ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3- Συμπλήρωμα εαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτη- 2 σιακό ολοκληρωτικού τύπου με C ολοκληρωτέα συνάρτηση, εξαρτώμενο από λεία καμπύλη με μεταβαλλόμενα άκρα Στο συμπλήρωμα αυτό θα υπολογίσουμε αναλυτικά την πρώτη μεταβολή, και θα συναγάγουμε εξ αυτής τις αναγκαίες συνθήκες (necessary condtons) στασιμότητας του συναρτησιακού () του εαφίου 3.3.5, το οποίο επαναλαμβάνουμε εώ για λόγους ευκολίας του αναγνώστη: F ( γ ;,) = F(,y( ),y ( ),z( ),z ) d. () Το συναρτησιακό (), ανωτέρω, θεωρείται ορισμένο επί του συνόλου των καμπυλών C {(,y,z) D* : y y( ), z z } γ = = =, (2) 3 οι οποίες κείνται εξ ολοκλήρου εντός του χωρίου D* IR. Τα ακραία σημεία,, της καμπύλης γ εκφράζονται ως και = (,y,z ) με y = y( ), z = z, (3α) = (,y,z ) με y = y( ), z = z( ). (3β) Τα όρια ολοκλήρωσης στο ολοκλήρωμα () είναι, κατ ουσίαν, και. Παρ όλα αυτά, θα ιατηρήσουμε (ως ένα σημείο) το συμβολισμό,, ο οποίος είναι συνεπέστερος γεωμετρικά, και τονίζει το γεγονός της εξάρτησης του συναρτησιακού από τα ακραία σημεία της καμπύλης γ. Τα σημεία αυτά εν θεωρούνται σταθερά (σε αντίθεση με το πρόβλημα της στασιμοποίησης του συναρτησιακού του χρόνου, το οποίο μελετήσαμε στο εάφιο 3.3.3 του παρόντος Κεφαλαίου), και άρα η μεταβολή τους (εντός του D * ) συμβάλλει στη γενική μεταβολή του συναρτησιακού (). Θα εξετασθεί επίσης ιιαιτέρως η πολύ ενιαφέρουσα περίπτωση όπου τα ακραία σημεία και κινούνται επί εομένων επιφανειών. Ουσιώης υπόθεση για την ανάλυση που ακολουθεί είναι ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση F,y,y,z,z είναι ύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη ως προς όλα τα ( ) ορίσματά της (ηλαή, είναι τύπου C κάθε σημείο του πείου ορισμού της: 2 ), και άρα αναπτύσσεται κατά Taylor γύρω από F +, y + y, y + y, z + z, z + z = = F(,y,y,z,z ) + + y + y + z + z + y y z z + O (2 ας τάξεως) (4) 5/2/28 :44 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-2 Η ανωτέρω σχέση, με ιάφορες επιλογές των πρωτοτάξιων μεταβολών, y, y, z, z, χρησιμοποιείται συστηματικά στη συνέχεια. Το γενικότερο μεταβολικό πρόβλημα, για συναρτησιακό του τύπου F ( ) γ ;, = F, y, y d, (') το οποίο είναι ορισμένο επί του συνόλου των {(, ) D* : } C καμπυλών του γ = y y= y, (2') όπου y = ( y( ),y2( ),...,yn ) και y = ( y ( ),y 2( ),...,y N ) N IR, αντιμετωπίζεται με τελείως ανάλογο τρόπο, και θα εξετασθεί συνοπτικά στο τέλος του παρόντος Συμπληρώματος. - Υπολογισμός της πρώτης μεταβολής του συναρτησιακού (), με μεταβαλλόμενα όρια ολοκλήρωσης. Θα προσιορίσουμε τώρα την πρωτοτάξια μεταβολή του συναρτησιακού (). Προς,, γ,, του συναρτησιακού (), τα τούτο θεωρούμε ύο ορίσματα οποία λαμβάνονται να είναι C γειτονικά: Ορισμός: Τα στοιχεία γ και ( ) γ,, και ( γ,, ) θα ονομάζονται C γειτονικά εάν ) Tα σημεία,, καθώς και τα σημεία,, είναι γειτονικά, ηλαή (βλ. και σχέσεις (3)) οι μεταβολές και =, y = y y, z = z z, (5α) =, y = y y, z = z z, (5β) είναι πρωτοτάξιες ποσότητες, και ) Οι καμπύλες γ και γ είναι και (,y,z ),y C γειτονικές, ηλαή τόσο τα σημεία τους (,y,z ), όσο και τα εφαπτόμενα ιανύσματά τους,y ( ),z ( ) και (,z ), είναι γειτονικά. Οι συνθήκες αυτές ποσοτικοποιούνται ως εξής: { } { } y = y + h, = + ( z = z + g, = + ( ma,, mn, όπου h( ),h ( ), g( ), g {, }, mn{, } ma y y h ), (6α) z z g ), (6β) είναι πρωτοτάξιες ποσότητες. Το ιάστημα, στο οποίο απαιτούμε την ισχύ των σχέσεων (6), είναι

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-3 ακριβώς η τομή των πείων ορισμού των συναρτήσεων y, z και y, z. 3 Στο Σχήμα είχνονται παραστατικά ύο γειτονικές καμπύλες γ και γ, στον IR, καθώς και οι προβολές τους στα επίπεα [ Oy ] και [ Oz ]. Το πρόβλημα που θα αντιμετωπίσουμε στο παρόν Συμπλήρωμα είναι ο υπολογισμός της πρωτοτάξιας μεταβολής του συναρτησιακού F ( γ ;,), η οποία επάγεται από την πρωτοτάξια μεταβολή γ,, γ,,. ( ) Παρατήρηση: Η ήλωση ότι οι ποσότητες h,h,g,g,, y, z, =,, είναι πρωτοτάξιες, σημαίνει ότι είναι αρκετά μικρές ώστε τα τετράγωνά τους και τα γινόμενά τους ανά ύο να μπορούν να θεωρηθούν ευτέρας τάξεως και να αμελούνται σε σύγκριση προς τις πρωτοτάξιες ποσότητες. Παρατήρηση: Γενικώς, όσον αφορά τις ακραίες τιμές των τετμημένων των καμπυλών γ και γ, είναι υνατόν να ισχύει οποιαήποτε από τις ακόλουθες τέσσαρες περιπτώσεις (βλ. σχετικά και Σχήμα 2}: z γ γ y Σχήμα (3.3.Σ-): Σχηματική αναπαράσταση στον 3 IR της γενικής μεταβολής 5/2/28 :44 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-4 ( γ,, ) ( γ,, ). Σχήμα 2 (3.3.Σ-): Σχετική θέση των τετμημένων των ακραίων σημείων και, στην περίπτωση (), η οποία εξετάζεται αναλυτικά στη συνέχεια. () και, () και, () και, (v) και. Θα προχωρήσουμε στον υπολογισμό μας υποθέτοντας ότι ισχύει η περίπτωση (). Η υπόθεση αυτή εν αποτελεί περιορισμό της γενικότητας, υπό την έννοια ότι καταλήγουμε στα ίια ακριβώς αποτελέσματα σε κάθε μια από τις τέσσαρες περιπτώσεις () - (v). Ο αναγνώστης καλείται να επαναλάβει τον υπολογισμό για μια ακόμη περίπτωση, π.χ. την (), ως άσκηση. Η μεταβολή του συναρτησιακού () ορίζεται ως ( ;,) = ( ;, ) ( ;,) ΔF γ F γ F γ = ( ) = F,y,y,z,z d F,y,y,z,z d. (7) Υποθέτοντας ότι ισχύει η περίπτωση (), λαμβάνουμε F = F,y + h( ),y + h ( ),z + g( ),z + g Δ γ;, ( ) F,y,y,z,z d + ( ) + F,y,y,z,z d F,y,y,z,z d =

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-5 αναπτυσσοντας κατα Taylor τη ιαφορα στο πρωτο ολοκληρωμα = h + h + g + g d y y z z + εκτελωντας παραγοντικη ολοκληρωση στον ο ο 2 και 4 ορο του πρωτου ολοκληρωματος + O 2 ας ταξεως d + ( ) ( 2 ταξεως) ταξε + F,y,y,z,z + O ας ( ) ( 2 ) F,y,y,z,z + O ας ως = d d = h d + g d + y d y z d z Παρατήρηση: Ο όρος + h + g + y z ( ) + F,y,y,z,z O( 2 ας ταξεως ) F,y,y,z,z + ( +. (8) ) F,y,y,z,z, στο