ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ Σγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ Μι σφίρ, ένς κύλινδρος κι ένς δκτύλιος έχον την ίδι μάζ Μ κι ίσες κτίνες. Τ τρί σώμτ φήνοντι ττόχρον πό την κορφή κεκλιμένο επιπέδο γωνίς φ κι κλούν χωρίς ολίσθηση. Ποιο σώμ θ φτάσει πρώτο στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο; Δίνοντι οι ροπές δράνεις των στερεών ως προς άξον πο περνά πό το κέντρο μάζς τος: Ισφ= Μ /5, Iκλ. = / κι Ιδκ.=Μ. (Τμήμ Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση Τ C Ν ω Κάθε έν πό τ τρί σώμτ εκτελεί σύνθετη κίνηση. Γι την μετφορική κίνηση το κ.μ. ισχύει: F gsinφ - T () x gosφ Μg gsinφ φ κι γι την περιστροφική κίνηση: τ ω Iω ω () Λόγω της κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: d dω ω ω () Έτσι η () λόγω της () γίνετι: κι ντικθιστώντς την στην () προκύπτει: gsinφ I - gsinφ I / Από τη σχέση τή φίνετι ότι η επιτάχνση είνι στθερή, νεξάρτητη το χρόνο κι εξρτάτι πό τη ροπή δράνεις το σώμτος. Επομένως γι τη σφίρ είνι: gsinφ 5 5 gsinφ 7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 γι τον κύλινδρο: gsinφ gsinφ κι γι το δκτύλιο : gsinφ gsinφ Σνεπώς το σώμ με τη μεγλύτερη επιτάχνση, δηλδή η σφίρ θ φτάσει πρώτο στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο κι θ κολοθήσον ο κύλινδρος κι έπειτ ο δκτύλιος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ Κύλινδρος μάζς Μ ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Στον κύλινδρο εφρμόζετι οριζόντι στθερή δύνμη F προς τ δεξιά σε πόστση r πάνω πό το κέντρο μάζς. ) Δείξτε ότι ν δεν πρόκειτι ν σμβεί ολίσθηση μετξύ κλίνδρο κι επιφάνεις, η δύνμη της τριβής πρέπει ν είνι Τ = F(-r)/. β) Βρείτε την τιμή ro της πόστσης r γι την οποί η τριβή μηδενίζετι. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση Τ C r ω F ) Γι την μετφορική κίνηση το κ.μ. ισχύει: ΣF x Μ F - T Μ F - T () κι γι την περιστροφική κίνηση ισχύει: τ ω rf T I ω () Λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: ω () F T ω ω ω () Άρ η () λόγω της (), λμβάνοντς πόψη ότι / γίνετι: rf T ( F-T) rf T ( F-T) T F - rf F( - r) β) Σύμφων με την πρπάνω σχέση η τριβή μηδενίζετι ότν: - ro δηλδή ότν ro=/ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ Μι ομογενής σφίρ μάζς Μ κι κτίνς r φήνετι πό το χείλος ενός στθερού ημισφιρίο κτίνς κι κλίετι χωρίς ν ολισθίνει. Προσδιορίστε τη γρμμική τχύτητ το κέντρο μάζς κι τη γωνική τχύτητ της σφίρς ότν φτάνει στο χμηλότερο σημείο το ημισφιρίο. (Τμήμ Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση Α V= r O -r ω C Γ Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των θέσεων Α κι Γ, θεωρώντς ως επίπεδο μηδενικής δνμικής ενέργεις το οριζόντιο επίπεδο πο περνά πό το Ο προκύπτει: V A Γ V Γ Λόγω της κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: ω g( - r) () ωr () Κι επειδή Ι = Μr /5 η () λόγω της () γίνετι: g( - r) ω r r 5 ω g( - r) 7 r ω ( - r) ω g () 7 r Κι η () δίνει λόγω της (): g( - r) 7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 4 Κύλινδρος μάζς Μ κι κτίνς φήνετι πό την κορφή κεκλιμένο επιπέδο γωνίς φ κι μήκος L κι κλιέτι χωρίς ν ολισθίνει. Ν πολογιστεί η τχύτητ με την οποί φθάνει στη βάση κι σε πόσο χρόνο θ φτάσει στη βάση. (Τμήμ Φσικής Αθήνς) Λύση h (Α) L φ (Γ) C ω Ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση, οπότε εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ της ρχικής θέσης (Α) κι της τελικής (Γ) προκύπτει: K A V A K V gh Iω gh Iω () Λόγω της κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: ω ω κι επειδή I η () δίνει: gh 4 gh gh () 4 Κι επειδή h sin φ h Lsin φ οπότε η () τελικά δίνει: L 4 gl sin φ () Σε τχί θέση η τχύτητ το κλίνδρο είνι : 4 gx sin φ (4) Επομένως πό τον ορισμό της τχύτητς προκύπτει : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 dx (4) 4 gx sin φ dx L dx x 4 gsin φ t 4 L gsin φ t t L gsin φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 5 Ομογενής κύλινδρος μάζς Μ κι κτίνς κλίετι χωρίς ολίσθηση σε επίπεδη οριζόντι επιφάνει με στθερή μετφορική τχύτητ ο. Ο κύλινδρος σνντά κεκλιμένο επίπεδο γωνίς θ κι ρχίζει ν νεβίνει, πάλι κλιόμενος χωρίς ολίσθηση. ) Ν σχεδιστούν οι δνάμεις πο σκούντι στον κύλινδρο κτά την άνοδό το, δικιολογώντς την κτεύθνση τος. Γράψτε τις εξισώσεις μετφορικής κι περιστροφικής κίνησης το κλίνδρο. β) Υπολογίστε τη γωνική επιβράδνση το κλίνδρο, την επιβράδνση το κέντρο μάζς κι το μέτρο της δύνμης τριβής Τ μετξύ το κλίνδρο κι το κεκλιμένο επιπέδο κτά την νάβση. γ) Υπολογίστε το χρονικό διάστημ tολ πο χρειάζετι ο κύλινδρος μέχρις ότο νέλθει στο νώττο σημείο στο κεκλιμένο επίπεδο κι στμτήσει στιγμιί, θεωρώντς ως ρχή το χρόνο (t = ) τη στιγμή πο ο κύλινδρος ρχίζει την νάβση. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση N ω C ω ο gsinθ θ C g T gosθ ) Οι δνάμεις πο σκούντι στον κύλινδρο κτά την άνοδό το στο κεκλιμένο επίπεδο είνι το βάρος το g, πο νλύετι στις σνιστώσες Μgsinθ κι Μgosθ, η κάθετη ντίδρση Ν κι η δύνμη της τριβής Τ, όπως φίνοντι στο σχήμ. Η τριβή έχει τη φορά της κίνησης γι το λόγο ότι πρέπει η ροπή της ν είνι επιβρδύνοσ. Δηλδή έτσι επιβρδύνει την περιστροφική κίνηση το κλίνδρο. Γι τη μετφορική κίνηση το κέντρο μάζς το κλίνδρο ισχύει: F T g sin θ () Γι την περιστροφική κίνηση το κλίνδρο περί άξον πο διέρχετι πό το κέντρο μάζς ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 τ Iω T ω T ω () β) Λόγω το ότι ο κύλινδρος κλίετι χωρίς ν ολισθίνει ισχύει: ω ω () Άρ η () λόγω των () κι () δίνει: gsin θ ω g sin θ ω ω gsin θ ω (4) Επίσης η () λόγω της (4) δίνει: κι η () λόγω της (4) δίνει: gsin θ (5) g sin θ T γ) Από τον ορισμό της γρμμικής επιτάχνσης το κέντρο μάζς προκύπτει ο ζητούμενος χρόνος ως εξής: d (5) o d gsin θ t ολ o gsin θt ολ t ολ o gsin θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 6 Έν βρές νήμ είνι τλιγμένο σε κύλινδρο μάζς m = 5 kgr κι κτίνς,m, ο οποίος ρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντι επιφάνει. Κάποι στιγμή εφρμόζομε στο νήμ μι οριζόντι (εφπτόμενη στην επιφάνει το κλίνδρο) στθερή δύνμη F = Nt με σνέπει το νήμ ν ρχίσει ν ξετλίγετι κι ο κύλινδρος ν κλιέτι χωρίς ολίσθηση. Ν πολογιστούν: ) Η γωνική επιτάχνση το κλίνδρο κι η γρμμική επιτάχνση το κέντρο μάζς το. β) Η τχύτητ το νήμτος κι η γωνική τχύτητ το κλίνδρο ότν έχει ξετλιχτεί έν μήκος s = m το νήμτος. Δίνετι η ροπή δράνεις το κλίνδρο: I= / (Τμήμ Εφρμοσμένων Μθημτικών & Φσικών Εφρμογών Ε.Μ.Π.) Λύση T ω N C mg F=Nt ) Γι τη μετφορική κίνηση το κέντρο μάζς ισχύει: F m F T m () Γι την περιστροφική κίνηση το κλίνδρο περί άξον πο διέρχετι πό το κέντρο μάζς ισχύει: τ I Επίσης λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: ω F T m ω m F T ω () ω ω () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Οπότε η () λόγω της () δίνει: F T m T Fm (4) Κι επομένως η () λόγω της (4) δίνει: F F m ω m ω F mω ω 4F m 5, rad / se κι η () δίνει: 4F m,5 m / se β) Ότν ο κύλινδρος έχει περιστρφεί κτά γωνί φ, το κέντρο μάζς έχει ττόχρον μεττοπιστεί κτά x, λόγω της σύνθετης κίνησης. Επομένως το νήμ έχει σνολικά ξετλιχτεί κτά s έτσι ώστε: s x φ ω ω,5,5,6 m/se Η πρπάνω είνι η γρμμή επιτάχνση το νήμτος κι πό τον ορισμό τής προκύπτει: d d ds ds,6 d ds d,6 s ds,6s (s),46 s Άρ γι s = m η τχύτητ το νήμτος είνι: =,5 m/se Ο χρόνος πο πιτείτι ώστε ν ξετλιχτεί νήμ μήκος s =m είνι: (s) ds t,46 ds t,68 s s t,5se Άρ η γωνική τχύτητ το κλίνδρο τη χρονική τή στιγμή, σύμφων με τον ορισμό της γωνικής επιτάχνσης είνι : ω dω ω dω 5,,5 ω,5 rad / se ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 7 Ένς κύλινδρος μάζς Μ κι κτίνς είνι νγκσμένος ν περιστρέφετι γύρω πό τον άξονά το. Έν μη εκττό κι βρές νήμ τλιγμένο γύρω πό τόν τον κύλινδρο είνι επίσης τλιγμένο πό το άλλο το άκρο, γύρω πό έν άλλο κύλινδρο μάζς Μ κι κτίνς. Ο δεύτερος κύλινδρος είνι ελεύθερος ν ξετλίγετι κι ν πέφτει, διτηρώντς τον άξονά το οριζόντιο, όπως φίνετι στο σχήμ. Θεωρούμε κτά προσέγγιση ότι το νήμ πρμένει κτκόρφο. Ζητούντι: ) Η επιτάχνση το κέντρο μάζς το δεύτερο κλίνδρο. β) Η γωνική επιτάχνση το πρώτο κλίνδρο. γ) Η γωνική επιτάχνση το δεύτερο κλίνδρο. δ) Η τάση το νήμτος. Δίνετι η ροπή δράνεις το κλίνδρο: I= / (Τμήμ Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση Ο ω T Ο πρώτος κύλινδρος εκτελεί περιστροφική κίνηση, ενώ ο δεύτερος σύνθετη κίνηση. Μελετώντς την κίνηση κάθε σώμτος χωριστά προκύπτει: Γι την περιστροφική κίνηση το πρώτο κλίνδρο ισχύει: τ I ω o o T ω T ω C () Τ T ω g Γι τη μετφορική κίνηση το κέντρο μάζς το δεύτερο κλίνδρο ισχύει: F g T () Ενώ γι την περιστροφική κίνηση το δεύτερο