ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

Με πόφση της ελληνικής κυβερνήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμνσίου κι του Λυκείου τυπώνοντι πό τον Οργνισμό Εκδόσεως Διδκτικών Βιβλίων κι δινέμοντι δωρεάν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999 Κτά τη συγγρφή του κτβλήθηκε προσπάθει, ώστε το περιεχόμενό του ν ντποκρίνετι στις δυντότητες των μθητών, γι τους οποίους προορίζετι, κι ν είνι δυντή η ολοκλήρωση της διδσκλίς του στο χρόνο, που προβλέπετι πό το ωρολόγιο πρόγρμμ Το βιβλίο ποτελείτι πό πέντε κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στο Δινυσμτικό Λογισμό κι στην Ανλυτική Γεωμετρί Τ δινύσμτ έχουν ιδιίτερη σημσί όχι μόνο γι τ Μθημτικά λλά κι γι πολλές άλλες επιστήμες, φού προσφέρουν τη δυντότητ μθημτικοποίησης μεγεθών, τ οποί δεν ορίζοντι μόνο με την ριθμητική τιμή τους Εξάλλου, η μφιμονοσήμντη ντιστοιχί ενός σημείου του επιπέδου με έν διτετγμένο ζεύγος πργμτικών ριθμών οδηγεί στην λγεβροποίηση της Γεωμετρίς, δηλδή στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με λγεβρικές μεθόδους Στο δεύτερο κεφάλιο, φού δοθεί ο ορισμός της εξίσωσης μις γρμμής, μελετώντι οι ιδιότητες της ευθείς Στο τρίτο κεφάλιο συνεχίζετι η ύλη της Ανλυτικής Γεωμετρίς με τη σπουδή των κωνικών τομών, οι οποίες γι πρώτη φορά μελετήθηκν πό τους Αρχίους Έλληνες Σήμερ το ενδιφέρον γι τις κωνικές τομές είνι υξημένο εξιτίς του μεγάλου ριθμού των θεωρητικών κι πρκτικών εφρμογών τους Το τέτρτο κεφάλιο ποτελεί μί εισγωγή στη Θεωρί Αριθμών, στην νάπτυξη της οποίς μεγάλη είνι η συμβολή των Αρχίων Ελλήνων Κύριος στόχος της διδσκλίς της ενότητς υτής είνι η άσκηση των μθητών στην ποδεικτική διδικσί Στο πέμπτο, τέλος, κεφάλιο εισάγετι ο λογισμός με μιγδικούς ριθμούς, οι οποίοι ποτελούν τη βάση γι τη Μθημτική Ανάλυση κι συγχρόνως έ- χουν πολλές πρκτικές εφρμογές στις άλλες επιστήμες Τ οποιδήποτε σχόλι, πρτηρήσεις ή κρίσεις γι το βιβλίο, πό συνδέλφους, πό μθητές κι πό κάθε πολίτη που ενδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς, θ είνι πολύ ευπρόσδεκτ πό τη συγγρφική ομάδ Οι πρτηρήσεις ν ποστέλλοντι στο Πιδγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 396, 53 0 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 998

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Δινύσμτ Η Έννοι του Δινύσμτος Πρόσθεση κι Αφίρεση Δινυσμάτων 6 3 Πολλπλσισμός Αριθμού με Διάνυσμ 4 Συντετγμένες στο Επίπεδο 9 5 Εσωτερικό Γινόμενο Δινυσμάτων 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Η Ευθεί στο Επίπεδο Εξίσωση Ευθείς 57 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείς 65 3 Εμβδόν Τριγώνου 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Κωνικές Τομές 3 Ο Κύκλος 8 3 Η Πρβολή 89 33 Η Έλλειψη 00 34 Η Υπερβολή 3 35 Η Εξίσωση Α +B +Γ+Δ+E=0 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Θεωρί Αριθμών 4 Η Μθημτική Επγωγή 35 4 Ευκλείδει Διίρεση 40 43 Διιρετότητ 45 44 Μέγιστος Κοινός Διιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο 50 45 Πρώτοι Αριθμοί 6 46 Η Γρμμική Διοφντική Εξίσωση 70 47 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Μιγδικοί Αριθμοί

5 Η Έννοι του Μιγδικού Αριθμού 85 5 Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγδικών 88 53 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 54 Τριγωνομετρική Μορφή Μιγδικού 0 55 Πολυωνυμικές Εξισώσεις στο C ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση δύο δυνάμεων που σκούντι σε έν σώμ εκφράζοντι πό τη διγώνιο του πρλληλόγρμμου που σχημτίζουν, ήτν γνωστός με διάφορες μορφές στους Αρχίους Έλληνες επιστήμονες Ο Ήρων ο Αλεξνδρεύς, γι πράδειγμ, στο έργο του Μηχνικά ποδεικνύει με χρήση νλογιών την κόλουθη γεωμετρική πρότση: Αν έν σημείο Σ κινείτι με ομλή κίνηση κτά μήκος μις ευθείς ΑΒ, ενώ συγχρόνως η Γ Δ ΑΒ κινείτι πράλληλ προς τον ευτό της με Α το άκρο Α ν διγράφει μι ευθεί ΑΓ, τότε η Β Σ πργμτική τροχιά του Σ (η συνιστμένη κίνηση ) θ είνι η διγώνιος ΑΔ του Α Β πρλληλόγρμμου ΑΒΓΔ Αυτός ο κνόνς χρησιμοποιήθηκε πολλούς ιώνες γι το γεωμετρικό προσδιορισμό της συνιστμένης, χωρίς όμως ν θεωρείτι έν νέο είδος πρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων, διφορετικό πό εκείνο που χρησιμοποιείτι στην Ευκλείδει Γεωμετρί Γι ν γίνει υτό, χρειάστηκε πό τη μι μεριά η ποδοχή κι συστημτική χρήση των ρνητικών ριθμών στ Μθημτικά κι πό την άλλη η μελέτη φυσικών ποσοτήτων όπως η τχύτητ, η δύνμη, η ορμή κι η επιτάχυνση, που χρκτηρίζοντι τόσο πό το μέτρο όσο κι πό τη διεύθυνσή τους Αυτές οι εξελίξεις έφερν στο προσκήνιο τις έννοιες της προσντολισμένης κίνησης κι του προσντολισμένου ευθύγρμμου τμήμτος, τις πρώτες ιδέες των οποίων συνντάμε σε έργ επιστημόνων του 7ου ιών όπως οι J Wallis, I Newton κι GW Leibniz Η νάπτυξη ενός συστημτικού λογισμού με προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ άρχισε στ τέλη του 8ου ιών, γι ν δοθεί μι γεωμετρική ερμηνεί στους ρνητικούς ριθμούς, λλά κι γι ν βρεθεί ένς τρόπος νλυτικής έκφρσης του μήκους κι της διεύθυνσης των ευθύγρμμων τμημάτων Πρωτοπορικό υπήρξε προς υτή την κτεύθυνση το έργο των C Wessel (799) κι R Argand (806) Ξεκινώντς πό την πλή περίπτωση των

0 προσντολισμένων τμημάτων που βρίσκοντι στην ίδι ευθεί, προχώρησν στον ορισμό των πράξεων με τυχί τμήμτ του επιπέδου Συγκεκριμέν, οι ορισμοί του Wessel ήτν οι εξής: Το άθροισμ διδοχικών προσντολισμένων τμημάτων είνι το τμήμ που ενώνει την ρχή του πρώτου με το τέλος του τελευτίου A Δ B AΔ=ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ Γ ab Το γινόμενο δύο προσντολισμένων τμημάτων που σχημτίζουν γωνίες φ κι ω ντιστοίχως με έν μονδιίο τμήμ, είνι το τμήμ που έχει μήκος το γινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων κι σχημτίζει γωνί φ ω με το μονδιίο τμήμ φ+ω ω φ b + Σ τις εργσίες των Wessel κι Argand (κι ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκν εκείνη την εποχή) υπάρχουν οι βσικές ιδέες που συγκροτούν σήμερ το Δινυσμτικό Λογισμό του επιπέδου Η ουσιστική νάπτυξη του κλάδου ρχίζει όμως μερικές δεκετίες ργότερ, ότν επιχειρείτι η γενίκευση υτών των ιδεών στον τρισδιάσττο χώρο κι η θεμελίωση μις γενικής μθημτικής θεωρίς Κθοριστικό υπήρξε προς υτήν την κτεύθυνση του έργο του W Hamilton (843) κι του H Grassmann (844) Ο W Hamilton χρησιμοποίησε τον όρο διάνυσμ (vector) Ο όρος vector προέρχετι κτά μί εκδοχή πό το λτινικό ρήμ vehere που σημίνει μετφέρω Ο H Grassmann χρησιμοποίησε τους όρους εσωτερικό κι εξωτερικό γινόμενο Η πρπέρ εξέλιξη του Δινυσμτικού Λογισμού επηρεάστηκε ποφσιστικά πό τις εξελίξεις στη Φυσική κτά το δεύτερο μισό του 9ου ιών Η χρήση της θεωρίς του Hamilton πό τον ιδρυτή της ηλεκτρομγνητικής θεωρίς JC Mawell (873) οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με βάση τις οποίες οι φυσικοί JW Gibbs κι O Heaviside δημιούργησν στις ρχές της δεκετίς του 880 τη σύγχρονη θεωρί του Δινυσμτικού Λογισμού (στοιχεί της οποίς προυσιάζοντι σ υτό το κεφάλιο) Τέλος το 888, ο G Peano, με βάση τη θεωρί του Grassmann θεμελίωσε ξιωμτικά την έννοι του δινυσμτικού χώρου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Ορισμός του Δινύσμτος Υπάρχουν μεγέθη, όπως είνι η μάζ, ο όγκος, η πυκνότητ, η θερμοκρσί κτλ, τ οποί προσδιορίζοντι πό το μέτρο τους κι πό την ντίστοιχη μονάδ μέτρησης Τ μεγέθη υτά λέγοντι μονόμετρ ή βθμωτά Υπάρχουν όμως κι μεγέθη, όπως είνι η δύνμη, η τχύτητ, η επιτάχυνση, η μεττόπιση, η μγνητική επγωγή κτλ, που γι ν τ προσδιορίσουμε, εκτός πό το μέτρο τους κι τη μονάδ μέτρησης, χρειζόμστε τη διεύθυνση κι τη φορά τους Τέτοι μεγέθη λέγοντι δινυσμτικά μεγέθη ή πλώς δινύσμτ Στη Γεωμετρί το διάνυσμ ορίζετι ως έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ, δηλδή ως έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ θεωρούντι διτετγμέν Το πρώτο άκρο λέγετι ρχή ή σημείο εφρμογής του δινύσμτος, ενώ το δεύτερο λέγετι πέρς του δινύσμτος Το διάνυσμ με ρχή το Α κι πέρς το Β συμβολίζετι AB A (ρχή) B (πέρς) με AB κι πριστάνετι με έν βέλος που ξεκινάει πό το Α κι κτλήγει στο Β Αν η ρχή κι το πέρς ενός δινύσμτος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμ λέγετι μηδενικό διάνυσμ Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ AA είνι μηδενικό διάνυσμ Γι το συμβολισμό των δινυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τ μικρά γράμμτ του ελληνικού ή του λτινικού λφάβητου επιγρμμισμέν με βέλος γι πράδειγμ,,,, uv,, Η πόστση των άκρων ενός δινύσμτος AB, ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ, λέγετι μέτρο ή μήκος τ δηλδή το μήκος του ου δινύσμτος AB κι συμβολίζετι με AB Αν το διάνυσμ AB έχει μέτρο, τότε λέγετι μονδιίο διάνυσμ Η ευθεί πάνω στην οποί βρίσκετι έν μη μηδενικό διάνυσμ AB λέγετι φορές του AB A B ε

