui ka müüoni massis. 3) (2 punki) Keskmine emperauur Maa pinnal on T = 287 K. Milliseks võiks kujuneda keskmine emperauur siis, kui Maa ja Päikese vahelis kaugus vähendaaks 1% võrra? 4) (2 punki) Ühel heal päeval oli õhk absoluusel kuiv ja õhu ihedus oli seejuures ρ = 1,2500 kg/m 3. Järgmisel päeval oli õhus juba ka niiskus ning õhu massis moodusas vee mass 2%. Rõhk ja emperauur olid seejuures samad, mis eelmiselgi päeval. Milline oli õhu uus ihedus? Kuiva õhu keskmine molaarmass on 28,8 (g/mol), veeauru jaoks on see 18 (g/mol). Eeldada, e egemis on ideaalsee gaasidega. 5) (2,5 punki) Teaud marki helikoperi õhus hõljumiseks on vaja, e ema mooori ekiaud mehaaniline võimsus oleks P. Selles helikoperis ehakse absoluusel äpne kuid kõikides lineaarmõõmees kaks korda vähendaud mudel. Millis võimsus P peaks ekiama sellise mudeli mooor, e mudel saaks õhus hõljuda? 2. Tuumade massid ja sabiilsus Selles ülesandes on kõik energiad on oodud megaelekronvolides (MeV). Seos 1 MeV= 1,6 10 13 J pole ülesande lahendamiseks egelikul vajagi eada. Sellise uuma mass M, mis sisaldab Z proooni ja N neuroni (seega ema massiarv = N + Z) võrdub vasava arvu vabade nukleonie (prooonie ja neuronie) masside summaga, milles on lahuaud seoseenergia /c 2 : Mc 2 = Zmpc 2 + Nmnc 2. Graafikul on esiaud suhe / maksimaalse (fikseeriud jaoks) vääruse sõluvus -s. Üldisel on nii, e mida suurem on selle suhe väärus seda sabiilsem on uum. 10 9 8 / (MeV) 7 0 50 100 150 200 1) (3 punki) Teaud massiarvus suuremae vääruse puhul on uuma seoseenergia alai piisaval väike võimaldamaks alfa-osakese ( = 4) kiirgumis. Väärusel > 100 võib ülaloodud graafiku aproksimeerida lineaarfunksiooniga; hinda α väärus kasuades seda lineaarse lähendus. Eelda seejuures järgmis: (a) Nii algne uum kui ka lõpp-produkiks olev uum on esiaud eelpooloodud graafikul. (b) lfa-osakese seosenergia 4 = 25,0 MeV (seda väärus ei ole võimalik välja lugeda graafikul!). 2) Z proooni jan neuroni ( = N+Z) sisaldava aaomiuuma seoseenergia on anud poolempiirilise valemiga = a v a s 2 3 ac Z 2 1 (N Z) 2 3 aa δ, kus liideava δ väärus on võrdne: +a p 3/4 uumade jaoks, kus N ja Z on paariud arvud; 0 uumade jaoks kus üks arvudes N ja Z on paaris, eine paariu; a p 3/4 uumade jaoks, kus N ja Z on paarisarvud. Koefisienide väärused eelnevaes valemies on järgmised: a v = 15,8 MeV, a s = 16,8 MeV, a c = 0,72 MeV, a a = 23,5 MeV, a p = 33,5 MeV. (i) (2 punki) Tulea avaldis prooonie arvu Z ma jaoks sellises uumas, milles anud korral on seoseenergia suurim. Selle ( ja ainul selle!) ülesande juures ära arvesa δ-liikme mõju. (ii) (2 punki) Milline on Z väärus sellises uumas, mille massiarv = 200 ja suhe / on maksimaalne? rvesa siin δ-liikme mõju. (iii) (3 punki) Vaaleme vasuselehe abelis
