ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ )Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ+= β) 3-χ=4 γ) χ=-6 δ) 4-χ=8 ε) χ- 3 =0 στ) χ- 5 =- )α) Να λυθεί η εξίσωση : (λ-)χ=λ () Ι)Αν λ- 0 λ η () έχει λύση χ= λ λ- ΙΙ)Αν λ-=0 λ= η () 0χ= και είναι αδύνατη β) Ομοια να λυθεί η εξίσωση : λχ=λ(λ-) Ι).............. ΙΙ)............. γ) Δίνεται η εξίσωση: (α -4)χ=α +α Ι) Η εξίσωση με α... και α... έχει λύση την χ=.... ΙΙ)Η εξίσωση με α=... είναι της μορφής 0χ=0 άρα...... ΙΙΙ) Η εξίσωση με α=... είναι της μορφής 0χ=8 άρα...... 3)Να λυθεί η εξίσωση α (χ-) = α(χ+) - α (χ-) = α(χ+) - α χ α = α χ+α- α χ-αχ=α +α- α(α-)χ=(α-)(α+) ()
Ι)Αν α(α-) 0 α 0 και α τότε η εξίσωση () έχει λύση χ= (α-)(α+) α(α-) ΙΙ)Αν α(α-)=0 α=0 ή α= Για α=0 η εξίσωση () γίνεται 0χ=- και είναι αδύνατη Για α= η εξίσωση () γίνεται 0χ=0 και είναι αόριστη Ομοια να λυθεί η εξίσωση : λ(λχ-) = 3(3χ-)-λ = α+ α 4)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α (χ-α)+χ=α(α + ) έχει μία λύση (ως προς χ) για κάθε τιμή του α ε R, και να βρείτε για ποια τιμή του α η λύση της είναι χ=. 0-3
Β)ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5)α) Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ- χ+ = χ+ 0 χ - ΙΙ) = (χ+)(χ+) 0 χ+ χ+ χ-=(χ+) (χ+)=(χ+) χ+ 0 και χ+ 0 χ-=χ+ χ+=χ+ χ - και χ - χ-χ=+ -χ=3 χ=-3(δεκτή) χ-χ=- χ=0 (δεκτή) *(οι λύσεις και στις δύο εξισώσεις είναι δεκτές αφού δεν συμπίπτουν με τους αντίστοιχους περιορισμούς) β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 3 χ = 3 ΙΙ) χ = χ 3 ΙΙΙ) χ χ = χ χ+3 6)α)Να λύσετε την εξίσωση : χ χ = 8 χ- χ+ χ 4 χ χ 8 = χ- χ+ χ 4 χ χ 8 = χ- χ+ (χ )(χ+) ΕΚΠ=(χ-)(χ+) 0 χ- 0 και χ+ 0 χ χ 8 (χ-)(χ+) (χ-)(χ+) =(χ-)(χ+) χ- χ+ (χ )(χ+) χ και χ - χ(χ+) χ(χ-)=8 χ +χ-χ +χ=8 3
4χ = 8 χ= η οποία απορρίπτεται αφου χ συνεπώς η εξίσωση αδύνατη β) Ομοια να λύσετε την εξίσωση : 3 = 6 χ-3 χ+3 χ 9 γ)και την εξίσωση : + = χ χ + χ χ -χ χ χ δ) και τέλος την : + = χ- χ χ+ 4
Γ)ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 7)α)Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ =3χ ΙΙ) χ -6=0 ΙΙΙ) χ(χ-)=5(χ-) χ -3χ=0 (χ-4)(χ+4)=0 χ(χ-)-5(χ-)=0 χ(χ-3)=0 χ-4=0 ή χ+4=0 (χ-)(χ-5)=0 χ=0 ή χ-3=0 χ=4 ή χ=-4 χ-=0 ή χ-5=0 χ=0 ή χ=3 χ= ή χ=5 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -5χ=0 ΙΙ) 4χ -9=0 ΙΙΙ) χ(χ+3)=4(χ+3) Ιν) (χ+) =χ+ 8)α) Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ (χ+) +χ(χ +χ+)=0 ΙΙ) χ 3 -χ=χ +χ χ (χ+) +χ(χ+) =0 χ(χ -)=χ(χ+) χ(χ+)[χ+(χ+)]=0 χ(χ-)(χ+)=χ(χ+) χ(χ+)(χ+)=0 χ(χ-)(χ+)-χ(χ+)=0 χ=0 ή χ+=0 ή χ+=0 χ(χ+)(χ--)=0 χ=0 ή χ=- ή χ=- χ=0 ή χ+=0 ή χ-=0 χ=0 ή χ=- ή χ= β)ομοια να λυθούν οι : Ι) χ 3 (χ-)-9χ(χ-) 3 =0 ΙΙ) χ (χ-)= 4χ-4 5