Ως φορέ ενός μηδενικού δινύσμτος AA μπορούμε ν θεωρούμε οποιδήποτε πό τις ευθείες που διέρχοντι πό το Α AA Α Αν ο φορές ενός δινύσμτος AB είνι πράλληλος ή συμπίπτει με μι ευθεί ζ, τότε λέμε ότι το AB είνι πράλληλο προς τη ζ κι γράφουμε AB// ζ Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι, που έχουν τον ίδιο φορέ ή πράλληλους φορείς, λέγοντι πράλληλ ή συγγρμμικά δινύσμτ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν ίδι διεύθυνση κι γράφουμε AB// Α Δ Β Α Δ Γ Β Γ Τ συγγρμμικά δινύσμτ δικρίνοντι σε ομόρροπ κι ντίρροπ Συγκεκριμέν: Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ομόρροπ: ) ότν έχουν πράλληλους φορείς κι βρίσκοντι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεί ΑΓ που ενώνει τις ρχές τους ή β) ότν έχουν τον ίδιο φορέ κι μί πό τις ημιευθείες ΑΒ κι ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν Γ Α Α Β Δ Γ Β Δ την ίδι κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ίδι φορά) κι γράφουμε AB ΓΔ

3 Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ντίρροπ, ότν είνι συγγρμμικά κι δεν είνι ομόρροπ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ δινύσμτ AB κι έχουν ντίθετη κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά) κι γράφουμε AB ΓΔ Δ Δ Α Γ Γ Α Β Β Ίσ Δινύσμτ Δύο μη μηδενικά δινύσμτ λέγοντι ίσ ότν έχουν την ίδι κτεύθυνση κι ίσ μέτρ Γι ν δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ίσ, γράφουμε AB Τ μηδενικά δινύσμτ θεωρούντι ίσ μετξύ τους κι συμβολίζοντι με 0 Εύκολ ποδεικνύετι ότι: Αν AB, τότε A, B κι B B Δ A Γ Δ Γ Β Α Α Β Γ Δ Αν Μ είνι το μέσον του ΑΒ, τότε κι ντιστρόφως AM MB Α Μ Β Αντίθετ Δινύσμτ Δύο δινύσμτ λέγοντι ντίθετ, ότν έχουν ντίθετη κτεύθυνση κι ίσ μέτρ Γι ν δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ντίθετ, γράφουμε

4 AB ΓΔ ή ΓΔ ΑΒ Είνι φνερό ότι B Γ AB AB Ειδικότερ, έχουμε A Δ Α Β Δ Γ Γωνί δύο Δινυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB β Με ρχή έν σημείο Ο Ο θ Β Α Ο a Β Α Β Ο a Α a Την κυρτή γωνί AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ κι ΟΒ, την ονομάζουμε γωνί των δινυσμάτων κι β κι τη συμβολίζουμε με (, β ) ή ( β, ) ή κόμ, ν δεν προκλείτι σύγχυση, με έν μικρό γράμμ, γι πράδειγμ θ Εύκολ ποδεικνύετι ότι η γωνί των κι είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο Είνι φνερό επίσης ότι 0θπ κι ειδικότερ: 0, ν, ν 0 0 θ80 0 ή σε κτίνι

5 Αν, τότε λέμε ότι τ δινύσμτ κι είνι ορθογώνι ή κάθετ κι γράφουμε β Α a Αν έν πό τ δινύσμτ, είνι το μηδενικό διάνυσμ, τότε ως γωνί των κι μπορούμε ν θεωρήσουμε οποιδήποτε γωνί με 0 Έτσι, μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμ, 0, είνι ομόρροπο ή ντίρροπο ή κόμη κι κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμ Ο Β ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Με ρχή το Μ γράφουμε τ δινύσμτ MΔ ΓΒ κι ME BA Ν ποδειχτεί ότι το Α είνι το μέσο του ΔΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί ν δείξουμε ότι Πράγμτι, επειδή Α, είνι Δ Ε () Όμως το Μ είνι μέσο του ΑΓ Άρ, () Επομένως, λόγω των () κι (), έχουμε, οπότε: (3) Επειδή επιπλέον, έχουμε (4) Έτσι, πό τις σχέσεις (3) κι (4) έχουμε Β Μ Γ

6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Πρόσθεση Δινυσμάτων Έστω δύο δινύσμτ a κι Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε διάνυσμ OA κι στη συνέχει με ρχή το Α πίρνουμε διάνυσμ AM β Το διάνυσμ OM λέγετι άθροισμ ή συνιστμένη των δινυσμάτων κι β κι συμβολίζετι με Θ ποδείξουμε ότι το άθροισμ των δινυσμάτων κι είνι νεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Πράγμτι, ν O είνι έν άλλο σημείο κι πάρουμε τ δινύσμτ O A κι A M β, επειδή OA O A κι AM A M β, έχουμε OO AA κι AA MM Επομένως, OOMM, M που συνεπάγετι ότι κι OM O a a Α a β a Μ Α a β M Ο O Το άθροισμ δύο δινυσμάτων βρίσκετι κι με το λεγόμενο κνόν του πρλληλόγρμμου Δηλδή, ν με ρχή έν σημείο Ο πάρουμε τ δινύσμτ OA κι OB β, τότε το άθροισμ ορίζετι πό τη διγώνιο O του πρλληλόγρμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O κι Α a Μ a Ο a Β a

7 Ιδιότητες Πρόσθεσης Δινυσμάτων Γι την πρόσθεση των δινυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πργμτικών ριθμών Δηλδή, ν,, είνι τρί δινύσμτ, τότε: () a β β (Αντιμετθετική ιδιότητ) () ( β) γ ( βγ) (Προσετιριστική ιδιότητ) (3) 0 (4) ( ) 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το προηγούμενο σχήμ έχουμε: β OA AM OM κι Επομένως, β OB BM OM Από το διπλνό σχήμ έχουμε: ( β) γ ( OA AB) B OB B O κι ( β γ) OA( AB B ) OA A O a Α a Β Επομένως, ( ) a ( ) Ο a Γ Οι ιδιότητες (3) κι (4) είνι προφνείς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει ν συμβολίζουμε κθέν πό τ ίσ θροίσμτ ( ) κι ( ) με, το οποίο θ λέμε άθροισμ των τριών δινυσμάτων, κι Το άθροισμ περισσότερων δινυσμάτων,, 3,,, 3 ορίζετι επγωγικά ως εξής: 3 ( 3 )

8 Γι πράδειγμ, 3 4 ( 3) 4 a a a a a 3 aaa3a4 a 3 a 4 Δηλδή, γι ν προσθέσουμε δινύσμτ,,,,, τ κθιστούμε διδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θ είνι το διάνυσμ που έχει ως ρχή την ρχή του πρώτου κι ως πέρς το πέρς του τελευτίου Επειδή μάλιστ ισχύουν η ντιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης, το άθροισμ δε μετβάλλετι ν λλάξει η σειρά των προσθετέων ή ν μερικοί πό υτούς ντικτστθούν με το άθροισμά τους Αφίρεση Δινυσμάτων Η διφορά του δινύσμτος πό το διάνυσμ άθροισμ των δινυσμάτων κι Δηλδή β ( β) ορίζετι ως a a a a a a a Σύμφων με τ πρπάνω, ν έχουμε δύο δινύσμτ κι, τότε υπάρχει μονδικό διάνυσμ, τέτοιο, ώστε Πράγμτι, ( ) ( ) ( ) 0 ( )