oodud kolme uuma, mille massiarv = 128. Määra, millised uumad on energeeilisel sabiilsed ja millise koguenergia on piisav lagunemiseks allpooloodud prosesside kaudu. Täida abeli lahrid järgmise ähisega: energeeilisel lubaud prosesside puhul: ; proses- side puhul, mis pole energeeilisel lubaud: 0. Vaale siirdeid ainul abelis oodud kolme uuma vahel. rvesa järgmisi lagunemisprosesse: (a) β -lagunemine, uumas kiirgub elekron; (b) β + -lagunemine, uumas kiirgub posiron; (c) β β - lagunemine, uumas kiirgub samaaegsel kaks elekroni; (d) elekroni haare, aaomi elekronkae elekron haaraakse uuma pool. Elekroni ( ja posironi) seisuenergia m e c 2 = 0,51 MeV, prooonil m p c 2 = 938,27 MeV, neuronil m p c 2 = 939,57 MeV. Vasuselehe abeli read: 128 128 128 53I, 54Xe ja 55 Cs; abeli ulbad: β -lagunemine, β + -lagunemine, elekroni haare ja β β - lagunemine. 3. Päikeseenergial ööav lennuk Me soovime konsrueerida lennuki, mis püsiks õhus kasuades ainul päikeseenergia. Efekiivseim on selline konsruksioon, kus lennuki iiva ülemine pind on ervikuna kaeud päikesepaareidega. Paareid oodavad elekrienergia, mille abil lennuki mooor paneb pöörlema propelleri. Vaaleme lennuki iibu riskülikukujulise asapinnana, mille pikkus (iibade siruulaus) on l ja laius c; seega on iiva pindala S = cl ja iiva pikkuse-laiuse suhe = l/c. Tiibade oime õhuvoolule võib kujuada järgmise ligikaudse mudeli abil: mõjuaud saab õhukih paksusega ja laiusega l, mis muudab iiva oimel oma liikumissuunda väikese nurga ε võrra, õhu kiirus muuub seejuures väga vähe. Lennuki juhsüseemid võimaldavad muua nurka ε ning saavuada lennu jaoks sobivaim väärus. See lihne mudel kirjeldab egelikkus üsna häsi, kui võa = πl/4; ehkemgi siis arvuuses vasav asendus. Lennuki kogumass on M ja a lendab horisonaalsel, kiirus ümbriseva õhu suhes on v. Järgnevaes arvuuses arvesa ainul kirjeldaud õhu liikumis ümber iiva. Propelleri mõju õhuvoolule mie arvesada. ccosε vasuliikuv õhk l Lennuki pealvaade (lennukiga seoud aussüseemis). v vasuulev õhk c iiva lõige L verikaalsuund (üles) D=D 1 +D 2 ε lahkuv õhk Tiiva kõrvalvaade (lennukiga seoud aussüseemis). 1) (3 punki) Vaaleme iiva juures mööduva õhu impulsi muuus eeldusel, e a kiiruse absoluuväärus ei muuu (kuigi egelikul a seda eeb). Tulea valemid verikaalse õsejõu L ja horisonaalse akisusjõu D 1 jaoks suuruse v, ε, õhu iheduse ρ ja iiva mõõmee kaudu. Võie eeldada, e õhuvool on kõikjal ja alai paralleelne eelpooloodud kõrvalvaae joonise asandiga. 2) (3 punki) Tegelikul on olemas ka äiendav horisonaalne akisusjõud D 2, mis on ingiud õhu hõõrdumises iiva vasu. Selle ulemusel õhu liikumine aeglusub pisu, kiiruse muuus v ( 1% v vääruses) on anud valemiga: v/v = f/a. Selles valemis f ei sõlu ε-s. Leia avaldis (suuruse M, f,, S, ρ ja raskuskiirenduse g kaudu) sellise lennukiiruse v 0 jaoks, mille puhul konsanse lennukiiruse ja kõrguse hoidmiseks vajalik võimsus on minimaalne. Oma arvuuses ära arvesa v ja ε 2 võrreldes kõrgema järku väikesi suurusi. Muuhulgas võib kasuada järgmis väikese nurkade puhul kehiva lähendus: 1 cosε 1 2 sin2 ε. 3) (2 punki) Visanda vasuselehel graafikuna lennuki võimsuse P sõluvus lennukiiruses v. Näia ära akisusjõu kahes eri komponendis ingiud panused. valda suuruse M, f,, S, ρ ja g kaudu minimaalne võimsus P min. 4) (2 punki) Olgu päikesepaareidel saadav energia nii suur, e elekrimooorid ja propellerid suudavad arendada mehaanilis võimsus I = 10 vai iiva pinna ühe ruumeeri