Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών: () Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας του κόστους που μπορεί να εφαρμοστεί και σε επιχειρήσεις που δε μεγιστοποιούν τα κέρδη τους. () Αν η επιχείρηση δεν είναι αποδέκτης τιμών στην αγορά του προϊόντος, τότε η συνάρτηση κερδών δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της συμπεριφοράς της επιχείρησης. - Αντίθετα, τα συμπεράσματα που εξάγονται από την ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους διατηρούν την ισχύ τους και σε αυτή την περίπτωση (εφόσον οι αγορές των εισροών είναι ανταγωνιστικές).

(3) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές ή αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους έχει καλύτερη συμπεριφορά από τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης των κερδών. Μαθηματική Διατύπωση του Προβλήματος Ελαχιστοποίησης του Κόστους (CMP) - Η επιχείρηση επιλέγει τις ποσότητες των εισροών (x,,x ) κατά τρόπο ώστε να ελαχιστοποιεί το κόστος της, υπό τον περιορισμό ότι παράγεται ένα δεδομένο επίπεδο (στόχος) προϊόντος q: m Cx (,..., x) = wx+... + wx { x,..., x } st.. f( x,..., x ) q x,..., x 0 Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης του Κόστους (CMP)

- Ισοδύναμα, το πρόβλημα CMP γράφεται: max C = wx... w x { x,..., x } st.. f( x,..., x ) q x,..., x 0 L= wx... w x + λ[ f( x,..., x ) q] FOCs : L f L = w + λ 0, x = 0 x x x L f L = w + λ 0, x x x x = 0 L L = f( x,..., x ) q 0, λ = 0 λ λ 3

- Αναζητούμε την εσωτερική λύση των FOCs. Υπόθεση: x,..., x 0 >. Τότε: L w x > 0 = 0 λ = > 0 f( x,..., x) = q () x f / x - Άρα: Ο συνδυασμός εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος πρέπει να παράγει ακριβώς το επίπεδο (στόχο) προϊόντος q (δεν υπάρχει υπερβάλλουσα παραγωγή στη λύση του CMP). x x x L w > 0 = 0 λ = x f / x L w > 0 = 0 λ = x f / x L w > 0 = 0 λ = x f / x 4

λ w w w... f / x f / x f / x = = = = - Άρα: Για να ελαχιστοποιείται το κόστος, θα πρέπει να ισχύει για δύο οποιεσδήποτε εισροές, j : w w j w f / x = = = MRTS () f / x f / x w f / x j j j - Για να ελαχιστοποιείται το κόστος της επιχείρησης, ο MRTS (δηλαδή ο τεχνικός λόγος ανταλλαγής) μεταξύ δύο οποιωνδήποτε εισροών, j πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών (δηλαδή με τον αγοραίο λόγο ανταλλαγής) αυτών των δύο εισροών. - Ησυνθήκη() για την ελαχιστοποίηση του κόστους είναι η ίδια με τη συνθήκη () που αντιστοιχεί στο πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους (βλ. Lecture otes Week 9, σελ. 7). - Άρα: Η ελαχιστοποίηση του κόστους αποτελεί αναγκαία συνθήκη για τη μεγιστοποίηση του κέρδους (δηλαδή, η μεγιστοποίηση του κέρδους συνεπάγεται ελαχιστοποίηση του κόστους). 5

Ερμηνεία Πολλαπλασιαστή Lagrage - Από τις FOCs, έχουμε βρει: w w w λ = = =... = f / x f / x f / x - Δηλαδή: Για να ελαχιστοποιείται το κόστος της επιχείρησης, ο λόγος οριακού κόστους οριακού προϊόντος πρέπει να είναι ο ίδιος για όλες τις εισροές. - Αυτός ο κοινός λόγος οριακού κόστους οριακού προϊόντος μετράται από την τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrage. Συνθήκες ης Τάξης - Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι οιονεί κοίλη (δηλαδή αν οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές), τότε κάθε λύση των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο. 6

