ΚΕΦΛΙΟ 1 Οι ϐασικές έννοις 1.1 όριστς έννοις, αξιώµατα υτό ισχύι ακόµη και για το ίδιο µας το γώ : το αντιλαµβανόµαστ µόνον ως κδήλωση, όχι ως κάτι που µπορίνα υπάρχι καθ αυτό. Thomas Mann, Schopenhauer Οι έννοις, τουλάχιστον οι µαθηµατικές, ίναι σαν τις µορφές ύλης, που διασπώνται σ µόρια, αυτά σ άτοµα που µ τη σιρά τους διασπώνται στα στοιχιώδη σωµατίδια κ.λπ. Στη γωµτρία η διάσπαση σ ολοένα απλούστρς έννοις καταλήγι στις λγόµνς αόριστς έννοις. Εννοις που ίναι τόσο απλές και οικίς από την µπιρία µας, ώστ δν µπορούµ να ϐρούµ πιο απλές µ τη ϐοήθια των οποίων να τις πριγράψουµ ([Hel76]). Τέτοις έννοις στην ωµτρία ίναι το σηµίο, το πίπδο, ο χώρος, η υθία, η έννοια του σηµίου µταξύ δύο άλλων σηµίων και η έννοια της ισότητας δύο σχηµάτων. Μαθαίνουµ να χιριζόµαστ αυτές τις έννοις ϐάσι των ιδιοτήτων τους ή αξιωµάτων που πριγράφουν κάποια χαρακτηριστικά τους και τα οποία αποδχόµθα χωρίς απόδιξη. Ξκινάµ λοιπόν µ τις αόριστς έννοις. Πριγράφουµ τις ϐασικές ιδιότητς τους µ αξιώµατα και από κι και πέρα, συνδυάζοντας τις ϐασικές ιδιότητς µ τη λογική, συµπραίνουµ άλλς ιδιότητς, τα ϑωρήµατα ή προτάσις και τα πορίσµατα (άµσς λογικές συνέπις των ϑωρηµάτων). Τα µέχρις νός σηµίου α- ποδιχθέντα ϑωρήµατα µαζίµ τα αξιώµατα, χρησιµοποιούνται για να συµπράνουµ νές ιδιότητς, δηλαδή νέα ϑωρήµατα. Μ τον τρόπο αυτό χτίζουµ σιγά-σιγά ένα καλά οργανωµένο και δοµηµένο πνυµατικό οικοδό- µηµα που συγκροτί τη γνώση µας στην ωµτρία. Εάν σ κάποιο σηµίο κάνουµ µια παραδοχή λ.χ. = B και, στηριζόµνοι στη λογική, καταλήξουµ ότι αυτό οδηγίσ αντίφαση προς κάποιο αξίωµα ή ν τω µταξύ αποδιχθέν ϑώρηµα, τότ λέµ ότι η υπόθσή µας οδηγί σ άτοπο και ίµαστ υποχρωµένοι να δχθούµ ότι ισχύι η λογική άρνηση της ιδιότητας (στο παράδιγµα B). Η µέθοδος αυτή του συλλογισµού λέγται ις άτοπον απαγωγή και χρησιµοποιίται κατά κόρον στην γωµτρία. Η Ευκλίδια ωµτρία ξτάζι τις ιδιότητς σχηµάτων στο χώρο και το πίπδο και κυρίως αυτές που σχτίζονται µ µτρήσις. Ως σχήµα ϑωρούµ οποιαδήποτ συλλογή σηµίων του πιπέδου (πίπδο σχήµα) ή του χώρου (σχήµα στο χώρο). Μτράµ µήκη, γωνίς και µβαδά. Στο χώρο µτράµ και όγκους. Συνήθως το µάθηµα χωρίζται σ δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος, που ονοµάζται πιπδο- µτρία, ξτάζονται ιδιότητς σχηµάτων του πιπέδου, όπως το τρίγωνο, το ττράγωνο, ο κύκλος κ.λπ. Στο δύτρο µέρος, που ονοµάζται στροµτρία, ξτάζονται ιδιότητς των σχηµάτων του χώρου,
2 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ όπως ο κύβος, η σφαίρα κ.λπ. Σχόλιο-1 Τα αξιώµατα που ϑα πιλέξουµ ως ϐασικές ιδιότητς και σηµίο κκίνησης της µλέτης µας, δν ίναι πραγµατικά ανξάρτητα µταξύ τους. Ορισµένα από αυτά ίναι συνέπις των άλλων. Εποµένως, ϑα µπορούσαµ να ξκινήσουµ µ λιγότρα, ανξάρτητα µταξύ τους, αλλά παρκή για να αποδίξουµ όλς τις υπόλοιπς ιδιότητς ως ϑωρήµατα. υτό ωστόσο ϑα ίχ τη συνέπια να χρονοτριβήσουµ σ πολύ απλές ιδιότητς, αποδικνύοντάς τις και αυτές ως συνέπις των λίγων αξιωµάτων µας. Προτίµησα λοιπόν να νσωµατώσω κάποις από αυτές τις ιδιότητς στα αξιώµατα, µ τη ϕιλοσοφία ότι η αποκάλυψη πιο κρυφών ιδιοτήτων δηµιουργίπρισσότρο νδιαφέρον από την πιββαίωση των προφανών. ια µια διαφορτική πορία, όπου ξτάζται λπτοµρώς το ϑέµα των αξιωµάτων, µπορί κανίς να δι το πολύ γνωστό ϐιβλίο [Hil03] του Hilbert 1862-1943, που ίναι αφιρωµένο ξ ολοκλή- ϱου στη συζήτηση των αξιωµάτων, την ανξαρτησία τους και τη µταξύ τους µη-αντιφατικότητα. πό αυτό το ϐιβλίο προέρχονται και τα πρισσότρα των αξιωµάτων της υθίας που διατυπώνω παρακάτω. ντικαθιστώ ωστόσο µρικά από αυτά µ αξιώµατα από το σύστηµα του Birkhoff 1884-1944 ([Bir32]), που ξασφαλίζουν το ότι οι υθίς ίναι, στην ουσία, αντίγραφα του συνόλου των πραγµατικών αριθ- µών. ς σηµιωθίπάντως, ότι η ϑµλίωση της Ευκλίδιας γωµτρίας µπορί να γίνι και µ πολύ λίγα αξιώµατα. Ο Hilbert, στο προαναφρθέν ϐιβλίο του, καθώς και ο Cairns 1904-1982 ([Cai33]), δίδουν συστήµατα µ τέσσρα µόνον αξιώµατα. Ο Bachmann 1909-1982 ([Bac73]) δίδι ένα σύστηµα πέντ αξιωµάτων. Σ όλα αυτά τα συστήµατα όµως υπισέρχονται πιο σύνθτς µαθηµατικές δοµές (τοπολογικοίχώροι, µτασχηµατισµοί, οµάδς κ.α.). Σχόλιο-2 Τα στοιχία του Ευκλίδη (πρίπου 325-265 π.χ.) ([Hei85], [Hea08]) αρχίζουν µ την παράθση 23 ορισµών οι 4 πρώτοι κ των οποίων και ο τλυταίος ίναι οι ξής : (1) Σηµίον έστιν, ου µέρος ουθέν. (2) ραµµή δ µήκος απλατές. (3) ραµµής δ πέρατα σηµία. (4) Ευθία γραµµή στιν, ήτις ξ ίσου τοις φ αυτής σηµίοις κίται....... (23) Παράλληλοι ισίν υθίαι, αίτινς ν τω αυτώ πιπέδω ούσαι και κβαλλόµναι ις άπιρον φ κάτρα τα µέρη πίµηδέτρα συµπίπτουσιν αλλήλαις. µέσως µτά τους 23 ορισµούς ακολουθούν τα 5 ιτήµατα, που µίς ονοµάζουµ αξιώµατα : 1. Ηιτήσθω από παντός σηµίου πί παν σηµίον υθίαν γραµµήν αγαγίν. 2. Και ππρασµένην υθίαν κατά το συνχές π υθίας κβαλίν. 3. Και παντίκέντρω και διαστήµατι κύκλον γράφσθαι. 4. Και πάσας τας ορθάς γωνίας ίσας αλλήλας ίναι. 5. Και άν ις δύο υθίας υθία µπίπτουσα τας νός και πί τα αυτά µέρη γωνίας δύο ορθών λάσσονας ποιή, κβαλλοµένας τας δύο υθίας π άπιρον συµπίπτιν, φ ά µέρη ισίν αι των δύο ορθών λάσσονς. Στους ορισµούς αυτούς πριέχονται, τόσο έννοις που µίς πριγράψαµ ως αόριστς (1,2,4), όσο και κανονικοί ορισµοί, όπως τους δίνουµ και σήµρα (3,23). Τα πέντ αξιώµατα του Ευκλίδη δυστυχώς δν παρκούν για την απόδιξη όλων των προτάσων που ακολουθούν στο ϐιβλίο του. Συχνά χρησιµοποιίκάποις ιδιότητς που δν προκύπτουν από τα πέντ αυτά αξιώµατα, που ίναι όµως σωστές. πλά χριάζται η προσθήκη και άλλων αξιωµάτων, ώστ να προκύψι αυτό που σήµρα λέµ πλήρς σύστηµα αξιωµάτων, το οποίο ίναι ικανό να στηρίξι τις αποδίξις όλων των ιδιοτήτων των σχηµάτων που ανακαλύπτουµ και να τις ϐάλι σ µια λογική σιρά ([You17, σ. 36]). Σχτικά µ το λίγο χρόνο που αναλίσκι ο Ευκλίδης στους ορισµούς και τα αξιώµατα συµφωνώ, γιατίκατ πανάληψιν έχω παρατηρήσι ότι όταν ο µαθητής πολιορκίται µ διασαφήσις και ανάλυση λπτοµριών για έννοις των οποίων έχι µια ϕυσική διαίσθηση, τότ αρχίζι να αµφιβάλλι και για αυτά που ήξρ και να µπρδύται πρισσότρο, αντίνα ϕωτίζται. Χριάζται λοιπόν προσοχή, ώστ
