Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei matematice consta in urmatoarele: O propozitie (afirmatie) oarecare P (n) ce depinde de un numar natural n este adevarata pentru orice n natural daca:. P () este o propozitie (afirmatie) adevarata;. P (n) ramane o propozitie (afirmatie) adevarata cand n se majoreaza cu o unitate adica P (n + ) este adevarata. Asadar metoda inductiei presupune doua etape:. Etapa de verificare: se verifica daca propozitia P () este adevarata;. Etapa de demonstrare: se presupune ca propozitia P (n) este adevarata si se demonstreaza justetea afirmatiei P (n + ) (n a fost majorat cu o unutate). Nota. In unele cazuri metoda inductiei matematice se utilizeaza in urmatoarea forma: Fie m un numar natural m > si P (n) o propozitie ce depinde de n n m. Daca. P (m) este adevarata;. P (n) fiind o propozitie justa implica P (n + ) adevarata pentru n m atunci P (n) este o propozitie adevarata pentru orice numar natural n m. In continuare sa ilustram metoda inductiei matematice prin exemple. Exemplul. Sa se demonstreze urmatoarele egalitati n(n + ) a) + + +... + n b) + + 5 +... + (n ) n c) + + +... + n n(n + )(n + ) [ ] n(n + ) d) + + +... + n n(n + )(n + ) e) + + +... + n(n + ) f) + 5 +... + (n )(n + ) n n + g) formula binomului Newton: (a + b) n a n + Cna n b +... + Cna n b +... + Cn n ab n + b n a b R unde n N. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. a) Pentru n egalitatea devine prin urmare P () este adevarata. Presupunem ca egalitatea din enunt este adevarata adica are loc egalitatea + + +... + n si urmeaza sa verificam daca P (n + ) adica n(n + ) + + +... + n + (n + ) (n + )[(n + ) + ] este justa. Cum (se tine seama de egalitatea din enunt) (n + )(n + ) se obtine + + +... + (n + ) + + +... + n + (n + ) n(n + ) n(n + ) + (n + ) ( ) n + (n + ) (n + ) + (n + )(n + ) adica P (n + ) este afirmatie justa. Asadar conform principiului inductiei matematice egalitatea din enunt este justa pentru orice n natural. Nota. Mentionam ca acest exemplu poate fi rezolvat si fara utilizarea inductiei matematice. Intr-adevar suma +++...+n reprezinta suma primilor n termeni ( ai progresiei aritmetice cu primul termen a si ratia d. In baza formulei cunoscute S n a ) + a n n se obtine S n + n n. b) Pentru n egalitatea devine sau astfel P () este justa. Presupunem justa egalitatea + + 5 +... + (n ) n si urmeaza sa verificam daca are loc P (n + ): sau + + 5 +... + (n ) + ((n + ) ) (n + ) + + 5 +... + (n ) + (n + ) (n + ). Se tine seama de egalitatea din enunt si se obtine + + 5 +... + (n ) + (n + ) n + (n + ) (n + ). Asadar P (n + ) este adevarata si prin urmare egalitatea din enunt este adevarata. Nota. Similar exemplului precedent se rezolva si fara a aplica metoda inductiei matematice. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

c) Pentru n egalitatea este justa. Se presupune justa egalitatea si se arata ca + + +... + n + + +... + n + (n + ) n(n + )(n + ) adica P (n) adevarata implica P (n + ) adevarata. In adevar + + +... + n + (n + ) [ ] n(n + ) (n + ) + (n + ) n(n + )(n + ) n + si cum n + 7n + (n + )(n + ) se obtine + + +... + (n + ) (n + )(n + )(n + ) + (n + ) [n(n + ) + (n + )] n + (n + 7n + ) (n + )(n + )(n + ) si prin urmare egalitatea este adevarata. [ ] d) Pentru n egalitatea este justa:. Se presupune ca are loc egalitatea si se arata ca are loc egalitatea + + +... + n [ n(n + ) [ ] (n + )(n + ) + + +... + (n + ). ] In adevar tinand seama de ipoteza [ ] [ n(n + ) n + + +... + n + (n + ) + (n + ) (n + ) (n + ) (n + n + ) (n + ) (n + ) [ ] (n + )(n + ). + (n + ) ] e) Propozitia P () este justa. Se presupune ca egalitatea n(n + )(n + ) + +... + n(n + ) Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