koha. rvua sellisel eeldusel maksimaalsel võimalik iiva koormaus Mg/S (N/m 2 ) ja vasav lennukiirus v 0 (m/s). Kasua järgmisi arvväärusi ρ = 1,25 kg/m 3, f = 0,004, = 10. XXIX Island (1998) 1. Heksagonaalse prisma veeremine Vaaleme pikka, jäigas maerjalis, korrapäras heksagonaalse prisma, nagu seda on kujul näieks avaline pliias [joonis (a)]. Prisma mass M on ühlasel jaounud üle kogu prisma ruumala. Prisma rislõikeks oleva korrapärase kuusnurga külje pikkus on a. Taolise heksagonaalse prisma inersimomen prisma pikielje suhes on I = 5Ma 2 /12. Prisma inersimomen ema eljega paralleelse serva suhes on I = 17Ma 2 /12. (a) a (b) 1) (3,5 punki) Heksagonaalne prisma on algsel paigal kaldpinnal, mis moodusab väikese nurga θ horisondiga nii, e prisma elg on horisonaalne [joonis (b)]. Eeldame, e prisma ahud on nõrgal nõgusad, s.o. prisma puuduab kaldpinda ainul oma servadega. Selle nõgususe mõju inersimomendile võib mie arvesada. Prisma viiakse asakaalus välja ja a hakkab veerema ebaühlasel θ mööda kaldpinda alla. Eeldame, e hõõrdumine hoiab ära igasuguse libisemise ja prisma ei kaoa korrakski konaki kaldpinnaga. Prisma nurkkiirus vaheul enne seda, kui ema mingi serv asub konaki kaldpinnaga, on ω i ja vaheul peale seda ω f. Näia, e kehib seos ω f = sω i ja kirjua koefisiendi s väärus vasuse lehele. 2) (1 punk) Prisma kineeiline energia vaheul enne ja päras ülalkirjeldaud konaki eke on vasaval K i ja K f. Näia, e kehib seos K f = rk i ja kirjua eguri r väärus vasuse lehele. 3) (1,5 punki) Selleks, e ka järgmine serv saaks puuuda kokku kaldpinnaga, peab K i olema suurem minimaalses vääruses K i,min, mille võib esiada valemiga K i,min = δmga, kus g = 9,81 m/s 2 on raskuskiirendus. Leia koefisien δ kaldenurga θ ja koefisiendi r kaudu. Kirjua vasus vasuse lehele. (Kasua sümboli r ja mie ema avaldis). 4) (2 punki) Kui eelmise osa ingimus on rahuldaud siis, kineeiline energia K i hakkab prisma alla veeremise käigus lähenema eaud piirväärusele K i,0. Eeldusel, e see piirväärus eksiseerib näia, e K i,0 võib esiada kujul K i,0 = κm ga ja kirjua koefisien κ avaldauna θ ja r-i kaudu vasuse lehele. 5) (2 punki) rvua äpsusega 0,1 minimaalne kaldenurk θ 0, millise korral kord alanud prisma ebaühlane veeremine enam ei peau. Kirjua numbriline vasus vasuse lehele. 2. Vesi jäämüsi all Jäämüs on paks jääkih (kuni mõne kilomeeri paksune), mis lasub ema all asuval pinnasel ja mille horisonaalne ulaus on sadu kilomeereid. Selles ülesandes vaaleme jää sulamis ja vee käiumis mõõdukal külma jäämüsi all (s.o. jäämüsi all, mis on sulamisemperauuri juures). Võime eeldada, e sellisel ingimusel põhjusab jääkih rõhu muuusi nii nagu viskoosne vedelik, aga deformeerub nagu habras keha, kusjuures deformasioonid oimuvad peamisel ver-
