Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri de integrale definite de funcţii reale.. Reziduu: definiţie, calcul, teorema reziduurilor Să considerăm în cele ce urmează o funcţie olomorfă f : D C (D C, D domeniu).fie acum a C astfel încât f admite dezvolare în serie Laurent: X (..) f (z) = a n (z a) n în coroana circulară: (..) n= < z a <R Definitia. Punctul a se numeşte punct ordinar dacă seria Laurent.. este serie Taylor (nu are termeni cu puteri negative ale lui (z a) ),punct singular esenţial izolat dacă partea principală are un număr infinit de termeni şi pol de ordin k dacă partea principală are un număr finit de termeni, primul coeficient nenul fiind a k (adică f (z) = P n= k a n (z a) n,a k 6=). --
Definitia. Dacă a este un punct singular esenţial izolat sau un pol se numeşte reziduul funcţiei f în punctul a câtul dintre valoarea integralei funcţiei f pe o curbăînchisă simplă situată în coroana circulară.. ( curbă caresă înconjoare punctul a şi să fie parcursăînsensdirect)şi πi: Rez(f,a) = I (..) f (z) dz, πi conform figurii următoare: C C R a D Definitia. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul de la infinit câtul dintre valoarea integralei funcţiei pe o curbă simplă închisă parcursă în sens invers,(în exteriorul curbei funcţia neavând alt punct singular decât (eventual) punctul de la infinit) şi πi. Legătura dintre seria Larent.. şi reziduul funcţiei f în punctul a este datăde: --
Teorema. Reziduul funcţiei f în punctul a este egal cu coeficientul lui dezvoltarea în serie Laurent (..): Rez(f,a) =a iar reziduul punctului de la infinit este egal cu acelaşi coeficient înmulţit cu -: Rez(f,a) = a din dezvoltarea în serie Laurent în exteriorul unei coroane circulare: f (z) = X n= a n z n, z >R. z a din Demonstraţia teoremei se bazează pe posibilitatea integrării termen cu termen a seriei Laurent şi pe egalităţile: I ½ (z a) n,n6= dz = πi, n = C Deoarece calculul dezvoltării seriei Laurent a unei funcţii olomorfe necesită un volum mare de calcul în cazul în care punctul în care se calculează reziduul este pol, se pot folosi: Teorema. Dacă a este pol de ordin k pentru funcţia f atunci ³ Rez(f,a) = (k )! lim (z a) k f (z) (k ). z a -4-
Teorema. Dacă f (z) = g(z) h(z), cu g (a) 6=,h(a) =,h (a) 6= (adică aestepol simplu) atunci: Rez(f,a) = g (a) h (a). Teorema cea mai utilăînaplicaţi este teorema reziduurilor. Pentru aceasta să considerăm o funcţie f olomorfă şi o curbă Γ închisă simplă, care are în interiorul ei punctele singulare de tip poli sau puncte singulare esenţiale izolate notate a,a,..., a n, conform figurii de mai jos: G T a C T n T a n D a C C n Teorema.4 (teorema reziduurilor) Integrala functiei f pe curba Γ este egală cusuma reziduurilor funcţiei f pe punctele a,a,...,a n înmulţităcuπi : I nx f (z) dz =πi Rez(f,a k ). Γ -5- k=
O consecinţă a teoremei reziduurilor şi a definiţiei reziduului punctului de la infinit este: Corolarul. Dacă f este o funcţiei care este olomorfă în tot planul complex, mai puţin punctele a,a,..., a n care sun poli sau puncte singulare esenţiale izolate, atunci suma tuturor reziduurilor funcţiei f (inclusiv în punctul de la infinit) este nulă: nx Rez(f,a k ) + Rez(f, ) =. k=. Aplicaţii.. Calculul integralelor de forma R π R (sin x, cos x) dx, unde R (sin x, cos x) este o funcţie raţionalăinsin x şi cos x. Pentru calculul acestor integrale facem schimbarea de variabilă z = e ix şi conform formulelor lui Euler: sin x = eix e ix = z z, cos x = eix + e ix = z + z (..) i i, iar dz = ieix dx, de unde dx = dz iz. Cu această schimbare de variabilă integrala va deveni o integrală pe -6-