τελευταίο σκέλος της (8), μπορεί να αντικατασταθεί, με σφάλμα 2 ας τάξεως, από τον όρο F,y,y,z,z, σύμφωνα με τη σχέση (4). Επίσης, το κάτω ( ) όριο ολοκλήρωσης, στα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στην ανωτέρω σχέση, μπορεί να αντικατασταθεί από h ). Οι ύο αυτές αντικαταστάσεις χρησιμοποιούνται στη σχέση (3), κατωτέρω., με σφάλμα 2 ας τάξεως (ανάλογο με 5/2/28 :44 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-6 Το ουσιώες βήμα στο σημείο αυτό είναι να συσχετίσουμε τις μεταβολές g στα σημεία και, οι οποίες υπεισέρχονται στους όρους h h y g ( ), με τις μεταβολές,, y, y, z, z, των συντεταγμένων των z ακραίων σημείων. Για την κατανόηση του βήματος αυτού είναι πολύ βοηθητική η γεωμετρική εποπτεία. Στο Σχήμα 3 φαίνεται η προβολή των καμπυλών γ και γ στο επίπεο [ y ]. Χάριν απλότητας του συμβολισμού, χρησιμοποιούμε για τις προβολές των ακραίων σημείων και των καμπυλών τα ίια σύμβολα, όπως και για τα αντίστοιχα στοιχεία στο χώρο. Με τη βοήθεια του Σχήματος 3 είναι φανερό ότι η μεταβολή h = y y( ) εν ισούται με y = μεταβολή της y συντεταγμένης του τελικού ακραίου σημείου. Για να βρούμε τη σχέση μεταξύ αυτών, προσεγγίζουμε το τμήμα M της καμπύλης γ μέσω της εφαπτομένης της γ στο σημείο M (βλ. Σχήμα 4), οπότε λαμβάνουμε y = h + y + O(2 ας τάξεως) = = h + y + h + O(2 ας τάξεως), και και y h( ) M y γ γ Σχήμα 3 (3.3.Σ-): Προβολή των καμπυλών γ και γ στο επίπεο [ y ].

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-7 και τελικώς, σε πρώτη τάξη προσέγγισης, y h y = +, (9α) ιότι και ο όρος h σχέση που συνέει τη μεταβολή h( ) = y( ) y( ) είναι ευτέρας τάξεως. Εργαζόμενοι αναλόγως με τα σημεία και (βλ. Σχήμα 5), βρίσκουμε την ακόλουθη, αντίστοιχη της (9α),, με την ποσότητα y = μεταβολή της y συντεταγμένης του τελικού ακραίου σημείου, σε πρώτη τάξη προσέγγισης:. (9β) y = h + y Τέλος, θεωρώντας τις προβολές των καμπυλών γ και γ στο επίπεο [ z ], και εργαζόμενοι αναλόγως, βρίσκουμε και z g z = +, (α). (β) z = g + z M y γ y h γ Σχήμα 4 (3.3.Σ-): Σχέση των μεταβολών h( ) = y( ) y( ) και y. 5/2/28 :48 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9) και (), μετασχηματίζουμε την ποσότητα A = h + g + F F = = y z, () που εμφανίζεται στο τελευταίο σκέλος της (8), ως εξής: A = ( y y ) ( y y ) y y + = = + ( z z ( ) ) z z ( ) z = y = + F F = + = = = y + z y z y z = y z + = = = + F y z = y z = = F y z = y z = =. (2) γ y h( ) γ y και y. Σχήμα 5 (3.3.Σ-): Σχέση των μεταβολών h( ) = y( ) y( )