ikaalsihis. Ülesande lahendamiseks on kasuada järgmised andmed: vee ihedus: ρ w = 1,000 10 3 kg/m 3 ; jää ihedus: ρ i = 0,917 10 3 kg/m 3 ; jää erisoojus: c i = 2,1 10 3 J/(kg K); jää sulamissoojus: L i = 3,4 10 5 J/kg; kaljude ja magma ihedus: ρ r = 2,9 10 3 kg/m 3 ; kaljude ja magma erisoojus: c r = 700 J/(kg K); kaljude ja magma sulamissoojus: L r = 4,2 10 5 J/kg; keskmine maa pinda läbiva väljapoole suunaud soojusvoo ihedus J Q = 0,06 W/m 2 jää sulamisemperauur T 0 = 0 C (konsanne). 1) (0,5 punki) Vaaleme paksu jäämüsi Maa sisemuses uleva soojusvoo ingimuses. Kasuades abeli andmeid arvua igal aasal sulava jääkihi paksus d. 2) (3,5 punki) Vaaleme nüüd jäämüsi ülemis pinda. Olgu pinnase kaldenurk jäämüsi all α. y y = h 0 y = 0 = 0 Joonis (a). S: jäämüsi ülapind, G: pinnas, I: jäämüs. β Jäämüsi ülemine pind moodusab horisonaalasandiga nurga β nagu näidaud joonisel (a). Jää verikaalne paksus punki = 0 juures on h 0. Seega võib jäämüsi ülemis ja alumis pinda kirjeldada võrrandiega S α G y 1 = anα, y 2 = anβ + h 0. Tulea avaldis rõhu p jaoks jäämüsi all funksioonina horisonaalses koordinaadis ja kirjua see vasuse lehele. Formuleeri maemaailine ingimus β ja α vahel, nii e vesi, mis on õhukese kihina jäämüsi ja pinnase vahel, ei voolaks kummaski suunas. Näia, e see ingimus on esiaav kujul anβ = s anα. Leia koefisiendi s väärus ja kirjua saadud ingimus sümbolkujul vasuse lehele. Joon y 1 = 0,8 joonisel (b) näiab maapinda jäämüsi all. Jää kihi verikaalne paksus h 0 punki = 0 juures on 2 km. Eeldage, e jää ja pinnase vahelises kihis olev vesi on hüdrosaailises asakaalus. Joonisa graafilisele vasuse lehele sirge y 1 ja lisa sirge y 2, mis kujuab jää ülapinda anud asakaalu jaoks. Tähisa joonisel mõlemad sirged. y y = 0 = 0 y = h 0 I G y 1 = 0,8 Joonis (b). Sellise mõõdukal külma jäämüsi rislõige, mis lebab kaldus asapinnal ja mille aluses veekihis on asakaal. 3) (1 punk) Horisonaalsel pinnasel aseseva suure läbimõõduga jäämüsi põhjas moodusus jää äkilise sulamise agajärjel veekoonus kõrgusega H = 1,0 km ja raadiusega r = 1,0 km. Jääkihi esialgne paksus oli D = 2,0 km. Eelda, e koonuse kohale allesjäänud jää kohaldub all oimunud muuusele ainul verikaalse liikumise ulemusel. nna vasuse lehel analüüiline valem, mis kirjeldab jäämüsi pinda päras seda, kui oli ekkinud veekoonus ja saavuaud hüdrosaailine asakaal. Kujua vasuse lehel [joonisel (c)] see pind ka graafilisel. Joonis (c). y = H G y = D y = 0 W I = r Jäämüsi põhjas asuva veekoonuse elge läbiv verikaallõige. W ähisab ve. 4) (5 punki) Rahvusvaheline eadlase rühm oli iga-aasasel uurinud mõõdukal külma jäämüsi narkikas. Uuriav piirkond oli lai asandik jääkihi paksusega 2000 m, aga hiljui avasai S seal sügav kraari aoline nõgu, mis kujuas alaspidi ipuga koonus sügavusega h = 100 m ja raadiusega r = 500 m (joon. d). H G h y W M = 0 h1 = r Joonis (d). Koonilise lohu senraalne verikaallõige mõõdukal külmas jää müsis. M ähisab magma. Pangem ähele, e joonise proporsioonid EI OLE õiged. ruanud asja jõudsid nad järeldusele, e ilmsel oli jäämüsi all oimunud pisike vulkaaniline purse. Väike kogus magma (sulanud kalju) oli unginud läbi pinnase jäämüsi alla, ahkesunud ja jahudes sulaanud ära eaud koguse jääd. Püüame hinnaa sisseunginud magma kogus ja leida, mis sai sulanud vees. Eeldame, e jää liikus ainul verikaalsel. Samui eeldame, e magma oli äielikul sulanud ja a algemperauur oli 1200 C. Lihsususeks eeldame, e sisseunginud