Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη κτεύθυνση κι ίσ µέτρ Γωνί δινυσµάτων: θ= (, β ) ή ( β, ) µε θ [0, π] ιάνυσµ θέσης του Μ ή δινυσµτική κτίν του Μ: OM όπου Ο στθερό σηµείο του χώρου. Γι κάθε Α, Β κι Ο σηµείο νφοράς ισχύει: AB= OB OA Τριγωνική νισότητ: Γι κάθε δινύσµτ, β ισχύει: β + β + β Ισχύει: λ = 0 λ = 0 η = 0 Αν λ = λ β κι λ 0 τοτε = β. Αν λ = µ κι 0 τοτε λ = µ Αν γ = κ + λ β τότε το γ λέγετι γρµµικός συνδυσµός των κι β (κ, λ R ) Αν = ( κ, λ) = κi+ λ j το κ λέγετι τετµηµένη κι το λ τετγµένη του κι τ δινύσµτ κi, λ j συνιστώσες του. x Συντετγµένες µέσου Μ δινύσµτος AB : ( A+ xb y, A+ yb Μ ) Συντετγµένες δινύσµτος: Μέτρο δινύσµτος: Αν =(x, y),τότε: AB = ( xb x A, y Β y Α ) = x + y άρ : AB = (x x ) + ( y y ) B A B A 1 1 Ορίζουσ δύο δινυσµάτων: det(, β ) = = Συνθήκη πρλληλίς δινυσµάτων: det(, β ) = 0 Γωνί φ δινύσµτος χ χ : φ [0, π) 1 1 όπου =(x 1, y 1 ) κι β =( x, y ) ή λ 1 = λ ή = λ β y Συντελεστής διεύθυνσης δινύσµτος: λ = = εφφ x όπου =(x, y) µε x 0 κι φ η γωνί που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τον χ χ. Αν y=0 δηλ. ν //χ χ τότε λ = 0 Αν χ=0 δηλ. ν //ψ ψ τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης. Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων:( είνι πργµτικός ριθµός: θετικός, ρνητικός ή µηδέν) Αν είνι µη µηδενικά, τότε: β = β. συνφ όπου φ η γωνί των δινυσµάτων. Αν = 0 ή β = 0 τότε: β = 0

( Αν γνωρίζουµε συντετγµένες, τότε: β = x1 x + y 1 y, όπου =(x 1, y 1 ) κι β =( x, y ) ) Ισχύουν: i) β = β iv) β ( β = β v) β ( β = β vi) //β ( β =± β vii) β β = 0 ή λ 1 λ = -1 Προβολή του v στο : v= προβ v ii) ( β+ γ ) = β + γ ή =λβ µε λ>0 ) ή =λβ µε λ<0 ) ή det(, β ) = 0 iii) = ή =λβ µε λ R* ή λ 1 = λ ) 3 Γωνί ευθείς χ χ: ω [0, π) Ε Υ Θ Ε Ι Α y y Συντελεστής διεύθυνσης (σ.δ.) ή κλίση ευθείς: λ= εφω ή λ= 1 x x 1 ν ξέρω ότι περνά πό τ σηµεί Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) µε x x1. Αν x = x1 τότε (ε) //ψ ψ κι δεν ορίζετι ο σ.δ. ε 1 // ε λ 1 =λ κι ε 1 ε λ 1 λ = -1 εξίσωση ευθείς που περνά πό το σηµείο Α(χ 0, ψ 0 ): ψ- ψ 0 = λ(χ- χ 0 ) όπου λ ο σ.δ. της ευθείς. εξίσωση ευθείς που περνά πό τ σηµεί Α, Β : ψ- ψ 1 = λ(χ- χ 1 ) ή ψ- ψ = λ(χ- χ ) y y όπου λ= 1 x x 1 x x. µε 1 Αν x = x1 τότε (ε): χ = χ 1 κάθετη στον χ χ ( π.χ. χ = -3 ) Αν y = y1 τότε (ε): y = y 1 κάθετη στον ψ ψ ( π.χ. ψ = 4 ) Η ψ = λχ περνά πό την ρχή των ξόνων. Ειδικά η ψ = χ είνι διχοτόµος της 1 ης κι 3 ης γωνίς κι η ψ = -χ διχοτόµος της ης κι 4 ης Η εξίσωση Αχ + Βψ + Γ = 0 πριστάνει εξίσωση ευθείς ότν τ Α, Β δεν µηδενίζοντι συγχρόνως. Η ευθεί Αχ + Βψ + Γ = 0 είνι πράλληλη στο δ =(Β, -Α) κι κάθετη στο η =(Α, Β) Απόστση του Μ πό την (ε) : Αν (ε): Αχ + Βψ + Γ = 0 τότε: Εµβδόν τριγώνου ΑΒΓ : (ΑΒΓ)= 1 det( ΑΒ, ΑΓ) d( M, ε ) = Α x +Β y +Γ Μ Α +Β Μ ή άλλος συνδυσµός των πλευρών.