Διαγραμματική Λύση του Προβλήματος Ελαχιστοποίησης του Κόστους ( με = εισροές) x C 3 /w C /w C /w x* B A C 3 = {( x, x ) R : wx + w x = C } Γ + 3 q C = {( x, x ) R : wx + w x = C} C + = {( x, x ) R : wx + w x = C } + 0 x* C /w C /w C 3 /w -To επίπεδο κόστους C είναι πολύ χαμηλό (δεν επιτυγχάνει το στόχο προϊόντος q). -To επίπεδο κόστους C 3 επιτυγχάνει το στόχο προϊόντος q (είτε στο σημείο Β είτε στο Γ) αλλά δεν είναι το ελάχιστο κόστος που απαιτείται για την επίτευξη αυτού του στόχου. - Το ελάχιστο επίπεδο κόστους που απαιτείται για την επίτευξη του στόχου προϊόντος q είναι C. x 7

-To σημείο ελαχιστοποίησης του κόστους (σημείο Α) είναι το σημείο επαφής μεταξύ της γραμμής ίσου κόστους C και της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί στο επίπεδο παραγωγής q. Στο σημείο Α, ισχύει: w Κλίση γραμμής ίσου κόστους (= ) = κλίση καμπύλης ίσου dx w προϊόντος = / q σταθερό dx w dx f / x = / q σταθερό = MRTS = w dx f / x 8

Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών και Συνάρτηση Κόστους - Λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους (CMP) και βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες εισροών x *,..., * : x * x = x ( w, q) x = x ( w, q) * * x = x w q (, ) Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών (Codtoal Factor Demad Fuctos) - Κάθε εξαρτημένη συνάρτηση ζήτησης εισροών x ( wq, ) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα της εισροής ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. - Η ζητούμενη ποσότητα x ( wq, ) είναι εξαρτημένη από την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (q), η οποία θεωρείται δεδομένη. 9

=> Οι εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών x ( wq, ) δε δίνουν μια πλήρη εικόνα της ζήτησης για εισροές, διότι εξαρτώνται από τη μεταβλητή q (η οποία επιλέγεται από την επιχείρηση). => Οι συναρτήσεις ζήτησης εισροών x ( pw, ) που προκύπτουν από τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης των κερδών δίνουν μια πληρέστερη εικόνα της ζήτησης για εισροές. - Οι εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς όλες τις τιμές των εισροών: x( tw,..., tw, q) = x( w,..., w, q), t > 0, =,...,. - Αν αντικαταστήσουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών x (w,q),,x (w,q) στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, παίρνουμε τη συνάρτηση κόστους της επιχείρησης: cwq (, ) = wx ( wq, ) +... + wx ( wq, ) - Η συνάρτηση κόστους δείχνει το ελάχιστο κόστος της επιχείρησης ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. 0

Ιδιότητες Συνάρτησης Κόστους () Η συνάρτηση κόστους c(w,q) είναι αύξουσα (μη φθίνουσα) ως προς τις τιμές των εισροών: cwq (, ) / w 0, =,..., () Η συνάρτηση κόστους c(w,q) είναι αύξουσα (μη φθίνουσα) ως προς την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος: cwq (, )/ q 0 (3) Η συνάρτηση κόστους c(w,q) είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις τιμές των εισροών: ctw (,..., tw, q) = t cw (,..., w, q), t> 0 (4) Η συνάρτηση κόστους c(w,q) είναι κοίλη ως προς τις τιμές των εισροών.

- Παρατήρηση: Αφού η συνάρτηση κερδών είναι κοίλη, η Εσσιανή μήτρα: H c c c... w w w w w c c c... w w w w w = c c c... w w w w w είναι αρνητικά ημιορισμένη. Επομένως, τα διαγώνια στοιχεία της είναι αρνητικά: c c c 0, 0,..., 0 w w w

Εφαρμογές του Θεωρήματος Περιβάλλουσας Καμπύλης στη Θεωρία της Προσφοράς Το Λήμμα του Shephard (Άμεση Εξαγωγή των Εξαρτημένων Συναρτήσεων Ζήτησης Εισροών από τη Συνάρτηση Κόστους) - Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους γράφεται ως εξής: m C = wx +... + w x max C = wx... w x { x,..., x }, st.. f( x..., x ) q x,..., x 0 L= wx... wx + λ[ f( x,..., x) q] - Η λύση του προβλήματος είναι: * x = x( w, q) x = x ( w, q) * * λ = λ( wq, ) x {,..., x }, st.. f( x..., x ) q x,..., x 0 3