9 Διάνυσμ Θέσεως Έστω Ο έν στθερό σημείο του χώρου Τότε γι κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζετι το διάνυσμ, το οποίο λέγετι διάνυσμ θέσεως του Μ ή δινυσμτική κτίν του Μ Το σημείο Ο, που είνι η κοινή ρχή όλων των δινυσμτικών κτίνων των σημείων του χώρου, λέγετι σημείο νφοράς στο χώρο Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε γι οποιοδήποτε διάνυσμ O Α Β έχουμε AB OB OA κι επομένως Δηλδή: AB OBOA Κάθε διάνυσμ στο χώρο είνι ίσο με τη δινυσμτική κτίν του πέρτος μείον τη δινυσμτική κτίν της ρχής Μέτρο Αθροίσμτος Δινυσμάτων Στο διπλνό σχήμ βλέπουμε το άθροισμ των δινυσμάτων κι Από την τριγωνική νισότητ γνωρίζουμε όμως ότι a Α a Β a ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) κι επομένως Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γι τέσσερ σημεί,,, ν ποδειχτεί ότι

0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε έχουμε: Α AB OBOAO O OBOO OAB A Β Δ Ν ποδειχτεί ότι β γ βγ Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε β γ ( βγ βγ βγ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Οι δυνάμεις F, F,, F5 σκούντι στο σώμ Σ Ποι δύνμη χρειάζετι, ώστε ν μην φήσει το σώμ Σ ν μετκινηθεί πό τη θέση του; F 4 F 5 F F 3 Σ F Δίνοντι τέσσερ σημεί κι κι έστω, β, γ κι δ τ ντίστοιχ δινύσμτ θέσεως ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τι μπορείτε ν πείτε γι το τετράπλευρο ν: (i) γ β δ (ii) γ β δ (iii) γ β δ κι γ β δ 3 Ν εκφράσετε το διάνυσμ σε κθέν πό τ πρκάτω σχήμτ ως συνάρτηση των άλλων δινυσμάτων που δίνοντι:

i) a ii) a iii) a 4 Αν γι δύο τρίγων ΑΒΓ κι ΑΔΕ ισχύει τετράπλευρο ΒΔΓΕ είνι πρλληλόγρμμο, ν δείξετε ότι το 5 Δίνοντι τέσσερ σημεί Α,Β,Γ,Δ κι έστω Ο, το μέσο του τμήμτος ΑΓ Ν ποδείξετε ότι 6 Δίνετι κνονικό εξάγωνο Αν διάνυσμ ως συνάρτηση των κι β κι B β, ν εκφράσετε το 7 Γι έν τυχίο εξάγωνο P P P P P ν ποδείξετε ότι 3 4 5P6 P3 P P4 P3 P5 P4 P6 P5 P P6 P 0 P 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Ορισμός Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάνυσμ Έστω ένς πργμτικός ριθμός με κι έν μη μηδενικό διάνυσμ Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το κι το συμβολίζουμε με ή έν διάνυσμ το οποίο: είνι ομόρροπο του, ν κι ντίρροπο του, ν κι έχει μέτρο Αν είνι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμ 0

a Μ Μ Α Α M Ο a O a a Ο Α a a Μ Ο Α

Γι πράδειγμ, ν το διάνυσμ του a διπλνού σχήμτος έχει μέτρο, τότε το διάνυσμ 3 είνι ομόρροπο με το κι έχει μέτρο 3 3, ενώ το διάνυσμ 3 είνι ντίρροπο με το 3a, λλά έχει κι υτό μέτρο ίσο με 3 3 3a Το γινόμενο λ το συμβολίζουμε κι με Ιδιότητες Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάνυσμ Γι το γινόμενο πργμτικού ριθμού με διάνυσμ ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: () () ( ) (3) ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ * () Υποθέτουμε ότι τ δινύσμτ κι λ>0 Α είνι μη μηδενικά κι ότι 0 Πίρνουμε έν σημείο Ο κι σχεδιάζουμε τ δινύσμτ a OA, AB β Τότε είνι OB β Α Σχεδιάζουμε επιπλέον τ δινύσμτ a OA λ κι OB λ( β) Επειδή a ( ) ( ) Ο Β Β, ( a ) ( ) ( ) τ τρίγων κι είνι όμοι κι επομένως η πλευρά είνι πράλληλη με την κι ισχύει ( ) ( )

3 Αυτό σημίνει ότι B λ AB λβ A BOA AB Επομένως, επειδή O, έχουμε ( ) Η ιδιότητ ισχύει προφνώς κι ότν έν τουλάχιστον πό τ δινύσμτ κι είνι το μηδενικό ή ότν ο ριθμός είνι μηδέν Β λ<0 a ( ) a Ο a a Β Α Η πόδειξη των ιδιοτήτων () κι (3) φήνετι ως άσκηση Α Ως συνέπει του ορισμού του γινομένου ριθμού με διάνυσμ κι των πρπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λ0 λ0 ή 0 (ii) ( λ) λ( ) ( λ) (iii) λ( β) λ λβ (iv) ( λ μ) λ μ (v) Αν λ λβ κι λ 0, τότε β (vi) Αν λ μ κι 0, τότε λ μ Γρμμικός Συνδυσμός Δινυσμάτων Ας θεωρήσουμε δύο δινύσμτ κι β Από τ δινύσμτ υτά πράγοντι, γι πράδειγμ, τ δινύσμτ γ 3 5β, δ 3β κτλ Κθέν πό τ δινύσμτ υτά λέγετι γρμμικός συνδυσμός των κι β Γενικά, ονομάζετι γρμμικός συνδυσμός δύο δινυσμάτων κι β κάθε διάνυσμ της μορφής v κ λβ, όπου κ, λr Ανάλογ ορίζετι κι ο γρμμικός συνδυσμός τριών ή περισσότερων δινυσμάτων Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ v 3 β 5γ είνι ένς γρμμικός συνδυσμός των β, κι γ

4 Συνθήκη Πρλληλίς Δινυσμάτων Όπως είδμε, ν δύο δινύσμτ κι, όπου 0, συνδέοντι με τη σχέση, τότε τ δινύσμτ υτά είνι πράλληλ Ισχύει όμως κι το ντίστροφο Δηλδή, ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει μονδικός ριθμός τέτοιος ώστε Πράγμτι, ν θέσουμε, τότε Συνεπώς: Αν, τότε Αν, τότε κ β Αν 0, τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει κι μάλιστ μονδικός (ιδιότητ iv), τέτοιος, ώστε Επομένως: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν, είνι δύο δινύσμτ, με 0, τότε //, R Γι πράδειγμ, στο πρκάτω σχήμ ν Δ κι Ε είνι τ μέσ των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, έχουμε: BA A A A ( A AE) E B Αφού λοιπόν E B, συμπερίνουμε ότι // κι B E, που σημίνει ότι Ξνβρίσκουμε δηλδή τη γνωστή μς πό την Ευκλείδει Γεωμετρί σχέση // Δ Β Α Ε Γ

5 Δινυσμτική Ακτίν Μέσου Τμήμτος Ας πάρουμε έν διάνυσμ AB κι έν σημείο νφοράς Ο Γι τη δινυσμτική κτίν του μέσου Μ του τμήμτος ΑΒ έχουμε: OA AM OM κι OM OBBM Επομένως, OB OM OA AM OB BM OA Άρ OM Ο Α Μ Β OAOB OM ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν ποδειχτεί ότι έν σημείο G είνι το βρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, ν κι μόνο ν ισχύει GA G G 0 κι ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OG ( OAOBO ) 3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α G Β Δ Γνωρίζουμε πό την Ευκλείδει Γεωμετρί ότι ν G είνι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε G G, όπου η διάμεσος του τριγώνου Επομένως, ισχύει AG G, οπότε έχουμε GAGBG GAG GA AG GG 0 Αντιστρόφως, ν γι έν σημείο G ισχύει GA GBG 0, τότε θ έχουμε GA G 0, όπου Δ το μέσον της ΒΓ, οπότε θ ισχύει AG G Έτσι, το σημείο G νήκει στη διάμεσο ΑΔ κι ισχύει G G Άρ, το G είνι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ Από τη σχέση GA GB G 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG 0 Άρ OG ( OAOBO ) 3 Γ

6 Ν ποδειχτεί ότι τ ευθύγρμμ τμήμτ που ορίζουν τ μέσ των πένντι πλευρών ενός τετρπλεύρου κι τ μέσ των διγωνίων του διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό το σημείο υτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω,,, τ δινύσμτ θέσεως των Α κορυφών,,,, ντιστοίχως, ενός τετράπλευρου ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τ δινύσμτ θέσεως των μέσων Η της ΒΓ Ε κι Θ της ΑΔ είνι ( β γ ) κι ( δ Θ ) Ι ντιστοίχως κι το διάνυσμ θέσεως του μέσου Β G G του ΗΘ είνι το Κ ( β γ) ( δ) ( β γ δ) Δ Η 4 Ζ Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμ θέσεως των Γ μέσων των τμημάτων ΕΖ κι ΙΚ είνι το ( β γ δ) Άρ τ τμήμτ ΗΘ, ΕΖ κι 4 ΙΚ διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό υτό ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Αν είνι έν διάνυσμ, τι μπορείτε ν πείτε γι το μέτρο κι την κτεύθυνση του δινύσμτος 0 ; Ν βρείτε το διάνυσμ σε κθεμιά πό τις περιπτώσεις: (i) ( ) ( β) (ii) 3( β) 4( β) 3 3 Β 3 Αν στο διπλνό σχήμ είνι ( ) ( ), ν ποδείξετε ότι ( β γ) 3 A Μ Γ