4 Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Πρβολή µε εστί Ε κι διευθετούσ την ευθεί (δ),λέγετι ο γ.τ. των σηµείων του επιπέδου που ισπέχουν πό την εστί κι πό τη διευθετούσ Εξίσωση πρβολής: ι) ψ =pχ µε άξον συµµετρίς τον χ χ, εστί στον χ χ το σηµείο Ε(p/, 0) κι διευθετούσ την ευθεί χ = -p/ ιι) χ =pψ µε άξον συµµετρίς τον ψ ψ, εστί στον ψ ψ το σηµείο Ε(0, p/) κι διευθετούσ την ευθεί ψ = -p/ Έλλειψη µε εστίες δύο σηµεί Ε κι Ε, λέγετι ο γ.τ. των σηµείων του επιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο του ΕΕ. Εξίσωση έλλειψης: ι) + = 1 ( > β) εστίες στον χ χ τ σηµεί Ε(γ, 0) κι Ε (-γ, 0) όπου γ = -β, µήκος µεγάλου β άξον, µε κορυφές τ Α(, 0) κι Α (-, 0) κι µήκος µικρού β, µε κορυφές τ Β(0, β) κι Β (0, -β) ιι) + = 1( > β) εστίες στον ψ ψ τ σηµεί Ε(0, γ) κι Ε (0, -γ) όπου γ = -β, µήκος µεγάλου β άξον, µε κορυφές τ Α(0, ) κι Α (0, -) κι µήκος µικρού β, µε κορυφές τ Β(β, 0) κι Β (-β, 0) Εκκεντρότητ της έλλειψης + = 1λέγετι ο λόγος ε = γ <1 κι εκφράζει κτά πόσο κυκλοτερής β είνι η έλλειψη. Ειδικά ν το ε τείνει στο 0 τότε η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος ενώ ν το τείνει στο 1 η έλλειψη τείνει ν γίνει ευθύγρµµο τµήµ. Όµοιες ελλείψεις λέγοντι υτές που έχουν την ίδι εκκεντρότητ άρ κι τον ίδιο λόγο β Υπερβολή µε εστίες δύο σηµεί Ε κι Ε λέγετι ο γ.τ. των σηµείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερή κι µεγλύτερη του ΕΕ. Εξίσωση υπερβολής: ι) = 1 εστίες στον χ χ τ σηµεί Ε(γ, 0) κι Ε (-γ, 0) όπου γ = +β κορυφές τ σηµεί β β β Α(,0) κι Α (-, 0), µε σύµπτωτες τις ευθείες ψ = χ, ψ = χ y x ιι) = 1 εστίες στον ψ ψ τ σηµεί Ε(0, γ) κι Ε (0, -γ) όπου γ = +β κορυφές τ σηµεί β β β Α(,0) κι Α (-, 0), µε σύµπτωτες τις ευθείες ψ = χ, ψ = χ Εκκεντρότητ της υπερβολής = 1λέγετι ο λόγος ε = γ β >1. ( όσο πιο µικρό είνι το ε τόσο πιο κλειστή είνι η υπερβολή )

Ισοσκελής υπερβολή λέγετι η υπερβολή = 1ότν =β κι έχει τελικά την εξίσωση χ -y = β 5 Εκκεντρότητ ισοσκελούς υπερβολής a + β a a γ ε = = = = = a a a Ασύµπτωτες της υπερβολής = 1είνι οι ευθείες y β β = χ κι y β = χ

Α Π Ο Ε Ι Ξ Ε Ι Σ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 η ΟΑ+ΟΒ : Αν Ο έν σηµείο νφοράς κι Μ το µέσο του ΑΒ τότε ισχύει: ΟΜ= 6 Ισχύουν οι σχέσεις: ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ ΟΜ=ΟΒ+ΒΜ ΟΜ=ΟΑ+ ΑΜ +ΟΒ+ ΒΜ ΟΑ+ΟΒ ρ τελικ ΟΜ= =ΟΑ+ΟΒ ( ΑΜ= ΒΜ) Ο Α Μ Β η : Αν = ( x1, y1) κιβ = ( x, y), ν.δ.ο. + β = ( x1+ x, y1+ y) Αν i, j τ µονδιί δινύσµτ τότε έχουµε: + β= ( xι+ y j) + ( x i+ y j) = ( x+ x ) i+ ( y+ y ) j= ( x+ x, y+ y ) 1 1 1 1 1 1 3 η : Αν Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) δύο σηµεί του κρτεσινού επιπέδου κι Μ το µέσο του ΑΒ, ν.δ.ο. x1 1 y M ( +, + ) : Έστω Μ(x, y) τότε έχουµε: OM = ( x, y) OA= ( x1, y1 ) OB= ( x, y) Μ Άρ: 1 1 OM = ( OA+ OB) = [( x1, y1) + ( x, y)] 1 x1+ 1+ y [( x1 x ),( y1 y ) (, ) = + + = 1 1 Ο χ Εποµένως: x + + x= κι y= y 4 η : Αν Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) δύο σηµεί του κρτεσινού επιπέδου κι AB= ( x, y) ν.δ.ο. x = x -x 1 κι y = y -y 1 : ψ Α Έχουµε: OA= ( x1, y1 ) κι OB= ( x, y) Β Άρ ΑΒ=ΟΒ ΟΑ= ( x, y) ( x1, y1 ) = ( x x1, y y1 ) Ο χ εποµένως x = x -x 1 κι y = y -y 1