- Η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: cwq (, ) = Cx [ ( wq, ),..., x( wq, )] [ cwq (, )] cwq (, ) L/ λ λ( wq, ) = = = x= x( w, q) = x( wq, ) w w w cwq (, ) x ( w, q) =, =,...,. w - Εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης: Επανερμηνεία Πολλαπλασιαστή Lagrage - Εφαρμόζουμε ξανά το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης και παίρνουμε: [ cwq (, )] cwq (, ) L/ λ= λ( wq, ) = = x= x( w, q) = λ( wq, ) q q q cwq (, ) λ( wq, ) = = MCwq (, ) q 4

- Ο πολλαπλασιαστής Lagrage παριστάνει το οριακό κόστος παραγωγής μιας πρόσθετης μονάδας προϊόντος για την επιχείρηση. - Ο πολλαπλασιαστής Lagrage δείχνει την οριακή μείωση του κόστους λόγω χαλάρωσης του περιορισμού (δηλαδή λόγω μείωσης του στόχου προϊόντος q κατά μία μονάδα). Γιατολόγοαυτό, ο πολλαπλασιαστής Lagrage αναφέρεται συχνά ως σκιώδης τιμή (shadow prce) του περιορισμού. Επιπτώσεις από Μεταβολές των Τιμών στην Εξαρτημένη Ζήτηση Εισροών () Αρνητικό Αποτέλεσμα Υποκατάστασης μεταξύ των Εισροών - Η αύξηση της τιμής της εισροής οδηγεί σε μείωση της εξαρτημένης ζήτησης αυτής της εισροής: x ( w, q) w 0, =,...,. 5

- Απόδειξη: Από το Λήμμα του Shephard, γνωρίζουμε: cwq x ( w, q) x ( w, q) = = 0 (, ) cwq (, ) w w w () Συμμετρία Σταυροειδών Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης μεταξύ των Εισροών - Για δύο οποιεσδήποτε εισροές, j οι σταυροειδείς επιπτώσεις από μεταβολές των τιμών στην εξαρτημένη ζήτηση αυτών των εισροών είναι συμμετρικές: x (, ) (, ) w q xj w q =,, j =,..., wj w - Απόδειξη: Από το Λήμμα του Shephard, γνωρίζουμε: cwq x ( w, q) x ( w, q) = = w w w w x j (, ) cwq (, ) j j cwq x ( w, q) ( w, q) = = w w w w (, ) j cwq (, ) j j x (, ) x j ( wq, ) w q = w w j 6

x (, ) ( w, q) xj w q - Αν = > 0, τότε οι εισροές, j είναι wj w υποκατάστατες. x (, ) - Αν ( w, q) xj w q = < 0, τότε οι εισροές, j είναι wj w συμπληρωματικές. - Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q = f( x, x ) = x x / /4 (Cobb-Douglas με α=/, β=/4 => α+β=3/4< : DRS) -Toπρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους της επιχείρησης είναι: m { x, x } C = wx + w x st.. f( x, x ) = x x q / /4 x, x 0 max { x, x } C = wx w x st.. f( x, x ) = x x q / /4 x, x 0 (CMP) 7

L= wx w x + λ( x x q) / /4 - Η λύση του προβλήματος είναι: x ( wq, ) (, ) w w /3 = w /3 q 4/3 4/3 x wq = q w (Εξαρτημένες Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών) - Επαληθεύουμε ότι οι εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές των εισροών: /3 /3 tw 4/3 w 4/3 x( tw, q) = q = q = x( w, q) tw w /3 /3 tw 4/3 w 4/3 x( tw, q) = q = q = x( w, q) tw w 8