7 4 Στο διπλνό σχήμ έχουμε:,, κι β Γ (i) Ν εκφράσετε συνρτήσει των κι β τ δινύσμτ,,, κι (ii) Από τις εκφράσεις των κι ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τ σημεί, κι ; a Β A Ε Δ a 5 Στο πρκάτω σχήμ ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά Α a Β Γ 3 a 3 Ε Δ 6 Αν 3 A3, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά 7 Αν, κι είνι διάμεσοι τριγώνου 0, ν ποδείξετε ότι 8 Αν,, είνι τ μέσ των πλευρών,,, ντιστοίχως, τριγώνου, ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: 9 Αν κι είνι τ μέσ των διγωνίων κι, ντιστοίχως, ενός τετρπλεύρου, ν ποδείξετε ότι A 4 0 Δίνετι το μη μηδενικό διάνυσμ λ κι μ Ν ποδείξετε ότι λ μ κι σημείο τέτοιο ώστε ν ισχύει Δίνετι τρίγωνο Αν A κ AB λ A κι λ κ ν ποδείξετε ότι //

8 Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω κι β δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ (i) Αν β 0, ν δείξετε ότι 0 (ii) Αν β β, ν δείξετε ότι κι (iii) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του R τ δινύσμτ u ( ) β κι v ( 3) β είνι συγγρμμικά Θεωρούμε έν πρλληλόγρμμο κι τ σημεί κι, ώστε AE κ A κι AZ λ AB με κλ 0 Αν, ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ, κι είνι συνευθεικά 3 Ν ποδείξετε ότι ν ισχύουν δύο πό τις σχέσεις KA KB zk 0, A B z 0, z 0, τότε θ ισχύει κι η τρίτη (το σημείο K είνι διφορετικό πό το ) 4 Αν β, κι r είνι οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων, κι κ ντιστοίχως κι, ν ποδείξετε ότι ν το είνι εσωτερικό του, λ λ κβ λ κβ τότε r, ενώ ν το είνι εξωτερικό του, τότε r λκ λκ Ο Ο a r a r Α Μ Β Α Β Μ 5 Δίνετι τρίγωνο κι έν σημείο Βρίσκουμε τ συμμετρικά, κι του ως προς τ μέσ, κι των πλευρών, κι ντιστοίχως Αν G κι G τ βρύκεντρ των τριγώνων κι, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, G κι G είνι συνευθεικά 6 Δίνετι τετράπλευρο κι έστω κι τ μέσ των διγωνίων του κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι ν 4MN A B υτό είνι πρλληλόγρμμο, τότε το τετράπλευρο

9 7 Αν G κι G είνι τ βρύκεντρ δύο τριγώνων κι, ν G ποδείξετε ότι AA BB 3G 8 Δίνοντι τ σημεί, κι Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο το διάνυσμ MA 5MB 3 M είνι στθερό Γ 5 a 9 Τ σημεί,, κι ενός επιπέδου έχουν δινύσμτ θέσεως,, 5 κι 3 ντιστοίχως, όπου τ δινύσμτ κι είνι μη συγγρμμικά Ν βρείτε το διάνυσμ θέσεως r του σημείου τομής των ευθειών κι Ο a Α r Β 3 Δ Ε 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονς Πάνω σε μι ευθεί επιλέγουμε δύο σημεί Ο κι Ι, έτσι ώστε το διάνυσμ OI ν έχει μέτρο κι ν βρίσκετι στην ημιευθεί O Λέμε τότε ότι έχουμε ένν άξον με ρχή το Ο κι μονδιίο διάνυσμ το OI i κι τον συμβολίζουμε με Η ημιευθεί O λέγετι θετικός ημιάξονς O, ενώ η O λέγετι ρνητικός ημιάξονς O Ο Ι Μ() Αν, τώρ, πάνω στον άξον πάρουμε έν σημείο Μ, επειδή OM // i, θ υπάρχει κριβώς ένς πργμτικός ριθμός τέτοιος ώστε OM ι Τον

30

30 ριθμό τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ Αλλά κι ντιστρόφως, πό την ισότητ OM ι προκύπτει ότι σε κάθε πργμτικό ριθμό ντιστοιχεί μονδικό σημείο Μ του άξον με τετμημένη Το σημείο υτό συμβολίζετι με () Κρτεσινό Επίπεδο Πάνω σε έν επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες κι με κοινή ρχή Ο κι μονδιί δινύσμτ τ i κι j Λέμε τότε ότι έχουμε έν ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή πλούστερ έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή κόμ έν Μ(,) Μ κρτεσινό επίπεδο κι το συμβολίζουμε με O Το σύστημ O λέγετι ορθοκνονικό, γιτί είνι ορθογώνιο κι κνονικό Ορθογώνιο είνι, γιτί οι άξονες κι είνι κάθετοι, κι κνονικό, γιτί τ δινύσμτ i κι j είνι ισομήκη Πάνω στο κρτεσινό επίπεδο O πίρνουμε έν σημείο Μ Από το Μ φέρνουμε την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M, κι την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M Αν είνι η τετμημένη του M ως προς τον άξον κι η τετμημένη του M ως προς τον άξον, τότε ο λέγετι τετμημένη του Μ κι ο τετγμένη του Μ Η τετμημένη κι η τετγμένη λέγοντι συντετγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου ντιστοιχεί έν ζεύγος συντετγμένων Αλλά κι ντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πργμτικών ριθμών ντιστοιχεί μονδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκετι ως εξής: Πάνω στον άξον πίρνουμε το σημείο M( ) κι στον το σημείο M ( ) Από τ M κι M φέρνουμε πράλληλες στους άξονες κι ντιστοίχως, που τέμνοντι στο Μ Το σημείο Μ είνι το ζητούμενο Έν σημείο Μ με τετμημένη κι τετγμένη συμβολίζετι κι με M(, ) ή πλά με (, ) j Ο i Μ Συντετγμένες Δινύσμτος

3 Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι έν διάνυσμ του επιπέδου Με ρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμ OA Αν A κι A είνι οι προβολές του Α στους άξονες κι ντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA () a Αν, είνι οι συντετγμένες του A, τότε Α A ισχύει OA ι κι OA j Επομένως η ισότητ () γράφετι a i j j Ο i A Αποδείξμε δηλδή ότι το είνι γρμμικός συνδυσμός των i κι j Στην πρπάνω κτσκευή οι ριθμοί κι είνι μονδικοί Θ ποδείξουμε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρμμικού συνδυσμού των i κι j είνι μονδική Πράγμτι, έστω ότι ισχύει κι i j Τότε θ έχουμε i j i j ( ) i ( ) j Αν υποθέσουμε ότι, δηλδή ότι 0, τότε θ ισχύει i j Η σχέση υτή, όμως, δηλώνει ότι i //j, που είνι άτοπο, φού τ i κι j δεν είνι συγγρμμικά Επομένως, που συνεπάγετι ότι κι Ώστε: Κάθε διάνυσμ του επιπέδου γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή i j Τ δινύσμτ i κι j λέγοντι συνιστώσες του δινύσμτος κτά τη διεύθυνση των i κι j ντιστοίχως, ενώ οι ριθμοί, λέγοντι συντετγμένες τ ου στο σύστημ O Πιο συγκεκριμέν, ο λέγετι

3 τετμημένη του κι ο λέγετι τετγμένη του Από τον τρόπο που ορίστηκν οι συντετγμένες ενός δινύσμτος προκύπτει ότι: Δύο δινύσμτ είνι ίσ ν κι μόνο ν οι ντίστοιχες συντετγμένες τους είνι ίσες Κθέν πό τ ίσ δινύσμτ με τετμημένη κι τετγμένη, θ το συμβολίζουμε με το διτετγμένο ζεύγος (, ) Συντετγμένες Γρμμικού Συνδυσμού Δινυσμάτων Αν γνωρίζουμε τις συντετγμένες δύο δινυσμάτων κι του κρτεσινού επιπέδου, τότε μπο ούμε βρούμε τις συντετγμένες του θροίσμτος β ρ ν, του γινομένου λ, λ R κι γενικά κάθε γρμμικού συνδυσμού των κι β Πράγμτι, ν, κι, ) ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i( ) j i j) ( i ( ) j Επομένως ή ισοδύνμ ( ) (, ) κι (, ) (, ) (, ) (, ), ) (, ) ( Γενικότερ, γι το γρμμικό συνδυσμό έχουμε: (, ) (, ) (, ) Γι πράδειγμ, ν (, ) κι (, ), τότε (, ) (,) (,), (, ) (, ), (, ) (,) (, ) (, ) (0, 3), κι (, ) (,) (, ) (, ) (, 4)

33 Συντετγμένες Μέσου Τμήμ τος Ας θεωρήσουμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέοθέσουμε ότι (, ) είνι οι συντετγμένες του μέσου Μ του δου κι ς υπ ΑΒ Επειδή έχουμε, κι M ( OAOB ) O OM (, ), OA, ), OB, ), ( (, ) [(, ) (, )] ( Επομένως ισχύει, Ο B(, ) Μ(,) A(, ) κι Συντετγμένες Δινύσμτος με Γνωστά Άκρ Ας θεωρήσουμε δύο ση μεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουμ ε ότ ι (, ) είνι οι A(, ) B(, ) συντετγμένες του δινύσμτος AB OA Επειδή, AB OB, AB(, ), OB (, ), κι OA (, ), έχουμε: Ο Επομένως:, ) (, ) (, ) (, ) ( Οι συντετγμένες (, ) του δινύσμτος με άκρ τ σημεί A, ) κι, ) δίνοντι πό τις σχέσεις ( κι (