Δ)ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 9)α) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ = 5 ΙΙ) χ = - ΙΙΙ) 3χ- =4 Ιν) χ+ χ = χ 0 χ=5 ή χ=-5 αδύνατη αφού 3χ-=4 ή 3χ-=-4 χ+ χ = ή χ+ χ =- χ 0 3χ=6 ή 3χ=- χ+=χ ή χ+=-χ χ= ή χ=- 3 χ= ή χ=- 3 β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ =4 ΙΙ) χ-3 =- ΙΙΙ) χ- χ = 0 Ιν) 3χ- =5 ν) χ+ = 0)α) Να λυθεί η εξίσωση : χ-3 = χ+5 χ-3=χ+5 ή χ-3=-χ-5 0χ=8 που είναι αδύνατη ή χ=- χ=- β) Ομοια να λυθούν οι : Ι) χ-3 = χ ΙΙ) 3χ-4 = χ- 6
) α)να λυθεί η εξίσωση: χ -3 = 5 χ -3=5 ή χ -3=-5 χ =8 ή χ =- αδύνατη χ =8 χ = 4 χ=4 ή χ=-4 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -7 = 5 ΙΙ) χ -3 = 9 )α)να λυθεί η εξίσωση: ( x- -3) =3 x- -6=3 x-=9 x- = 9 χ-= 9 ή χ-=- 9 χ=+ 9 ή χ=- 9 χ= 3 ή χ=- 5 β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 3(- x-3 ) = -6 ΙΙ) + x = 6- x ΙΙΙ) x- 4 x- + = 3 4 7
3)α)Να λυθεί η εξίσωση: ( χ +χ)=-4χ χ +χ=-4χ χ =-6χ χ =-3χ () *) Αν -χ 0 χ τότε χ =-χ άρα η () γίνεται -χ=-3χ χ=0 που είναι δεκτή εφ όσον 0 **)Αν -χ<0 χ> τότε χ =-+χ άρα η () γίνεται -+χ=-3χ 5χ= χ= 5 που απορρρίπτεται εφ όσον 5 < Συνεπώς μοναδική λύση της εξίσωσης η χ=0 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ+ =χ- ΙΙ) (χ -χ)=-χ 8
Ε)ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ χ ν =α 4)α)Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ =4 ΙΙ) χ 4 =-4 ΙΙΙ) χ 3 =0 ιν) χ 5 =-3 ν) χ 6 =0 χ= ± 4 αδύνατη χ= 3 0 χ=- 5 3 χ=0 χ= ± χ=- β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ 4 =8 ΙΙ) χ =- ΙΙΙ) χ 5 = Ιν) χ 3 =- ν) χ 4 =0 5)α) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 7χ 3-8=0 7χ 3 =8 χ 3 = 8 7 χ= 3 8 7 χ= 3 ΙΙ) χ 6-6χ =0 χ (χ 4-6)=0 χ =0 ή χ 4-6=0 χ=0 ή χ 4 =6 χ=0 ή χ= ± 4 6 χ=0 ή χ= ± β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 4-9χ =0 ΙΙ) χ+χ 5 =0 ΙΙΙ) 8χ 4 +χ=0 Ιν) χ 7 -χ =0 ν) 6χ 4-8=0 6)α) Να λυθεί η εξίσωση : 8(χ-) 3 =5 (χ-) 3 = 5 8 3 χ-= 5 5 3 = 8 χ=+ 3 5 3 5 χ= + 4 β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) (χ-) =9 ΙΙ) (χ+) 5-6(χ+)=0 ΙΙΙ) 7(-χ) 3 =- 9
ΣΤ)Β-ΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7)α)Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -3χ+=0 ΙΙ) 4χ -4χ+=0 ΙΙΙ) χ -χ+=0 α= β=-3 γ= α=4 β=-4 γ= α= β=- α= Δ=β -4αγ=(-3) -4.. Δ=β -4αγ=(-4) -4. 4. = Δ=β -4αγ=(-) -4.. = =9-8=>0 =6-6=0 =-8=-7<0 χ, = -β ± -(-3) ± = = χ=- β = 4 = α α 4 η εξίσωση είναι αδύνατη 3+ = = 4 3 = 4 β)να λύσετε τις εξισώσεις : Ι) 3χ -χ-8=0 ΙΙ) χ +χ-4=0 ΙΙΙ) 9χ -6χ+=0 Ιν) χ -4χ+4=0 ν) χ -χ +5=0 8)α)Να λυθεί η εξίσωση : (χ+3) +χ=3 χ +6χ+9+χ-3=0 χ +7χ+6=0 7+ 5 α= β=7 γ=6 Δ=β -4αγ=7-4.. 6=49-4=5>0 χ, = -β = ± 7± 5 = α 7 5 = 6 β)να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) (χ+) +(χ-3) =8 ΙΙ) (χ+ ) + χ=0 ΙΙΙ) χ(χ-4)=5-5χ 0