- Αντικαθιστούμε τις x (w,q), x (w,q) στην αντικειμενική συνάρτηση του CMP και παίρνουμε τη συνάρτηση κόστους: cwq (, ) = w x( wq, ) + wx( wq, ) cwq (, ) = 3 w w q /3 /3 /3 4/3 - Επαληθεύουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης κόστους: cwq (, ) cwq (, ) () > 0, > 0 : cwq (, ) αύξουσα ως προς w, w. w w cwq (, ) () > 0, : cwq (, ) αύξουσα ως προς q. q (3) c( tw, q) = 3 ( tw ) ( tw ) q = t c( w, q): c( w, q) ομογενής ου βαθμού ως προς τις /3 /3 /3 4/3 τιμές των εισροών. (4) H cwq (, ) = (3 q ) w w είναι κοίλη ως προς τις τιμές /3 4/3 /3 /3 των εισροών (έχει τη μορφή Cobb-Douglas με α=/3, β=/3). 9

- Επαληθεύουμε ότι ισχύει το Λήμμα του Shephard: x w q 4/3 (, ) q, πράγματι. w w /3 cwq (, ) w = = /3 cwq (, ) w 4/3 x( w, q) = = q, πράγματι. w w - Επαληθεύουμε ότι το αποτέλεσμα υποκατάστασης μεταξύ των εισροών είναι αρνητικό: x( w, q) x( w, q) < 0, < 0, πράγματι. w w - Επαληθεύουμε τη συμμετρία των σταυροειδών αποτελεσμάτων υποκατάστασης: /3 x( w, q) x( w, q) = = w w q w w 3 x ( w, q) x ( w, q) w w /3 /3 4/3, πράγματι. - Αφού = > 0, οι εισροές, είναι υποκατάστατες.

Εξαγωγή Συνάρτησης Παραγωγής από τη Συνάρτηση Κόστους - Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση κόστους c(w,q) σε συνδυασμόμετολήμματουshephard για να ανακτήσουμε τη συνάρτηση παραγωγής q = f(x,x ), ακολουθώντας την εξής μεθοδολογία:. Χρησιμοποιούμε το Λήμμα του Shephard για να εξάγουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών από τη συνάρτηση κόστους c(w,q): x ( w, w, q) = c( w, q)/ w x ( w, w, q) = c( w, q)/ w. Λύνουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών ως προς το λόγο w /w. 3. Εξισώνουμε τις δύο σχέσεις που προκύπτουν από το βήμα και λύνουμε ως προς q = f(x,x ).

- Παράδειγμα (συνέχεια). Έχουμε βρει παραπάνω τη συνάρτηση κόστους: cwq (, ) = 3 w w q /3 /3 /3 4/3. Χρησιμοποιούμε το Λήμμα του Shephard για να εξάγουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών: /3 4/3 x ( w, q) = c( w, q) / w = ( w / w) q () x w q = c w q w = w w q /3 4/3 (, ) (, ) / ( / ) (). Λύνουμε τις εξαρτημένες συναρτήσεις ζήτησης εισροών ως προς το λόγο w /w : 3 4 () w / w = x / q ( ) () w / w = q / x ( ) 3/ 3. Εξισώνουμε τις δύο σχέσεις ( ), ( ) που προκύπτουν από το βήμα και λύνουμε ως προς q = f(x,x ): ( ), ( ) x / q = q / x q= f( x, x ) = x x, πράγματι. 3 4 3/ / /4

Καμπύλες Κόστους - Ορισμός : Η καμπύλη συνολικού κόστους c(q;w) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο (συνολικό) κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν σταθερές. - Δηλαδή: Η καμπύλη συνολικού κόστους είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης κόστους. - Ορισμός : () Η συνάρτηση μέσου κόστους AC(w,q) δείχνει το κόστος ανά μονάδα προϊόντος ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος: cwq (, ) AC( w, q) = q () Η καμπύλη μέσου κόστους AC(q;w) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο μέσο κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν σταθερές. 3