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-9 Συνυάζοντας τώρα τις σχέσεις (8), () και (2), λαμβάνουμε την ακόλουθη τελική F γ ;,, σχέση (), έκφραση για τη γενικευμένη μεταβολή του συναρτησιακού ( ) όταν μεταβάλλονται τόσο οι συναρτήσεις-ορίσματα y( ) και z ακραία σημεία και : F ( ;,) h d + Δ γ = d d g d + y d y z d z, όσο και τα + y + z y y z y z = = = = z + + F y z = y z = = F y z = y z = = ( 2 ας ταξεως ) + + O. (3) Στην ανωτέρω σχέση, το κάτω όριο των ολοκληρωμάτων, και οι τιμές των ακραίων όρων στο αρχικό σημείο αναφέρονται όλες στη θέση =, παρά το ότι στη ιάρκεια της ανάλυσης που προηγήθηκε (βλ., π.χ., σχέση (2)) οι ποσότητες αυτές αναφέρονταν στο =. Η αντικατάσταση του από το είναι επιτρεπτή ιότι το εισαγόμενο σφάλμα είναι 2 ας τάξεως. Π.χ. y = y + y = y + O y y y y 2 = = = = Στη συνέχεια θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο ( γ;,) αποκλειστικά την πρωτοτάξια μεταβολή του συναρτησιακού F ( γ ;,) ας ταξεως. F για να ηλώσουμε, ηλαή ότι περιλαμβάνεται στις τέσσαρες πρώτες γραμμές του εξιά μέλους της εξίσωσης (3). Η συνθήκη στασιμότητας του συναρτησιακού ( γ ;,) πρωτοτάξια μεταβολή F ( γ;,) ίση με μηέν: [Συνθήκη στασιμότητας του συναρτησιακού ( γ ;,) F προκύπτει θέτοντας την F ] 5/2/28 :5 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3- ([ ] ) h,g C,, και F ( γ;,) =, y, z IR, =,, τα οποια ικανοποιουν τυχον περιορισμους. (4) Η ιατύπωση (4) αναφέρεται ως μεταβολική ιατύπωση ή μεταβολική αρχή ή μεταβολικό πρόβλημα (varatonal formulaton or varatonal prncple or varatonal problem). Όπως θα ούμε στη συνέχεια, η μεταβολική ιατύπωση (4) (και κάθε μεταβολική ιατύπωση) περιλαμβάνει (είναι ισούναμη με): ) ιαφορικές εξισώσεις, που ισχύουν στο ιάστημα (χωρίο) ολοκλήρωσης, και ) συνοριακές συνθήκες, που ισχύουν στα άκρα (όρια) της ολοκλήρωσης. Η συνθήκη όπως οι ποσότητες h( ),g( ),, y, z είναι μικρές εν απαιτείται στην παρούσα φάση (και ως εκ τούτου εν αναφέρεται στη σχέση (4)), ιότι οι ανωτέρω ποσότητες υπεισέρχονται στην (ομογενή) συνθήκη στασιμότητας F ( γ ;,) = ), κατά γραμμικό τρόπο. Κατά συνέπεια, η στάθμη (μέγεθος της μεταβολής) { [ ] } M = ma h,g,,,, y, z, =,, είναι πάντοτε υνατόν να ελεγχεί, ιαιρώντας τα ύο μέλη της F γ ;, = έναν κατάλληλο (μεγάλο) αριθμό, π.χ., με ε /M, ε >. με - "Εσωτερικές" μεταβολές. Εξισώσεις Euler-Lagrange Ας θεωρήσουμε κατ αρχήν μεταβολές της καμπύλης γ, οι οποίες εν μετακινούν τα ακραία σημεία και ("εσωτερικές" μεταβολές). Αυτή η περιορισμένη μορφή της μεταβολικής ιατύπωσης (4): F ( γ;,) ([ ]) h,g C,, και = = y = z =, =, () (5α) είναι ισούναμη, λόγω της (4), με d d h g( ), h,g C( [, + = ] y d y ) (5β) z d z () C( [,] ) είναι ο χώρος των συνεχώς παραγωγισίμων συναρτήσεων επί του [,] λαμβάνουν μηενικές τιμές στα άκρα και του πείου ορισμού τους., οι οποίες