magma moodusas ringikujulise põhjaga koonuse, mis on jääpinna pool moodusaud koonilise lohuga verikaalsihis äpsel kohakui. Magma väljapurskumise aeg oli lühike võrreldes soojusvaheuseks kuluva ajaga. Eeldage, e soojusvoog oli põhilisel verikaalne, nii e jää ära sulanud osa oli igal ajahekel piiraud koonilise pinnaga, mis asus magma purskekeskme kohal. Neil eeldusel oimub jää sulamine kahes järgus. lul pole magma pinnal moodusuv vesi hüdrosaailises asakaalus ja seeõu voolab eemale. Võib lugeda, e ära voolava vee emperauur on 0 C. Hiljem saabub hüdrosaailine asakaal ja sulamisvesi ei voola enam ära, vaid koguneb sisseunginud magma kohale. I S Teil uleb leida selle heke jaoks, mil on saabunud soojuslik asakaal, järgmised suurused (vasused kirjuage vasuse lehele): (i) Jäämüsi all moodusunud veekoonuse kõrgus H jäämüsi esialgse põhja suhes; (ii) sisseunginud magma kõrgus h 1 ; (iii) kogu sulamisvee mass m o ja ära voolanud vee mass m. Joonisage vasuse lehele õigees proporsioonides sisse unginud magma ja paigale jäänud vee konuurid. Kasuage sama koordinaaide süseemi, mis joonisel d. 3. Kas kiiremini kui valgus? Selles ülesandes analüüsiakse ja inerpreeeriakse raadiokiirguse mõõmise ulemusi, mis on saadud 1994. aasal meie galakikas asuva liiallika jaoks. Vasuvõja oli häälesaud laiaribalisele raadiokiirgusele lainepikkusel mõni senimeeer. Joonisel (a) on oodud rida erinevael aegadel regisreeriud allika kujuisi. Konuurid joonisel vasavad konsansele raadiokiirguse inensiivsusele sarnasel samakõrgusjoonele geograafilisel kaardil. Joonisel jälgiavaid maksimume inerpreeeriakse kui kahe objeki, mis eemalduvad ühises keskpunkis, mis on joonisel kujuaud risikesega. (See keskpunk on ruumis liikumau ja on samui ugeva raadiokiirguse allikas, kuid eises lainepikkuse diapasoonis). Erinevael päevadel saadud pildid on kõik mõõdeud samal kellaajal. Joonise all on masaabina ära oodud ühele kaaresekundile vasav lõik (1 = 1/3600 ). Joonise keskel aseseva risiga ähisaud asronoomilise objeki kaugus meis on hinnangue järgi R = 12,5 kpc. [Märkus: 1 kpc (kiloparsek)= 3,09 10 19 m.] Valguse kiirus c = 3,00 10 8 m/s. Vea arvuamis selle ülesande lahendamisel ei nõua. 1) (2 punki) Tähisagu θ 1 () ja θ 2 () kahe liikuva raadiokiirgusallika nurkkaugusi ühises keskpunkis, nii nagu seda näeb Maa pealne vaaaja; alaindeksid 1 ja 2 vasavad vasakpoolsele ja parempoolsele objekile ja on mõõmise aeg. Tähisagu ω 1 ja ω 2 vasavae nurkkauguse muuumise kiirusi ning v 1, ja v 2, nende
27 märs 1 3. aprill 9. aprill 16. aprill 23. aprill 30. aprill Joonis (a). Meie galakikas asuva allika raadiokiirgus. allikae vasavaid näivaid (vaaesuuna suhes) rissuunalisi joonkiirusi (kõik jällegi Maa pealse vaaaja jaoks). Kasuades joonis (a) koosa graafik, mida saad edasi kasuada ω 1 ja ω 2 numbrilise vääruse leidmiseks millikaaresekundies päeva koha (mas/d). Määra samui suuruse v 1, ja v 2, numbrilised väärused ja kirjua kõik vasused vasuse lehele (mõned ulemused võivad olla paradoksaalsed!). 