Ορισμός 3: () Η συνάρτηση οριακού κόστους ΜC(w,q) δείχνει το κόστος παραγωγής μιας πρόσθετης μονάδας προϊόντος ως συνάρτηση των τιμών των εισροών και της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος: cwq (, ) MC( w, q) = q () Η καμπύλη οριακού κόστους ΜC(q;w) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση ανάμεσα στο οριακό κόστος και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, υποθέτοντας ότι οι τιμές των εισροών παραμένουν σταθερές. - Κάθε μεταβολή της παραγόμενης ποσότητας q οδηγεί σε μια μετακίνηση κατά μήκος των καμπυλών συνολικού, μέσου και οριακού κόστους. 4

Παράγοντες που μετατοπίζουν τις Καμπύλες Κόστους - Αν αυξηθεί η τιμή της εισροής, τότε: Αφού cwq (, ) w 0, =,..., => Tο συνολικό κόστος c αυξάνεται για κάθε επίπεδο προϊόντος q, δηλαδή η καμπύλη συνολικού κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. Αφού AC( w, q) c( w, q) = 0, =,..., w q w => Tο μέσο κόστος αυξάνεται για κάθε επίπεδο προϊόντος q, δηλαδή η καμπύλη μέσου κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω. 5

Αφού MC( w, q) c( w, q) L / λ= λ( wq, ) = = x= x( w, q) = w w q w q L L/ λ= λ( wq, ) x ( wq, ) = = x= x( w, q) = [ x( w, q) ] = w q q w q q > 0, αν η εισροή είναι κανονική. <0, αν η εισροή είναι κατώτερη. => Αν η εισροή είναι κανονική (κατώτερη), τότε το οριακό κόστος αυξάνεται (μειώνεται) για κάθε επίπεδο προϊόντος q, δηλαδή η καμπύλη οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα πάνω (κάτω). - Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q= f( x, x ) = x x / /4 - Έχουμε βρει τη συνάρτηση κόστους: cwq (, ) = 3 w w q /3 /3 /3 4/3 6

- Υπολογίζουμε τις συναρτήσεις μέσου και οριακού κόστους: AC( wq, ) = cwq (, )/ q= 3 w w q /3 /3 /3 /3 MC( wq, ) = cwq (, )/ q= w w q 4/3 /3 /3 /3 - Μετατοπίσεις των καμπυλών κόστους:. Αφού cwq (, )/ w => Ηαύξησητουw ή/και > 0, =, του w μετατοπίζει την καμπύλη συνολικού κόστους προς τα πάνω.. Αφού AC( w, q)/ w => Ηαύξησητουw ή/και > 0, =, του w μετατοπίζει την καμπύλη μέσου κόστους προς τα πάνω. 3. Αφού MC( w, q)/ w => Ηαύξησητουw ή/και > 0, =, του w μετατοπίζει την καμπύλη οριακού κόστους προς τα πάνω. - Αριθμητικό Παράδειγμα. Για w =, w =, είναι: cq ( ) = 3q 4/3 AC( q) = 3 q, MCq ( ) = 4q /3 /3 7

c(q) cq ( ) = 3q 4/3 q AC(q), MC(q) MC( q) = 4q /3 AC( q) = 3q /3 q 8

c(q) Αποδόσεις Κλίμακας και Μορφή των Καμπυλών Κόστους (Π) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε: () H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι κυρτή ως προς q. () Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι αύξουσες ως προς q. (βλ. το προηγούμενο παράδειγμα στις σελίδες 6 8) cq ( ) AC(q), MC(q) MC( q) AC( q) q 9 q

(Π) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε: () H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι κοίλη ως προς q. () Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι φθίνουσες ως προς q. (βλ. το παράδειγμα στην Άσκηση α του Φροντιστηρίου 0) c(q) cq ( ) AC(q), MC(q) AC( q) q MC( q) 30 q

c(q) (Π3) Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε: () H συνάρτηση (και η αντίστοιχη καμπύλη) συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι γραμμική ως προς q. () Οι συναρτήσεις (και οι αντίστοιχες καμπύλες) μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης είναι ίσες και σταθερές ως προς q. (βλ. το παράδειγμα στην Άσκηση β του Φροντιστηρίου 0) cq ( ) AC(q), MC(q) MC = AC q 3 q