cercul de rază şi centrul O, adică: π I (..) R (sin x, cos x) dx = C(O,) R Ã z z, z +! z i dz iz = I C(O,) R (z)dz. Pentru calculul ultimei integrale din formula.. aplicăm teorema reziduurilor pentru funcţia R (z) pe cercul C(O, ) (vezi figura de mai jos). jy z z - O z z n x Conform acestei teoreme (..) R (z)dz =πi C(O,) X z k <,k=,n Rez (R (z),z k ) (în sumăseconsideră reziduurile funcţiei R (z) în toate punctele singulare, care vor fi poli, din interiorul cercului C(O, ), notate în figura alăturatăcuz, z,z, z n ) Exemplul. Fiedecalculat R π dx +5 cos x. Cu schimbarea de variabilă.. inte- -7-
grala devine: dz iz = dz (..4) C(O,) + 5 z+ z i C(O,) 5z +6z +5 Rădăcinile numitorului din ultima inegrală suntz = 5,z = 5. A doua rădăcină este situată în interiorul cercului unitate şi reziduul corespunzător este Rez z+6 = z= /5 4. Aplicând formula.. avem: dz i C(O,) 5z +6z +5 = i πi 4 = π 6 De unde rezultă că R π dx +5 cos x = π 6. (Să observăm că folosind teorema reziduurilor calculul acestei integrale se reduce la o schimbare de variabilă şi la calculul derivatei unui polinom de gradul doi într-un punct)... Calculul integralelor de forma R polinoame. Q(x) dx, unde şi Q (x) sunt 5z +6z+5, 5 Pentru convergenţa integralei de mai sus e necesar ca P să aibă gradul cu cel puţin două unităţi mai mic decât gradul lui Q. Pentru a putea aplica teorema reziduurilor la calculul acestor integrale avem nevoie de următoarea lemă: Lemma. (lema Jordan) Dacă Γ R este un arc de cerc cu centrul în origine şi de rază R, f : D C o funcţie olomorfă cuγ R D pentru R suficient de mare şi -8- =
lim z zf (z) =atunci (..5) lim f (z) dz =. R Γ R Demonstraţie: Din lim R zf (z) =rezultă că pentru orice ε>există un M > astfel încât pentru R = z > M avem zf (z) < ε. Atunci: f (z) dz zf (z) Γ R Γ R z dz ε ds ε πr =πε R Γ R R pentru R>Mde unde rezultă..5. Să revenim acum la calculul integralelor de forma R Q(x) dx, unde Q n-are rădăcini reale şi are gradul mai mare cu cel puţin două unităţi ca P. Pentu a găsi formula considerăm funcţia f (z) = Q(z) şi integrala ei pe conturul format din [ R, R] Γ R parcurs în sensul trigonometric (vezi figura de mai jos) jy G R z z n -R O R x R fiind suficient de mare astfel încât toate rdăcinile lui Q cu partea imagrinară pozitivă -9-
să fie în interiorul acestui I contur (punctele z,...z n ). Conform teoremei reziduurilor X (..6) f (z) dz =πi Rez (f (z),z k ) [ R,R] Γ R z k,q(z k )=,Im z k > Dar I (..7) f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz [ R,R] Γ R [ R,R] Γ R iar din cauza gradelor lim z zf (z) =prin urmare funcţia f verifică condiţile din lema Jordan. Trecând la limită în (..7) pentru R adoua integralăvatindela.ţinând cont de..6 rezultă(pe(, ) f (z) =f (x) = Q(x) ): X µ (..8) dx =πi Rez Q (x) Q (z),z k z k,q(z k )=,Im z k > Exemplul. Calculul R dx x 4 +. Avem în formula..8 =,Q(x) =x4 +. Rezolvând ecuaţia Q (z) =avem: z 4 = =cosπ + i sin π de unde soluţiile z k =cos π+kπ 4 + i sin π+kπ 4.k=,. Rădăcinile lui Q cu partea imaginară pozitivă - -
sunt cele care au argumentul între şi π deci z şi z. Conform formulei..8: µ µ µ dx x 4 + =πi Rez z 4 +,z +Rez z 4 +,z = µ =πi 4z + µ z 4z =πi 4z 4 + z 4z 4 = µ z + z =πi = πi µ cos π 4 4 + i sin π 4 +cosπ 4 + i sin π 4 = πi i = π = Exemplul. soluţiile: x 4 +x + dx. Aflăm rădăcinile numitorului: z 4 + z + = z z 6 =,z 6= ± z k =cos kπ 6 kπ + i sin 6 = ekπ 6 i,k =, 5. - -