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3- d = y d y και F d F =, [, z d z ]. (5γ) Οι ύο ιαφορικές εξισώσεις (5γ) ονομάζονται εξισώσεις Euler-Lagrange του συναρτησιακού F γ ;,, ή του μεταβολικού προβλήματος (4). ( ) Οι ισουναμίες (5α,β,γ) αποεικνύουν ότι, οι εξισώσεις Euler-Lagrange (5γ) αποτελούν αναγκαίες συνθήκες στασιμότητας του συναρτησιακού F γ ;,. Lagrangan ( ( σ ), ( σ )) καμπύλης γ, από την Lagrangan F(,y( ),y ( ),z( ),z ) Παρατήρηση: Οι ανωτέρω ύο ιαφορικές εξισώσεις είναι κατ ουσίαν ίιες με τις ιαφορικές εξισώσεις (9), εάφιο 3.3.3, υπό την προϋπόθεση, βέβαια, ότι η L προκύπτει, με αλλαγή παραμετροποίησης της. Πράγματι, εν είναι ύσκολο να ιαπιστώσουμε ότι, αν αντικαταστήσουμε την αναπαράσταση της γ =,y,z D: y= y, z = z, με μια παραμετρική αναπαρά- καμπύλης { } σταση της μορφής γ = (,y,z) : = ( σ) = ( σ) ( σ) { D, y 2, z 3 } =, και μετασχηματίσουμε τις εξισώσεις (5γ) καταλλήλως, οι τελευταίες μετασχηματίζονται σε ύο από τις τρεις εξισώσεις (9), του εαφίου 3.3.3 (2). Ορισμός: Κάθε { } C καμπύλη γ = (,y,z) D : * y= y( ), z= z, της οποίας οι y z ικανοποιούν τις ιαφορικές εξισώσεις συντεταγμένες συναρτήσεις και (24γ) (ηλαή, τις εξισώσεις Euler-Lagrange του συναρτησιακού λέγονται καμπύλες στασιμοποίησης του συναρτησιακού F F ( γ ;,) ( γ ;,) (3). ), θα - Μεταβολή του συναρτησιακού επί των καμπυλών στασιμοποίησης. Συνοριακές συνθήκες Ας υποθέσουμε τώρα ότι περιορίζουμε τις θεωρήσεις μας στις καμπύλες στασιμοποίησης, ηλαή μόνο σε εκείνες τις C καμπύλες γ, οι οποίες ικανοποιούν τις εξισώσεις Euler-Lagrange (5γ). Τότε, η πρώτη μεταβολή του συναρτησιακού F ( γ ;,) θα αποτελείται αποκλειστικά από ακραίους όρους, εφ όσον οι ύο ολοκληρωτικοί όροι μηενίζονται. Δηλαή, το μεταβολικό πρόβλημα (4), υπό τον περιορισμό (5γ), το οποίο μπορεί να ιατυπωθεί συνοπτικά ως εξής: (2) Υπενθυμίζουμε ότι η τρίτη των (9) του εαφίου 3.3.3 προκύπτει από τις ύο άλλες. (3) Στην αγγλική βιβλιογραφία οι καμπύλες στασιμοποίησης χαρακτηρίζονται ως etremals, παρά το F γ ;,. Πάντως, αν ότι, γενικώς, εν καθιστούν ακρότατη την τιμή του συναρτησιακού ( ) υπάρχουν καμπύλες στασιμοποίησης επί των οποίων το συναρτησιακό ( γ ;,) ακρότατη τιμή, αυτές ανήκουν στο σύνολο των etremals. F λαμβάνει (τοπικά) 5/2/28 :5 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-2 ([ ] ) h,g C,, οπου ομως η καμπυλη γ ειναι καμπυλη στασιμοποιησης, και F ( γ;,) = (6α), y, z IR, =,, τα οποια ικανοποιουν τυχον περιορισμους, παίρνει πλέον, λόγω της (3), τη μορφή: y + z y y z y z = = = = z + + F y z = y z = = F y ( ) z ( ) = = y z = =, (6β) όπου οι ακραίες μεταβολές προβλήματος., y, z ικανοποιούν τους τυχόν περιορισμούς του Στη συνέχεια θα επεξεργασθούμε περαιτέρω τη μεταβολική συνθήκη (6β), εξειικεύοντας τους περιορισμούς επί των ακραίων μεταβολών, y, z, =,. Στην ανάλυση που ακολουθεί εστιάζουμε την προσοχή μας στο ένα ακραίο σημείο κάθε φορά. Αυτή η ιαικασία είναι τυπική στα μεταβολικά προβλήματα, και βασίζεται στο γεγονός ότι εφ όσον οι μεταβολές είναι αυθαίρετες μπορούμε να επιλέξουμε μηενικές μεταβολές στο ένα άκρο, οπότε η συνθήκη (6β), ανωτέρω, εξειικεύεται για το άλλο άκρο. Την ίια λογική, εξ άλλου, ακολουθήσαμε και ανωτέρω, όταν μελετήσαμε τις συνέπειες των εσωτερικών μεταβολών (επιλέγοντας μηενικές ακραίες μεταβολές).