1.2. ΕΥΘΕΙ ΚΙ ΕΥΘΥΡΜΜΟ ΤΜΗΜ 3 πρισσότρο να νισχυθί η ϕυσική του διαίσθηση για αυτά που καταλαβαίνι µ κάποιο τρόπο, παρά να αµφισβητηθίη διαίσθησή του και οι προηγούµνς µπιρικές γνώσις του. κολουθώντας λοιπόν τον Ευκλίδη, δν ϑα σταθώ ιδιαίτρα στις αόριστς έννοις και τα αξιώµατα ([You17, σ. 165], [Log80]). Θα δώσω ένα σύστηµα πλήρς, ικανό να στηρίξι όλς τις µτέπιτα προτάσις µας και ϑωρήµατα. Εµπιστυόµνος, ωστόσο, τη διαίσθηση του αναγνώστη, δν ϑα συ- Ϲητήσω ιδιαίτρα τις αλληλξαρτήσις των αξιωµάτων αυτών και τις αόριστς έννοις στις οποίς αυτά αναφέρονται. 1.2 Ευθία και υθύγραµµο τµήµα Η υθία γραµµή ίναι κατηγόρηµα του απίρου. Επίσης ο άνθρωπος που προαισθάνται το άπιρο το αναπαράγι στα έργα του. Honore de Balzac, Η νθρώπινη Κωµωδία Το πίπδο αποτλίται από σηµία που συµβολίζοµ µ κφαλαία γράµµατα, B,,... ή κφαλαία µ τόνους, B,,... ή κφαλαία µ δίκτς 1, 2,... κ.λπ. Το σηµαντικότρο και ένα από τα πιο απλά σχήµατα του πιπέδου ίναι η υθία που συµβολίζουµ µ µικρά γράµµατα, ζ, η,... ή Σχήµα 1.2.1: Ευθία γράµµατα µ τόνους, ζ,... ή γράµµατα µ δίκτς 1, 2,... κ.λπ. ια τις υθίς δχόµαστ τις ξής αρχικές ιδιότητς (αξιώµατα). ξίωµα 1.2.1 ύο διαφορτικά σηµία, B ορίζουν µία ακριβώς υθία που συµβολίζοµ µ B. B Σχήµα 1.2.2: Ευθία B ξίωµα 1.2.2 Κάθ υθία έχι άπιρα σηµία. ια κάθ υθία υπάρχουν άπιρα σηµία του πιπέδου που δν ανήκουν σ αυτήν. ια κάθ σηµίο υπάρχουν άπιρς υθίς που δν διέρχονται από αυτό. ξίωµα 1.2.3 Κάθ υθία χωρίζι το πίπδο σ δύο µέρη που λέγονται ηµιπίπδα, τα οποία δν έχουν κοινά σηµία µ την υθία. Μία υθία που έχι δύο σηµία και B σ διαφορτικά ηµιπίπδα της υθίας τέµνι την υθία (το πρώτο ϑώρηµα παρακάτω λέι ότι υπάρχι τότ ένα ακριβώς σηµίο τοµής της µ την υθία B). Συχνά χρησιµοποιούµ τη λέξη µριά της υθίας, ννοώντας ένα από τα δύο ηµιπίπδα αυτής. B Σχήµα 1.2.3: Ηµιπίπδα οριζόµνα από µία υθία
4 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ξίωµα 1.2.4 ύο σηµία, B µιας υθίας ορίζουν ένα υθύγραµµο τµήµα που συµβολίζουµ πίσης µ B. Το B αποτλίται από τα, B καθώς και όλα τα σηµία που υρίσκονται µταξύ του και του B. Τα και B λέγονται άκρα του υθυγράµµου τµήµατος. Τα σηµία του υθυγράµµου τµήµατος, κτός των άκρων, λέµ ότι αποτλούν το σωτρικό του υθυγράµµου τµήµατος. B Σχήµα 1.2.4: Ευθύγραµµο τµήµα B ξίωµα 1.2.5 ν τα σηµία και B υρίσκονται στο ίδιο ηµιπίπδο της υθίας, τότ και όλα τα σηµία του υθυγράµµου τµήµατος B πριέχονται στο ίδιο ηµιπίπδο. ν τα σηµία και B υρίσκονται σ διαφορτικά ηµιπίπδα της υθίας, τότ το σηµίο τοµής E της υθίας και της υθίας B υρίσκται µταξύ των και B. E B Σχήµα 1.2.5: και B σ διαφορτικά ηµιπίπδα της Σχόλιο-1 Στο ξίωµα 1.2.4 η λέξη µταξύ ίναι αόριστη. Θα γίνι σαφής όµως στην πόµνη παράγραφο µ τη ϐοήθια της έννοιας του µήκους του υθυγράµµου τµήµατος. Σχόλιο-2 Η χρήση του ιδίου συµβόλου B για το υθύγραµµο τµήµα καθώς και την υθία που ορίζται από τα και B δν πρέπι να µας παραπλανά. Κάθ ϕορά η σηµασία του συµβόλου ϑα προκύπτι από τα συµφραζόµνα. Συχνά ϑα γράφουµ για την υθία = B, ϑωρώνταςότιαυτότο σύµβολο αντιπροσωπύι τη ϕράση ηυθία που ορίζται από τα σηµία και B. Συχνάπίσης ϑα ϑωρούµ ότι το υθύγραµµο τµήµα B καθορίζι µια κατύθυνση πίτης υθίας B και ότι το ίναι η αρχή και το B ίναι το πέρας (ή τέλος) του τµήµατος B. ' B' B Σχήµα 1.2.6: Παράλληλς B και B Παράλληλς ονοµάζουµ δύο υθίς που δν τέµνονται. Συχνά την υθία, στην οποία πριέχται ένα υθύγραµµο τµήµα, ονοµάζουµ ϕορέα του υθυγράµµου τµήµατος. Παράλληλα λέµ δύο υθύγραµµα τµήµατα των οποίων οι ϕορίς ίναι υθίς παράλληλς. Τέµνουσατης υθίας λέµ µία υθία, διαφορτική της, που τέµνι την. ' Σχήµα 1.2.7: Τµνόµνς υθίς και
1.3. ΜΗΚΟΣ, ΠΟΣΤΣΗ 5 Πρόταση 1.2.1 ύο διαφορτικές υθίς ή ίναι παράλληλς ή τέµνονται σ ένα ακριβώς σηµίο. πόδιξη : Στην Πρόταση 1.13.1 ϑα δούµ ότι υπάρχουν όντως παράλληλς υθίς. ν οι δύο υθίς και δν τέµνονται, τότ ίναι ξ ορισµού παράλληλς. ν τέµνονται, τότ ϑα έχουν ένα µόνο κοινό σηµίο. Τούτο διότι, αν ίχαν και δύτρο σηµίο τοµής B, διαφορτικό του, ϑαίχαµδύο διαφορτικές υθίς και διρχόµνς από τα δύο σηµία και B, που ίναι αδύνατον διότι αντιφάσκι στο ξίωµα 1.2.1, ο..δ. σκηση 1.2.1 ίδται υθία. ίξ ότι, αν το υθύγραµµο τµήµα B δν τέµνι την υθία, τότ τα σηµία και B πριέχονται στο ίδιο ηµιπίπδο. Σχήµα 1.2.8:, B από την ίδια µριά της Υπόδιξη : Χρήση της ις άτοπον απαγωγής. Υπόθσ ότι το B δν τέµνι την και τα, B πριέχονται σ διαφορτικά ηµιπίπδα της. Τότ, κατά το ξίωµα 1.2.5, το υθύγραµµο τµήµα B ϑα τέµνι την σ ένα σηµίο E, αντιφάσκοντας στην υπόθση. σκηση 1.2.2 ίξ ότι για κάθ σηµίο O του πιπέδου υπάρχουν άπιρς υθίς διρχόµνς από αυτό. O X Y Z Σχήµα 1.2.9: πιρία υθιών δια του O Υπόδιξη : Θώρησ µία υθία που δν διέρχται από το O. Κατά το ξίωµα 1.2.2, υπάρχι µία τέτοια υθία. Ορισ κατόπιν τις υθίς OX, OY,... κ.λπ. που διέρχονται από το O και ένα σηµίο αντίστοιχα X, Y,..., Z της. Και πάλι κατά το ξίωµα 1.2.2, υπάρχουν άπιρα σηµία X, Y,..., Z πί της και κάθ ένα από αυτά ορίζι µια διαφορτική υθία που διέρχται από το O. 1.3 Μήκος, απόσταση Μίλησα στην αρχή για ορισµούς. ια να τλιώσω, ϑα ήθλα να πω ότι κάνουµ ένα πολύ συνηθισµένο λάθος, όταν ϑωρούµ πως δν γνωρίζουµ κάτι πιδή δν ίµαστ ικανοί να το ορίσουµ. Jorge Luis Borges, Η τέχνη του στίχου Τα αξιώµατα αυτής της παραγράφου συνδέουν τις υθίς µ τους πραγµατικούς αριθµούς µέσω της έννοιας της απόστασης δύο σηµίων, αποσαφηνίζουν την έννοια του σηµίουµταξύδύοάλλων σηµίων, καθώς και την έννοια του υθυγράµµου τµήµατος B, που αποτλίται από όλα τα σηµία µταξύ των, B.
6 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ξίωµα 1.3.1 ια κάθ Ϲύγος σηµίων και B ορίζται ένας πραγµατικός αριθµός B 0 που ονοµάζουµ απόσταση των σηµίων και ικανοποιί τις ιδιότητς B = B και B = 0 τότ και µόνον, όταν τα σηµία αυτά ταυτίζονται. Ε Σχήµα 1.3.1: B = E + EB οθέντων δύο σηµίων και B, λέµ ότι το σηµίο E υρίσκται µταξύ των ή ανάµσα στα και B (Σχήµα 1.3.1), όταν πριέχται στην υθία των, B και ισχύι E + EB = B. ξίωµα 1.3.2 ια κάθ τριάδα διαφορτικών σηµίων, B και E της ίδιας υθίας, ένα κ των τριών ίναι ανάµσα στα άλλα δύο. ν το E ίναι µταξύ των και B, τότ B = E + EB. Και αντίστροφα, αν ισχύι αυτή η σχέση, τότ το E ίναι µταξύ των και B. ' B' δ δ B'' '' Σχήµα 1.3.2: Σηµία σ απόσταση δ από το άκρο αντικιµένων ηµιυθιών ξίωµα 1.3.3 Ενα σηµίο υθίας χωρίζι την υθία σ δύο µέρη και που έχουν µοναδικό κοινό σηµίο το και λέγονται ηµιυθίς µ άκρο ή αρχή το. ια κάθ ϑτικό αριθµό δ υπάρχι ένα ακριβώς σηµίο B στην µ B = δ και ένα ακριβώς σηµίο B στην µ B = δ. Το ίναι το µέσον του υθυγράµµου τµήµατος B B. Εάν τα σηµία, B και B πριέχονται στην ίδια υθία και, συµβολίζουν τις ηµιυθίς της µ άκρο το, λέµ ότι τα B, B ίναι σ διαφορτικές µριές του όταν το ένα πριέχται στην και το άλλο στην (Σχήµα 1.3.2). Λέµ ότι τα B και B ίναι από την ίδια µριά του όταν πριέχονται και τα δύο σ µία από τις και. Μήκος του υθυγράµµου τµήµατος B ονοµάζουµ την απόσταση B των άκρων του. Λέµ ότι δύο υθύγραµµα τµήµατα B και της ίδιας υθίας ή διαφορτικών υθιών ίναι ίσα όταν έχουν το ίδιο µήκος. Οιδύοηµιυθίςπουορίζονταιαπότοσηµίο πίτης υθίας λέγονται αντικίµνς. Πα- ϱάλληλς ονοµάζουµ δύο ηµιυθίς που πριέχονται σ παράλληλς υθίς. Σχόλιο Το ξίωµα 1.3.3 των υθιών σηµαίνι ότι µπορούµ να κατασκυάσουµ υθύγραµµο τµήµα οποιουδήποτ µήκους ϑέλουµ. Η πρακτική κατασκυή λ.χ. πριοριζόµνοι µόνο στα δύο όργανα σχδίασης του κανόνα (χάρακα) και του διαβήτη, όπως συνηθίζται, ίναι ένα άλλο ϑέµα που ϑα µας απασχολήσι κατά καιρούς. Π.χ. η κατασκυή του µέσου M νός δοθέντος υθυγράµµου τµήµατος B µ τη ϐοήθια του κανόνα και του διαβήτη απαιτίγνώση των ιδιοτήτων του κύκλου που δν έχουµ µάθι ακόµη. Ωστόσο η απόδιξη της ύπαρξης του M ϐάσι των παραπάνω ιδιοτήτων ίναι απλή. σκηση 1.3.1 Εστω ότι B και E ίναι δύο σηµία στην ίδια ηµιυθία X µ άκρο το. ίξ ότι η E > B συνπάγται ότι το B ίναι µταξύ των και E. Και αντίστροφα, αν το B ίναι ανάµσα στο και το E, τότ ισχύι η προηγούµνη σχέση.