5 η : Αν =(x, y) έν διάνυσµ του κρτεσινού επιπέδου, ν.δ.ο. = x + y 7 : ψ Έστω Α έν σηµείο τέτοιο ώστε OA= a τότε a = OA = ( OA) Γ Α a Αν ΑΒ χ χ κι ΟΓ ψ ψ τότε (ΟΒ)= x κι (ΟΓ)= y. Άρ Ο Β χ = ( ΟΑ ) = ( ΟΒ ) + ( ΑΒ ) = ( ΟΒ ) + ( ΟΓ) = x + y = x + y ρ = x + y 6 η : Αν = ( χ1, y1) κι β = ( χ, y) µε συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ, ν.δ.ο. // β λ1 = λ : Επειδή ορίζοντι οι συντελεστές διεύθυνσης των δινυσµάτων θ έχουµε x 1, x 0. Άρ έχουµε τις πρκάτω ισοδυνµίες y y // β det(, β ) = 0 = 0 = 0 = = λ = λ x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 η : Ν.δ.ο. ( β+ γ ) = β+ γ = ( x, y ), β = ( x, y ), γ = ( x, y ) Έστω 1 1 3 3 τότε έχουµε: ( β+ γ ) = (x1, y 1 ) (x +x 3, y +y 3 ) = x 1 (x +x 3 ) + y 1 (y +y 3 ) = x 1 x + x 1 x 3 + y 1 y + y 1 y 3 =( x 1 x + y 1 y ) +( x 1 x 3 + y 1 y 3 ) = β + γ 8 η : Ν.δ.ο. β λλ 1 = 1 = ( x, y ), β = ( x, y ) τότε έχουµε Έστω 1 1 όπου λ1 = λ κι λ = λ, (, β // y y β β = 0 x x + y y = 0 y y = x x = 1 = 1 (* επειδή, β // * 1 1 1 1 1 λλ 1 x1 x y y θ είνι x 1, x 0 ) 9 η : Αν προβ v η προβολή του v πάνω στο, ν.δ.ο. v = προβ v Με ρχή έν σηµείο Ο πίρνουµε τ δινύσµτ ΟΑ= κι ΟΜ= v. Μ Αν ΜΒ κάθετη στη διεύθυνση του ΟΑ τότε ΟΒ= προβ v. Άρ έχουµε β y y) v ( ΒΜ ) v= ( ΟΒ+ΒΜ ) = ΟΒ+ ΒΜ = ΟΒ+ 0= ΟΒ= προβ v Ο Β Α

10 η : Αν = ( x1, y1) κιβ = ( x, y) ν.δ.ο. β = x1 x + y 1 y. 8 β y Θεωρούµε τ δινύσµτ OA= a, κι = β Β(x, y ) Ισχύει: β = β. συνφ =(ΟΑ)(ΟΒ)συνφ. (1) Α(x 1, y 1 ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ πό νόµο συνηµίτονων έχουµε: φ (ΑΒ) =(ΟΑ) + (ΟΒ) - (ΟΑ)(ΟΒ)συνφ Ο x (ΑΒ) = (ΟΑ) + (ΟΒ) - β () (1) ΟΒ Όµως έχουµε : (ΑΒ) = (x -x 1 ) +(y -y 1 ), (OA) =x 1 +y 1, (ΟΒ) =x +y Άρ η () γίνετι: (x -x 1 ) +(y -y 1 ) = ( x 1 +y 1 ) + ( x +y ) - β - x x 1 - y y 1 = - β x x 1 + y y 1 = β