2) (3 punki) Selleks, e lahendada punkis (1) ekkinud paradoksi, vaaleme valgusallika, mis liigub kiirusega v nurga φ (0 φ π) all vaaleja O suunas õmmaud vekori suhes [joonis (b)]. llika kiiruse võib kirjuada kujul v = βc, kus c on valguse kiirus. Vaaleja kaugus allikas (vaalejaga seoud süseemis) on R. Tähisame allika nurkkiiruse, nagu seda näeb vaaleja, ω-ga ja näiva (vaaesuuna suhes) rissihilise kiiruse v -ga. valda ω ja v suuruse β, R ja φ kaudu ning kirjua vasus vasuse lehele. O R v φ Joonis (b). Vaaleja asub punkis O ja allika esialgne asukoh on. llika kiiruse vekor on v. 3) (1 punk) Oleame, e kaks liikuva objeki, milles oli juu sissejuhauses ja osas (1), liiguvad eineeisele vasassihis võrdsee kiirusega v = βc. Osas (2) saadud ulemused võimaldavad nüüd arvuada β ja φ nurkkiiruse ω 1 ja ω 2 ning kauguse R kaudu [φ on osas (b) defineeriud nurk vasakpoolse objeki jaoks ja vasab seega alaindeksile 1 osa (1) juures]. Tulea valemid β ja φ jaoks unud suuruse kaudu ja määra nende arvulised väärused, kasuades osa (1) andmeid. Kirjua vasused vasuse lehe vasavaesse lahriesse. 4) (2 punki) Vaadeldes, nagu osas (2), ühe keha siuasiooni, leia ingimused, millise korral näiv rissihiline kiirus v on suurem valguse kiiruses c. Esia see ingimus kujul β > f(φ) ja anna funksiooni f analüüiline kuju vasuse lehel. Joonisa graafilisele vasuse lehele (β, φ)- asandis füüsikalisel mõekae vääruse piirkond. Näia viiruuse abil, millises osas selles piirkonnas kehib ingimus v > c. 5) (1 punk) Kasua ka siin punkis (2) vaadeldud ühe keha siuasiooni ja leia avaldis näiva rissihilise kiiruse v maksimaalse vääruse (v ) ma jaoks eeanud β korral ning kirjua ulemus vasuse lehe vasavasse lahrisse. Pane ähele, e see kiirus kasvab õkesamaul kui β 1. 6) (1 punk) Sissejuhauses oodud kauguse R hinnang ei ole väga usaldusväärne. Teadlased on seeõu hakanud juurdlema parema ja osesema meeodi üle R-i määramiseks. Üks võimalikes ideedes selleks on järgmine. Eeldame, e me suudame mõõa ja idenifiseerida kahe ülalkirjeldaud vasassuundades liikuva objeki pool kiiraud lainepikkusi λ 1 ja λ 2, mis on nihuaud Doppleri efeki õu ja mille väärus paigalseisva allika puhul oleks λ 0. Lähudes valemis relaivisliku Doppleri efeki jaoks λ = λ 0 (1 β cosφ)(1 β 2 ) 1/2 ja eeldades (nagu eelnevaski), e kahe objeki kiiruse absoluuväärused on võrdsed, näia, e undmau β = v/c saab avaldada λ 0, λ 1 ja λ 2 kaudu järgmisel: β = 1 αλ 2 0 /(λ 1 + λ 2 ) 2. Kirjuage koefisiendi α numbriline väärus vasuselehe vasvasse lahrisse. Te võie märgaa, e sooviaud lainepikkuse mõõmised annaksid prakikas uue hinnangu kaugusele. XXX Iaalia (1999) Füüsikalised konsandid ja üldandmed Lisaks üksikue ülesannee eksis anud arvulisele andmeele, võib osuuda vajalikuks mõnede üldandmee ja füüsikalise konsanide eadmine. Need leiae alljärgnevas nimesikus. Väärused on oodud enamasi parima eadaoleva äpsusega. Teie esiage oma vasused aga iga ülesande jaoks kohase üvenumbrie arvuga. Valguse kiirus vaakumis: c = 299792458 m s 1 Vaak. magn. läbi.: µ 0 = 4π 10 7 H m 1 Vaak. diel. läbi.: ε 0 = 8,8541878 pf m 1 Gravi. kons.: G = 6,67259 10 11 m 3 /(kg s 2 ) Univ. gaasikonsan: R = 8,314510 J/(mol K) olzmanni kons.: k = 