1.3. ΜΗΚΟΣ, ΠΟΣΤΣΗ 7 Ε X Σχήµα 1.3.3: Το B ανάµσα στο και το E Υπόδιξη : Εστω ότι το B δν ίναι µταξύ των και E. ΤότήτοB ϑα ταυτίζται µ το E και συνπώς, B = E, πουίναιάτοπο,ήτοe ϑα ίναι µταξύ των και B οπότ, κατά το ξίωµα 1.3.2, ϑα ισχύι E + EB = B. υτό όµως συνπάγται ότι B > E, αντίθτα µ την υπόθση. σκηση 1.3.2 ( ιπλασιασµός υθυγράµµου τµήµατος) ίδται υθύγραµµο τµήµα B. ίξ ότι στην υθία B υπάρχουν δύο σηµία E και Z έτσι ώστ το B να ίναι το µέσον του E και το να ίναι το µέσον του ZB. Ζ Ε Σχήµα 1.3.4: ιπλασιασµός του B Υπόδιξη : Πάρ το E πίτης ηµιυθίας µ άκρο το B που δν πριέχι το και σ απόσταση B από το B. νάλογαπράξγιατοz. σκηση 1.3.3 ίξ ότι, για κάθ υθύγραµµο τµήµα B, υπάρχι ένα ακριβώς σηµίο M (το µέσον του B) έτσι ώστ M = MB. Υπόδιξη : ν B = λ, τόττοσηµίοm σ απόσταση λ/2 από το προς τη µριά του B, που ξασφαλίζται από το ξίωµα 1.3.3, ίναι το Ϲητούµνο. σκηση 1.3.4 ίξ ότι, αν δύο σηµία και B ίναι από την ίδια µριά υθίας, τότ το υθύγραµµο τµήµα B δν τέµνι την. Υπόδιξη : ν το B έτµν την, τότ το σηµίο τοµής ϑα ήταν διαφορτικό των και B, άραϑα ήταν µταξύ αυτών και ϑα ίχαµ αντίφαση στο ξίωµα 1.2.5. σκηση 1.3.5 ίξότιµίαυθία ίναι παράλληλος της τότ και µόνον, όταν ένα κ των δύο ηµιπιπέδων της πριέχι κάθ Ϲύγος διαφορτικών σηµίων της. Υπόδιξη : ν υπάρχουν δύο σηµία και B της πριχόµνα σ διαφορτικά ηµιπίπδα της, τότ κατά το ξίωµα 1.2.5, η ϑα τέµνι την. ντίστροφα, αν ένα από τα δύο ηµιπίπδα της πριέχι όλα τα δυνατά Ϲύγη σηµίων της, τότ αυτή δν µπορίνα τέµνι την. ν την έτµν στο σηµίο, τόττο ϑα όριζ δύο αντικίµνς ηµιυθίς πί της και πιλέγοντας από ένα σηµίο σ κάθ ηµιυθία ϑα ϐρίσκαµ δύο σηµία της σ διαφορτικά ηµιπίπδα της. σκηση 1.3.6 ίξ ότι τα σηµία B και της υθίας ίναι από την ίδια µριά του σηµίου της, τότ και µόνον, όταν B = B. Υπόδιξη : ν τα B, ίναι στην ίδια ηµιυθία του, τότήτοb ϑα ίναι µταξύ του και, οπότ = B + B, ήτο ϑα ίναι µταξύ των και B, οπότ B = + B. Συνπώς, και στις δύο πριπτώσις B = B, δηλαδή το Ϲητούµνο. Παρόµοιος συλλογισµός αποδικνύι και το αντίστροφο. σκηση 1.3.7 Εστω M το µέσον του υθυγράµµου τµήµατος B. ίξ ότι, αν το σηµίο mg ίναι στο σωτρικό του B, τότ η απόσταση M = 1 B. Εάν το ίναι στην υθία B αλλά κτός 2 του τµήµατος B, τότ M = 1 ( + B ). 2
8 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.4 ωνίς Είπ ο ιδάσκαλος: Οποιος δν ϕλέγται απ το Ϲήλο, δν τον ϕωτίζω. Οποιος δν πάσχι να κφραστί, δν τον κατατοπίζω. ν σ κάποιον αποκαλύψω τη µία γωνία και δν µου πιστρέψι µ τις άλλς τρις, δν του παναλαµβάνω το µάθηµα. Κοµφούκιος, νάλκτα 7.8 ύο ηµιυθίς OX, OY µ κοινό άκρο O και µη-πριχόµνς στην ίδια υθία, χωρίζουν το πίπδο σ δύο µέρη και ορίζουν µία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και µία µη-κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία Y Μη-κυρτή γωνία Y O P X O ωνία X Σχήµα 1.4.1: ωνία XOY Μη-κυρτή γωνία XOY ήαπλάγωνία λέγται το σχήµα που συµβολίζουµ µ XOY και αποτλίται από τις δύο ηµιυθίς OX και OY µαζίµ το ένα από τα δύο µέρη του πιπέδου που λέγται σωτρικό της γωνίας. Το σωτρικό της γωνίας (Σχήµα 1.4.1-Ι) ίναι το µέρος του πιπέδου που αποτλίται από τα σηµία P που ικανοποιούν τις δύο ιδιότητς : 1. το P και η ηµιυθία OY ίναι από την ίδια µριά της υθίας OX, 2. το P και η ηµιυθία OX ίναι από την ίδια µριά της υθίας OY. Το σηµίο O λέγται κορυφή της γωνίας. Οι ηµιυθίς OX, OY λέγονται πλυρές της γωνίας. Μη-κυρτή γωνία λέγται το σχήµα που ορίζται πάλι από τις ηµιυθίς OX και OY και συνίσταται από το υπόλοιπο µέρος του πιπέδου κτός του σωτρικού της γωνίας XOY και των ηµιυθιών που την ορίζουν (Σχήµα 1.4.1-ΙΙ). Το υπόλοιπο αυτό µέρος του πιπέδου ονοµάζουµ σωτρικό της µη-κυρτής γωνίας XOY,ήξωτρικό της κυρτής γωνίας XOY. Συχνά ϑα µιλάµ για γωνίς χωρίς να κάνουµ διάκριση για το αν ίναι κυρτή ή µη-κυρτή. Το ακριβές νόηµα, δηλαδή αν πρόκιται για κυρτή ή µη-κυρτή, ϑα προκύπτι τότ από τα συµφραζόµνα. Στην πρίπτωση που οι δύο ηµιυθίς πριέχονται στην ίδια υθία ορίζουµ τις πόµνς ιδικές γωνίς. 180 O X Y X O Σχήµα 1.4.2: Ππλατυσµένη γωνία Μηδνική γωνία Ππλατυσµένη γωνία ή υθία γωνία ονοµάζουµ το σχήµα που αποτλίται από δύο αντικίµνς ηµιυθίς. Οποιοδήποτ από τα δύο ηµιπίπδα που ορίζι η υθία OX µπορίνα ϑωρηθί σωτρικό ή ξωτρικό της ππλατυσµένης γωνίας. Μηδνική γωνία ονοµάζουµ το σχήµα που αποτλίται από δύο ταυτιζόµνς ηµιυθίς OX και OY. Θωρούµ ότι η γωνία αυτή δν έχι σωτρικό, νώ ολόκληρο το πίπδο πλην της OX ϑωρίται το ξωτρικό αυτής της γωνίας. Πλήρη στροφή ή πλήρη γωνία ονοµάζουµ το σχήµα που αποτλίται από δύο ταυτιζόµνς ηµιυθίς OX και OY (Σχήµα 1.4.3). Εδώ ως σωτρικό της γωνίας ϑωρούµ ολόκληρο το πίπδο πλην της OX, νώ δν υπάρχι ξωτρικό. Οι ϐασικές ιδιότητς (αξιώµατα) των γωνιών ίναι οι ξής :
1.4. ΩΝΙΕΣ 9 O X Y Σχήµα 1.4.3: Πλήρης στροφή ξίωµα 1.4.1 ια κάθ γωνία (κυρτή ή µή) XOY ορίζται ένας αριθµός XOY = YOX 0 που λέγται µέτρο της γωνίας σ µοίρς.ισχύι XOY = 0 τότ και µόνον όταν η γωνία ίναι η µηδνική. Υ Ο ω ω Χ Ο α β Ρ Χ Σχήµα 1.4.4: Ισς γωνίς κατέρωθν της OX XOY = XOP + POY ξίωµα 1.4.2 ια κάθ αριθµό ω µ 0 <ω<180 υπάρχουν δύο ακριβώς ηµιυθίς O, OB στις δύο πλυρές της υθίας OX έτσι ώστ οι γωνίς XO και XOB να ικανοποιούν XO = XOB = ω (Σχήµα 1.4.4-Ι). Η ππλατυσµένη γωνία έχι µέτρο 180 µοίρς. Εκ παραδόσως το µέτρο ω σ µοίρς συµβολίζται µ ω. Ετσιγωνία30 σηµαίνι γωνία 30 µοιρών. Το 1/60-οστό της µοίρας λέγται πρώτο της µοίραςήλπτό και συµβολίζται µ ένα τόνο. Το 1/60-οστό του λπτού λέγται δύτρο της µοίρας και συµβολίζται µ δύο τόνους. Ετσι, 30 23 11 συµβολίζι το µέτρο που ισούται µ 30 + 23 + 11 60 3600 µοίρς. ύο γωνίς B και B λέγονται ίσς, τότ και µόνον, όταν τα µέτρα τους ίναι ίσα : B = B. Σχόλιο-1 Συχνά, στα πόµνα, ϑα παραλίπουµ τις απόλυτς τιµές και για δύο ίσς γωνίς ϑα γράφουµ απλά B = B,αντίγια B = B. ξίωµα 1.4.3 ια κάθ σηµίο P στο σωτρικό της γωνίας XOY (κυρτής ή µη-κυρτής), τα µέτρα των γωνιών XOY, XOP και POY ικανοποιούν τη XOY = XOP + POY. Σ κάθ τέτοια πρίπτωση λέµ ότι η γωνία XOY ίναι το άθροισµα των γωνιών XOP και POY. Συχνά για να δηλώσουµ µια τέτοια σχέση ϑα παραλίπουµ τα απόλυτα και ϑα γράφουµ XOY = XOP + POY. ύο γωνίς, που έχουν κοινή κορυφή και µία πλυρά πίσης κοινή και µή τµνόµνα αντίστοιχα σωτρικά (όπως οι XOP και POY του σχήµατος 1.4.4), λέγονται φξής. Χωρίζοντας µία µη-κυρτή γωνία σ δύο µέρη, µέσω νός σηµίου στο σωτρικό της, και χρησιµοποιώντας το προηγούµνο αξίωµα, ϐλέπουµ ότι οι µη-κυρτές γωνίς έχουν µέτρο ω>180. Το αξίωµα ξασφαλίζι πίσης την ύπαρξη της διχοτόµου, που ίναι ηµιυθία διρχόµνη από την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζι σ δύο ίσς (φξής) γωνίς. σκηση 1.4.1 ( Υπαρξη ιχοτόµου) ίξ ότι για κάθ γωνία XOY υπάρχι µία ακριβώς ηµιυθία OZ στο σωτρικό της που τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς XOZ, ZOY µ XOZ = ZOY = XOY /2. ωνία δύο υθυγράµµων τµηµάτων B και, που έχουν κοινό άκρο το σηµίο, λέµτηγωνία που σχηµατίζται από τις αντίστοιχς ηµιυθίς B και (Σχήµα 1.4.5-Ι).