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-3 - Ελεύθερο άκρο Εάν το άκρο, {, },είναι ελεύθερο, ηλαή αν εν υπάρχει κανένας περιορισμός που να συνέει τις μεταβολές, y, z, τότε από την (6β) οηγούμεθα στις εξής τρεις συνθήκες (για το ελεύθερο άκρο): = = y z = = F + y + z = = y z = = F = = = = y z = =. (7) Οι συνθήκες (7) ονομάζονται συνθήκες ελευθέρου άκρου (free boundary condtons). - Άκρο κινούμενο πάνω σε οθείσα επιφάνεια Ιιαίτερο ενιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου το ακραίο σημείο, {, } υπόκειται στον περιορισμό να κινείται πάνω σε μια εομένη επιφάνεια {(,y,z) D : ϕ (,y,z) } ε = =. *, Τότε, ύο μόνον από τις συνοριακές μεταβολές,, y, z, είναι ελεύθερες (αυθαίρετες). Η τρίτη προκύπτει από το ιαφορικό σύνεσμο (dfferental constrant) ϕ ϕ ϕ + y + z y z =, (8) ο οποίος λαμβάνεται ιαφορίζοντας την εξίσωση της επιφάνειας (,y,z) ϕ =. Ας υποθέσουμε προς στιγμήν, χάριν σαφήνειας, ότι = y = z =, και ότι το σημείο ε. Τότε, η συνθήκη στασιμότητας (6β) παίρνει τη μορφή y + z + F y z = = y z y z = = = = ϕ ϕ ϕ + y + z =. y z (9) 5/2/28 :5 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-4 Εκφράζοντας το z από την εύτερη των (9) και εισάγοντας το στην πρώτη, βρίσκουμε: ϕ / y ϕ / y + F y z + y ϕ / z z y / z z = ϕ = y= y y= y z= z z= z =. Δεομένου ότι οι μεταβολές, y είναι ελεύθερες (αυθαίρετες), η ανωτέρω συνθήκη ισουναμεί προς τις ακόλουθες ύο ιαφορικές συνθήκες στο άκρο (το οποίο κινείται επί της επιφανείας ε ): ϕ / y =, στο (,y,z) = ε, y ϕ / z z και ϕ / F y z + =, στο,y,z = ε y ϕ / z z. (2) Με απλούς αλγεβρικούς μετασχηματισμούς παίρνουμε την ακόλουθη συμμετρική παραλλαγή των συνθηκών (2): ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z =, ε, (2α) z y z z ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z =, ε. (2β) y y z y Ορισμός: Οι συνθήκες (2), οι οποίες ισουναμούν με το μηενισμό των συνοριακών μεταβολικών όρων στο άκρο των καμπυλών στασιμοποίησης του συναρτησιακού F ( γ ;,), υπό την προϋπόθεση ότι το άκρο αυτό κινείται πάνω σε εομένη επιφάνεια ε = {(,y,z) D* : ϕ(,y,z) = }, ονομάζονται συνθήκες εγκαρσιότητας (transversalty condtons) για το σημείο. Εργαζόμενοι κατά τελείως ανάλογο τρόπο, ηλαή υποθέτοντας ότι = y= z= και επιτρέποντας στο σημείο να κινείται πάνω στη γνωστή επιφάνεια ε = {(,y,z) D : * ϕ(,y,z) = }, βρίσκουμε ότι οι συνθήκες εγκαρσιότητας για το αρχικό σημείο έχουν τη μορφή: ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z =, ε, (22α) z y z z

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-5 ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z =, ε. (22β) y y z y Παρατήρηση: Συνήθως, στα βιβλία Λογισμού των Μεταβολών (Calculus of ϕ,y,z = αναπαρίσταται σε λυμένη μορφή, π.