ΕΥΘΕΙΕΣ 9 Ν.δ.ο. η εξίσωση της ευθείς (ε) η οποί περνά πό το σηµείο Α(χ 0, ψ 0 ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είνι η: ψ-ψ 0 = λ(χ-χ 0 ) πόδειξη Έστω Μ(χ, ψ) τυχίο σηµείο της (ε) διφορετικό του Α. Το Μ είνι σηµείο της (ε) ν κι µόνο ν ΑΜ //( ε ) δηλ. ν κι µόνο ν λ λ κι επειδή ψ ψ 0 ΑΜ= ( χ χ0, ψ ψ 0), θ πρέπει χ χ 0 ε ΑΜ = = λ δηλ. ψ-ψ 0 = λ(χ-χ 0 ) η οποί είνι η εξίσωση της (ε). ε Ν.δ.ο. κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α 0 ή Β 0 ψ Αν η ευθεί έχει συντελεστή διεύθυνσης λ κι τέµνει τον ψ ψ στο Β(0, β) Β τότε έχει εξίσωση: ψ = λχ + β η οποί µπορεί ν γρφεί στη µορφή: χ λχ+ (-1)ψ +β =0, ( Α=λ, Β=-1, Γ=β. ) Ο Αν η ευθεί είνι κτκόρυφη κι περνά πό το σηµείο Μ(χ 0, ψ 0 ), τότε έχει εξίσωση χ=χ 0 η οποί µπορεί ν γρφεί στη µορφή χ + 0 ψ +(-χ 0 ) = 0, ( Α=1, Β=0, Γ=-χ 0 ) Άρ κι στις δύο πρπάνω περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς έχει τη µορφή: Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α 0 ή Β 0. Ν.δ.ο. η εξίσωση της µορφής Αχ+Βψ+Γ=0 (1) µε Α 0 ή Β 0 πριστάνει ευθεί γρµµή. Α Γ Αν Β 0, τότε η (1) γράφετι: Βψ = -Αχ-Γ ψ = χ η οποί είνι εξίσωση ευθείς µε Β Β συντελεστή λ= - Α/Β κι τέµνει τον ψ ψ στο Μ(0, - Γ Β ). Αν Β=0, τότε σύµφων µε την υπόθεση θ πρέπει Α 0, άρ η (1) γίνετι: Αχ+Γ=0 χ = - Γ Α η οποί είνι εξίσωση ευθείς κάθετη στον χ χ στο σηµείο Μ( - Γ Α, 0). Στις υπόλοιπες περιπτώσεις η (1) πριστάνει πάντ ευθεί.

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Ν.δ.ο. η εξίσωση ενός κύκλου µε κέντρο Κ( χ 0,ψ 0 ) κι κτίν ρ είνι: (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =ρ 10 Αν Μ(χ, ψ) τυχίο σηµείο του κύκλου, τότε θ πρέπει (ΚΜ)=ρ δηλ. (KM)= ( x x ) + ( y y ) 0 0 δηλ. ρ = ( x x ) + ( y y ) 0 0 Ν.δ.ο. η εξίσωση χ +ψ +Αχ+Βψ+Γ=0 (1) πριστάνει κύκλο ότν Α +Β -4Γ>0 του οποίου ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν. : Έχω: x +y +Αx+Βy+Γ=0 Α A B B A B ( x + x+ ) + ( y + y+ ) +Γ= + 4 4 4 4 ( x+ A ) + ( y+ B ) = A + B Γ 4 4 4 ( A ) ( B ) A +Β Γ x+ + y+ = (). 4 Από την τελευτί εξίσωση συµπερίνουµε ότι ν Α +Β -4Γ>0 η (1) πριστάνει κύκλο µε κέντρο το Κ(-Α/, -Β/ ) κι κτίν ρ = Α +Β 4Γ Ν.δ.ο. η εξ. εφ. του κύκλου C: x +y =ρ σε έν του σηµείο Α(x 1, y 1 ) είνι: xx 1 +yy 1 = ρ : (ε) ψ Έστω (ε) η εφπτοµένη του κύκλου στο Α κι έν τυχίο σηµείο της Α Μ(χ, ψ). Τότε θ πρέπει: Ο χ ΟΑ ΑΜ ΟΑ ΑΜ= 0 (x 1, y 1 ) (x-x 1, y-y 1 ) = 0 Μ x 1 (x-x 1 ) + y 1 (y-y 1 ) = 0 x 1 x - x 1 + y 1 y - y 1 = 0 x 1 x + y 1 y = x 1 + y 1 (1). Όµως το Α είνι σηµείο του κύκλου, άρ επληθεύει την εξίσωσή του δηλ. x 1 + y 1=ρ. Εποµένως η (1) γίνετι: xx 1 +yy 1 = ρ Ν.δ.ο. γι την εκκεντρότητ ε της έλλειψης + = 1ισχύει: β β 1 ε = β β β β γ γ Θ.δ.ο. = 1 ε = 1 ε ε = 1 ε = ε = ε = που ισχύει β Ν.δ.ο. γι την εκκεντρότητ ε της υπερβολής = 1ισχύει: ε 1 β = Θ.δ.ο. β β β + β γ γ = ε 1 = ε 1 ε = 1+ ε = ε = ε = που ισχύει