9)αΙ)Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση: χ -6χ=0 Α / τρόπος: χ -6χ=0 χ(χ-3)=0 χ=0 ή χ-3=0 χ=0 ή χ=3 Β / τρόπος: χ -6χ=0 α= β=-6 γ=0 Δ=β -4αγ=(-6) -4.. 0=36 >0 χ, = -β ± = α 6+ 6 = 3 ( 6) ± 36 = 4 6 6 = 0 4 αιι)να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση: χ -5=0 Α / τρόπος: χ -5=0 χ =5 χ= ± 5 Β / τρόπος: χ -5=0 α= β=0 γ=-5 Δ=β -4αγ=0-4. (-5)=0>0 χ, = -β ± = α = 5 = 0± 0 5 = 5 5 β) Να λυθούν με δύο τρόπους οι εξισώσεις : Ι) χ =5χ ΙΙ) (χ-) =6(χ-) ΙΙΙ) χ -8=0 Ιν) 3χ +8=0
0)α) Να λυθεί η εξίσωση: χ χ 5 χ χ 5 χ χ 5 = + = + = () χ+ χ- 4-χ χ+ χ- (-χ)(+χ) χ+ χ- (χ-)(+χ) ΕΚΠ=(χ-)(χ+) 0 χ και χ - () χ χ 5 (χ-)(χ+) =(χ-)(χ+) (χ-)(χ+) χ+ χ- (χ-)(+χ) χ(χ-)=χ(χ+)-5 χ(χ-)-χ(χ+)+5=0 χ -4χ-χ -χ+5=0 χ -6χ+5=0 α= β=-5 γ=6 Δ=β -4αγ=(-5) -4.. 6=5-4=>0 5 χ, = -β = απορριπτεται αφού χ ± ( 5) ± = α 5 + = 3 β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ χ+ = ΙΙ) + 3 = -9χ χ- χ 4χ + 4
)αι) Να λυθεί η εξίσωση: (χ-) +4χ--5=0 () Επειδή (χ-) =χ- ή () γίνεται: χ- +4χ--5=0 Θέτω χ-=ω και άρα η εξίσωση γίνεται: ω +4ω-5=0 με α= β=4 γ=-5 Δ=β -4αγ=4-4. (-5)=6+0=36>0 4+ 6 = -β± -4± 36 4± 6 ω, = = = = α 4 6 = 5 Επειδή χ-=ω και ω= ή ω=-5 => χ-= ή χ-=-5 Η χ-=-5 αδύνατη χ-= χ-= ή χ-=- χ=3 ή χ= αιι) Να λυθεί η εξίσωση: χ + χ--=0 () Αν χ- 0 χ τότε χ-=χ- και η () γίνεται χ +χ--=0 χ +χ-=0 α= β= γ=- Δ=β -4αγ= -4. (-)=+48=49>0 χ, = + 7 = 3 -β± -± 49 ± 7 = = = α 7 = 4 απορριπτεται χ Αν χ- <0 χ < τότε χ-=-χ+ και η () γίνεται χ -χ+-=0 χ -χ-0=0 Α= β=- γ=-0 Δ=β -4αγ=(-) -4. (-0)=+40=4>0 χ, = 4 -β± -(-) ± 4 ± 4 = = = α + 4 απορριπτεται χ< β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: 3
Ι) χ + χ -8=0 ΙΙ) (χ+) -5 χ++6=0 ΙΙΙ) 3χ -0 χ-+0=0 Ιν) χ -χ+ χ--=0 )α) Να λυθεί η εξίσωση: χ 4 +χ -4=0 () Θέτω χ =ψ και η () γίνεται ψ +ψ-4=0 με α= β= γ=-4 Δ=β -4αγ= -4. (-4)=00 + 0 = 4 -β± -± 00 ± 0 ψ, = = = = α 0 = 6 Επειδή χ =ψ => χ =4 ή χ =-6 Η χ =-6 αδύνατη χ =4 χ= ± 4=± β) Ομοια να λυθούν οι: Ι) χ 4 +χ -=0 ΙΙ) χ 4-3χ +=0 ΙΙΙ) χ 4 +5χ +6=0 Ιν) χ 6 +3χ 3-4=0 4