34 Δηλδή τετμημένη του AB τετμημένη του Β τετμημένη του Α τετγμένη του AB τετγμένη του Β τετγμένη του Α Γι πράδειγμ, το διάνυσμ AB με ρχή το (, ) κι πέρς το (3,7) έχει σ υντετγμένες 3 κι 7 5, δηλδή είνι ίσο με το (,5) Μέτρο Δινύσμτος Έστω (, ) έν διάνυσμ του κρτεσινού επιπέδου κι Α το σημείο με δινυσμτική κτίν OA Αν κι Α A(,) a είνι οι προβολές του Α στους άξον ες κι ντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη κι τετγμένη, θ ισχύει ( ) κι ( ) Έτσι θ έχουμε: Ο A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: Αν (, ), τότε () Γι πράδειγμ, ν (5,), τότε 5 3 Ας θεωρήσουμε τώρ δύο σημεί (, ) κι (, ) το υ κρτεσινού επιπέδου Επειδή η πόστση ( ) των σημείων Α κι Β είνι ίση με το μέτρο του δινύσμτος AB(, ), σύμφων με τον τύπο () θ ισχύει: ) ( ) ( ) ( () Ο A(, ) B(, )

35 Επομένως: Η πόστση των σημείων (, ) κι, ) είνι ίση με ( ) ( ) ( ) ( Γι πράδειγμ, η πόστση των σημείων (, 7) κι ( 5, 3) είνι ίση με ( ) (5 ) ( 3 7) 3 4 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν (,) κι (,4) είνι οι δύο κορυφές του πρλληλόγρμμου κι (, 3) το κέντρο του, ν βρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών Γ κι Δ ΛΥΣΗ Αν (, ) κι (, ) είνι οι δύο άλλες κορυφές του πρλληλόγρμμου, επειδή το Κ είνι το μέσον των ΑΓ κι ΒΔ, έχουμε: Επομένως, ( ) 3 κι 4 3 6 3 κι 7 0 A(-,) B(,4) K(, -3) Άρ, οι συντετγμένες των κορυφών Γ κι Δ είνι ( 6, 7) κι (, 3 0) ντιστοίχως Δ Γ Αν (, ), (, ), ( 3, 3 ) είνι οι συντε- τγμένες των κορυφών,, ντιστοίχως κι Ν βρεθούν οι συντετγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου, ν είνι γνω στές οι συντετγμένες των κορυφών του ΛΥΣΗ Β(, ) A(, ) G(,) Γ( 3, 3 )

36 (, ) είνι οι συντετγμένες του κέντρου βάρους του, επειδή GG G 0 ( Εφρμ 3), θ έχουμε:, ) (, ) ( 3, 3 ) (0,0) ( 3 3, 3 3) (0,0) 3 0 κι 3 0 ( 3 Άρ 3, 3 3 3 3 Συνθήκη Πρλληλίς Δινυσμάτων Έστω (, ) κι (, ) δύο δινύσμτ του κρτεσινού επιπέδου Αν τ δινύσμτ είνι πράλληλ κι υποθέσουμε ότι 0, τότε θ υπάρχει R, τέτοιος, ώστε Επομένως, θ έχουμε (, ) λ (, ) ή ισοδύνμ: κι, ή ισοδύνμ οπότε θ ισχύει 0 0 Αν 0, τότε θ ισχύει 0 0 0 Δείξμε δηλδή ότι ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ, τότε 0 Αντιστρόφως, ν 0, τότε τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ Πράγμτι, επειδή 0, έχουμε Επομένως, Αν 0, τότε, οπότε, ν θέσουμε, θ έχουμε κι

37 Άρ, κι συνεπώς //

37 Αν 0, τότε 0, οπότε ν 0, τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ προς τον άξον των τετγμένων, άρ κι μετξύ τους πράλληλ, ενώ, ν 0, τότε το θ είνι το μηδενικό διάνυσμ κι άρ, πράλληλο προς το Αποδείξμε λοιπόν ότι Την ορίζουσ // β 0 (), που έχει ως η τη γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος κι ως η γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος, τη λέμε ορίζουσ των δινυσμάτων κι β (με τη σειρά που δίνοντι) κι θ τη συμβολίζουμε με det(, β ) Έτσι, η πρπάνω ισοδυνμί διτυπώνετι ως εξής: // β det( a, β) 0 Γι πράδειγμ: (, 3 3 ) είνι πράλληλ, φού Τ δινύσμτ ( 3, ) κι 3 det(, ) 330, ενώ 3 3 Τ δινύσμτ ( 3, ) κι (, ) δεν είνι πράλληλ, φού 3 det(, ) 4370 Συντελεστής Διεύθυνσης Δινύσμτος Έστω (, ) έν μη μηδενικό διάνυσμ κι A το σημείο του επιπέδου γι το οποίο ισχύει OA a Τη γωνί φ, που διγράφει ο ημιάξονς O ν στρφεί γύρω πό το Ο κτά τη θετική φορά μέχρι ν συμπέσει με την ημιευθεί ΟΑ, την ονομάζουμε γωνί που σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον Είνι φνερό ότι A(,) Ο φ 0 φπ

38 Γι τη γωνί φ, όπως είνι γνωστό πό την Τριγωνομετρί, ν το δεν είνι πράλληλο προς τον άξον, ισχύει εφ φ Το πηλίκο της τετγμένης προς την τετμημένη του δινύσμτος (, ), με 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του κι τον συμβολίζουμε με ή πλώς με λ Επομένως: Είνι φνερό ότι Αν 0, δηλδή ν λ εφφ //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος είνι ο 0 Αν 0, δηλδή ν //, τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος Ας θεωρήσουμε τώρ δύο δινύσμτ (, ) κι (, ) συντελεστές διεύθυνσης κι ντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυνμίες: // β 0 λ λ Επομένως, η συνθήκη πρλληλίς γι δύο δινύσμτ συντελεστές διεύθυνσης κι λ διτυπώνετι ως εξής: λ // β λ λ κι με με ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν βρεθούν οι τιμές του μ R γι τις οποίες τ σημεί (,0), ( μ,3) κι ( 5μ,9) είνι συνευθεικά ΛΥΣΗ Τ σημεί Α,Β,Γ είνι συνευθεικά, ν κι μόνο ν τ δινύσμτ κι A ( 5μ, 9) είνι πράλληλ, δηλδή, ν κι μόνο ν det( AB, A ) AB( μ 0, 3)

39 Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 0 5μ 3 0 9 9μ 95μ30 3μ 5μ0 μ ή μ 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποι είνι η θέση στο κρτεσινό επίπεδο των σημείων M (, ) γι τ οποί ισχύει: (i) (ii) (iii) (iv) Ν βρείτε τις ποστάσεις των πρκάτω σημείων πό τους άξονες κι : (,), (3,4), ( 5, 6), (, β ), M (, ) 3 Δίνετι το διάνυσμ ( λ 4, λ 3λ), λr Γι ποι τιμή του είνι: (i) 0 ; (ii) 0 κι // ; 4 Δίνοντι τ δινύσμτ ( λ 3λ, λ 3λ) κι β ( λ 5λ6, 3λ 7λ) Ν βρείτε το λr, ώστε ν είνι β 5 Ν βρείτε τον πργμτικό ριθμό, ώστε τ δινύσμτ (,) κι β ( 4, ) είνι ομόρροπ ν 6 Αν u (3,4), ποιο διάνυσμ είνι συγγρμμικό με το u κι έχει διπλάσιο μέτρο πό το u ;

40 7 Στο διπλνό σύστημ συντετγμένων είνι i κι j Ν εκφράσετε ως συνάρτηση την i κι j : ) Τ δινύσμτ θέσεως των σημείων,,,, κι β) Τ δινύσμτ,,,, Β j Ζ Ε Δ Θ Η Κ, κι Ο i Γ Α 8 Δίνοντι τ σημεί (,6) κι ( 9, ) Ν βρείτε (i) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ κι κι (ii) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ Β ΟΜΑΔΑΣ 3 5 7 5 3 κι, είνι τ μέσ των πλευρών,,, κι, ντιστοίχως, του πεντγώνου, ν βρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών του πεντγώνου Αν τ σημεί,, 3,, 4,, 3, Σε έν σύστημ συντετγμένων οι τετμημένες δύο σημείων κι είνι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ 4λ3) 7 0 Ν βρείτε την τιμή του λr, ώστε το μέσον του τμήμτος ν έχει τετμημένη ίση με 4 3 Δίνοντι τ σημεί ( κ, λ ), ( κ, λ ), 3 ( κ3, λ3 ) κι 4( κ4, λ4 ) Ν εξετάσετε πότε τ σημεί υτά είνι τ μέσ των διδοχικών πλευρών τετρπλεύρου 4 Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, β, β,, ν ποδείξετε ότι:, ) ( β) ( ) ( β ) ( ) ( β ) ( β 5 Δίνοντι δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β ενός επιπέδου Ν ποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσμ r του επιπέδου υτού μπορεί ν εκφρστεί ως γρμμικός συνδυσμός των κι β κτά μονδικό τρόπο