1,380658 10 23 J K 1 Sefan-olzm. kons.: σ = 56,703 nw/(m 2 K 4 ) Proooni laeng: e = 1,60217733 10 19 C Elekroni mass: m e = 9,1093897 10 31 kg Plancki konsan: h = 6,6260755 10 34 J s Celsiuse skaala nullpunk: T K = 273,15 K Päikese mass: M S = 1,991 10 30 kg Maa mass: M E = 5,979 10 24 kg Maa keskmine raadius: r E = 6,373 Mm Maa orb. pikem poolelg: R E = 1,4957 10 11 m Sideerilise päeva kesus: d S = 86,16406 ks asa kesus: y = 31,558150 Ms Vabalangemiskiirenduse sandardväärus Maa pinnal: g = 9,80665 m s 2 mosfääri sandardrõhk: p 0 = 101325 Pa Nähava valguse murdumisegur õhu jaoks normaalrõhu ja 15 C juures: n air = 1,000277 Päikese kiirguse inensiivsus: S = 1355 W m 2 Jupieri mass: M = 1,901 10 27 kg Jupieri ekvaoriaalne raadius: R = 69,8 Mm Jupieri orb. keskm. raadius: R J = 7,783 10 11 m Jupieri päeva kesus: d J = 35,6 ks Jupieri aasa kesus: y J = 374,32 Ms π 3,14159265 1. Kiirguse neeldumine gaasis Silindriline anum, mille elg on verikaalne, sisaldab ermodünaamilises asakaalus oleva molekulaarse gaasi. Silindri ülemiseks põhjaks on silindris vabal liikuv klaasplaa. Me eeldame, e puudub gaasi leke ja hõõrdumine klaasplaadi ja silindri seina vahel on piisav võnkumise summuamiseks kuid ei põhjusa arvesamisväärse energiakadu. lgsel on gaas ümbriseva keskkonna emperauuril. Gaasi võib heas lähenduses vaadelda ideaalsena. Eeldame, e silindri seinad (alused kaasa arvaud) on väga halva soojusjuhivuse ja väga väikese soojusmahuvusega. Seeõu on soojusvaheus gaasi ja keskkonna vahel väga aeglane ja seda pole ülesande lahendamisel vaja arvesada. Läbi klaasplaadi suunaakse silindrisse konsanse inensiivsusega laserkiirgus, mis läbib kadudea õhku ja klaasplaai kuid neeldub äielikul silindris olevas gaasis. Laserkiirguse neeldumise õu lähevad molekulid ergasaud seisundisse. Selles seisundis lähevad molekulid infrapunas kiirgus kiiraes kiiresi agasi põhiseisundisse. Infrapunas kiirgus neelavad omakorda eised molekulid; silindri seinad (klaasplaa kaasa arvaud) peegeldavad aga selle äielikul agasi. Laserkiirguse energia muundub seega väga lühikese ajaga soojusliikumise energiaks (molekulaarne kaos) ja säilub sellisena gaasis piisaval kaua. Sellise kiiriamise agajärjel kerkib klaasplaa ülespoole. Mõne aja päras lüliame me laseri välja ja mõõdame selle nihke. 1) (2 punki) Kasuades küsimusiku järel oodud andmeid ja vajadusel ka andmeid füüsikalise konsanide abelis, leidke gaasi emperauur ja rõhk päras kiiriamis. 2) (1 punk) Leidke kiiriamise agajärjel gaasi pool ehud mehaaniline öö. 3) (2 punki) Leidke prosessi käigus neeldunud kiirgusenergia. 4) (1,5 punki) Leidke laseri kiirgusvõimsus ning sellele vasav fooonie arv (ja seega elemenaarsee neeldumisakide arv) ajaühikus. 5) (1 punk) Leidke opilise energia klaasplaadi mehhaaniliseks poensiaalseks energiaks konvereerimise prosessi kasuegur. Seejärel pööraakse silindri elge aeglasel 90 võrra viies a horisonaalseks. Soojusvaheus gaasi ja anuma vahel pole vaja arvesada. 6) (2,5 punki) Kas gaasi rõhk ja/või emperauur muuub sellise pööramise agajärjel ja kui, siis millised on nende suuruse uued väärused.