Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ι- διοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα, καθώς και της διαδικασίας διαγωνοποίησης. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα Περιεχόµενα 1 ιαγωνοποιήσιµος Πίνακας 3 2 Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο 3 3 Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα 3 4 Εύρεση Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιαγωνοποίηση 3 5 Ελάχιστο Πολυώνυµο 4 6 Τετραγωνικές Μορφές 4
Κ. Κυρίτσης 3 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα 1 ιαγωνοποιήσιµος Πίνακας Εστω ο τετραγωνικός πίνακας A και έστω ένας αντιστρέψιµος πίνακας P, τέτοιος ώστε ο πίνακας D = P 1 AP να είναι διαγώνιος. Τότε ϑα λέµε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος. 2 Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Εστω ο τετραγωνικός πίνακας A. Ο πίνακας M = I n λa λέγεται χαρακτη- ϱιστικός πίνακας του A. Η det M = det(i n λa) είναι ένα πολυώνυµο ώς προς λ ϐαθµού n και λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A. Συµβολίζεται µε (λ). Θεώρηµα 1 (Θεώρηµα Cayley Hamilton) Κάθε πίνακας A είναι ϱίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου. Για πίνακα 2 2 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι Για πίνακα 3 3 είναι (λ) = λ 2 (tra)λ + det A. (λ) = λ 3 (tra)λ 2 + (A 11 + A 22 + A 33 )λ det A. 3 Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα Εστω ο πίνακας A και έστω ότι για κάποιο διάνυσµα u και κάποιο ϐαθµωτό λ είναι Au = λu. (1) Σ αυτή την περίπτωση ϑα λέµε ότι το u είναι ιδιοδιάνυσµα και το λ η αντίστοιχη ιδιοτιµή. 4 Εύρεση Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιαγωνοποίηση Οι ιδιοτιµές ϐρίσκονται από την εξίσωση (λ) = 0 ενώ τα ιδιοδιανύσµατα από την εξίσωση (1).
Κ. Κυρίτσης 4 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα Αν ο πίνακας είναι n n και έχει m < n ιδιοδιανύσµατα, τότε δεν είναι διαγωνοποιήσιµος. Αν έχει ακριβώς n ιδιοδιανύσµατα u i, τότε διαγωνοποιείται και είναι D = P 1 AP όπου P = (u i ) και D = diag(λ 1, λ 2,...,λ n ). Σ αυτή την περίπτωση γράφουµε A = PDP 1. 5 Ελάχιστο Πολυώνυµο Αν A είναι n n πίνακας και J(A) το σύνολο των πολυωνύµων που έχουν τον A ϱίζα, τότε, το monic 1 πολυώνυµο m(t) µικρότερου ϐαθµού στο J(A) λέγεται ελάχιστο πολυώνυµο του A. Το ελάχιστο πολυώνυµο του A διαιρεί κάθε πολυώνυµο στο J(A). Επιπλέον το m(t) και το (λ) του A έχουν τους ίδιους irreducible παράγοντες. 6 Τετραγωνικές Μορφές Το πραγµατικό πολυώνυµο των µεταβλητών x 1, x 2,...,x n, q(x 1, x 2,...,x n ) = i c ix 2 i + i<j d ijx i x j λέγεται τετραγωνική µορφή. Αν d ij = 0 ϑα λέγεται διαγώνια. Κάθε τετραγωνική µορφή µπορεί να γραφτεί σε πινακική µορφή σαν q = X T AX, όπου X = x 2... και A = (a ij ) µε a ii = c i και a ij = 1d 2 ij. Ο πίνακας A είναι πραγµατικός και συµµετρικός. Αν γίνει η γραµµική αλλαγή µεταβλητών X = P Y, τότε η τετραγωνική µορφή γίνεται x 1 x n q(y ) = Y T (P T AP)Y. ιαγωνοποιώντας τον πίνακα A και διαλέγοντας µοναδιαία (κανονικοποιηµένα) ιδιοδιανύσµατα, έχουµε τον πίνακα P που διαγωνοποιεί την τετραγωνική µορφή. Σ αυτή την περίπτωση ο P είναι ορθογώνιος, P T = P 1. 1 Ενα πολυώνυµο λέγεται monic αν ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου είναι το 1.
Κ. Κυρίτσης 5 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 6 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 7 Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