4 5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γνωρίζουμε ότι το έργο που πράγετι πό μι δύνμη F ότν μεττοπίζει το σημείο εφρμογής της πό το Ο στο Α είνι ίσο με το γινόμενο F ( ) συνφ Το γινόμενο υτό συμβολίζετι με FOA κι λέγετι εσωτερικό γινόμενο της δύνμης F με το διάνυσμ OA Γενικότερ, έχουμε τον κόλουθο ορισμό: F φ Ο A ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών δινυσμάτων κι κι το συμβολίζουμε με β τον πργμτικό ριθμό β β συνφ, όπου φ η γωνί των δινυσμάτων κι Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων κι με 3, π 8 κι φ είνι 3 π β 38συν 38 3 Άμεσες συνέπειες του πρπάνω ορισμού είνι οι εξής: β β (Αντιμετθετική ιδιότητ) Αν β τότε β 0 κι ντιστρόφως Αν β τότε β β κι ντιστρόφως Αν β τότε β β κι ντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζετι με Έχουμε: συν0 Επομένως κι λέγετι τετράγωνο του

4 Ειδικότερ, γι τ μονδιί δινύσμτ i κι j του κρτεσινού επίπεδου ισχύουν: i j ji 0 κι i j Ανλυτική Έκφρση Εσωτερικού Γινομένου Θ δούμε τώρ πώς μπορούμε ν εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων (, ) κι (, ) συνρτήσει των συντετγμένων τους Με ρχή το Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB β Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητ Β(, ) θ Ο a Α(, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν, η οποί ισχύει κι στην περίπτωση που τ σημεί Ο,Α,Β είνι συνευθεικά Όμως είνι ( ) ( ) ( ), ( ) κι ( ) Επομένως, έχουμε διδοχικά: ( ) ( ) ( )( ) συν ( )( ) συν κι επειδή β ( )( ) συν, έχουμε τελικά: Δηλδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων είνι ίσο με το άθροισμ των γινομένων των ομώνυμων συντετγμένων τους Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο των ( 34, ) κι (, ) είνι: ( 3) 4( ) 0 Με τη βοήθει της νλυτικής έκφρσης του εσωτερικού γινομένου θ ποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

43 λ β ( λβ ) λ( β), λr ( βγ ) βγ (Επιμεριστική Ιδιότητ) β λ λ όπου λ λ κι λ λ, (, β // ) β Πράγμτι, ν (, ), (, ) κι ( 3, 3 ), τότε έχουμε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) κι ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ, ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( 3 3 3 3) ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3 ) β β 0 0 λ λ Συνημίτονο Γωνίς δύο Δινυσμάτων Αν (, ) κι (, ) είνι δύο μη μηδενικά δινύσμτ του επιπέδου που σχημτίζουν γωνί θ, τότε κι επομένως, β συνθ β Είνι όμως, κι Επομένως, συνθ Γι πράδειγμ, ν θ είνι η γωνί των δινυσμάτων (,) κι (,) 3, τότε: συνθ 3 3 5 5 0, οπότε 4

44 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ), ( κι ), ( β, ν ποδειχτεί ότι: (i) β β (ii) ) ( β β Πότε ισχύουν οι ισότητες; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Αν είνι η γωνί των δινυσμάτων κι β, τότε έχουμε: συν συν β θ β θ β β Η ισότητ ισχύει μόνο, ν συνθ, δηλδή, μόνο ν β // (ii) Επίσης, έχουμε ) ( ) ( β β β β β Η ισότητ ισχύει, όπως κι προηγουμένως, μόνο ότν β // Έστω δύο δινύσμτ κι β που έχουν μέτρ 3, β κι σχημτίζουν γωνί 6 π φ Ν βρεθεί η γωνί των δινυσμάτων β κι β ΛΥΣΗ Αν είνι η γωνί των θ κι, τότε συν θ Αρκεί, επομένως, ν υπολογίσουμε το κι τ μέτρ των, Έχουμε λοιπόν 3 ) )( ( β β a β β β β β ) ( φ β β συν 7 3 3 3 β β β ) ( φ β β συν 3 3 3 Άρ, 7 7 7 συν θ, οπότε 0 θ 4

45 3 Ν ποδειχτεί ότι συν( β) συνσυνβ ημημβ, όπου 0 β π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν στον τριγωνομετρικό κύκλο τ δινύσμτ OA κι β OB σχημτίζουν με τον άξον ντιστοίχως, τότε θ είνι OB(συνβ, ημβ) γωνίες OA( συν, ημ) κι κι Α Ο -β β Β Επομένως, θ έχουμε: OAOB OA OB συν( β) συν( β) συν( β) κι OA OB( συν,ημ)(συνβ,ημβ) συνσυνβ ημημβ Άρ, συν( β) συνσυνβ ημημβ Προβολή Δινύσμτος σε Διάνυσμ Έστω, v δύο δινύσμτ του επιπέδου με 0 Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OM ν Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA κι έστω M το ίχνος της κθέτου Το διάνυσμ OM λέγετι προβολή του ν στο κι συμβολίζετι με προ β ν Δηλδή, OM προ β ν Αποδεικνύετι ότι η προβολή του ν πάνω στο είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο Γι το εσωτερικό γινόμενο των κι ν έχουμε: v ( OM προ β ν M M ) OM M M OM Ο v θ M M a A Επομένως: ν προβ ν

46 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν βρεθεί η προβολή του δινύσμτος v πάνω στο διάνυσμ, ν, v 3 κι η γωνί των δινυσμάτων κι v π είνι ίση με φ 6 ΛΥΣΗ Έστω v προβν Τότε θ ισχύει v λ Επειδή v aπροβ v, έχουμε: v v v λ v λ v συνφ λ Άρ, v 3 3 3 λ λ 3 Δίνοντι τ δινύμτ (3,) κι ν (,) Ν νλυθεί το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη στο ΛΥΣΗ Έστω ε η ευθεί η κάθετη στη διεύθυνση του Από το πέρς Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες ε M κι στη διεύθυνση του κι στην ε M v ντιστοίχως κι έστω ν κι ν v Έχουμε v ν ν M ν () Ο Το διάνυσμ ν είνι η προβολή του ν στο κι επειδή ν //, υπάρχει λr, τέτοιο ώστε προβ ν λ ( 3λ, λ) Όμως ν ν προ κι επομένως έχουμε διδοχικά: β a (3, ) (,) (3,) ( 3λ, λ) 3 33λ λ 5 0λ λ

47 Συνεπώς, 3 ν (3, ), κι v v ΑΣΚΗΣΕΙΣ v 3 3 (,),, Α ΟΜΑΔΑΣ Αν (,3) κι β (,5), τότε (i) Ν βρείτε τ εσωτερικά γινόμεν β, ( ) ( 3β ) κι ( β) (3 β) (ii) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λr, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των δινυσμάτων u ( κ, λ) κι β ν είνι ίσο με μηδέν Ποι η σχέση όλων των δινυσμάτων u στην περίπτωση υτή; Αν u (,), v (4,) κι w (6,0), ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: u ( 7v w), u ( v w), ( u v) w κι ( u v ) w 3 Αν (,0 ) κι β (, ), ν βρείτε τον λ R, ώστε: (i) Τ δινύσμτ κι λβ ν είνι κάθετ (ii) Τ δινύσμτ β κι λβ ν είνι κάθετ 4 Ν βρείτε τ δινύσμτ που είνι κάθετ στο u ( 3, ) κι έχουν μέτρο ίσο με 5 Αν π, β 3 κι (, β ), ν υπολογίσετε τον κ R, ώστε τ δινύσμτ 3 u 3 β κι v κ β ν είνι κάθετ 6 Αν (κ,) κι β ( 4,3), ν βρείτε τον κr ώστε ν ισχύει: (i) β π 0 (ii) (, β) (iii) β // 4 π 7 Αν β κι (, β), ν υπολογίσετε τη γωνί των δινυσμάτων 3 u 4β κι v a β 8 Αν τ δινύσμτ a κι β είνι μη μηδενικά, ν ποδ είξετε ότι: ( β) συν β β 9 Ν ποδείξετε ότι τ δινύσμτ u β β κι v β β είνι κάθετ

48 0 Ν ποδείξετε ότι γι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι β, το διάνυσμ v β ( β) β είνι κάθετο στο β Δίνοντι τ σημεί ( 3, ), (6, 4), (,5 ) κι (,) Ν υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπερίνετε γι τ δινύσμτ κι ; Δίνοντι τ δινύσμτ (, 4) κι β (8,5) Ν νλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη προς το 3 Ν υπολογίσετε τ μήκη των διγωνίων ενός πρλληλογράμμου που κτσκευάζετι με τ δινύσμτ β 5 κι 3 β, ν, β 3 κι 0 (, β ) 45 Β 4 Γι τ δινύσμτ του διπλνού Γ σχήμτος ν υπολογίσετε την πράστση 5 Ν εξετάσετε πότε ισχύει: (i) β β (ii) β β Α Δ Β ΟΜΑΔΑΣ Τ δινύσμτ κι β είνι μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά Ν ποδείξετε ότι γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς λ κι μ ισχύει: λ λμ( β) μ β 0 Πότε ισχύει το ""; Ν ποδείξετε ότι: (i) u v u v u v (iii) u v u v u v 4 4 3 Δίνοντι τ μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β Ν ποδείξετε ότι:

49 (i) Ο φορές του δινύσμτος κι β (ii) Ο φορές του δινύσμτος των δινυσμάτων κι β u β a β διχοτομεί τη γωνί των δινυσμάτων v β β διχοτομεί την πρπληρωμτική γωνί 4 Αν, β, γ 3 κι β γ 0, ν υπολογίσετε το άθροισμ β β γ γ 5 Αν τ δινύσμτ ( κ, λ) κι β ( μ, ν ) μονάδ, ν δείξετε ότι ( κν λμ) είνι κάθετ κι έχουν μέτρ ίσ με τη γ βδ 6 Ν ποδείξετε ότι β γ δ 7 Σε ημικύκλιο με διάμετρο κι κέντρου πίρνουμε σημείο (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ συνάρτηση των κι β κι MB ως (ii) Ν βρείτε το γινόμενο Τι Α a Ο a Β συμπερίνετε γι τη γωνί των δινυσμάτων κι ; Ποι πρότση της Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; Μ 8 Σε τρίγωνο τ δύο ύψη του κι Α τέμνοντι στο Έστω, a β κι γ Ζ Η (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ, A κι ως συνάρτηση των B, β κι γ Β (ii) Ν ποδείξετε ότι γ γ β κι γ β β (iii) Από το προηγούμενο ερώτημ προκύπτει ότι γ β Ε Γ Με τη βοήθει της ισότητς υτής ν δείξετε ότι Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; AH B Ποι πρότση της

50 9 Δίνετι τρίγωνο κι εξωτερικώς υτού κτσκευάζουμε τ τετράγων κι Ν εκφράσετε τ δινύσμτ κι ως συνάρτηση των,,, κι ν υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο Τι συμπερίνετε γι τ τμήμτ κι ; Ε Ζ B A Θ Γ Η 0 Δίνετι πρλληλόγρμμο κι κύκλος κέντρου που διέρχετι πό την κορυφή κι τέμνει τις ευθείες, κι στ, κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι B B O Γ Γ A Δ Δ Δίνετι κύκλος ( O, R) κι σημείο του επιπέδου του Αν μετβλητή ευθεί που διέρχετι πό το τέμνει τον κύκλο στ κι, ν ποδείξετε ότι το γινόμενο είνι στθερό (Το γινόμενο υτό λέγετι δύνμη του σημείου ως προς τον κύκλο ) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν υπάρχουν πργμτικοί ριθμοί,, με 0, τέτοιοι, ώστε ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ μ 0 κι κ λ μ 0,, κι είνι συνευθεικά κι ντιστρόφως Αν γι το σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις λ μ κι λ μ, ν ποδείξετε ότι το είνι το μέσον της πλευράς 3 Έστω κι δύο στθερά σημεί του επιπέδου με 3 Ποι γρμμή γράφουν τ σημεί του επιπέδου γι τ οποί είνι ( )7 ;

5 4 Δίνοντι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι Αν υπάρχει R, τέτοιος, ώστε, ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του πρλληλόγρμμου με κι β είνι μικρότερο ή ίσο του 5 Έστω το περίκεντρο τριγώνου (δηλδή το σημείο γι το οποίο ισχύει έστω, ), κι, κι τ δινύσμτ θέσεως των κορυφών, κι ντιστοίχως με σημείο νφορ άς το (i) Ν δ είξετε ότι το σημείο με διάνυσμ θέσεως β γ είνι το ορθόκεντρο του τριγώνου (ii) Ν βρείτε το διάνυσμ θέσεως του βρύκεντρου του τριγώνου με σημείο νφοράς το (iii) Ν ποδείξετε ότι το περίκεντρο, το βρύκεντρο G κι το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είνι συνευθεικά σημεί κι ότι G διιρεί το τμήμ σε λόγο 6 Τ δινύσμτ,, κι του επιπέδου ικνοποιούν τη σχέση ( ) (i) Ν ποδείξετε ότι ( )( ) (ii) Αν, άσετε το ως συνάρτηση των ν εκφρ διάνυσμ, κ ι 7 Τετρπλεύρου οι πλευρές κι τέμνοντι στο Ε κι οι πλευρές ΒΓ κι ΑΔ τέμνοντι στο Ζ Αν, κ B κι β, λ, τότε Κ (i) Ν εκφρά ως συνάρτ τω σετε ηση ν A,, κι τις δινυσμτικ ές κτίνες Λ ως προ ς το των σημείων, κι Ε Γ Δ, που είνι μέσ των, κι ντιστοίχως (ii) Ν δείξετε ό τι τ σημεί, κι M είνι συνευθεικά Ζ 8 Δίνετι τρίγωνο κι τ σημεί, κι των πλευρών του, μ κι ντιστοίχως, ώστε ν ισχύει Ν ποδείξετε ότι τ ν τρίγων κι έχουν το ίδιο βρύκεντρο

5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Δίνετι ότι το τετράπλευρο είνι ρόμβος Κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες είνι σωστή ή λάθος Αν είνι σωστή, κυκλώστε το γράμμ Σ, ν είνι λάθος κυκλώστε το Λ (i) Σ Λ (ii) Σ Λ ( iii) Σ Λ (iv) Σ Λ (v) Σ Λ (vi) Σ Λ Αν κι είνι τέσσερ σημεί, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (vi) A (ii) B (vii) (iii) (viii) (iv) (i) (v) AB 3 Αν O είνι το σημείο τομής των διγ ωνίων του πρλληλόγρμμου, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (iv) (ii) (v) (iii) 4 Γι τ δινύσμτ του διπλνού σχήμτος ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση Μ i) AM MB AN NB ii) AM MB AN NB Α Β iii) AM MB AN NB Ν

53 5 Σε έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο δίνετι το σημείο ( 3, ) Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (ii) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (iii) Συμμετρικό του ως προς την ρχή O: 3(,) (iv) Συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της O : (,) 6 Δίνοντι τ σημεί ( 3,), (6,5), ( 4, ), (3, 3) κι ( 3,5) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε διάνυσμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του στη δεύτερη στήλη Διάνυσμ Συντετγμένες δινύσμτος ( 0, 4) ( 3,4) ( 7,3) ( 6,4) ( 9,0) 7 Δίνοντι τ σημεί ( 3,), ( 4,5), ( 3, ), (3, 4) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε τμήμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη Τμήμ Συντετγμένες μέσου ( 0,0) 7, 7 3, ( 0, 3) 4 8 Ν βάλετε σε κύκλο τον ριθμό που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση (i) Δίνετι το διάνυσμ ( 3, ) κι τ σημεί ( 4, ), (,7), (0,3) κι (,5) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι ίσο με το : 3 4 5

54 (ii) Δίνετι το διάνυσμ ( 3, ) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι πράλληλο με το : β (8, 4) γ ( 4, ) 3 δ (6,3) 9 Δίνοντι τετράγωνο με κέντρο κι πλευρά Ν βρείτε ως συνάρτηση του τ εσωτερικά γινόμεν: (i) (ii) (iv) (iii) O (v) Α (vi) 0 Τ δινύσμτ u κι v έχουν μέτρ κι 3 ντιστοίχως Ν βρείτε το γινόμενο u v, ν η γωνί των δινυσμάτων υτώ ν είνι: i) 0 0 0 0 0 ii) 30 iii) 60 iv) 90 v) 0 0 vi) 0 50 vii) 0 80 Ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: Αν u κι 0 v uw u, τότε Α v w Β v // w Γ u v w Δ u v w Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε ζεύγος δινυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γω νίς τους που νφέροντι στη δεύτερη στήλη Δινύσμτ u ( 7,5), v (,) u ( 3,4), v (, ) 3 u ( 3,5), v (6,0) 4 u ( 0, ), v ( 5,4) 5 u (,3), v (3, ) 6 u ( κ, λ), v ( λ, κ) Δ Γωνί ορθή οξεί μβλεί 3 Γι τ δινύσμτ του πρκάτω σχήμτος ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: (i) ABAΔ ABAΓ Γ ABAΔ ABA (ii) Γ Δ (iii) AB AΔ AB AΓ Α Β Γ B

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισγωγή Η ιδέ της χρησιμοποίησης ενός συστήμτος συντετγμένων γι τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μι επιφάνει προέρχετι πό την Γεωγρφί κι ήτν γνωστή στους ρχίους γεωγράφους Στην εφρμογή υτής της ιδές στη Γεωμετρί στηρίζετι η έννοι της εξίσωσης μις κμπύλης, δηλδή της λγεβρικής ισότητς που ικνοποιείτι πό τις συντετγμένες των σημείων της κμπύλης (κι μόνο υτών) Η έννοι υτή θεωρείτι σήμερ τόσο πλή, ώστε η διδσκλί της ν ρχίζει πό το Γυμνάσιο Στην πργμτικότητ όμως η εξέλιξή της χρειάστηκε πολύ χρόνο κι υπήρξε το ποτέλεσμ μις σύνθεσης νάμεσ στη Γεωμετρί κι στην Άλγεβρ, με επνσττικές συνέπειες γι τ Μθημτικά κι τις Θετικές Επιστήμες Η νάγκη κι τ πρώτ ίχνη ενός συστήμτος νφοράς εμφνίζοντι στην ρχί ελληνική Γεωμετρί κτά τη μελέτη των κωνικών τομών (δηλδή της πρβολής, της υπερβολής κι της έλλειψης, τις οποίες θ μελετήσουμε πρκάτω) Ο Απολλώνιος στο ο βιβλίο των Κωνικών, φού ορίζει υτές τις κμπύλες στερεομετρικά ως τομές του κώνου πό έν επίπεδο, χρησιμοποιεί δύο συγκεκριμένες ευθείες του σχήμτος, γι ν ποδείξει χρκτηριστικές ιδιότητες κάθε κμπύλης Γι πράδειγμ, στην πρβολή του διπλνού σχήμτος ποδεικνύει ότι ν φέρουμε την κάθετη ΚΛ ( τετγμένως κτγόμενη ) πό σημείο της κμπύλης προς τη διάμετρο ΖΗ, τότε το τετράγωνο με πλευρά ΚΛ είνι ισοδύνμο με το ορθογώνιο που έχει πλευρές ΖΛ, ΖΘ, όπου ΖΘ έν τμήμ κάθετο στην ΖΗ στην κορυφή κμπύλης (το μήκος του οποίου προσδιορίζετι πό το είδος του κώνου κι πό τη θέση του τέμνοντος επιπέδου) Θ Ζ Κ Λ Τετγμένως κτγόμενη Η