χ. ως Varatons) η επιφάνεια = ψ ( y,z. Στην περίπτωση αυτή, βέβαια, θέτουμε ϕ ψ ( ) = και,y,z y,z) λαμβάνουμε την αντίστοιχη μορφή των συνθηκών εγκαρσιότητας εφαρμόζοντας τις συνθήκες (2), (22), ανωτέρω. Άσκηση: Στο βιβλίο Calculus of Varatons των I. M. Gelfand και S.V. Fomn, οι συνθήκες εγκαρσιότητας για το άκρο, =,, ίονται στη μορφή: και ψ F y z y y y z =, ε, (23α) ψ + F y z z z y z =, ε, (23β) ε ορίζεται από την εξίσωση όπου η επιφάνεια = ψ y,z. Να αποείξετε ότι οι συνθήκες (2), (22), είναι ισούναμες με τις συνθήκες (23) για =,, αντιστοίχως. - Σταθερό άκρο Αν και η περίπτωση αυτή είναι τετριμμένη, αναφέρεται εώ για λόγους πληρότητας. Εάν το άκρο, {, }, είναι σταθερό, τότε αναγκαστικά = y = z =. Κατά συνέπεια, οι συνοριακές συνθήκες που αντιστοιχούν στο σταθερό άκρο είναι: = = και y a σταθερο z = b = σταθερο. (24) Προφανώς, για την εξαγωγή των συνθηκών (24) εν απαιτείται ο πλήρης (και επίπονος) υπολογισμός της γενικής μορφής της μεταβολής F ( γ;,) του συναρτησιακού () με κινούμενα ακραία σημεία. - Ουσιώες και φυσικές συνοριακές συνθήκες μεταβολικού προβλήματος Μεταξύ των συνοριακών συνθηκών, αφ ενός (7) και (2), (22), και αφ ετέρου (24), υπάρχει μια ουσιώης ιαφορά. Οι πρώτες εξαρτώνται από τη μορφή της Lagrangan του μεταβολικού προβλήματος (ηλαή, της ολοκληρωτέας συνάρτησης στη σχέση (), ορισμού του συναρτησιακού F ( γ ;,) ), ενώ οι εύτερες είναι ανεξάρτητες από αυτήν. Δίομε σχετικά τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός: οι συνοριακές συνθήκες (24), που αντιστοιχούν σε σταθερό άκρο των καμπυλών γ, και οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τη μορφή του συναρτησιακού 5/2/28 :5 M

ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-6 ( γ ;, F ), ονομάζονται a pror συνοριακές συνθήκες ή ουσιώεις συνοριακές συνθήκες (essental boundary condtons) του μεταβολικού προβλήματος. Οι συνοριακές συνθήκες (7) ή (2), (22), οι οποίες προκύπτουν με τη βοήθεια της πρωτοτάξιας μεταβολής του συναρτησιακού F ( γ ;,) όταν τα ακραία σημεία κινούνται (ελεύθερα ή υπό περιορισμούς), και οι οποίες εξαρτώνται από τη μορφή του συναρτησιακού F γ ;,), ονομάζονται a posteror συνοριακές συνθήκες ή ( φυσικές συνοριακές συνθήκες (natural boundary condtons). Συνοψίζουμε την ανωτέρω ανάλυση του μεταβολικού προβλήματος (4) στη μορφή του ακολούθου Θεωρήματος: Θεώρημα: Το μεταβολικό πρόβλημα F γ;, ([ ] ) h,g C,, και =, y, z IR,,, =, (4) τα οποια ικανοποιουν τυχον περιορισμους όπου το συναρτησιακό ορίζεται από τη σχέση () με τη συνάρτηση 2 F,y,y,z,z να είναι τύπου C, είναι ισούναμο με ( ) F ( γ ;,) ) Τις ιαφορικές εξισώσεις Euler-Lagrange και d d = και =, [ y d y, ], (5γ) z d z ) Μια από τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες για κάθε ένα άκρο,, : { } α) y( ) = a = σταθερο και εάν το άκρο είναι σταθερό, z = b = σταθερο. (24) β) F = = =, = y z = = ε. (7) εάν το άκρο είναι πλήρως ελεύθερο, γ) ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z z y z z =, ε, ϕ ϕ ϕ ϕ F + y + z y y z y =, ε. (2), (22)

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3-7 εάν το άκρο μπορεί να κινείται υπό τον περιορισμό να πάνω στην επιφάνεια ϕ,y,z =. βρίσκεται πάντοτε Σημειώνουμε ότι κάθε συνυ ασμός των ανωτέρω συνοριακών συνθηκών στα ύο άκρα ( π.χ. ελεύθερο ελεύθερο, ελεύθερο σταθερό, σταθερό κινείται σε επιφάνεια ε, κ.λπ.) είναι επιτρεπτός, υπό την έννοια ότι το αντίστοιχο ιαφορικό πρόβλημα (ιαφορικές εξισώσεις + συνοριακέ ς συνθήκες) είναι ισούναμ ο με το μεταβολικό πρόβλημα (4). 5/2/28 :5 M