10 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ο ω ω ω ω Σχήµα 1.4.5: ωνία τµηµάτων B και Άθροισµα ίσων γωνιών σκηση 1.4.2 ρς τη διχοτόµο µιας ππλατυσµένης γωνίας XOY. ίξ ότι το µέτρο µιας πλήρους στροφής ίναι 360 µοίρς. σκηση 1.4.3 Ξκινώντας από γωνία OB µέτρου ω, κατασκυάζουµ ίσς µ αυτήν φξής προς το ίδιο µέρος BO, O, κ.λπ. ια ποια µέτρα ω η διαδικασία αυτή µτά από ν ϐήµατα ορίζι γωνία OΩ, της οποίας η πλυρά OΩ συµπίπτι µ την αρχική O (Σχήµα 1.4.5-ΙΙ); σκηση 1.4.4 Εστω γωνία XOY µ µέτρο XOY = α και P σηµίο στο σωτρικό της γωνίας. ίξ ότι XOP < α. ντίστροφα δίξ ότι για κάθ ϑτικό ϐ < α υπάρχι σηµίο P σωτρικό της γωνίας έτσι ώστ XOP = ϐ. ίξ ακόµη ότι όλα αυτά τα σηµία P πριέχονται σ ηµιυθία µ άκρο το O. σκηση 1.4.5 Εστω ότι τα σηµία και B πριέχονται στο σωτρικό της κυρτής γωνίας XOY. ίξ ότι και κάθ σηµίο του υθυγράµµου τµήµατος B πριέχται στο σωτρικό της γωνίας XOY. ίξ ότι η ανάλογη ιδιότητα δν ισχύι για µη-κυρτές γωνίς. Υ Χ' Ρ Ο Ζ ω Η Χ Σχήµα 1.4.6: Σηµία στο σωτρικό γωνίας XOY σκηση 1.4.6 ίδται κυρτή γωνία XOY και σηµίο P πί της αντικίµνης ηµιυθίας OX της OX, καθώς και σηµίο Z της ηµιυθίας OY. ίξ ότι κάθ σηµίο H της ηµιυθίας PZ υρισκόµνο κτός του υθυγράµµου τµήµατος PZ πριέχται στο σωτρικό της γωνίας XOY. Υπόδιξη : Εκ κατασκυής το H πριέχται στην µριά της υθίας OY στην οποία πριέχται και η OX. ΕπίσηςταZ, H πριέχονται από την ίδια µριά της υθίας OX διότι το σηµίο τοµής P της ZH µ την OX ίναι κτός του υθυγράµµου τµήµατος ZH. Σχόλιο-2 Το ξίωµα 1.4.2 των γωνιών σηµαίνι ότι µπορούµ να κατασκυάσουµ οποιαδήποτ γωνία ϑέλουµ και από τις δύο µριές µιας ηµιυθίας. Οπως όµως και για υθύγραµµα τµήµατα έτσι και για γωνίς, η πρακτική κατασκυή συγκκριµένης γωνίας µ τη ϐοήθια του κανόνα και του διαβήτη, όταν αυτό ίναι φικτό, όπως λ.χ. η γωνία 60 µοιρών, ίναι ένα διαφορτικό Ϲήτηµα και ϑα χριαστούν και πάλι ιδιότητς του κύκλου για να µπορέσουµ να δικαιολογήσουµ την κατασκυή. Σχόλιο-3 ξίζι τον κόπο να παρατηρήσι κανίς ορισµένς κοινές ιδιότητς µταξύ γωνιών και υθυγράµµων τµηµάτων, ιδιαίτρα όσον αφορά τις έννοις µταξύ, διαδοχικές και µέτρο. Το σχήµα 1.4.7
1.5. ΩΝΙΩΝ ΕΙ Η 11 Ο α β γ Σχήµα 1.4.7: ντιστοίχιση υθυγράµµων τµηµάτων - γωνιών δίχνι πόσο ϕυσιολογική ίναι αυτή η συσχέτιση. πό ένα σταθρό σηµίο O κτός της σταθρής υθίας και για κάθ υθύγραµµο τµήµα B αυτής κατασκυάζται η γωνία OB. Μέσωαυτήςτης αντιστοίχισης υθυγράµµων τµηµάτων - γωνιών οι έννοις που ανέφρα µταφέρονται από την υθία στις γωνίς µ κορυφή το O. Ετσι το ίναι το άθροισµα των B και B και η αντίστοιχη γωνία O ίναι το άθροισµα των OB και BO. Το B ίναι µταξύ των και και ανάλογα η OB ίναι µταξύ των O και O, σ δύο διαδοχικά υθύγραµµα τµήµατα αντιστοιχούν φξής γωνίς κ.ο.κ. Μ την υκαιρία του σχήµατος 1.4.7 µπορούµ να ϑέσουµ αµέσως δύο προβλήµατα, τα οποία, όµως, για να λύσουµ ϑα πρέπι πρώτα να µάθουµ να χιριζόµαστ κάποια ργαλία (δς για τη λύση τους τις Άσκησις 3.9.7 και 3.8.10). Πρόβληµα 1.4.1 Υπόθσ ότι στο σχήµα 1.4.7 η γωνία OB έχι σταθρό µέτρο OB = ακαιπριστρέφται πρί το O. ια ποια ϑέση της γίνται το µήκος του αντιστοίχου υθυγράµµου τµήµατος B λάχιστο ; Πρόβληµα 1.4.2 Υπόθσ ότι στο σχήµα 1.4.7 το τµήµα B γλιστρά πάνω στην υθία χωρίς να αλλάζι το µήκος του. ια ποια ϑέση του B γίνται η αντίστοιχη γωνία OB µέγιστη ; 1.5 ωνιών ίδη Νόµοι, στην πιο πλατιά σηµασία, ίναι οι αναγκαίς σχέσις που πηγάζουν από τη ϕύση των πραγµάτων και, µ την έννοια αυτή, όλα τα όντα έχουν τους νόµους τους. Montesquieu, Το πνύµα των νόµων, 1748 ύο τµνόµνς στο σηµίο O υθίς OX και OY ορίζουν τέσσρις γωνίς. Οι γωνίς αυτές ανά δύο σχηµατίζουν Ϲύγη κατά κορυφήν γωνιών, δηλαδή γωνιών κ των οποίων έκαστη έχι ως πλυ- X' Y Y' ω 2 ω ω 1 3 O ω 4 X Σχήµα 1.5.1: ωνίς δύο υθιών ϱές τις προκτάσις της άλλης (Σχήµα 1.5.1). ια τις δύο ππλατυσµένς XOX και YOY έχουµ 180 = XOX = XOY + YOX. Επίσης 180 = YOY = YOX + XOY. Επιδή XOY = YOX συµπραίνουµ ότι οι κατά κορυφήν γωνίς YOX και XOY ίναι ίσς. νάλογα δίχνουµ και ότι οι XOY και X OY ίναι ίσς. ποδίξαµ συνπώς την :
12 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρόταση 1.5.1 Κατά κορυφήν γωνίς ίναι ίσς. ύο γωνίς που έχουν άθροισµα µέτρων 180 λέγονται παραπληρωµατικές. Στο προηγούµνο σχή- µα κάθ Ϲύγος διαδοχικών γωνιών αποτλίται από παραπληρωµατικές γωνίς. Ορθή λέγται µία γωνία πού έχι µέτρο 90. Προφανώς µία ορθή ίναι ίση µ την παραπληρωµατική της. Προκτίνοντας τις πλυρές µίας ορθής γωνίας στο σηµίο O, δηλαδή ϑωρώντας και τις αντικίµνς ηµιυθίς των πλυρών, ορίζουµ τέσσρις ορθές γωνίς γύρω από το σηµίο αυτό, που ανά δύο ίναι ή κατά κορυφήν ή παραπληρωµατικές. Ο Σχήµα 1.5.2: Κάθτς υθίς Ετσι δύο υθίς που τέµνονται στο σηµίο O και σχηµατίζουν µία (από τις τέσσρις) γωνίς ορθή ϑα σχηµατίζουν και τις υπόλοιπς ορθές. ύο τέτοις υθίς λέγονται κάθτς. Οξία λέγται µία γωνία Υ Υ Ο οξία Χ Ο αμβλία Χ Σχήµα 1.5.3: Οξία και αµβλία γωνία XOY της οποίας το µέτρο XOY < 90. µβλία λέγται µία γωνία της οποίας το µέτρο XOY > 90. Προφανώς αν µία γωνία ίναι οξία τότ η παραπληρωµατική της ϑα ίναι αµβλία και τούµπαλιν. Λέµ ότι η γωνία α ίναι µγαλύτρη/µικρότρη της γωνίας ϐ αν ισχύι κάτι ανάλογο για τα µέτρα τους : α < ϐ (αντίστοιχα α > ϐ ). Προφανώς κάθ αµβλία ίναι µγαλύτρη της ορθής που µ τη σιρά της ίναι µγαλύτρη κάθ οξίας. Συµπληρωµατικές λέγονται δύο γωνίς των οποίων τα Υ Υ Χ' (ΙΙΙ) Χ' β Χ α Χ Υ' Ο Ο Υ Χ' α β Ο Χ Υ'' Σχήµα 1.5.4: Παραπληρωµατικές, Συµπληρωµατικές, ωνίς µ κάθτς πλυρές µέτρα α, ϐ έχουν άθροισµα α + ϐ = 90 (Σχήµα 1.5.4-ΙΙ). Προφανώς συµπληρωµατικές γωνίς ίναι οξίς και οι δύο. Ενα σηµίο X στο σωτρικό µιας ορθής γωνίας XOY ορίζι δύο συµπληρωµατικές γωνίς α = XOX, ϐ = X OY. Πρόταση 1.5.2 ύο γωνίς XOX και YOY που έχουν τις πλυρές τους αντίστοιχα κάθτς ίναι ή ίσς ή παραπληρωµατικές (Σχήµα 1.5.4-ΙΙΙ). πόδιξη : Εάν οι OY και OY ίναι προς το ίδιο µέρος της OX τότ οι γωνίς α = XOX και α = YOY ίναι ίσς ως έχουσς κοινή συµπληρωµατική γωνία ϐ. Εάν οι OY και OY ίναι σ διαφορτικά µέρη της OX τότ η αντικίµνη ηµιυθία OY της OY σχηµατίζι παραπληρωµατική της γωνίας