56 Η σχέση ισοδυνμεί βέβι με τη σύγχρονη εξίσωση p της πρβολής, όπου, οι συντετγμένες των σημείων της ως προς έν ορθογώνιο σύστημ συντετγμένων με άξονες τον άξον συμμετρίς της πρβολής κι την κάθετη σ υτόν στην κορυφή της Η βσική διφορά νάμεσ στην ρχί κι στη σύγχρονη μέθοδο βρίσκετι στο γεγονός ότι η τελευτί χρησιμοποιεί τη συμβολική νπράστση των γεωμετρικών σχέσεων κι ξιοποιεί την ευελιξί του λγεβρικού λογισμού (που εκφράζετι με τη χρήση ρνητικών συντετγμένων κτλ) Αυτό το ποφσιστικό βήμ έγινε γύρω στο 630 πό τους R Descartes κι P Fermat, οι οποίοι επιχείρησν ν χρησιμοποιήσουν στη μελέτη δύσκολων προβλημάτων της ρχίς ελληνικής Γεωμετρίς τη συμβολική Άλγεβρ που είχε δημιουργηθεί στη διάρκει του 6ου ιών πό τους Cardano, Viete κά Στ έργ των Descartes κι Fermat δεν υπάρχουν οι άξονες συντετγμένων ή οι εξισώσεις των κμπύλων που χρησιμοποιούμε σήμερ, λλά περιγράφετι με συστημτικό τρόπο η διδικσί νγωγής ενός γεωμετρικού προβλήμτος σε λγεβρικό (ή ντίστροφ) Ιδιίτερη επίδρση είχε το έργο του Descarte La Géométrie (637), στο οποίο κριβώς γι ν γίνει πιο ποτελεσμτική η χρήση του λγεβρικού λογισμού στη Γεωμετρί εισάγοντι νέοι συμβολισμοί (όπως, γι πράδειγμ, η εκθετική γρφή των δυνάμεων), που φέρνουν ουσιστικά την Άλγεβρ στη σημερινή μορφή της Τετγμένη Τετμημένη Ύστερ πό την πρώτη σύνθεση της Άλγεβρς κι της Γεωμετρίς, οι εξελίξεις υπήρξν ργδίες κι οδήγησν στην κεντρική έννοι της σύγχρονης Ανλυτικής Γεωμετρίς: Η εξίσωση μις κμπύλης, πό βοηθητικό μέσο γι τη λύση ενός γεωμετρικού προβλήμτος, γίνετι μέσο ορισμού κι νπράστσης υτής της κμπύλης Ο J Wallis, στο βιβλίο του Tractatus de sectionibus conicis (655), ορίζει την έλλειψη, την πρβολή κι την υπερβολή τόσο με τον κλσικό τρόπο, ως τομές κώνου, όσο κι με εξισώσεις ου βθμού, ενώ ο I Newton το 676 χρησιμοποιεί με συστημτικό τρόπο δύο άξονες κι ρνητικές συντετγμένες, γι ν μελετήσει κι ν τξινομήσει τις κμπύλες τρίτου βθμού Στην εργσί επίσης του Newton Artis analticae specimina vel geometria analtica (που δημοσιεύτηκε το 779) χρησιμοποιείτι γι πρώτη φορά ο όρος Ανλυτική Γεωμετρί Οι εξελίξεις υτές, που έλβν χώρ πράλληλ με τη δημιουργί του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισμού, διμόρφωσν έν νέο κλάδο των Μθημτικών Ο ος τόμος του κλσικού έργου του L Euler Introductio in analsin infinitorum (748) ποτελεί έν πλήρες διδκτικό εγχειρίδιο Ανλυτικής Γεωμετρίς, στο οποίο οι κμπύλες του επιπέδου κι οι επιφάνειες

57 του χώρου ορίζοντι κι εξετάζοντι ποκλειστικά μέσω των εξισώσεών τους ως προς έν πλγιογώνιο σύστημ συντετγμένων ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γρμμής Αν έχουμε μι εξίσωση με δύο γνώστους, γι πράδειγμ την =, τότε λύση της εξίσωσης υτής λέγετι κάθε ζεύγος ριθμών (, ) που την επληθεύει Έτσι, γι πράδειγμ, τ ζεύγη (, ) (, 4), ( 3, 9), ( 0, 0),,, ( 3,3) είνι λύσεις της = Αν 4 τώρ σε έν σύστημ συντετγμένων πρστήσουμε με σημεί όλες τις λύσεις της εξίσωσης =, τότε θ προκύψει η γρμμή C, του διπλνού σχήμτος που, όπως O γνωρίζουμε πό προηγούμενες τάξεις λέγετι πρβολή Επειδή οι συντετγμένες (, ) των σημείων M(, ) της πρβολής C, κι μόνο υτές, επληθεύουν την εξίσωση = λέγετι εξίσωση της πρβολής C Γενικά:, γι υτό η εξίσωση = Μι εξίσωση με δύο γνώστους, λέγετι εξίσωση μις γρμμής C, ότν οι συντετγμένες των σημείων της C, κι μόνο υτές, την επληθεύουν Στη συνέχει, ντί ν λέμε, γι πράδειγμ, δίνετι η πρβολή C με εξίσωση =, θ λέμε δίνετι η πρβολή C : = ή πλώς δίνετι η πρβολή = Με τις εξισώσεις των γρμμών μπορούμε με λγεβρικές μεθόδους ν μελετήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες των γρμμών υτών ή ν ντιμετωπίσουμε διάφορ άλλ συνφή προβλήμτ Αυτό είνι κι το βσικό ντικείμενο της Ανλυτικής Γεωμετρίς Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείς

58 Η ευθεί γρμμή είνι η πλούστερη κι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη γρμμή Στην νζήτηση της εξίσωσης μις ευθείς θ μς διευκολύνει η έννοι του συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι ε μι ευθεί που τέμνει τον άξον στο σημείο Α ε ε Ο ω Α ω Ο Α Τη γωνί ω που διγράφει ο άξονς ότν στρφεί γύρω πό το Α κτά τη θετική φορά μέχρι ν συμπέσει με την ευθεί ε τη λέμε γωνί που σχημτίζει η ε με τον άξον Αν η ευθεί ε είνι πράλληλη προς τον άξον, τότε λέμε ότι σχημτίζει με υτόν γωνί ω 0 Σε κάθε περίπτωση γι τη 0 0 γωνί ω ισχύει 0 ω 80 ή σε κτίνι 0 ωπ Ως συντελεστή διεύθυνσης μις ευθείς ε ορίζουμε την εφπτομένη της γωνίς ω που σχημτίζει η ε με τον άξον Προφνώς ο συντελεστής διεύθυνσης μις ευθείς είνι θετικός, ν η γωνί ω που σχημτίζει με τον άξον είνι οξεί κι ρνητικός, ν είνι μβλεί Αν η ευθεί σχημτίζει με τον μηδενική γωνί, δηλδή είνι πράλληλη στον άξον, ο συντελεστής διεύθυνσης είνι ίσος με μηδέν 0 Στην περίπτωση που η γωνί της ευθείς ε με τον άξον είνι 90, δηλδή η ευθεί ε είνι κάθετη στον άξον, δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης γι την ευθεί υτή Ότν είνι γνωστά έν σημείο μις ευθείς κι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς, τότε μπορούμε ν σχεδιάσουμε την ευθεί Γι πράδειγμ, γι ν σχεδιάσουμε την ευθεί που διέρχετι πό το σημείο Α(-,) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ -, ρκεί πό το Α 3 ν κινηθούμε 3 μονάδες προς τ ριστερά κι Β(-5,3) A(-,) Ο

59 στη συνέχει μονάδες προς τ πάνω Προσδιορίζουμε έτσι το σημείο B(-5,3), οπότε η ζητούμενη ευθεί είνι η AB Έστω τώρ έν διάνυσμ δ πράλληλο σε μι ευθεί ε Αν φ κι ω είνι οι γωνίες που σχημτίζουν το κι η ε με τον ντιστοίχως, τότε θ ισχύει φ ω ή φ π ω κι επομένως εφφ εφω Άρ: Ότν μι ευθεί κι έν διάνυσμ είνι πράλληλ, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Ο φ ω ε φ ω Ο ω ω ε φ=ω φ=π+ω Αν είνι γνωστές οι συντετγμένες δύο σημείων μις μη κτκόρυφης ευθείς ε, δηλδή μις ευθείς που δεν είνι κάθετη στον άξον, τότε μπορούμε ν βρούμε κι το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείς υτής Πράγμτι, ν A(, ) κι B(, ) είνι δύο σημεί της ευθείς ε, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ε είνι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του δινύσμτος AB ( -, - ) -, δηλδή ίσος με Επομένως: - Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μις ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί A, ) κι, ), με είνι ( B( λ Γι πράδειγμ, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχετι πό τ 4 ( ) σημεί A(, ) κι B(, 4) είνι λ 3 Συνθήκες Κθετότητς κι Πρλληλίς Ευθειών