Z) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Β-ΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ )Δίνεται η εξίσωση χ ( χ + ) = λ ( 3 χ - λ + ) α) Να λυθεί β) Να βρε θεί η τιμή του λ ε R για την οποία η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση Οι τύποι τωνριζών χ, μεδ >0 ισχύουν προφανώς και με Δ = 0 επομένως με Δ 0 ( παράδειγμα ) Α) χ ( χ + ) = λ ( 3 χ - λ + ) χ + χ = 3 λ χ - λ + λ χ + χ - 3 λ χ + + λ - λ = 0 χ + ( - 3 λ ) χ + λ - λ = 0 άρα α =, β = - 3 λ, γ = λ - λ και επομένως Δ = β - 4 α γ = ( - 3 λ ) - 4 ( λ - λ ) = 4 - λ + 9 λ - 8 λ + 8 λ = λ - 4 λ + 4 = ( λ - ) 0 - β ± Δ - ( - 3 λ ) ± ( λ - ) Επομένως : χ, = = α - + 3 λ + λ - 4 λ - 4 4 ( λ - ) = = 4 4 4 = λ - - + 3 λ - λ + λ λ = = 4 4 β) Για να έχει η εξίσωση μία διπλή ρίζα προφανώς πρέπει Δ = 0. Επειδή βέβαια Δ = ( λ - ) άρα ( λ - ) = 0 λ - = 0 λ = γ) Α. τρόπος : Για να έχει η εξίσωση μία τουλάχιστον ρίζα τον χ = 3 και επειδή οι ρίζες της εξίσωσης από το α) ερώτημα είναι χ = λ - ή χ = λ προφανώς πρέπει λ - = 3 ή λ = 3 λ = 4 ή λ = 6 Β. τρόπος : Η εξίσωση είναι χ + ( - 3 λ ) χ + λ - λ = 0. Για να έχει ρίζα τον χ = 3 αρκεί ο 3 να την επαληθεύει δηλαδή 5
3 + ( - 3 λ ) 3 + λ - λ = 0 8 + 6-9 λ + λ - λ = 0 λ - 0 λ + 4 = 0 Επομένως α =, β = - 0, γ = 4 Δ = β - 4 α γ = ( - 0 ) - 4 4 = 00-96 = 4 > 0 Αρα : 0 + = = 6 - β ± Δ - ( - 0 ) ± 4 0 ± α = = 4 λ, = = = = 0-8 ) Δίνεται η εξίσωση : α χ - ( α - 3 ) χ + α - = 0 με α ε R * Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του α Φυσικά το πλήθος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας ( αφού Α = α 0 ) εξαρτάται από την Δ ( διακρίνουσα ) Είναι : Α = α, Β = - ( α - 3 ), Γ = α - Δ = Β - 4 Α Γ = [ - ( α - 3 ) ] - 4 α ( α - ) = ( α - 3 ) - 4 α ( α - ) = 4 α - α + 9-4 α + 4 α = - 8 α + 9 επομένως Δ = - 8 α + 9 ι) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες αν Δ > 0-8 α + 9 > 0-8 α > - 9 α < 9 8 ιι) Η εξίσωση έχει μία ρίζα αν Δ = 0-8 α + 9 = 0 α = 9 8 ιιι) Η εξίσωση είναι αδύνατη ( δεν έχει λύση ) αν Δ <0-8 α + 9 < 0-8 α < - 9 α > 9 8 Συμπερασματικά : για α < 9 8 και α 0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες για α = 9 8 η εξίσωση έχει μία ρίζα και 6
για α > 9 / 8 η εξίσωση είναι αδύνατη. 3)Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση ( α - β ) χ - 4 α χ + 4 β = 0 έχει μία διπλή ρίζα τότε η εξίσωση ( α + β ) χ - χ + 3 ( α - β ) = 0 έχει δύο άνισες ρίζες. Εφ όσον η πρώτη εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα άρα Δ = 0 Δ = ( - 4 α ) - 4 ( α - β ) 4 β = 6 α - 6 β ( α - β ) = 6 α - 3 α β + 6 β = 6 ( α - α β + β ) = 6 ( α - β ) ( ) Επομένως αφού Δ = 0 ( λόγω της ( ) ) 6 ( α - β ) = 0 α - β = 0 α = β Πρέπει να αποδείξουμε ότι η δεύτερη εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες δηλαδή Δ > 0 Ομως Δ = ( - ) - 4 ( α + β ) 3 ( α - β ) και επειδή α = β Δ = 4-4 ( α + α ) 3 ( α - α ) = 4-4 α. 3. 