1.6. ΤΡΙΩΝ 13 α = YOY και ίναι από το ίδιο µέρος της OX µ την OY, άρα κατά το προηγηθέν 180 α = α, ο..δ. σκηση 1.5.1 ίξ ότι από σηµίο υθίας διέρχται µία ακριβώς υθία ζ κάθτος στην. ζ Σχήµα 1.5.5: Κάθτος ζ της πόδιξη : Άµση συνέπια του ξιώµατος 1.4.2, κατά το οποίο υπάρχι µία ακριβώς γωνία 90 µοιρών µ κορυφή στο, µία πλυρά ταυτιζόµνη µ την και πριχόµνη σ ένα από τα δύο ηµιπίπδα της, ο..δ. 1.6 Τρίγωνα Καθαρογραµµένα µς στα ϕρούτα : ο κύκλος, το ττράγωνο Το τρίγωνο και ο ϱόµβος Οπως τα ϐλέπουν τα πουλιά, να γίνι απλός ο κόσµος Ενα σχέδιο Πικασσό Μ γυναίκα, παιδάκι και ιπποκένταυρο. Οδυσσέας Ελύτης, Τα τροθαλή Το τρίγωνο, µτά την υθία και τη γωνία, ίναι το απλούστρο σχήµα του πιπέδου. Παρά την απλότητά του έχι άπιρς ιδιότητς και αποτλίαντικίµνο µλέτης γνωστών και άγνωστων Μαθηµατικών όλων των ποχών. Τα µέχρι τώρα συµπράσµατα ίναι τόσα πολλά, που συγκροτούν ιδικό κλάδο της γωµτρίας, τη λγόµνη ωµτρία του τριγώνου ([Καπ96], [Gal13], [Lal52], [Yiu13]). Τρίγωνο λέγται το σχήµα που ορίζται από τρία σηµία, B και, µη πριχόµνα σ µία και µόνον υθία, καθώς και τα υθύγραµµα τµήµατα που τα νώνουν. Τα τρία αυτά σηµία λέγονται c α b Χ Ω Ζ B β a γ B Υ Σχήµα 1.6.1: Τρίγωνο Εσωτρικό και ξωτρικό τριγώνου κορυφές του τριγώνου. Τα υθύγραµµα τµήµατα που ορίζονται από δύο κορυφές του τριγώνου λέγονται πλυρές του τριγώνου. ωνίς του τριγώνου ονοµάζουµ τις (κυρτές) γωνίς που σχη- µατίζονται σ κάθ κορυφή του από τις πλυρές του τριγώνου µ αρχή αυτήν την κορυφή. τα µήκη των πλυρών παριστάνονται συνήθως µ τα λατινικά γράµµατα a = B, b =, c = B
14 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ και τα µέτρα των γωνιών του τριγώνου µ τα µικρά Ελληνικά α = B, ϐ = B, γ = B ήαπλάµ α = Â, ϐ = B, γ =. Τους συµβολισµούς αυτούς ϑα χρησιµοποιώ συχνά και στα πόµνα κφάλαια. Λέµ ότι οι γωνίς B, B, B ίναι αντίστοιχα απέναντι των πλυρών, B και B. Το άθροισµα των µηκών των πλυρών σ = a + b + c, λέγται πρίµτρος του τριγώνου. Το τ = σ/2 ονοµάζουµηµιπρίµτρο του τριγώνου Ενα τρίγωνο λέγται : (1) οξυγώνιο, (2) αµβλυγώνιο, (3) σκαληνό, όταν αντίστοιχα, (1) έχι όλς τις γωνίς του οξίς, (2) έχι µία γωνία αµβλία, (3) έχι πλυρές µ διαφορτικά µήκη. ύο τρίγωνα B και B λέµ ότι ίναι ίσα, όταν έχουν ίσς αντίστοιχς πλυρές (a = a, b = b, c = c ) και αντίστοιχα ίσς γωνίς (α = α, ϐ = ϐ, γ = γ ). Οι ϐασικές ιδιότητς (αξιώµατα) του τριγώνου ίναι οι ξής : ξίωµα 1.6.1 Κάθ τρίγωνο χωρίζι το πίπδο σ δύο µέρη το σωτρικό και ξωτρικό (Σχήµα 1.6.1-ΙΙ). ύο σηµία X και Y, πριχόµνα στο σωτρικό του τριγώνου, ορίζουν υθύγραµµο τµήµα XY που πριέχται ξ ολοκλήρου στο σωτρικό του τριγώνου. ύο σηµία X και Z, πριχόµνα το ένα στο σωτρικό και το άλλο στο ξωτρικό του, ορίζουν υθύγραµµο τµήµα XZ το οποίο ή πριέχι κορυφή του τριγώνου ή τέµνι µία ακριβώς πλυρά του τριγώνου σ σωτρικό της πλυράς σηµίο Ω. B B' ' ' Σχήµα 1.6.2: Τρίγωνα µ αντίστοιχς πλυρές ίσς ξίωµα 1.6.2 (Ισότητας δύο τριγώνων) ύο τρίγωνα B και B που έχουν αντίστοιχς πλυρές ίσς ( B = B, B = B, = ) ίναι ίσα. ηλαδή έχουν και τις αντίστοιχς γωνίς ίσς. Μάλιστα απέναντι από αντίστοιχα ίσς πλυρές ϑα υρίσκονται ίσς γωνίς (Σχήµα 1.6.2). X Y Χ Z E B B Σχήµα 1.6.3: ξίωµα του Pasch Τοµή απέναντι πλυράς ξίωµα 1.6.3 (Του Pasch (1843-1940)) ν µία υθία τέµνι µία πλυρά B του τριγώνου και δν διέρχται από µία κορυφή του, τότ ϑα τέµνι και µία από τις άλλς πλυρές (Σχήµα 1.6.3-Ι). Σχόλιο-1 Το αξίωµα για το σωτρικό και ξωτρικό του τριγώνου ίναι µια από τις πριπτώσις που ανέφρα στην αρχή του κφαλαίου. Συνάγται από τα υπόλοιπα αξιώµατα, συνπώς ϑα µπορούσ να αποδιχθίως ϑώρηµα. Η απόδιξη ωστόσο πριέχι λπτοµέρις στις οποίς δν κρίνω σκόπιµο να
1.6. ΤΡΙΩΝ 15 µπλακίο µαθητής. Ετσι το ϐάζω δώ ως αξίωµα. Το τλυταίο ξίωµα 1.6.3 ϕαίνται αυτονόητο, ωστόσο η ιδιότητα που κφράζι δν συνάγται α- πό τα προηγούµνα αξιώµατα. Η χρησιµότητά του ϕαίνται και από την πόµνη πρόταση καθώς και την άσκηση που ακολουθί. Οι δύο αυτές προτάσις παρατίθνται απλώς για να δώσουν µια γύση των λπτοµριών που πρέπι να προσέξι κανίς, αν ϑέλι να αποδίξι όλους τους ισχυρισµούς του ϐάσι των αξιωµάτων. Ενα πλήθος παρόµοιων «αυτονόητων» προτάσων µπορίνα δι κανίς στα [Efi80, σ. 42-84], [Bel07]. Πρόταση 1.6.1 Εάν το ίναι ένα σωτρικό σηµίο του τριγώνου, τότ η τέµνι την απέναντι πλυρά B του τριγώνου (Σχήµα 1.6.3-ΙΙ). πόδιξη : Πάρ σηµίο E στο υθύγραµµο τµήµα. Θώρησ κατόπιν το τρίγωνο B και την τέµνουσα E. Κατά το ξίωµα 1.6.3 η υθία E ϑα συναντά και µία δύτρη πλυρά του τριγώνου B. Επιδή η πλυρά B αυτού του τριγώνου ίναι κτός της γωνίας X, ηe ϑα συναντά την B σ ένα σηµίο Z. Θώρησ τότ το τρίγωνο BZ και την υθία E που συναντά την πλυρά του Z. Κατά το 1.6.3 η E ϑα συναντά και µία άλλη πλυρά του τριγώνου που δν µπορί να ίναι η BZ, διότι τότ η E ϑα συνέπιπτ µ τη BZ. ΆραηE, που ίναι η ίδια µ την υθία, ϑα συναντά την πλυρά B του τριγώνου BZ, που ίναι και πλυρά του τριγώνου B, ο..δ. σκηση 1.6.1 ίδται υθία. ίξ ότι η σχέση µταξύ δύο σηµίων και B: {τα και B πριέχονται στο ίδιο ηµιπίπδο της } ίναι µταβατική. ηλαδή αν τα και B ίναι στο ίδιο ηµιπίπδο και τα B και ίναι πίσης στο ίδιο ηµιπίπδο τότ και τα και ίναι στο ίδιο ηµιπίπδο. Ε Ζ Σχήµα 1.6.4: Το νόηµα του αξιώµατος 1.6.3 Υπόδιξη : Υπόθσ ότι τα, B ίναι στο ίδιο ηµιπίπδο και ότι τα B, πίσης στο ίδιο ηµιπίπδο όµως ότι τα, δν ίναι. Τότ (ξίωµα 1.2.5) υπάρχι σηµίο E της υθίας πίτου και µταξύ των και. Μ άλλα λόγια η τέµνι την. Επιδήη δν πριέχι τα, B, και τέµνι τη µία πλυρά του τριγώνου (), ϑα τέµνι κατά το ξίωµα 1.6.3 και µία από τις άλλς δύο. ν τέµνι τη B σ σηµίο Z, έχουµ άτοπο διότι τότ τα B, ϑα ίναι σ διαφορτικές πλυρές της. ν τέµνι την B, ϑα έχουµ ανάλογο άτοπο. Άρα η δν µπορίνα τέµνι την. Χ ξ. διχοτόμος ύψος διχοτόμος διάμσος B Υ M Σχήµα 1.6.5: ιάµσος, ιχοτόµος, Υψος ιάµσος του τριγώνου λέγται το υθύγραµµο τµήµα που νώνι µια κορυφή του µ το µέσον της απέναντι πλυράς. ιχοτόµοςτου τριγώνου λέγται το υθύγραµµο τµήµα που νώνι µια κορυφή µ την απέναντι πλυρά του και χωρίζι τη γωνία της κορυφής σ δύο ίσς γωνίς. Συχνά ονοµάζουµ διχοτόµο και ολόκληρη την υθία ή ηµιυθία που διχοτοµί τη γωνία του τριγώνου. Εξωτρική γωνία του τριγώνου λέγται µία παραπληρωµατική γωνίας τριγώνου, λ.χ. της Â, που προκύπτι προκτίνοντας µία από τις πλυρές του τριγώνου, λ.χ. την (δηλαδή ϑωρώντας την υθία ),