Cele cu partea imaginară pozitivă sunt z,z. Deci: µ µ µ dx =πi Rez x 4 + x + z 4 + z + ; z +Rez z 4 + z + ; z = µ =πi 4z +z + 4z +z = µ =πi 4e πi +e π i + 4e πi +e π i = Ã! =πi 4+ /+i / + 4+ /+i / = µ =πi +i + +i = =πi +i +i 9 =πi i = π Pentru calculul următoarelor tipuri de integrale avem nevoie de următoarea lemă: Lemma. (lema Jordan) Dacă γ r este un arc de cerc cu centrul în origine şi de rază r, f : D C o funcţie olomorfă cuγ r D pentru r suficient de mic şi - -
lim z zf (z) =atunci (..9) lim f (z) dz =. r γ r Demonstraţia este analoagă cu cea a lemei Jordan. Remarca. Dacă lim z zf (z) =l şi γ r este un arc de cerc cu centrul în origine de rază r şi unghi constant θ atunci se poate demonstra că lim r Rγ r f (z) dz = liθ... Calculul integralelor de forma R polinoame. Q(x) dx, unde şi Q (x) sunt În acest caz se presupune că Q n-are rădăcini reale şi pozitive şi are gradul mai mare cu cel puţin două unităţi ca P. Pentru a calcula această integralăseconsideră funcţia f (z) = Q(z) ln z şi integrala ei pe conturul (r fiind suficient de mic şi R suficient de mare astfel încât toate rădăcinile lui Q să fie în interiorul conturului): jy g r -r O r x - -
Avem: (..) = R [A,B] Q(z) ln zdz+ R Γ R H [A,B] Γ R [B,A ] γ r Q(z) ln zdz= Q(z) ln zdz+ R [B,A ] Q(z) ln zdz+ R γ r P ³ =πi Rez Q(z) ln z,z k z k,q(z k )= R Q(z) ln zdz= Dar ln zdz= ln xdx ln xdx [A,B] Q (z) r Q (x) Q (x) când r şi R, R ln zdz= (ln x+πi) dx ln xdx πi [B,A ] Q (z) r Q (x) Q (x) (am ţinut cont că prin trecerea de la B la B se face o rotaţie de π în jurul originii, deci ln îşi măreşte valoarea cu πi )cândr şi R. De asemenea se constată că funcţia f verificăipotezeledinlemeleşi Jordan, deci: lim r lim R γ Q (z) r Γ R Q (z) ln zdz = ln zdz = Trecând la limită în.. când r şi R. şi ţinând cont de limitele de mai - 4- Q (x) dx
sus obţinem: sau: (..) πi X dx =πi Q (x) Q (x) dx = z k,q(z k )= X z k,q(z k )= Rez Rez µ Q (z) ln z,z k µ Q (z) ln z,z k Exemplul.4 R dx x +. Aplicăm formula.. pentru =,Q(x) =x +. Rădăcinile lui Q sunt (folosind notaţia exponenţială) z = e πi, z = e πi+πi =, - 5-
z = e πi+4πi. Atunci Rez z + ln z,z k = ln z k z k = z k ln z k. (z k = )şi deci: Q (x) dx = (z ln z + z ln z + z ln z )= = µ πi eπi + πie πi + 5πi e5πi = = πi µ cos π 9 + i sin π +5cos5π +5isin 5π Ã = πi Ã!! 9 + i +5 +5i = Ã = πi! 9 4i = π. =..4 Calculul integralelor de forma R polinoame, iar α (, ). x α Q(x) dx, unde şi Q (x) sunt Pentru calculul acestor integrale se face acelaşi raţionament ca la cazul precedent, pentru f (z) =z α Q(z), (aceleaşi condiţi asupra gradelor polinoamelor, iar Q poate săaibă - 6-
ca rădăcinăreală(simplă) doar pe ). Avem: z α R [B,A ] Q (z) dz = x α e πiα r Q (x) obţinem: e πiα x α X (..) dx =πi Q (x) dx eπiα z k,q(z k )= Rez x α Q (x) dx µ z α Q (z),z k x Exemplul.5 R x + dx. În acest caz în formula.. avem α =,P(x) =, Q (x) =x +. Rădăcinile lui à Q sunt ±i! iar reziduurile corespunzătoare sunt: z Rez z +,i = i i = eπi i şi deci: Rez à ³ e 4πi z z +, i! x x + =πi = π - 7- eπi = i i = i Ãe πi i ³ e πi e πi! eπi + i =
De unde rezultă: ³ πi x π e πi e x + dx = ³ = π. e 4πi Bibliografie [] Borislav Crstici si col., Matematici Speciale, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 98. [] I. Corovei si col. Culegere de probleme de matematici speciale vol. II, Lito IPCN 987. - 8-