κλίνδρο περί άξον πο διέρχετι πό το κέντρο μάζς το ισχύει: τ Iω T ω T ω () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Επειδή σε χρόνο t ο πρώτος κύλινδρος περιστρέφετι κτά γωνί φ κι ο δεύτερος κύλινδρος κτά γωνί φ με την ίδι φορά, το νήμ ξετλίγετι σνολικά κτά μήκος s = φ + φ. Δηλδή σε χρόνο t το κέντρο μάζς το δεύτερο κλίνδρο πέφτει κτά πόστση: s = φ + φ Πργωγίζοντς την πόστση s δο φορές ως προς το χρόνο προκύπτει η επιτάχνση το κέντρο μάζς το δεύτερο κλίνδρο ως: ω ω (4) Λύνοντς τις () κι () ως προς προκύπτει: Οπότε η () λόγω της (5) δίνει: κι ντίστοιχ κι ντικθιστώντς στην (4) T T (5) g T T T g T T T g T T T T (6) g g Τέλος με ντικτάστση της (6) στις (5), () κι () προκύπτον ντίστοιχ: ( )g, ω g, ( ) ω g ( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 8 Κύλινδρος μάζς m κι κτίνς στηρίζετι σμμετρικά μέσω των άκρων το σε δο οριζόντιες σνίδες. Στο μέσο το κλίνδρο είνι τλιγμένο βρές νήμ μέσω το οποίο μπορεί ν σκηθεί εφπτομενικά ως προς την επιφάνει κι κάθετ στον άξονά το δύνμη μέτρο F πό γωνί θ ως προς το οριζόντιο επίπεδο, έτσι ώστε το νήμ ν ξετλίγετι κι ο κύλινδρος ν κλίετι προς τ δεξιά. Αν ο σντελεστής τριβής μετξύ κλίνδρο κι σνίδων είνι μ, πολογίστε τη μέγιστη δύνμη F πο μπορεί ν σκηθεί, ως σνάρτηση της γωνίς θ, έτσι ώστε ν έχομε κύλιση το κλίνδρο, χωρίς ολίσθηση. Δίνετι η ροπή δράνεις το κλίνδρο ως προς τον άξονά το: I = m /. (Τμήμ Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Λύση Fsinθ F ω θ F θ Fosθ Ν C Τ mg Αφού ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση, γι τη μετφορική το κίνηση ισχύει: F m Fosθ T m () κι F y N Fsin θ mg N mg Fsin θ () Ενώ γι την περιστροφική το κίνηση ισχύει: m τ Iω T F m ω T F ω () Επίσης λόγω της κύλισης το κλίνδρο χωρίς ολίσθηση ισχύει: ω ω (4) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Επομένως η () λόγω της (4) δίνει: Κι η () λόγω της (5) δίνει: Fosθ T mω (5) Fosθ T F T F T F(os θ ) T (osθ ) (6) Γι ν μην πάρξει ολίσθηση μετξύ το κλίνδρο κι της οριζόντις επιφάνεις θ πρέπει: (6),() F T μn (osθ ) μ(mg Fsin θ) F (osθ μmg ) μfsin θ μmg F (osθ ) μsin θ Άρ: F max μmg (osθ ) μsin θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ 9 Κύλινδρος μάζς Μ κι κτίνς είνι νηρτημένος με δο νήμτ πο είνι σε ίσες ποστάσεις πό τ άκρ το κλίνδρο. Αν τη χρονική στιγμή t = φεθεί ο κύλινδρος ελεύθερος ν ξετλιχτεί πό την επίδρση το βάρος το, ν βρεθούν: ) Οι τάσεις στ νήμτ β) Η γωνική επιτάχνση γ) Η χρονική εξάρτηση της στιγμιίς ισχύος πο νπτύσσετι πό την επίδρση της βρτικής δύνμης. (Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Λύση ω T T C g ) Ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση κτκόρφ προς τ κάτω, οπότε γι τη μετφορική κίνηση το κέντρο μάζς το ισχύει: F g T T g T () Ενώ γι την περιστροφική το κίνηση περί το άξον, πο διέρχετι πό το κέντρο μάζς το ισχύει: τ Iω T T