0 = 4 > 0 και επομένως η δεύτερη εξίσωση έχει πράγματι δύο άνισες ρίζες. Παρατήρηση : Μια εξίσωση της μορφής α χ + β χ + γ = 0 έχει βέβαια δύο άνισες ρίζες αν Δ > 0, μία διπλή ρίζα αν Δ = 0 και καμία ρίζα αν Δ < 0 με την προϋπόθεση α 0 Ετσι στην παραπάνω άσκηση εφ όσον δίνεται ότι η πρώτη εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα είναι Α = α - β 0 β α Επομένως είναι και α + β 0 αφού αν α + β = 0 α = β = 0 το οποίο είναιαδύνατο επειδή β α 4)Για τις διάφορες τιμές του λ ε R να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : ( λ - ) χ + ( λ - ) χ + ( λ - 3 ) = 0 Στην δοσμένη εξίσωση είναι α = λ -, β = λ -, γ = λ - 3 Επομένως : ι) Αν α = λ - = 0 λ = τότε προφανώς η εξίσωση γίνεται ( - ) χ + ( - 3 ) = 0 3 χ - = 0 πρωτοβάθμια και βέβαια έχει μία λύση ιι) Αν α = λ - 0 λ τότε Δ = ( λ - ) - 4 ( λ - ) ( λ - 3 ) = 4 λ - 4 λ + - 4 λ + λ + 8 λ - 4 = 6 λ 3 Επομένως : α) Αν Δ > 0 6 λ - 3 > 0 λ > 3 / 6 η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες 7
β) Αν Δ = 0 6 λ - 3 = 0 λ = 3 / 6 η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα γ) Αν Δ < 0 6 λ - 3 < 0 λ < 3 / 6 η εξίσωση είναι αδύνατη δηλαδή δεν έχει ρίζες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Δίνονται οι παρακάτω δευτεροβάθμιες ως προς χ εξισώσεις : ι) χ - λ χ - = 0 ιι) χ ( α - χ ) = α ιιι) χ ( χ + α ) = α - ( α + ) ιν) χ - 3 χ = λ ( χ - 3 ) ν) α χ ( χ + ) = 3 + χ - χ Σε κάθε μία από αυτές αντιστοιχίστε μία από τις σχέσεις : Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0, Δ 0 ( όπου Δ φυσικά η διακρίνουσα των παραπάνω εξισώσεων ) ) Για τις διάφορες τιμές του λ ε R να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : ( λ - ) χ - ( λ + ) χ + λ = 0 3) Αφού αποδείξετε ότι η εξίσωση : λ χ + ( λ - ) χ - λ = 0 έχει για κάθε τιμή του λ ε R * δύο άνισες ρίζες, να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες μία λύση της εξίσωσης είναι ο χ = / 4 4)Δείξτε ότι η εξίσωση 3 χ + ( α + β + γ ) χ + α β + α γ + β γ = 0 έχει μία διπλή ρίζα αν και μόνον αν α = β = γ. 5)Να εξετάσετε αν η εξίσωση ( α - β ) χ + β = 0 με 0 < α < β έχει λύση και αν ναι να βρεθεί. 6)Δίνεται η εξίσωση : ( λ - 3 λ + ) χ + ( λ - ) χ + 3 = 0 Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση : α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει μία διπλή ρίζα. 8