16 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ οπότ προκύπτι η BX (σχήµα 1.6.5). Εξωτρική διχοτόµοςτριγώνου λέγται η διχοτόµος µιας ξωτρικής γωνίας του. Υψος του τριγώνου λέγται το υθύγραµµο τµήµα που νώνι την κορυφή του τριγώνου µ ένα σηµίο της απέναντι πλυράς της και ίναι κάθτο στην πλυρά αυτή (την ύπαρξη του ύψους ϑα ξασφαλίσουµ λίγο αργότρα στην 1.12). Οπως ϑα δούµ αργότρα, οι τρις διάµσοι του τριγώνου διέρχονται από κοινό σηµίο (Θώρηµα 2.8.1), οι τρις διχοτόµοι διέρχονται από άλλο κοινό σηµίο (Θώρηµα 2.2.2) και τέλος τα τρία ύψη διέρχονται και αυτά από τρίτο κοινό σηµίο (Θώρηµα 2.8.2). Οι διάµσοι, τα ύψη και οι διχοτόµοι (σωτρικές και ξωτρικές) τριγώνου αναφέρονται συχνά ως δυτρύοντα στοιχία του τριγώνου. Σχόλιο-2 Συχνά η γνώση των µηκών τριών από αυτά τα στοιχία αρκί για την ακριβή κατασκυή του τριγώνου. ια παράδιγµα, στην Άσκηση 2.13.11, ϑα δούµ ότι το τρίγωνο κατασκυάζται ύκολα, όταν γνωρίζουµ τα τρία µήκη Y, και M, ύψους, διχοτόµου και διαµέσου από την ίδια κορυφή. Συνήθως, στις κατασκυές τριγώνων απαιτούµ τη χρήση αποκλιστικά και µόνον του κανόνα και του διαβήτη ([Pet01], [dl06], [Eve63, σ. 183]). Ενα, σχτικά σύνθτο, πρόβληµα ίναι να αποδίξουµ ότι µια ορισµένη κατασκυή µ χρήση µόνο του κανόνα και διαβήτη ίναι αδύνατη ( 2.4). ια παράδιγµα, η κατασκυή του τριγώνου από το ύψος Y και διάµσο M από την ίδια κορυφή, αλλά διχοτόµο από µιαν άλλη κορυφή και όχι την, αποδικνύται αδύνατη ([Fur37, σ. 38]). Φυσικά, το να µην κατασκυάζται το τρίγωνο µ τα συγκκριµένα δδοµένα µέσω κανόνα και διαβήτη, δν σηµαίνι ότι το τρίγωνο δν κατασκυάζται µ άλλα µέσα ή ότι δν υπάρχι. Ετσι, για παράδιγµα, δοθέντων τριών ϑτικών αριθµών, υπάρχι ακριβώς ένα τρίγωνο που έχι αυτούς τους αριθµούς ως µήκη των διχοτόµων του. Ωστόσο το τρίγωνο αυτό δν µπορί να κατασκυασθί µ τον κανόνα και το διαβήτη ([MP94], [Oxm08]). σκηση 1.6.2 ίξ ότι η σωτρική και ξωτρική διχοτόµος µιας κορυφής τριγώνου ίναι κάθτς υθίς. 1.7 Η ισότητα σχηµάτων Μπαρµπαγιάννη Μακρυγιάννη πάρ µαύρο γιαταγάνι κι έλα στη Ϲωή µας πίσω το στραβό να κάνις ίσο. Νίκος κάτσος Ενα σηµίο, µία υθία, µία ηµιυθία, ένα υθύγραµµο τµήµα, ένα τρίγωνο, ίναι σχήµατα. νικότρα, σχήµα (του πιπέδου) ονοµάζουµ οποιοδήποτ συγκκριµένο σύνολο σηµίων του. υτά που ξτάσαµ µέχρι τώρα ίναι τα απλούστρα σχήµατα. Στα πόµνα µαθήµατα ϑα γνωρίσουµ άλλα πιο σύνθτα σχήµατα και ϑα µλτήσουµ ιδιότητές που ισχύουν για καθένα από αυτά και ίναι οι ίδις για τα λγόµνα ίσα σχήµατα. Κάθ σχήµα έχι έναν κανόνα που καθορίζι πότ ίναι ίσο µ ένα άλλο. Τα υθύγραµµα τµήµατα έχουν το µήκος τους. Είναι ίσα τότ ακριβώς, όταν έχουν το ίδιο µήκος. Οι γωνίς το ίδιο. Εχουν και αυτές το µέτρο τους. Είναι ίσς όταν έχουν ίσα µέτρα. Στα τρίγωνα, η ισότητα πριλαµβάνι πρισσότρα στοιχία. Ο ορισµός τις ισότητας απαιτί από δύο τρίγωνα να έχουν ίσς αντίστοιχς πλυρές και ίσς αντίστοιχς γωνίς. Το ξίωµα 1.6.2 δίνι το ϐασικό κριτήριο ισότητας τριγώνων. Λέι ότι, όταν δύο τρίγωνα έχουν αντίστοιχς πλυρές ίσς, τότ ίναι ίσα. ηλαδή και οι αντίστοιχς γωνίς τους (οι απέναντι από τις ίσς πλυρές) ϑα ίναι και αυτές ίσς. Παρακάτω ( 1.9) ϑα δούµ
1.7. Η ΙΣΟΤΗΤ ΣΧΗΜΤΩΝ 17 και άλλα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Οσο πιο πολύπλοκο ίναι το σχήµα, τόσο πρισσότρα στοιχία του πρέπι να συγκρίνουµ για να καταλήξουµ ότι ίναι ίσο µ ένα άλλο. Ο Ευκλίδης στα στοιχία του δν χρονοτριβί στην ανάλυση της έννοιας της ισότητας. Υιοθτί µια απλοϊκή έννοια ισότητας κατά την οποία δύο σχήµατα ίναι ίσα, τότ και µόνον όταν µπορούµ να µτατοπίσουµ το ένα και να το τοποθτήσουµ πάνω στο άλλο έτσι ώστ τα δύο σχήµατα να συµπέσουν ακριβώς. Τι ϑα πι όµως µτατοπίσουµ; Η έννοια της µτατόπισης ίναι σύνθτη. Θµλιώνται µ τη γνική έννοια του Μτασχηµατισµού και ιδικότρα της Ισοµτρίας, για την οποία ϑα µιλήσουµ πολύ αργότρα ( 7.1). ρχικά ϑµλιώνουµ την ισότητα δίνοντας για κάθ σχήµα τον κανόνα του, δηλαδή πότ ακριβώς ίναι ίσο µ ένα άλλο. Ωστόσο δν ϐλάπτι να σκφτόµαστ και µ τον τρόπο του Ευκλίδη. Στο πίπδο, δύο σχήµατα που ίναι ίσα µ τον κανόνα ισότητάς τους, ίναι ίσα και κατά την έννοια του Ευκλίδη, µέσω µτατόπισης και σύµπτωσης. Και αντίστροφα αν µπορούν να τοποθτηθούν, ώστ να συµπέσουν, τότ ίναι ίσα και µ τον κανόνα που δίνουµ σ κάθ πρίπτωση. Το πρόβληµα ίναι ότι, για να αποδίξουµ αυτήν την ισοδυναµία, πρέπι να µλτήσουµ διάφορα Ϲητήµατα, που η καταγραφή τους, σ αυτό το σηµίο, ϑα δηµιουργούσ κάποις δυσκολίς κατανόησης. Πριοριζόµαστ λοιπόν στην παραδοχή αυτής της αρχής του Ευκλίδη. υτό πρακτικά σηµαίνι ότι το πίπδο ίναι σαν µια πλαστική διαφάνια και τα σχήµατα µπορούν να κοπούν από το µέρος που έχουν αρχικά σχδιασθίκαι να µτατθούν στο µέρος που ίναι το άλλο σχήµα, να τοποθτηθούν πάνω σ αυτό και να συµπέσουν. Πολύ αργότρα, στην 7.5, που τη συνιστώ για µια δύτρη ανάγνωση, γίνται η αυστηρή ϑµλίωση της ισότητας. B * B* * Σχήµα 1.7.1: Ισα αλλά διαφορτικά προσανατολισµένα Σηµιώνω µια ιδιαιτρότητα της έννοιας της ισότητας, που ϕανρώνται στο σχήµα 1.7.1 και έχι να κάνι µ το λγόµνο προσανατολισµό των σχηµάτων. Τα δύο τρίγωνα ίναι ίσα µ τη δική µας έννοια. Εχουν όµως την ιδιαιτρότητα ότι η διαδοχή B ίναι κατά τη ϕορά του ϱολογιού, νώ η διαδοχή B ίναι αντίθτη της ϕοράς του ϱολογιού. Το τρίγωνο B λέγται αρνητικά προσανατολισµένο, νώτο B λέγται ϑτικά προσανατολισµένο. ια να κάνουµ το B να συµπέσι µ το B,µτηνέννοιατηςµτατόπισης,πρέπινατοκόψουµκαινατογυρίσουµ από την πίσω µριά, µ τον τρόπο που γυρίζουµ µια σλίδα και πάµ στην από πίσω της. Τα πράγ- µατα γίνονται λίγο πιο σύνθτα στο χώρο, όπου παρουσιάζται το ανάλογο ϕαινόµνο και κί δν υπάρχι κάτι έξω από το χώρο για να κάνουµ αυτό το αναποδογύρισµα του προσανατολισµού. Εκί η έννοια της ισότητας µ τον τρόπο που την ορίζουµ, για κάθ σχήµα ξχωριστά, δν ίναι ισοδύναµη µ την έννοια της σύµπτωσης (δς λ.χ. το σχόλιο στην 9.2 και σ µια δύτρη ανάγνωση την πλήρη πριγραφή της ισότητας στο χώρο στην 12.5). Ο τρόπος λοιπόν που χιριζόµαστ την ισότητα ίναι πιο ασφαλής από αυτόν της µτατόπισης, όσο δν µπαίνουµ στις λπτοµέρις του ακριβούς ορισµού αυτής της έννοιας. Σχόλιο-1 ια ορισµένα σχήµατα η ισότητα µ την έννοια της µτατόπισης ίναι προφανής. Ετσι, λ.χ. δύο οποισδήποτ υθίς α και ϐ ίναι ίσς, µ την έννοια, ότι η α µπορίνα µτατοπισθίκαι να τοποθτηθίπίτης ϐ, έτσι ώστ οι δύο υθίς να συµπέσουν. Παρόµοια δύο τµνόµνς υθίς α και ϐ, που σχηµατίζουν µταξύ τους µία γωνία µέτρου ω, συγκροτούν ένα σχήµα που ίναι ίσο µ το σχήµα δύο άλλων υθιών α και ϐ, που σχηµατίζουν µταξύ τους µία γωνία του ιδίου µέτρου ω. Σχόλιο-2 Και ένα σχόλιο για την ορολογία. Συχνά για την ισότητα δύο σχηµάτων που έχουν γωνίς, κορυφές ή άλλα παρόµοια χαρακτηριστικά, κάνουµ αντιστοιχίσις µταξύ των κορυφών τους ϐάζοντας σ αντίστοιχς κορυφές το ίδιο γράµµα µ κάποιο δίκτη ή τόνο ή άστρο ή άλλο σηµάδι. Ετσι, όταν λέµ ότι τα τρίγωνα B και B ίναι ίσα διότι έχουν αντίστοιχς πλυρές ίσς, ννοούµ ότι η πλυρά B ίναι αντίστοιχα ίση προς την B,ηB προς τη B κ.λπ. Τον κανόνα