este adevarata si se arata ca ea implica egalitatea In adevar + +... + n(n + ) + (n + )(n + ) (n + )(n + )(n + ). n(n + )(n + ) + +... + n(n + ) + (n + )(n + ) + (n + )(n + ) ( ) n (n + )(n + ) + (n + )(n + )(n + ). Asadar egalitatea enuntata este justa pentru orice n natural. f) P () este adevarata: +. Se presupune ca are loc P (n): + 5 +... + (n )(n + ) n n + si se arata ca aceasta egalitate implica egalitatea + 5 +... + (n )(n + ) + (n + )(n + ) n + n +. In adevar tinand seama de justetea afirmatiei P (n) se obtine + 5 +... + (n )(n + ) + (n + )(n + ) n n + + (n + )(n + ) n(n + ) + (n + )(n + ) n + n + (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) n + n +. Prin urmare egalitatea este demonstrata. g) Pentru n egalitatea devine a + b b + a si deci este adevarata. Fie formula binomului Newton este justa pentru n k adica Atunci (a + b) k a k + C ka k b +... + b k. (a + b) k+ (a + b) k (a + b) (a k + C ka k b +... + b k )(a + b) a k+ + ( + C k)a k b + (C k + C k)a k b +... + (C s k + C s+ k )a k s b s +... + b k+. Tinand seama de egalitatea Ck s + Ck s+ Ck+ s+ se obtine (a + b) k+ a k+ + C k+a k b + C k+a k b +... + C s+ k+ ak s b s+ +... + b k+. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul. Sa se demonstreze inegalitatile a) inegalitatea Bernuolli: ( + α) n + nα α > n N. b) x + x +... + x n n daca x x... x n si x i > i n. c) inegalitatea Cauchy relativa la media aritmetica si geometrica x + x +... + x n n n x x... x n unde x i > i n n. d) sin n α + cos n α n N. e)! +! +... + n! < 5n n n N. f) n > n n N n. Rezolvare. a) Pentru n inegalitatea este adevarata Se presupune ca are loc inegalitatea enuntata si se arata ca in asa ipoteza are loc si + α + α. ( + α) n + nα () ( + α) n+ + (n + )α. In adevar cum α > implica α + > multiplicand ambii membri ai inegalitatii () cu (α + ) se obtine ( + α) n ( + α) ( + nα)( + α) sau Cum nα rezulta ( + α) n+ + (n + )α + nα ( + α) n+ + (n + )α + nα + (n + )α. Asadar P (n) adevarata implica P (n + ) adevarata prin urmare conform principiului inductiei matematice inegalitatea Bernoulli este adevarata. b) Pentru n se obtine x si prin urmare x adica P () este o afirmatie justa. Se presupune ca P (n) este adevarata adica x x... x n sunt n numere pozitive produsul carora este egal cu unu x x... x n si x + x +... + x n n. Sa aratam ca aceasta ipoteza implica justetea urmatoarei afirmatii: daca x x... x n x n+ sunt (n+) numere pozitive cu x x... x n x n+ atunci x +x +...+x n +x n+ n+. Se disting urmatoarele doua cazuri: ) x x... x n x n+ si atunci suma lor este (n + ) inegalitatea fiind justa Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 5

) cel putin un numar este diferit de unu fie mai mare ca unu. Atunci dat fiind x x... x n x n+ rezulta ca exista cel putin inca un numar diferit de unu mai exact mai mic ca unu. Fie x n+ > si x n <. Consideram n numere pozitive x x... x n (x n x n+ ). Produsul lor este egal cu unu iar conform ipotezei Ultima inegalitate se scrie astfel x + x +... + x n + x n x n+ n. x + x +... + x n + x n x n+ + x n + x n+ n + x n + x n+ sau Cum x + x +... + x n + x n + x n+ n + x n + x n+ x n x n+. n + x n + x n+ x n x n+ n + + x n+ ( x n ) + x n n + + x n+ ( x n ) ( x n ) n + + ( x n )(x n+ ) n + deoarece ( x n )(x n+ ) > rezulta x + x +... + x n + x n+ n + adica P (n) adevarata implica P (n + ) adevarata. Inegalitatea este demonstrata. Nota. Se observa ca semnul egalitatii are loc daca si numai daca x x... x n. c) Fie x x... x n numere pozitive arbitrare. Se considera n numere x n x x... x n x n x x... x n... x n n x x... x n. Cum aceste numere sunt pozitive si produsul lor este egal cu unu x n x x... x n x n x x... x n... conform inegalitatii b) demonstrate anterior rezulta x n x x... x n + x n x x... x n +... + x n n x x... x n x x... x n x x... x n x n n x x... x n n de unde rezulta x + x +... + x n n n x x... x n Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Nota 5. Semnul egalitatii are loc daca si numai daca x x... x n. d) P () este o afirmatie justa: sin α + cos α. Se presupune ca P (n) este o afirmatie adevarata: sin n α + cos n α si se arata ca P (n + ) are loc. In adevar sin (n+) α + cos (n+) α sin n α sin α + cos n α cos α < sin n α + cos n α (se tine seama ca daca sin α atunci cos α < si reciproc daca cos α atunci sin α < ). Asadar pentru orice n N sin n α+cos n si semnul egalitatii se atinge doar pentru n. e) Pentru n afirmatia este justa:! < 5 <. Se presupune ca! +! +... + n! < 5n si urmeaza de a demonstra ca n! +! +... + n! + (n + )! < 5n + (n + ). Cum (n + )! > n(n + ) (n + )! < n(n + ) (n + )! < n(n + ) (5n + ) n (5n )(n + ) < (n + )! (n + )n 5n n + (n + )! < 5n + (n + ) (n + )! < 5n + (n + ) 5n n se tine seama de P (n) si se obtine! +! +... + n! + (n + )! < 5n + n (n + )! < 5n + (n + ). f) Se tine seama de nota si se verifica P () : > > asadar pentru n inegalitatea este justa. Se presupune ca n > n (n > ) si trebuie de demonstrat P (n + ) adica n+ > (n + ). ( ) Cum pentru n > avem > sau > + n n + n + n rezulta n > n + n + n + sau n > n + n +. Se tine seama de ipoteza ( n > n ) si se obtine n+ n n + n > n + n > n + n + n + (n + ). Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 7