Η) ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Με Δ 0 η εξίσωση αχ + βχ + γ=0, α 0 έχει ρίζες χ, χ με S= χ +χ = - β α και Ρ=χ. χ = γ α Επί πλέον η εξίσωση αχ +βχ+γ= 0 γράφεται και χ -Sχ+P=0 ) α)να κατασκευάσετε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες χ =5 και χ =-7 Είναι S=χ +χ =5+(-7)=8 και Ρ=χ. χ =5(-7)=-05 Επομένως επειδή η β-βάθμια εξίσωση έχει μορφή χ - Sχ+ Ρ= 0 χ - 8χ-05=0 β)ομοια να κατασκευάσετε β-βάθμιες εξισώσεις με ρίζες : Ι) χ =, χ =-3 ΙΙ) χ = 3, χ = - 5 3 ΙΙΙ) χ =+, χ =- Ιν) χ =α, χ =- α S= χ +χ =.... S= χ +χ =... S= χ +χ =... S= χ +χ =... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... και επομένως η ζητούμενη εξίσωση που έχει την μορφή χ -Sχ+P=0 είναι:..................................................... )Θεωρούμε την β-βάθμια εξίσωση χ +(λ+)χ-λ -=0 Α)Αποδείξτε ότι έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Β)Αν χ, χ οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης κατασκευάστε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες ρ = και ρ = χ χ Α)Είναι Δ=Β -4ΑΓ=(λ+) 4.. (-λ -)=(λ+) + 8λ +8>0 ως άθροισμα τετραγώνων δηλαδή (λ+) 0, 8λ 0 και 8>0 => Δ>0 άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 9
Β)Η ζητούμενη β-βάθμια εξίσωση θα έχει την μορφή χ - Sχ+P=0 () όπου S=ρ +ρ = χ + χ = χ + χ χχ και Ρ= ρ ρ = χ = χχ χ () Ομως χ, χ είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης άρα χ +χ = - Β = λ+ και Α Γ λ χ χ = = Επομένως οι () γίνονται: Α χ + χ S=ρ +ρ = χχ λ+ - λ = λ+ λ + = και Ρ= ρ ρ = χχ = = -λ λ + Και συνεπώς πλέον η ζητούμενη εξίσωση () είναι η χ λ+ - λ + χ λ + = 0 (λ +)χ (λ+)χ- =0 3)Δίνεται η εξίσωση χ -αχ-=0 με ρίζες χ, χ. Να κατασκευάσετε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες ρ =χ + και ρ =χ + 4)Δίνεται η εξίσωση χ χ +λ=0. α)να βρείτε για ποιές τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Να βρείτε τον λ για τον οποίο ισχύει χ χ +χ χ χ -χ =- όπου χ, χ οι ρίζες της εξίσωσησς α) Δ=(-) -4.. λ=4-4λ 0
Για να έχει η εξίσωση πραγματικές ρίζες πρέπει Δ 0 4-4λ 0 λ β) Είναι χ + χ = - Β Α =- - = και χ χ = Γ Α =λ =λ () Αρα χ χ +χ χ χ -χ =- χ χ (χ +χ ) (χ +χ )=- χ χ (χ +χ ) [(χ +χ ) -χ χ ] =- και επομένως λόγω των () λ. -( -λ)=- 4λ-4+λ=- 6λ= λ=/3 5)Δίνεται η εξίσωση χ - αχ+α-6=0. Αφού βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, να βρείτε τον α έτσι ώστε χ χ + χ χ = Επί πλέον: 6) Δίνεται η εξίσωση ( χ - ) - λ ( χ - 3 ) = 0 που έχει ρίζες ρ, ρ. Αποδείξτε ότι η παράσταση ( ρ - 3 ) ( ρ - 3 ) είναι ανεξάρτητη του λ. 7)Δίνεται η εξίσωση χ + λ χ + λ - 4 λ - 5 = 0. Αν χ, χ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρεθεί ο λ ε R ώστε να ισχύει : + = χ χ 4 8)Δίνεται η εξίσωση : 9 χ + 6 χ + γ = 0 με ρίζες ρ, ρ. Αν γνωρίζουμε ότι ρ - ρ =, α) να βρείτε τις ρίζες ρ, ρ β) να βρείτε τον γ.