18 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ αυτό ακολουθούµ και στα σχήµατα του χώρου. Το να µπορούµ να ϐάλουµ τα ίδια γράµµατα στα υποψήφια για ισότητα σχήµατα ίναι το πρώτο ϐήµα για να αποδίξουµ την ισότητά τους, που συνήθως ανάγται στην ισότητα αντίστοιχων και απλούστρων στοιχίων τους. B Σχήµα 1.7.2: Ενα απλό σχήµα σκηση 1.7.1 Το σχήµα 1.7.2 αποτλίται από ένα υθύγραµµο τµήµα B µήκους δ και τις υθίς που ίναι κάθτς σ αυτό στα άκρα του. ίξ ότι κάθ υθύγραµµο τµήµα B, του ιδίου µήκους δ, ορίζι ανάλογα ένα σχήµα ίσο προς το προηγούµνο µ την έννοια της µτατόπισης. Υπόδιξη : Λόγω της ισότητας των µηκών, το τµήµα B µπορίνα µτατοπισθίώστ να συµπέσι µ το B. Τότ, κατά το ξίωµα 1.4.2, ϑα συµπέσουν και οι κάθτς προς το B στα άκρα του µ τις αντίστοιχς κάθτς του B στα άκρα του. 1.8 Το ισοσκλές και το ορθογώνιο τρίγωνο Είδ µ τα δικά του µάτια ότι το ϕγγάρι ίναι στρογγυλό Ηταν πίσης σίγουρος ότι η γη ίναι ττράγωνη, ιότι ταξίδψ πνήντα µίλια και δν ϐρήκ Σηµάδι να δίχνι κάπου ότι ίναι κυκλική. Lord Byron, Don Juan, canto V Στην ωµτρία, όπως και σ όλα τα Μαθηµατικά, µτά από έναν ορισµό µιας γνικής κατηγορίας, ίναι χρήσιµο να ξτάσουµ κάποις ιδικές πριπτώσις. ν ίναι σπάνιο, κάποια γνική ιδιότητα που ϑέλουµ να αποδίξουµ, να προκύπτι υκολότρα σ µια ιδική πρίπτωση και η ιδική απόδιξη να δίχνι και το δρόµο για τη γνική. Άλλοτ πάλι, οι ιδιότητς της ιδικής κατηγορίας ϐοηθούν στην διατύπωση και απόδιξη ιδιοτήτων της γνικής ή τη διάψυση κάποιας γνικής ικασίας. Τα ισοσκλή και τα ορθογώνια τρίγωνα ίναι ιδικές πριπτώσις τριγώνων, που τις συναντάµ στις διατυπώσις και αποδίξις πληθώρας γνικών ιδιοτήτων σ όλα τα κφάλαια της γωµτρίας. Σχήµα 1.8.1: Το ισοσκλές και το ορθογώνιο τρίγωνο Ισοσκλές λέγται το τρίγωνο που έχι δύο πλυρές ίσς. Οι δύο ίσς πλυρές λέγονται σκέλη και η τρίτη πλυρά ϐάση του ισοσκλούς. Η κορυφή στην οποία συντρέχουν τα σκέλη λέγται κορυφή του ισοσκλούς.
1.8. ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΚΙ ΤΟ ΟΡΘΟΩΝΙΟ ΤΡΙΩΝΟ 19 Ορθογώνιο τρίγωνο λέγται το τρίγωνο που έχι µία γωνία του ορθή. Οι πλυρές που ορίζουν αυτήν τη γωνία λέγονται κάθτς πλυρές του ορθογωνίου. Η πλυρά που ίναι απέναντι από την ορθή γωνία λέγται υποτίνουσα του ορθογωνίου τριγώνου. Θώρηµα 1.8.1 Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ( B = ) οιπαράτηϐάσηγωνίς(σταbκαι) ίναι ίσς. Ρ Μ Μ Σχήµα 1.8.2: Το ϑώρηµα του ισοσκλούς Η µσοκάθτος του B πόδιξη : Θώρησ τα δύο τρίγωνα BM και M που σχηµατίζονται ϕέρνοντας την M, όπουm το µέσον της ϐάσης B (Σχήµα 1.8.2-Ι). Τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν τις πλυρές τους αντίστοιχα ίσς : B = ξ υποθέσως, BM = M διότι το M ίναι µέσον της B και τέλος την M κοινή. Κατά το ξίωµα 1.6.2 των τριγώνων τα δύο αυτά τρίγωνα ϑα ίναι ίσα, άρα και οι γωνίς τους στα B και ϑα ίναι αντίστοιχα ίσς ο..δ. Πόρισµα 1.8.1 Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ( B = ) η υθία που νώνι την κορυφή του µ το µέσον M της απέναντι πλυράς διχοτοµί τη γωνία της κορυφής. ( ς την σκηση 1.9.8 για το αντίστροφο). Πόρισµα 1.8.2 Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ( B = ) η υθία που νώνι τη κορυφή του µ το µέσον M της απέναντι πλυράς ίναι κάθτος στην ϐάση και χωρίζι το τρίγωνο σ δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα (MB και M) ( ς τη σκηση 1.9.10 για το αντίστροφο). Μσοκάθτο του υθυγράµµου τµήµατος B ονοµάζουµ την υθία που ίναι κάθτος στο µέσον του υθυγράµµου τµήµατος (Σχήµα 1.8.2-ΙΙ). Το προηγούµνο πόρισµα µπορίπίσης να διατυπωθί στην πόµνη µορφή. '' ' ω φ ' Σχήµα 1.8.3: Σύγκριση ορθογωνίων Συγκόλληση ισοσκλών σκηση 1.8.1 Τα ορθογώνια τρίγωνα {B, B } έχουν ίσς υποτίνουσς B = B και γωνίς φ = B <ω= B. ίξότι < (Σχήµα 1.8.3-Ι). σκηση 1.8.2 Εστω ότι τα τρίγωνα B και ίναι ισοσκλή µ κορυφή στο και κοινή την πλυρά. ίξότιοιπλυρέςbκαι ή ϑα πριέχονται στην ίδια υθία ή ϑα σχηµατίζουν ισοσκλές τρίγωνο B (Σχήµα 1.8.3-ΙΙ). Πόρισµα 1.8.3 ια κάθ ισοσκλές τρίγωνο B µ ϐάση B, η κορυφή του υρίσκται πί της µσοκαθέτου του υθυγράµµου τµήµατος B.
20 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ισοδύναµη πίσης ίναι και η διατύπωση : Πόρισµα 1.8.4 Κάθ σηµίο P που ισαπέχι από τα σηµία και B υρίσκται πί της µσοκαθέτου του υθυγράµµου τµήµατος B. 1.9 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Είναι λάθος το ότι η ισότητα ίναι νόµος της ϕύσης. Η ϕύση δν παράγι ισότητς. Η ανώτατη αρχή της ίναι διάταξη και ξάρτηση. Vauvenargues, ρχές και Στοχασµοί Εκτός από το ϐασικό ξίωµα 1.6.2 ισότητας τριγώνων που αναφέρται και ως ΠΠΠ-κριτήριο (πλυράπλυρά-πλυρά κριτήριο) ισότητας, ισχύουν και άλλα δύο κριτήρια ισότητας που προκύπτουν ως ϑωρήµατα ϐάσι του ΠΠΠ-κριτηρίου. υτά αναφέρονται ως ΠΠ-κριτήριο ισότητας (πλυρά-γωνίαπλυρά κριτήριο) και Π-κριτήριο ισότητας (γωνία-πλυρά-γωνία κριτήριο). B ' ' ' Σχήµα 1.9.1: ΠΠ κριτήριο Πρόταση 1.9.1 (ΠΠ-κριτήριο) ύο τρίγωνα B, B, που έχουν δύο αντίστοιχς πλυρές ίσς ( B = B, = ) και τις πριχόµνς σ αυτές γωνίς πίσης ίσς ( B = B ), ίναι ίσα. πόδιξη : Τοποθέτησ τη γωνία πάνω στην έτσι ώστ να συµπέσουν οι ηµιυθίς B και B καθώς και οι και (Σχήµα 1.9.1). υτό ίναι δυνατόν λόγω της υποτιθέµνης ισότητας των γωνιών στα και αντιστοίχως. Λόγω της πίσης υποτιθέµνης ισότητας των µηκών B = B, ϑα συµπέσουν και τα B και B (σύµφωνα µ το ξίωµα 1.3.3) και για τον ίδιο λόγο ϑα συµπέσουν και τα και. Συνπώς, ϑα συµπέσουν και οι πλυρές B και B και ποµένως, τα µήκη τους ϑα ίναι ίσα B = B. Η αλήθια της πρότασης προκύπτι φαρµόζοντας το ΠΠΠ-κριτήριο, ο..δ. ' ' ' Σχήµα 1.9.2: Π-κριτήριο Πρόταση 1.9.2 (Π-κριτήριο) ύο τρίγωνα B, B που έχουν δύο αντίστοιχς γωνίς ίσς ( B = B και, B = B ) και τις πριχόµνς σ αυτές πλυρές πίσης ίσς ( B = B ) ίναι ίσα.