Asadar conform principiului inductiei pentru orice n N n avem n > n. Exemplul. Sa se demonstreze ca pentru orice n N a) n(n n + ) se divide cu b) n + n+ + n se divide cu. Rezolvare. a) P () este o propozitie adevarata ( se divide cu ). Fie P (n) are loc adica n(n n + ) n(n )(n ) se divide cu. Se arata ca are loc P (n + ) adica (n + )n(n + ) se divide cu. In adevar cum n(n + )(n + ) n(n + )(n + ) (n(n ) + n)(n + ) n(n )(n ) + n(n ) + n(n + ) n(n )(n ) + n n n(n )(n ) + n si cum atat n(n )(n ) cat si n se divid cu rezulta ca si suma lor adica n(n+)(n+) se divide cu. Asadar P (n + ) este o afirmatie justa si n(n n + ) se divide cu pentru orice n N. b) Se verifica P (): + + prin urmare P () este justa. Urmeaza sa se arate ca daca n + n+ + n se divide cu (P (n)) atunci n + n+ + n de asemenea se divide cu (P (n + )). In adevar cum n + n+ + n n + + n++ + n + n + n+ + n ( n + n+ + n ) + n si atat n + n+ + n cat si n se divid cu rezulta ca si suma lor adica n + n+ + n se divide cu. Inductia in geometrie. Exemplul. Sa se calculeze latura a n a unui poligon regulat cu n laturi inscris intr-o circumferinta de raza R. Rezolvare. Pentru n poligonul regulat cu laturi reprezinta un patrat si in acest caz a R. A D B E C Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 8

Fie a n a si sa determinam a n+ a. Daca AB a atunci AE a ; BD a. Din DEB conform teoremei Pitagora La randul sau DE R EC si (a a ) + DE. ( ) a EC BC BE R. ( a ) Asadar DE R R si deci ( a a n+ ) ( a ) + R R R R R a n. Astfel s-a obtinut o formula de trecere de la n la n +. In cazuri particulare: Natural apare ipoteza a R a 8 R R R R a R R R R ( ) R R. +. a n R + +... +. () }{{} n ori Cum a fost arata anterior pentru n aceasta formula este adevarata. Fie () adevarata pentru n k. Sa calculam a n+. Conform formulei de trecere se obtine +... + }{{} a n+ R R R R n ori R + +... +. }{{} n ori Nota. Din () rezulta ca lungimea circumferintei este egala cu l lim n R n + +... + }{{} n ori Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 9

si cum l πr se obtine π n lim n + +... +. }{{} n ori I. Sa se demonstreze egalitatile: a) + +... + (n ) n(n ) Exercitii pentru autoevaluare b) + +... + (n )n n(n )(n + ) n > c) sin x + sin(x + α) +... + sin(x + nα) sin(x + nα (n+)α ) sin sin α d) + 5 + 5 7 +... + n n(n + ) (n )(n + ) (n + ) e) + 5 + 5 +... + n + n(n + )(n + ) 5 n + 5 (n + )(n + ) f) + 7 + +... + (n + n ) n(n + 9n + ) g) cos α cos α cos α cos n α sin(n+ α) n+ sin α h) sin x + sin x +... + sin nx sin nx n+ sin sin x i) n+ sin + cos x + cos x +... + cos nx sin x (n + ) sin nx n sin(n + )x j) sin x + sin x + sin x +... + n sin nx sin x (n + ) cos nx n cos(n + )x k) cos x + cos x +... + n cos nx sin x x x l) tg x + tg x +... + tg x n n ctg x ctg x (x mπ) n n m) arcctg + arcctg 5 +... + arcctg(n + ) arctg + arctg +... + arctg n + n arctg. n Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

II. Sa se demonstreze inegalitatile a) n > n + (n ) b) 5... n n n + c) a + a +... + a n a + a +... + a n d)!!... (n)! > [(n + )!] n n e) f) g) n + + n + +... + n > n > 5... (n )... n n n + (n)! (n!). < n + n N; + +... + > n n III. Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural numarul a n se divide cu b a) a n 5 n+ + n+ b 7 b) a n n+ + n+ b c) a n n + n + 7n b d) a n n + 8n 8 b 7 e) a n n 5 n b. IV. Sa se arate ca ( ) + ( + ( ) ) +... π (Formula lui Viete). V. Sa se calculeze razele r n R n a circumferintelor inscrise si circumscrise poligonului regulat cu n laturi de perimetru p. VI. Sa se determine in cate triughiuri poate fi divizat un poligon cu n laturi de diagonalele sale neconcurente. VII. Fie date n patrate arbitrare. Sa se arate ca aceste patrate pot fi taiate in asa mod incat din partile obtinute se poate de format un patrat. Copyright c 999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md