ω T ω () 4 Ότν ο κύλινδρος περιστρφεί κτά γωνί φ, το κέντρο μάζς το C θ κτέβει κτά y = φ, όσο είνι το ντίστοιχο τόξο (δηλδή το νήμ πο ξετλίγετι). Οπότε ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 d y d φ ω () Έτσι η () λόγω της () δίνει: g T κι με ντικτάστση τής στην () προκύπτει: g T g T 6T g T (4) 4 6 β) Η () λόγω της (4) δίνει γι τη γωνική επιτάχνση το κλίνδρο: g 6 g ω ω (5) 4 γ) Η στιγμιί ισχύς το βάρος, το οποίο προκλεί τη μετφορική κίνηση το κλίνδρο δίνετι πό τη σχέση: P g (6) Αλλά πό τις () κι (5) είνι: g d g t d g (t) gt (7) Άρ η (6) δίνει: P(t) g t ος τρόπος: Σύμφων με το θεώρημ έργο κινητικής ενέργεις κι επειδή ο κύλινδρος ρχικά είνι κίνητος, προκύπτει γι το έργο: W K K Άρ η ισχύς είνι: P dw (8) τελ K 4 ρχ Iω W 4 (8) d (7) gt g P(t) g t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμ Σφίρ μάζς m κι κτίνς r φήνετι πό κεκλιμένο επίπεδο ύψος h κι στη σνέχει διγράφει κύκλο κτίνς, ενώ κλά χωρίς ν ολισθίνει. ) Ν βρεθεί το ελάχιστο ύψος hmin πό το οποίο πρέπει ν φεθεί η σφίρ έτσι ώστε ν φτάσει στο ψηλότερο σημείο το κύκλο, δηλδή ν κάνει νκύκλωση. β) Ποιες είνι στο σημείο Ρ το κύκλο οι σνιστώσες των δνάμεων πο επιδρούν στο σώμ, ν h = ; (Τμήμ Χημείς Ε.Κ.Π.Α.) Λύση m r Γ h mg N O N mg P T ) Στο νώτερο σημείο Γ της τροχιάς στον κύκλο το βάρος mg κι η κάθετη ντίδρση Ν πίζον το ρόλο της κεντρομόλο, οπότε ισχύει: N mg m N m mg () Αλλά πρέπει Ν οπότε η () δίνει: m mg Δηλδή η ελάχιστη τχύτητ της σφίρς στο σημείο Γ ώστε ν κάνει νκύκλωση είνι: min g, η οποί ντιστοιχεί στο ελάχιστο ύψος hmin. Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις γι τη σύνθετη κίνηση της σφίρς μετξύ των θέσεων Α κι Γ, θεωρώντς το οριζόντιο επίπεδο ως επίπεδο μηδενικής δνμικής ενέργεις προκύπτει: g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 K A V A K V mgh min m min Iω mg () Αλλά: min οπότε η () δίνει: g, I mr κι min ωr ω Γmin / r 5 mgh min m min mr 5 min r mg gh min 7 min g gh min 7 g g h min 7 β) Στο σημείο Ρ η κάθετη ντίδρση πίζει το ρόλο της κεντρομόλο, δηλδή: P N m () Εφρμόζοντς την ρχή διτήρησης της ενέργεις μετξύ των θέσεων Α κι Ρ προκύπτει: K A V A K P V P mgh m P I ω mg Αλλά: P ωr ω r, P I mr κι h = οπότε η πρπάνω δίνει: 5 P 7 mg m P mr mg g P g (4) 5 r 7 P Άρ η () λόγω της (4) δίνει: N mg 7 Στο σημείο Ρ γι τη σύνθετη κίνηση της σφίρς ισχύον: τ Iω Tr mr ω T mrω (5) 5 5 F m T mg m (6) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση ισχύει: ωr ω r (7) Η (6) λόγω της (7) δίνει: προκύπτει: T ( T mg ) 5 T mg m r κι με ντικτάστση τής στην (5) 7 T 5 mg T mg 5 7 Πρτηρείτι ότι λόγω το ρνητικού προσήμο της τριβής, τή έχει ντίθετη φορά πό τή πο θεωρήθηκε στ σχήμ. Κι τό είνι λογικό κθώς η τριβή πρέπει ν δίνει επιβρδύνοσ ροπή στο σώμ, δηλδή ν επιβρδύνει την περιστροφική το κίνηση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om