1.9. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 21 πόδιξη : Η απόδιξη ίναι παρόµοια µ την προηγούµνη. Τοποθέτησ τα τρίγωνα έτσι ώστ να συµπέσουν οι B και B, καθώς και οι γωνίς στα B, B και, (Σχήµα 1.9.2). υτό ίναι δυνατόν λόγω του αξιώµατος 1.4.2. Τότ ϑα συµπέσουν οι υθίς B, B καθώς και οι,, άρα ϑα συµπέσουν και οι τοµές τους που ορίζουν αντίστοιχα τα και. πό αυτήν τη σύµπτωση έπται ότι B = B και =. Η αλήθια της πρότασης προκύπτι φαρµόζοντας πάλι το ΠΠΠ-κριτήριο, ο..δ. ' B ' B' Σχήµα 1.9.3: ύο ίσς γωνίς παράγουν ισοσκλές Πρόταση 1.9.3 ν το τρίγωνο έχι δύο γωνίς του ίσς τότ ίναι ισοσκλές. πόδιξη : Θώρησ ένα τρίγωνο B ίσο προς το B και φάρµοσ το Π-κριτήριο. Τα δύο τρίγωνα έχουν ίσς τις πλυρές B και B αντίστοιχα και τις γωνίς B και B ίσς καθώς και τις B και B ίσς, άρα ίναι ίσα. Η πλυρά που ίναι απέναντι στη γωνία B ϑα ίναι ίση µ την πλυρά B που ίναι απέναντι στην ίση προς την προηγούµνη γωνία B. Οµως κ κατασκυής η B ίναι ίση προς την B, άρατλικάοιb και ϑα ίναι ίσς, ο..δ. Σχόλιο-1 Η απόδιξη αυτή (οφίλται στον Πάππο) έχι ένα λπτό και παράδοξο σηµίο, όπου δύο ίσα τρίγωνα ξανα-αποδικνύονται ίσα. ίνται δώ ένα παιχνίδι µ τον προσανατολισµό του τριγώνου. Το B ίναι µν ίσο µ το B, αλλά έχι τοποθτηθίµ αντίστροφο προσανατολισµό πάνω στο ' =' =' Σχήµα 1.9.4: Επανατοποθέτηση ίσου τριγώνου µ αντίθτο προσανατολισµό B. Το σχήµα 1.9.4 δίχνι τη διαφορά µ ένα µη-ισοσκλές B. Τα δύο τρίγωνα νώ ίναι ίσα, τοποθτούµνα µ αυτόν τον τρόπο δν συµπίπτουν ν γένι. Το νόηµα της πρότασης ίναι ότι τα δύο τρίγωνα τοποθτούµνα κατ αυτόν τον τρόπο συµπίπτουν τότ και µόνον, όταν ίναι ισοσκλή. Πόρισµα 1.9.1 Σηµίο ανήκι στην µσοκάθτο του υθυγράµµου τµήµατος B, τότ και µόνον, όταν ισαπέχι από τα σηµία και B. πόδιξη : Στο Πόρισµα 1.8.4 ίδαµ ότι κάθ σηµίο που ισαπέχι από τα και B ίναι πί της µσοκαθέτου. ια το αντίστροφο, παίρνουµ το πί της µσοκαθέτου και δίχνουµ ότι τα τρίγωνα
22 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ M και MB ίναι ίσα (M το µέσον του B) φαρµόζοντας το ΠΠ-κριτήριο, ο..δ. Σχόλιο-2 Το τλυταίο πόρισµα χαρακτηρίζι τη µσοκάθτο ως γωµτρικό τόπο σηµίων που έχουν µια ορισµένη ιδιότητα. Λέµ συχνά : ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν την τάδ ιδιότητα ίναι το δίνα σύνολο. Ετσι λοιπόν ϑα λέµ στο ξής : ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που ισαπέχουν από δύο σηµία και B ίναι η µσοκάθτος του B. Οπως στην πρίπτωση της µσοκα- ϑέτου, έτσι και στην γνική πρίπτωση νός γωµτρικού τόπου πρέπι να δίξουµ δύο πράγµατα : α) ότι κάθ σηµίο του γωµτρικού τόπου έχι την τάδ ιδιότητα, ϐ) ότι, αν ένα σηµίο έχι την τάδ ιδιότητα, τότ ανήκι αναγκαστικά στο γωµτρικό τόπο (πρισσότρα στην 2.16). σκηση 1.9.1 ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν αντίστοιχς κάθτς πλυρές ίσου µήκους, ίναι ίσα. Υπόδιξη : Εφάρµοσ το ΠΠ-κριτήριο µ αντίστοιχς γωνίς τις ορθές των δύο τριγώνων. σκηση 1.9.2 ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν µία κάθτη και την προσκίµνη οξία αντίστοιχα ίση, ίναι ίσα. Υπόδιξη : Εφάρµοσ το Π-κριτήριο. Μ Ν Ζ Η Σχήµα 1.9.5: Ισς διάµσοι Ισς διχοτόµοι σκηση 1.9.3 Εστω B ισοσκλές τρίγωνοµ ίσςγωνίςστις κορυφέςb και. ίξότι οι διάµσοι από τις κορυφές αυτές ίναι ίσς. ίξ πίσης ότι και οι διχοτόµοι από τις κορυφές αυτές ίναι ίσς. Υπόδιξη : Εστω ότι M και N ίναι τα µέσα των B και αντιστοίχως. Τα τρίγωνα BM και BN ίναι ίσα ως έχοντα α) τη B κοινή, ϐ) τις BM και N ίσς ως µισές ίσων πλυρών, γ) τις γωνίς στα B και ίσς. Εφαρµόζται λοιπόν το ΠΠ-κριτήριο ισότητας τριγώνων. νάλογη ίναι και η απόδιξη για τις διχοτόµους, µόνο που αυτή τη ϕορά φαρµόζται το Π-κριτήριο. Πράγµατι, έστω ότι BH και Z ίναι οι διχοτόµοι των γωνιών στα B και αντίστοιχα. Τότ τα τρίγωνα BH και BZ ίναι ίσα ως έχοντα α) τη B κοινή, ϐ) τις γωνίς στα B και ίσς, γ) τις γωνίς HB = ZB ως µισές ίσων γωνιών. Σχόλιο-3 Ισχύι και η αντίστροφη της προηγούµνης πρότασης, αλλά, στη µν πρίπτωση των διαµέσων χριαζόµαστ µια ιδιότητά τους που ϑα µάθουµ αργότρα (δς Άσκηση 2.8.1), στις δ διχοτόµους η απόδιξη του αντιστρόφου, που δίνουµ στην πόµνη παράγραφο (Θώρηµα 2.5.2), αναφέρται ως ϑώρηµα των Steiner-Lehmus και ίναι απροσδόκητα δύσκολη. ια µια υπολογιστική απόδιξη δς την Άσκηση 3.12.12. σκηση 1.9.4 Εστω E το µέσον της πλυράς του τριγώνου B. Προέκτιν τη BE (διάµσο) κατά το διπλάσιο µέχρι το. ίξ ότι το τρίγωνο ίναι ίσο µ το B. Υπόδιξη : ίξ πρώτα µ το ΠΠ-κριτήριο ότι τα τρίγωνα EB και E ίναι ίσα (Σχήµα 1.9.6-Ι). ίξ ανάλογα ότι και τα BE και E ίναι ίσα. Συµπέραν κατόπιν µ το ΠΠΠ-κριτήριο ότι τα B και ίναι ίσα. σκηση 1.9.5 Εστω B ισοσκλές τρίγωνο µ ίσς γωνίς στις κορυφές B και. ίξ ότι τα ύψη από τις κορυφές αυτές ίναι ίσα.
1.9. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 23 Z H Ε E B Σχήµα 1.9.6: Προέκταση της διαµέσου Ισα ύψη ισοσκλούς Υπόδιξη : Εστω ότι BE και ίναι τα ύψη, αντίστοιχα, από τις γωνίς B και (Σχήµα 1.9.6-ΙΙ). Προέκτιν τη BE κατάτοδιπλάσιοέωςτοσηµίοh και τη κατάτοδιπλάσιοέωςτοz. Τατρίγωνα BE και HE ίναι ίσα ως έχοντα α) την E κοινή, ϐ) τις γωνίς στο E ορθές και γ) τις πλυρές BE και EH ίσς κ κατασκυής (ΠΠ-κριτήριο). Συνπώς, το τρίγωνο BH ίναι ισοσκλές. Παρόµοια αποδικνύται ότι και το BZ ίναι ισοσκλές. Τα δύο αυτά ισοσκλή ίναι και ίσα, ως έχοντα α) τη B κοινή, ϐ) τη BZ ίση της H και γ) τις γωνίς τους στα B και ίσςωςδιπλάσιςτωνϐ και γ αντίστοιχα. Άρα οι Z και BH, που ίναι διπλάσις των υψών, ϑα ίναι ίσς. ια την αντίστροφη αυτής της ιδιότητας δς την Άσκηση 1.10.2. Σχόλιο-4 ργότρα ϑα δούµ ότι υπάρχι και ένα ακόµη κριτήριο ισότητας τριγώνων που ϑα µπο- ϱούσ να ονοµασθίπ-κριτήριο. Κατ αυτό αν δύο τρίγωνα B και B έχουν τις γωνίς τους α = α, ϐ = ϐ και τις πλυρές a = B = B = a,τότίναιίσα. Σαυτήντηνπρίπτωσητα τρίγωνα υποτίθται ότι έχουν δύο γωνίς ίσς και µία πλυρά αντίστοιχα ίση της άλλης, αλλά η πλυ- ϱά αυτή ίναι η απέναντι της α και όχι η προσκίµνη της α (όπως στο Π-κριτήριο). υτό ωστόσο ανάγται στο Π-κριτήριο, διότι από την ισότητα των δύο γωνιών και τη σχέση α + ϐ + γ = 180,που ϑα δίξουµ αργότρα, προκύπτι η ισότητα όλων τωνγωνιώντωνδύοτριγώνων. α c c' b ' α' b' Ε B a=a' Σχήµα 1.9.7: µφίβολη πρίπτωση Κοινή µσοκάθτος Το σχήµα 1.9.7-Ι δίχνι ότι δν ισχύι αυτό που ϑα µπορούσ να ονοµασθί ΠΠ-κριτήριο. Εν γένι (όταν το τρίγωνο δν ίναι ορθογώνιο), υπάρχουν δύο τρίγωνα B και B γιαταοποίαισχύι a = a, b = b και α = α. Και αυτό το σχήµα ϑα το αναλύσουµ παρακάτω, όταν ϑα έχουµ παρκίς γνώσις για τον κύκλο και τις ιδιότητές του. σκηση 1.9.6 ίξ ότι, αν τα τρίγωνα B και B ίναι ίσα τότ ίναι ίσς και οι διάµσοι/διχοτόµοι του B µ τις αντίστοιχς διαµέσους/διχοτόµους του B. σκηση 1.9.7 Εστω ότι τα υθύγραµµα τµήµατα B και έχουν κοινή µσοκάθτο και η συναντά την στο E. ίξ ότι και η B συναντά την στο E (Σχήµα 1.9.7-ΙΙ).